福建省南平市大阜岗中学高三数学理下学期期末试卷含解析

福建省南平市大阜岗中学高三数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若集合A={x|1≤3x≤81}，B={x|log2（x2﹣x）＞1}，则A∩B=（）A．（2，4] B．[2，4] C．（﹣∞，0）∪[0，4] D．（﹣∞，﹣1）∪[0，4]参考答案：A【考点】交集及其运算．【专题】集合．【分析】求出集合，利用集合的基本运算进行求解．【解答】解：A={x|1≤3x≤81}{x|0≤x≤4}，B={x|log2（x2﹣x）＞1}={x|x2﹣x＞2}={x|x＞2或x＜﹣1}，则A∩B={x|2＜x≤4}，故选：A【点评】本题主要考查集合的基本运算，要求熟练掌握集合的交并补运算，比较基础．2.函数y=f（2x﹣1）的定义域为[0，1]，则y=f（x）的定义域为(

)A．[﹣1，1] B．[，1] C．[0，1] D．[﹣1，0]参考答案：A【考点】函数的定义域及其求法．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据复合函数的定义域之间的关系即可求出函数的定义域．【解答】解：∵函数y=f（2x﹣1）的定义域为[0，1]，∴0≤x≤1，则0≤2x≤2，即﹣1≤2x﹣1≤1，即函数y=f（x）的定义域为[﹣1，1]．故选：A．【点评】本题主要考查函数定义域的求法，利用复合函数之间的关系即可求出函数的定义域．3.在整数集Z中，被除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，

即，．给出如下四个结论：①；②；③；④整数属于同一“类”的充要条件是“”．其中，正确结论为（）．A．①②④

B．①③④C．②③④

D．①②③参考答案：C4.在圆的一条直径上，任取一点作与该直径垂直的弦，则其弦长超过该圆的内接等边三角形的边长的概率为（

）A． B． C． D．参考答案：C略5.(sinx－acosx)dx=，则实数a等于（）A．1 B． C．﹣1 D．参考答案：B【考点】定积分．【分析】根据定积分的计算法则计算即可【解答】解：，∴﹣﹣a+1=﹣，∴a=，故选B．【点评】本题考查了定积分的计算，属于基础题6.学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽出了一个容量为n的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在[50，60)元的同学有30人，则n的值为(

)．A.100

B.1000

C.90

D.900参考答案：A7.已知函数f（x）=2cos（x+φ）图象的一个对称中心为（2，0），且f（1）＞f（3），要得到函数，f（x）的图象可将函数y=2cosx的图象（）A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度参考答案：C【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】结合条件利用余弦函数的图象和性质求得ω和φ的值，可得函数的解析式，再利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．【解答】解：∵函数f（x）=2cos（x+φ）图象的一个对称中心为（2，0），∴+φ=kπ+，k∈Z，故可取φ=﹣，f（x）=2cos（x﹣），满足f（1）＞f（3），故可将函数y=2cosx的图象向右平移个单位，得到f（x）=2cos（x﹣）的图象，故选：C．8.抛物线的焦点坐标为(

)

A.

B.

C.

D.

参考答案：D抛物线的开口向左,且,.选D.9.等差数列前17项和，则A.3

B.6

C.

17

D.51

参考答案：A略10.下列函数中，既是偶函数，又在区间（1,2）内是增函数的为(

)A．

y=cos2x，xR

B.

y=log2|x|，xR且x≠0，xR

D.

y=+1，xR参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数，则的值为（

）A．2

B．3

C．4

D．5参考答案：A试题分析：故选A.111]考点：1、分段函数求值；2、对数运算．12.已知球O的表面积为，点A，B，C为球面上三点，若，且AB=2,则球心O到平面ABC的距离等于__________________．参考答案：13.正方体的全面积为a，它的顶点都在球面上，则这个球的表面积是______.参考答案：【分析】由题意可得正方体的边长及球的半径，可得球的表面积.【详解】解：根据正方体的表面积可以求得正方体的边长为，正方体的外接球球心位于正方体体心，半径为正方体体对角线的一半，求得球的半径，可得外接球表面积为，故答案：.【点睛】本题主要考查空间几何体的表面积,得出正方体的边长和球的半径是解题的关键.14.若△ABC的三边a，b，c及面积S满足S=a2﹣（b﹣c）2，则sinA=．参考答案：【考点】HR：余弦定理．【分析】由条件利用余弦定理求得4﹣4cosA=sinA，再利用同角三角函数的基本关系、二倍角公式求得tan的值，可得sinA=的值．【解答】解：△ABC中，由于面积S=a2﹣（b﹣c）2=b2+c2﹣2bc?coA﹣（b2+c2﹣2bc）=2bc﹣2bc?cosA，而S=bc?sinA，∴2bc﹣2bc?cosA=bc?sinA，求得4﹣4cosA=sinA，即4﹣4（1﹣2）=2sincos，∴tan=，∴sinA====，故答案为：．15.已知角α的终边与单位圆交于点，则sin2α的值为________．参考答案：略16.已知，，则的值为________．参考答案：略17.设，则=

参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数和点，过点作曲线的两条切线、，切点分别为、．（Ⅰ）设，试求函数的表达式；（Ⅱ）是否存在，使得、与三点共线．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，若对任意的正整数，在区间内总存在个实数，，使得不等式成立，求的最大值．参考答案：解：（Ⅰ）设、两点的横坐标分别为、，

，

∴切线的方程为：，又切线过点，有，即，

（1）

同理，由切线也过点，得．（2）由（1）、（2），可得是方程的两根，

（*）

，把（*）式代入,得,因此，函数的表达式为．

（Ⅱ）当点、与共线时，，＝，即＝，化简，得，

，．

（3）

把（*）式代入（3），解得．

存在，使得点、与三点共线，且．

（Ⅲ）解法：易知在区间上为增函数，，

则．

依题意，不等式对一切的正整数恒成立，，即对一切的正整数恒成立．

，，．

由于为正整数，．

又当时，存在，，对所有的满足条件．因此，的最大值为．

解法：依题意，当区间的长度最小时，得到的最大值，即是所求值．，长度最小的区间为，

当时，与解法相同分析，得，解得．

后面解题步骤与解法相同（略）．略19.已知函数

（1）若在定义域内的单调性；

（2）若的值；

（3）若上恒成立，求a的取值范围．参考答案：略20.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点O为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，圆的极坐标方程为（1）判断直线与圆的交点个数；（2）若圆与直线交于两点，求线段的长度.参考答案：21.已知函数，其中.（Ⅰ）若，求函数的定义域和极值；（Ⅱ）当时，试确定函数的零点个数，并证明.参考答案：（Ⅰ）解：函数的定义域为，且.

………………1分.

………………3分令，得，当变化时，和的变化情况如下：↘↘

↗………………4分故的单调减区间为，；单调增区间为．所以当时，函数有极小值.

………………5分（Ⅱ）解：结论：函数存在两个零点.证明过程如下：由题意，函数，

因为，

所以函数的定义域为.

………………6分

求导，得，

………………7分

令，得，，当变化时，和的变化情况如下：↗

↘

↗故函数的单调减区间为；单调增区间为，．

当时，函数有极大值；当时，函数有极小值.

………………9分

因为函数在单调递增，且，所以对于任意，.

………………10分因为函数在单调递减，且，所以对于任意，.

………………11分因为函数在单调递增，且，，所以函数在上仅存在一个，使得函数，

…………12分故函数存在两个零点（即和）.

………………13分

略22.已知函数.（1）当时，