【数学】随机变量及其分布测试-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

第1页（共1页）随机变量及其分布测试卷一．选择题（共8小题）1．现从含甲、乙在内的6名特种兵中选出3人去参加抢险，则在甲被选中的前提下，乙也被选中的概率为（）A． B． C． D．2．元宵节是中国传统节日，当天人们会吃汤圆、赏花灯、猜灯谜．小华爸爸手里有6个灯谜，其中4个事物谜，2个字谜，小华随机抽取2个灯谜，事件A为“取到的2个为同一类灯谜”，事件B为“取到的2个为事物谜”，则P（B|A）＝（）A． B． C． D．3．已知随机变量X服从正态分布N（2，σ2），且P（2＜X＜3）＝0.37，则P（X＜3）＝（）A．0.13 B．0.37 C．0.63 D．0.874．某人寿保险公司规定，投保人没活过65岁时，保险公司要赔偿100万元．活过65岁时，保险公司不赔偿，但要给投保人一次性支付5万元．已知购买此种保险的每个投保人能活过65岁的概率都是0.9，随机抽取3个投保人，设其中活过65岁的人数为X，保险公司要赔偿给这三个人的总金额为Y万元．则P（Y＜200）＝（）A．0.972 B．0.729 C．0.486 D．0.2435．已知随机变量X的分布列如下所示，且E（X）＝，则m＝（）X123PnmA． B． C． D．6．一份新高考数学试卷中有8道单选题，小胡对其中5道题有思路，3道题完全没有思路．有思路的题做对的概率是0.9，没有思路的题只能猜一个答案，猜对答案的概率为0.25，则小胡从这8道题目中随机抽取1道做对的概率为（）A． B． C． D．7．已知一批沙糖桔的果实横径（单位：mm）服从正态分布N（45，52），其中果实横径落在[40，55]的沙糖桔为优质品，则这批沙糖桔的优质品率约为（）（若X∼N（μ，σ2），则P（μ﹣σ⩽X⩽μ+σ）≈0.6827，P（μ﹣2σ⩽X⩽μ+2σ）≈0.9545）A．0.6827 B．0.8186 C．0.8413 D．0.95458．若随机变量ξ的分布列如表所示，则D（1﹣3ξ）＝（）ξ﹣101Pa2A． B．2 C． D．二．多选题（共4小题）（多选）9．下列说法正确的是（）A．若随机变量X服从两点分布且，则 B．若随机变量X～N（μ，σ2）满足P（X＜1）＝0.22，P（X＜3）＝0.78，则μ＝2 C．若随机变量，则 D．设随机变量X～B（n，p），若D（X）≤3恒成立，则n的最大值为12（多选）10．某中药材盒中共有包装相同的7袋药材，其中党参有3袋，黄芪有4袋，从中取出两袋，下列说法正确的是（）A．若有放回抽取，则取出一袋党参一袋黄花的概率为 B．若有放回抽取，则在至少取出一袋党参的条件下，第2次取出党参的概率为 C．若不放回抽取，则第2次取到党参的概率算法可以是 D．若不放回抽取，则在至少取出一袋党参的条件下，取到一袋党参一袋黄芪的概率为（多选）11．甲、乙、丙、丁四名同学相约去电影院看春节档热映的《热辣滚烫》，《飞驰人生2》，《第二十条》三部电影，每人都要看且限看其中一部．记事件A为“恰有两名同学所看电影相同”，事件B为“只有甲同学一人看《飞驰人生2》”，则（）A．四名同学看电影情况共有34种 B．“每部电影都有人看”的情况共有72种 C． D．“四名同学最终只看了两部电影”的概率是（多选）12．已知某地区十二月份的昼夜温差X～N（μ，σ2），，该地区某班级十二月份感冒的学生有10人，其中有6位男生，4位女生，则下列结论正确的是（）A．E（X）＝8 B．若，则 C．从这10人中随机抽取2人，其中至少抽到一位女生的概率为 D．从这10人中随机抽取2人，其中女生人数ξ的期望为三．填空题（共4小题）13．有一批产品，其中有6件正品和4件次品，从中任取3件，其中次品的件数记为X，则次品件数X的期望为．14．一个袋子中有9个大小和形状均相同的小球，其中4个红球，3个白球，2个黄球．每次从袋子中随机摸出一个球，摸出的球不再放回，则在第一次摸到红球的条件下，第二次摸到黄球的概率为．15．已知随机变量X，Y满足2X+Y＝4，若，则D（Y）＝．16．甲袋中有3个红球，2个白球和1个黑球，乙袋中有4个红球，1个白球和1个黑球（除颜色外，球的大小、形状完全相同）．先从甲袋中随机取出1球放入乙袋，再从乙袋中随机取出1球．分别以A1，A2，A3表示由甲袋取出的球是红球，白球和黑球的事件，以B表示由乙袋取出的球是红球的事件，则P（B|A1）＝，P（B）＝．四．解答题（共6小题）17．甲同学参加学校的答题闯关游戏，游戏共分为两轮，第一轮为初试，共有5道题，已知这5道题中甲同学只能答对其中3道，从这5道题目中随机抽取3道题供参赛者作答，答对其中两题及以上即视为通过初试：第二轮为复试，共有2道题目，甲同学答对其中每道题的概率均为，两轮中每道题目答对得6分，答错得0分，两轮总分不低于24分即可晋级决赛．（1）求甲通过初试的概率；（2）求甲晋级决赛的概率，并在甲晋级决赛的情况下，记随机变量X为甲的得分成绩，求X的数学期望．18．某学院为了统计学院往届毕业生的薪酬情况，面向学院部分毕业生发放问卷以统计其薪资情况，共有1000名毕业生填写了问卷．毕业生年薪（单位：万元）以[10，20），[20，30），[30，40），[40，50），[50，60），[60，70），[70，80]分组的频率分布直方图如图所示，已知年薪在[50，60），[60，70），[70，80]内的毕业生人数成等差数列．（1）求这1000名毕业生年薪的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）若采用分层抽样的方式从年薪作[50，60），[60.70），[70，80]内的毕业生中抽取6人，再从抽取的6人中随机抽取3人作为优秀毕业生代表，抽取的3人中含有年薪在[50，60）内的毕业生的条件下，求抽取的3人中含有年薪在[70，80]内的毕业生的概率；（3）记（2）中抽取的3人中年薪在[50，60）内的人数为X，求随机变量X的分布列与数学期望．19．今年的贺岁片《第20条》、《飞驰人生》、《热辣滚烫》引爆了电影市场，某天甲、乙、丙、丁、戊五名同学每人随机从三部电影中选一部观看，现知道每部电影至少有一人观看．（1）求只有甲、乙观看《热辣滚烫》电影的概率；（2）求这五个人观看《热辣滚烫》电影的人数的分布列和数学期望．20．某校团委组织学生开展了“全民迎亚运，学习当达人”知识竞赛活动，现从参加该活动的学生中随机抽取了100名，竞赛成绩（单位：分）分布如下：成绩（分）[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100]人数62830324（1）求抽取的100名学生竞赛成绩的平均分（同一组中数据用该组区间的中点值代替）；（2）在参加该活动的学生中随机选取5名学生，求选取的5名学生中恰有3名学生竞赛成绩在区间[60，70）∪[80，90）内的概率；（3）以频率估计概率，发现参赛学生竞赛成绩X近似地服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本平均分近似为样本方差S2，按比例前16%的参赛学生可获得“学习达人”称号，已知甲同学竞赛成绩86分，试问他能否获得“学习达人”称号．参考数据：若X～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ≤X≤μ+σ）≈0.6827，P（μ﹣2σ≤X≤μ+2σ）≈0.9545，P（μ﹣3σ≤X≤μ+3σ）≈0.9973．21．为深入学习贯彻党的二十大精神，推动全市党员干部群众用好“学习强国”学习平台，激发干事创业热情．某单位组织“学习强国”知识竞赛，竞赛共有10道题目，随机抽取3道让参赛者回答．已知小明只能答对其中的6道，试求：（1）抽到他能答对题目数X的分布；（2）求X的期望和方差．22．我国无人机发展迅猛，在全球具有领先优势，已经成为“中国制造”一张靓丽的新名片，并广泛用于森林消防、抢险救灾、环境监测等领域．某森林消防支队在一次消防演练中利用无人机进行投弹灭火试验，消防员甲操控无人机对同一目标起火点进行了三次投弹试验，已知无人机每次投弹时击中目标的概率都为，每次投弹是否击中目标相互独立．无人机击中目标一次起火点被扑灭的概率为，击中目标两次起火点被扑灭的概率为，击中目标三次起火点必定被扑灭．（1）求起火点被无人机击中次数的分布列及数学期望；（2）求起火点被无人机击中且被扑灭的概率．

随机变量及其分布参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．【解答】解：现从含甲、乙在内的6名特种兵中选出3人去参加抢险，设甲被选中为事件A，乙被选中为事件B，则P（A）＝＝，P（AB）＝＝，则在甲被选中的前提下，乙也被选中的概率为P（B|A）＝＝．故选：C．2．【解答】解：由题意可得，，，所以．故选：B．3．【解答】解：因为X～N（2，σ2），所以P（X≤2）＝0.5，所以P（X＜3）＝P（X≤2）+P（2＜X＜3）＝0.5+0.37＝0.87．故选：D．4．【解答】解：由题意可知，Y＝5X+100（3﹣X）＝300﹣95X，令Y＜200得，300﹣95X＜200，解得X＞，又因为X～B（3，0.9），且X的所有可能取值为0，1，2，3，所以P（Y＜200）＝P（X＞）＝P（X＝2）+P（X＝3）＝+0.93＝0.972．故选：A．5．【解答】解：由分布列的性质可得，n+m+＝1，∴m+n＝，又∵E（X）＝n+2m+3×＝n+2m+＝，∴n+2m＝，联立方程，解得，即m＝．故选：B．6．【解答】解：设事件A表示“考生答对”，设事件B表示“考生选到有思路的题”．则小胡从这8道题目中随机抽取1道做对的概率为：P（A）＝P（B）P（A|B）+P（A|）＝＝．故选：C．7．【解答】解：∵X服从正态分布N（45，52），∴P（40≤X≤50）＝0.6827，P（35≤X≤55）＝0.9545，∴P（50≤X≤55）＝（0.9545﹣0.6827）＝0.1359，∴P（40≤X≤55）＝0.6827+0.1359＝0.8186．故选：B．8．【解答】解：由a++a2＝1，a＞0，化为3a2+a﹣2＝0，a＞0，解得a＝，E（ξ）＝﹣1×+0×+1×＝，∴D（ξ）＝（﹣1）2×+02×+12×﹣＝．∴D（1﹣3ξ）＝（﹣3）2D（ξ）＝9×＝．故选：D．二．多选题（共4小题）9．【解答】解：对于A，∵随机变量X服从两点分布且，∴P（X＝1）＝1﹣＝，∴E（X）＝0×＝，故A错误；对于B，∵X～N（μ，σ2），且P（X＜1）＝0.22，P（X＜3）＝0.78，∴P（X≥3）＝1﹣0.78＝0.22，∴P（X＜1）＝P（X≥3），∴μ＝＝2，故B正确；对于C，∵，∴P（X＝2）＝＝，故C错误；对于D，∵X～B（n，p），∴D（X）＝np（1﹣p）≤3恒成立，∴n恒成立，∵p（1﹣p）＝﹣p2+p＝﹣（p﹣）2+，∴当p＝时，p（1﹣p）取得最大值，∴n＝12，即n的最大值为12，故D正确．故选：BD．10．【解答】解：对于A，∵是有放回抽取，抽到一袋党参的概率为，抽到一袋黄芪的概率为，∴取出一袋党参一袋黄芪的概率为＝，故A正确；对于B，第二次取出党参的概率为＝，至少抽到一袋党参的概率为＝，∴有放回抽取，则在至少取出一袋党参的条件下，第2次取出党参的概率为＝，故B正确；对于C，∵不放回抽取，抽两次有种抽法，第二次抽到党参的取法为+，第二次取到党参的概率为：，故C错误；对于D，至少取出一袋党参的概率为＝，取到一袋党和一袋黄芪的概率为＝，∴在至少取出一袋党参的条件下，取到一袋党参和一代黄芪的概率为＝，故D正确．故选：ABD．11．【解答】解：对于A，四名同学看电影情况共有3×3×3×3＝34种，故A正确；对于B，“每部电影都有人看”的情况共有＝36种，故B错误；对于C，P（A）＝＝，P（AB）＝＝，所以P（B|A）＝＝＝，故C正确；对于D，“四名同学最终只看了两部电影”的情况有：（）＝42种，所以“四名同学最终只看了两部电影”的概率是＝，故D正确．故选：ACD．12．【解答】解：对于A，∵X～N（μ，σ2），，∴E（X）＝μ＝8，故A正确；对于B，∵，∴，故B正确；对于C，，故C错误；对于D，ξ服从超几何分布，其中N＝10，M＝4，n＝2，∴，故D正确．故选：ABD．三．填空题（共4小题）13．【解答】解：由题意知随机变量X服从超几何分布，其中N＝10，M＝4，n＝3，于是次品件数X的期望．故答案为：1.2．14．【解答】解：设事件A表示“第一次摸到红球”，事件B表示“第二次摸到黄球”，则P（A）＝，P（AB）＝＝＝，所以P（B|A）＝＝＝．故答案为：．15．【解答】解：随机变量X，Y满足2X+Y＝4，，∴D（X）＝9×＝2，∵Y＝4﹣2X，∴D（Y）＝4D（X）＝4×2＝8．故答案为：8．16．【解答】解：甲袋中有3个红球，2个白球和1个黑球，乙袋中有4个红球，1个白球和1个黑球（除颜色外，球的大小、形状完全相同）．先从甲袋中随机取出1球放入乙袋，再从乙袋中随机取出1球．分别以A1，A2，A3表示由甲袋取出的球是红球，白球和黑球的事件，以B表示由乙袋取出的球是红球的事件，则P（A1）＝＝，P（A1B）＝×＝，∴P（B|A1）＝＝＝，P（A1）＝＝，P（A2）＝＝，P（A3）＝，P（A1B）＝×＝，P（A2B）＝＝，P（A3B）＝＝，∴P（B|A1）＝＝＝，P（B|A2）＝＝＝，P（B|A3）＝＝＝，∴P（B）＝P（A1）P（B|A1）+P（A2）P（B|A2）+P（A3）P（B|A3）＝++＝．故答案为：，．四．解答题（共6小题）17．【解答】解：（1）甲要通过初试，则需要答对2道或3道题目，所以甲通过初试的概率为．（2）①若甲初试答对2道题目，则甲晋级决赛，复试需要答对2题，此时甲晋级决赛的概率为，②若甲初试答对3道题目，则甲晋级决赛，复试需要答对1题或2题，当复试答对1题时，甲晋级决赛的概率为，当复试答对2题时，甲晋级决赛的概率为，综上所述，甲晋级决赛的概率为，在甲晋级决赛的情况下，随机变量X可取24，30，，，所以．18．【解答】解：（1）∵年薪在[70，80]内的人数为1000×0.005×10＝50（人），年薪在[60，70）内的人数为1000×0.01×10＝100（人），年薪在[50，60）内的人数为1000×y×10＝10000y（人），又∵年薪在[50，60），[60，70），[70，80]内的毕业生人数成等差数列，∴10000y+50＝200，解得y＝0.0150，∴年薪在[50，60）内的人数为10000y＝150．∵10（x+0.005+0.01+0.015+0.019+0.02+0.027）＝1，即0.096+x＝0.1，解得x＝0.004，∴毕业生年薪的平均数为＝15×10×（0.004+25×0.019+35×0.02+45×0.027+55×0.015+65×0.01+75×0.005）＝43；（2）易知采用分层抽样抽取的6人中年薪在[50，60），[60，70），[70，80]内的分别有×6＝3，×6＝2，×6＝1人．记事件A为“抽取的3人中含有年薪在[50，60）内的毕业生”，事件B为“抽取的3人中含有年薪在[70，80]内的毕业生”，则，∴；（3）随机变量X可以取0，1，2，3，，，∴X的分布列为X0123P∴．19．【解答】解：（1）由于5个人选3场电影看，且每部电影至少一个观看，所以将5个人分三组