湖南省郴州市迎春中学高三数学理期末试卷含解析

湖南省郴州市迎春中学高三数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.如图是根据我国古代数学专著《九章算术》中更相减损术设计的程序框图，若输入的，，则输出的a=（

）A.2 B.3 C.6 D.8参考答案：C【分析】更相减损术求的是最大公约数，由此求得输出的值.【详解】由于更相减损术求的是最大公约数，和的最大公约数是，故输出，故选C.【点睛】本小题主要考查中国古代数学文化，考查更相减损术求最大公约数，属于基础题.2.执行如图所示的程序框图，若输出的S是127，则条件①可以为（） A．n≤5 B． n≤6 C． n≤7 D． n≤8参考答案：考点： 程序框图．分析： 分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加2n的值到S并输出S．解答： 解：循环前，S=1，n=1第一次循环：S=1+2=3，n=1+1=2，继续循环；第二次循环：S=3+22=7，n=2+1=3，继续循环；第三次循环：S=7+23=15，n=3+1=4，继续循环；第四次循环：S=15+24=31，n=4+1=5，继续循环；第五次循环：S=31+25=63，n=5+1=6，继续循环；第六次循环：S=63+26=127，n=6+1=7，停止循环，输出S=127．故选B．点评： 算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出．其中前两点考试的概率更大．此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误．3.某程序框图如下图所示，则该程序运行后输出的值是

（

）

A．5

B.6

C．7

D．8参考答案：C4.已知双曲线（，）与椭圆有共同焦点，且双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的方程为（

）A． B． C． D．参考答案：D5.下列说法不正确的是(

)A．函数的零点与的零点之差的绝对值不超过B．函数为偶函数的充要条件是：C．若，，则D.命题p:“”的否定形式为“参考答案：C6.（5分）（2015?济宁一模）已知i是虚数单位，复数z=，则|z﹣2|=（）A．2B．2C．D．1参考答案：C【考点】：复数代数形式的乘除运算．【专题】：数系的扩充和复数．【分析】：利用复数代数形式的乘除运算化简，然后利用复数模的公式求模．解：∵z﹣2=﹣2=，∴|z﹣2|=．故选：C．【点评】：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题．7.已知向量＝A．1

B.

C.3

D.

参考答案：C略8.如图，已知球O是棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的内切球，则平面ACD1截球O的截面面积为(

) A．π B． C． D．π参考答案：C考点：截面及其作法．专题：空间位置关系与距离．分析：根据正方体和球的结构特征，判断出平面ACD1是正三角形，求出它的边长，再通过图求出它的内切圆的半径，最后求出内切圆的面积解答： 解：根据题意知，平面ACD1是边长为的正三角形，且球与以点D为公共点的三个面的切点恰为三角形ACD1三边的中点，故所求截面的面积是该正三角形的内切圆的面积，则由图得，△ACD1内切圆的半径是×tan30°=，则所求的截面圆的面积是π××=．故选：C点评：本题考查了正方体和它的内接球的几何结构特征，关键是想象出截面图的形状，考查了空间想象能力，数形结合的思想9.欧拉公式（为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数理论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，表示的复数在复平面中位于（

）A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限参考答案：B10.计算:A. B. C. D.参考答案：A【分析】根据正弦余弦的二倍角公式化简求解.【详解】，故选A.【点睛】本题考查三角函数的恒等变化，关键在于寻找题目与公式的联系.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.定义一：对于一个函数（），若存在两条距离为的直线和，使得在时，

恒成立，则称函数在内有一个宽度为的通道。定义二：若一个函数，对于任意给定的正数，都存在一个实数，使得函数在内有一个宽度为的通道，则称在正无穷处有永恒通道。下列函数①，②，③，④，⑤，其中在正无穷处有永恒通道的函数的序号是_______________参考答案：23512.已知函数在[﹣4，﹣2]上的最大值为是_________．参考答案：13.

已知函数

．参考答案：014.已知：P是直线的动点，PA是圆的一条切线，A是切点，那么的面积的最小值是____________.参考答案：15.已知函数与，它们的图象有一个横坐标为的交点，则的值是

.参考答案：16.设曲线y=在点（3，2）处的切线与直线ax+y+3=0垂直，则a=

．参考答案：-2【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求函数的导数，得到切线斜率，根据直线垂直关系即可得到解得结论．【解答】解：函数的导数f′（x）=，则曲线y=在点（3，2）处的切线斜率k=f′（3）==，∵直线ax+y+3=0的斜截式方程为y=﹣ax﹣3，斜率为﹣a，∴若切线与直线ax+y+3=0垂直，则﹣a×，则a=﹣2，故答案为：﹣217.已知函数，若二次函数满足：①与的图象在点处有公共切线；②是上的单调函数.则=

.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，直三棱柱ABC一A1B1C1中，AB＝，AC＝3，BC＝，D是ACl的中点，E.是侧棱BB1上的一个动点

(I）当E是BB1的中点时，证明:DE／／平面A1B1C1

（2）在棱BB1上是否存在点E使二面角E一AC1一C是直二面角？若存在，求出的值，若不存在，说明理由参考答案：【知识点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定．G4G11解析：（1）证明：取A1C1中点F，连接DF，DE，B1F∵D是AC1的中点，E是BB1的中点．∴DF∥AA1，B1E∥AA1，DF=AA1，B1E=AA1，∴DF∥B1E，DF=B1E，所以DE∥B1F，DE=B1F…（2分）又B1F?平面A1B1C1，所以DE∥平面A1B1C1…（4分）（2）解：分别在两底面内作BO⊥AC于O，B1O1⊥A1C1于O1，连接OO1，则OO1∥AA1，以O为原点，OB为x轴，OC为y轴，OO1为z轴建立直角坐标系，设AA1=t，BE=h，则λ=，A（0，﹣1，0），C1（0，，t），E（（1，0，h）．平面A1ACC1的法向量为=（1，0，0）…（7分）设平面AC1E的法向量为=（x，y，z）∵=（1，1，h），=（0，，h）∴由可得…（9分）取z=1得y=，x=∴…（11分）由题知，∴=0∴，∴λ==所以在BB1上存在点E，当时，二面角E﹣AC1﹣C是直二面角．…（12分）【思路点拨】（1）取A1C1中点F，连接DF，DE，B1F，利用三角形中位线的性质，可得线线平行，利用线面平行的判定，可得DE∥平面A1B1C1；（2）建立直角坐标系，求出平面A1ACC1的法向量、平面AC1E的法向量，利用数量积为0建立方程，即可求得结论．19.已知函数f（x）=x﹣﹣lnx，a＞0．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若f（x）＞x﹣x2在（1，+∞）恒成立，求实数a的取值范围．参考答案：【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（I）由已知中函数的解析式，求出函数的定义域，求出导函数，分a≥，0＜a＜两种情况，分别讨论导函数的符号，进而可得f（x）的单调性；（II）若f（x）＞x﹣x2在（1，+∞）恒成立，则f（x）﹣x+x2＞0在（1，+∞）恒成立，即a＜x3﹣xlnx在（1，+∞）恒成立，令g（x）=x3﹣xlnx，分析g（x）的单调性，进而可将问题转化为最值问题．【解答】解：（I）函数f（x）=x﹣﹣lnx的定义域为（0，+∞），且f′（x）=1+﹣=①当△=1﹣4a≤0，即a≥时，f′（x）≥0恒成立，故f（x）在（0，+∞）为增函数．②当△=1﹣4a＞0，即0＜a＜时，由f′（x）＞0得，x2﹣x+a＞0，即x∈（0，），或x∈（，+∞）由f′（x）＜0得，x2﹣x+a＜0，即x∈（，）∴f（x）在区间（0，），（，+∞）为增函数；在区间（，）为减函数．（II）若f（x）＞x﹣x2在（1，+∞）恒成立，则f（x）﹣x+x2=＞0在（1，+∞）恒成立，即a＜x3﹣xlnx在（1，+∞）恒成立，令g（x）=x3﹣xlnx，h（x）=g′（x）=3x2﹣lnx﹣1，则h′（x）==，在（1，+∞）上，h′（x）＞0恒成立，故h（x）＞h（1）=2恒成立，即g′（x）＞0恒成立，故g（x）＞g（1）=1，故0＜a≤1，即实数a的取值范围为（0，1]．20.已知函数（1）p=1时，求曲线y=f(x)在点处的切线方程；（2）求函数f(x)的极值；（3）若对任意的x>0，恒有，求实数p的取值范围．参考答案：解：（1），曲线在点处的切线方程为：（2）当时，在上递增，函数无极值；当时，上单调递增；上单调递减的极大值为，无极小值略21.已知函数.(Ⅰ)若,求曲线在点处的切线方程；(Ⅱ)讨论函数的单调性.

参考答案：解析：(Ⅰ)当时,函数,函数的定义域为,且………2分

,所以曲线在点处的切线方程为………4分(Ⅱ)函数的定义域为,且(1)当时,在时恒成立,…………………6分在上单调递增.(2)当时，①当时，在时恒成立在上单调递减…………8分②当时，由得且