山东省青岛市胶州第十七中学高三数学理期末试题含解析

山东省青岛市胶州第十七中学高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数则函数的所有零点之和是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：【知识点】函数的零点.B9B

解析：∵f（x）=g（x）=，∴f[g（x）]=，∵x≥0时，由，可解得：x=1或1﹣（小于0，舍去）；x＜0时，由=0，可解得：x=﹣．∴函数f[g（x）]的所有零点之和是1=．故选：B．【思路点拨】先求得f[g（x）]的解析式，x≥0时，由，可解得：x=1或1﹣（小于0，舍去）；x＜0时，由=0，可解得：x=﹣，从而可求函数f[g（x）]的所有零点之和．2.“”是“或”的（

）A、充分不必要条件

B、必要不充分条件

C、充要条件

D、既不充分又不必要条件参考答案：A3.命题“”的否定是A.

B.

C.

D.参考答案：B特称命题的否定为全称命题，所以B正确.4.设x∈R，向量=（x，1），=（1，﹣2），且⊥，则|+|=（）A． B． C．2 D．10参考答案：B【考点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．【分析】通过向量的垂直，求出向量，推出，然后求出模．【解答】解：因为x∈R，向量=（x，1），=（1，﹣2），且⊥，所以x﹣2=0，所以=（2，1），所以=（3，﹣1），所以|+|=，故选B．5.如图，矩形OABC内的阴影部分是由曲线,及直线x=a,与x轴围成，向矩形OABC内随机投掷一点，若落在阴影部分的概率为，则的值是（）A、

B、

C、

D、参考答案：B略6.已知集合，则集合的子集个数为A．

B．

C．

D．参考答案：B7.如图，是一个几何体的正视图、侧视图、俯视图，则该几何体的体积是A.24

B.12

C.8

D.4参考答案：B由三视图可知，该几何体是有两个相同的直三棱柱构成，三棱柱的高为4，三棱柱的底面三角形为直角三角形，两直角边分别为，所以三角形的底面积为，所以三棱柱的体积为，所以该几何体的体积为，选B.8.某程序框图如图所示，该程序运行后输出的的值是

（

）3

4

5

6参考答案：B9.复数（为虚数单位）的虚部为（）A．

B．

C．

D．参考答案：A10.设是等差数列的前项和，若，，则（

）A．2016

B．2017

C．-2015

D．-2018参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.一个正三棱柱的三视图如图所示,如果左视图的面积为,则这个三棱柱的体积为________．

参考答案：略12.已知x∈R，y∈[0，5]，我们把满足方程x2+8xsin（x+y）π+16=0的解（x，y）组成的集合记为M，则集合M中的元素个数是

．参考答案：5考点：元素与集合关系的判断．专题：综合题；三角函数的求值．分析：由x2+8xsin（x+y）π+16=0，可得[x+4sin（x+y）π]2+16cos2（x+y）π=0，即可得出结论．解答： 解：由题意，∵x2+8xsin（x+y）π+16=0，∴[x+4sin（x+y）π]2+16cos2（x+y）π=0，∴x+4sin（x+y）π=0且cos（x+y）π=0，∴x=4，y=，，；x=﹣4，y=，，∴集合M中的元素个数是5个．故答案为：5．点评：本题考查函数的值的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意三角函数性质的灵活运用．13.在等比数列{an}中，如果a1+a2=40，a3+a4=60，则a7+a8=．参考答案：135【考点】88：等比数列的通项公式．【分析】等比数列{an}中，a1+a2，a3+a4，a5+a6，a7+a8成等比数列，由此利用a1+a2=40，a3+a4=60，能求出a7+a8．【解答】解：等比数列{an}中，∵a1+a2=40，a3+a4=60，∴a5+a6=60×=90，a7+a8=90×=135．故答案为：135．【点评】本题考查等比数列的通项公式的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．14.

B．（几何证明选做题）如图，

且AB=6，AC=4，AD=12，则AE=_______．参考答案：2本题考查了三角形的相似性以及推理能力，难度一般。

因为∽，所以15.甲、乙两人约定在10点半到12点会面商谈事情，约定先到者应等候另一个人20分钟，即可离去，求两人能会面的概率（结果用最简分数表示）．参考答案：【考点】简单线性规划的应用；几何概型．【专题】概率与统计．【分析】由题意知本题是一个几何概型，试验包含的所有事件是Ω={（x，y）|10.5＜x＜12，10.5＜y＜12}，作出事件对应的集合表示的面积，写出满足条件的事件是A={（x，y）|10.5＜x＜12，10.5＜y＜12，|x﹣y|＜}，算出事件对应的集合表示的面积，根据几何概型概率公式得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个几何概型，设事件A为“两人能会面”，试验包含的所有事件是Ω={（x，y）|10.5＜x＜12，10.5＜y＜12}，则事件对应的集合表示的面积是s=，满足条件的事件是A={（x，y）|10.5＜x＜12，10.5＜y＜12，|x﹣y|＜}，所以事件对应的集合表示的面积是﹣[12﹣（10+）][（12﹣）﹣10]=，根据几何概型概率公式得到P=．故答案为：．【点评】本题是一个几何概型，对于这样的问题，一般要通过把试验发生包含的事件同集合结合起来，根据集合对应的图形做出面积，用面积的比值得到结果．16.某校高三年级3个学部共有600名学生，编号为：001，002，…，600，从001到300在第一学部，从301到495在第二学部，496到600在第三学部.采用系统抽样的方法从中抽取50名学生进行成绩调查，且随机抽取的号码为003，则第二学部被抽取的人数为

．参考答案：1717.如图,在中,,点在线段上,且,则

．参考答案：考点：向量数量积，二倍角公式，余弦定理【思路点睛】三角函数和平面向量是高中数学的两个重要分支，内容繁杂，且平面向量与三角函数交汇点较多，向量的平行、垂直、夹角、数量积等知识都可以与三角函数进行交汇.不论是哪类向量知识与三角函数的交汇试题，都会出现交汇问题中的难点，对于此类问题的解决方法就是利用向量的知识将条件转化为三角函数中的“数量关系”，再利用三角函数的相关知识进行求解.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设不等式的解集与关于的不等式的解集相同．（Ⅰ）求，的值；（Ⅱ）求函数的最大值，以及取得最大值时的值.参考答案：解：（Ⅰ）不等式的解集为，所以，不等式的解集为，．…3分（Ⅱ）函数的定义域为，显然有，由柯西不等式可得：

，当且仅当时等号成立，即时，函数取得最大值.…7分19.如图，在四棱锥P﹣ABCD中底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=2CD，BC=CD，△APB是等边三角形，且侧面APB⊥底面ABCD，E，F分别是PC，AB的中点．（1）求证：PA∥平面DEF．（2）求平面DEF与平面PCD所成的二面角（锐角）的余弦值．参考答案：【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（1）连结AC，交DF于O，连结OF，推导出四边形CDFB是平行四边形，从而DF∥BC，进而O是AC中点，由此得到OE∥PA，从而能证明PA∥平面DEF．（2）以F为原点，FA为x轴，DF为y轴，FP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面DEF与平面PCD所成的二面角（锐角）的余弦值．【解答】证明：（1）连结AC，交DF于O，连结OF，∵AB∥CD，∠ABC=90°，AB=2CD，E，F分别是PC，AB的中点．∴CDBF，∴四边形CDFB是平行四边形，∴DF∥BC，∴O是AC中点，∴OE∥PA，∵PA?平面DEF，OE?平面DEF，∴PA∥平面DEF．解：（2）∵在四棱锥P﹣ABCD中底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠ABC=90°，△APB是等边三角形，且侧面APB⊥底面ABCD，F是AB的中点，∴DF⊥AF，PF⊥平面ABCD，以F为原点，FA为x轴，DF为y轴，FP为z轴，建立空间直角坐标系，设BC=CD=，则D（0，﹣，0），C（﹣1，﹣，0），P（0，0，），E（﹣，），F（0，0，0），=（0，﹣，0），=（﹣，），=（﹣1，﹣，﹣），=（0，﹣，﹣），设平面DEF的法向量=（x，y，z），则，取z=1，得=（，0，1），设平面PCD的法向量=（a，b，c），则，取b=，得=（0，，﹣1），cos＜＞===﹣，∴平面DEF与平面PCD所成的二面角（锐角）的余弦值为．20.（12分）一个正四棱锥和一个正三棱锥的所有棱长都相等，如下左图，将他们全等的两面重合在一起拼成一个多面体ABCDEF，如下右图（I）求证：AE//BF;（II）过A、D、F三点作截面，将此多面体上下两部分，求上下两部分的体积比。参考答案：证明：(Ⅰ)由题意知，△ABE、△CBE和△BEF都是正三角形，取BE的中点O，连AO、FO、CO、AC,则BE⊥AO，BE⊥FO，BE⊥CO，∴∠AOC、∠FOC分别是二面角A-BE-C和二面角F-BE-C的平面角，…………3分设AB＝2,则AO＝FO＝CO＝,AC=,在△AOC中，，在△FOC中，∴∠AOC+∠FOC＝,即二面角A-BE-C与二面角F-BE-C互补，…5分所以ABFE四点共面，又AB=BF=FE=EA，故AE∥BF.………………6分(Ⅱ)由(Ⅰ)知，四边形ABFE四边形CDEF都是菱形，所以过三点ADF的截面把多面体分成三棱锥A-DEF和四棱锥F-ABCD，连BD、FD则＝所以截面把多面体分成上、下两部分的体积比为１:２.…………………12分21.如图，在几何体ABCDEF中，底面ABCD为矩形，EF∥CD，AD⊥FC．点M在棱FC上，平面ADM与棱FB交于点N．（Ⅰ）求证：AD∥MN；（Ⅱ）求证：平面ADMN⊥平面CDEF；（Ⅲ）若CD⊥EA，EF=ED，CD=2EF，平面ADE∩平面BCF=l，求二面角A﹣l﹣B的大小．参考答案：【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）通过证明AD∥BC，推出AD∥平面FBC，然后证明平AD∥MN．（Ⅱ）证明AD⊥CD，结合AD⊥FC，说明AD⊥平面CDEF，然后证明平面ADMN⊥平面CDEF．（Ⅲ）说明DA，DC，DE两两互相垂直，建立空间直角坐标系D﹣xyz，不妨设EF=ED=1，求出相关的坐标，求出平面FBC的法向量，平面ADE的法向量，通过向量的数量积求解二面角A﹣l﹣B的平面角的大小即可．【解答】（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为ABCD为矩形，所以AD∥BC，[]所以AD∥平面FBC．[]又因为平面ADMN∩平面FBC=MN，所以AD∥MN．（Ⅱ）证明：因为ABCD为矩形，所以AD⊥CD．因为AD⊥FC，所以AD⊥平面CDEF．所以平面ADMN⊥平面CDEF．（Ⅲ）解：因为EA⊥CD，AD⊥CD，所以CD⊥平面ADE，所以CD⊥DE．由（Ⅱ）得AD⊥平面CDEF，所以AD⊥DE．所以DA，DC，DE两两互相垂直．建立空间直角坐标系D﹣xyz．不妨设EF=ED=1，则CD=2，设AD=a（a＞0）．由题意得，A（a，0，0），B（a，2，0），C（0，2，0），D（0，0，0），E（0，0，1），F（0，1，1）．所以=（a，0，0），=（0，﹣1，1）．设平面FBC的法向量为=（x，y，z），则即令z=1，则y=1．所以=（0，1，1）．又平面ADE的法向量为=（0，2，0），所以==．因为二面角A﹣l﹣B的平面角是锐角，所以二