安徽省芜湖市第十三中学高三数学理下学期摸底试题含解析

安徽省芜湖市第十三中学高三数学理下学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知向量，，那么向量与的夹角为A．135° B．120° C．60° D．45°参考答案：A2.已知R是实数集，集合，，则（

）A. B. C.{1} D.{－1,0}参考答案：D【分析】先解不等式得出集合，再求的补集，最后与求交集.【详解】因为,所以.又，所以.故选D.【点睛】本题考查集合交、并、补的运算，考查对基本概念和运算的掌握.3.若函数在区间内单调递增，则a的取值范围是（

）

A．

B．

C．D．参考答案：B略4.选修4-5：不等式选讲已知.（1）解不等式：；（2）不等式对任意恒成立，求x的范围.参考答案：解：（1）①，②，③，由①②③可得；（2）①当时，，∴；②当时，即对恒成立，，当且仅当，即时取等号，∴，解得.

5.已知,,则等于()A.

B.

C.2

D.-2参考答案：【知识点】两角和与差的正余弦公式；二倍角公式.C5,C6.【答案解析】A解析：解：，平方可得可知【思路点拨】首先利用二倍角公式与两角和的展开式进行化简，然后分别求出正弦和余弦的值，熟习公式是解题关键.6.已知正项等比数列满足：，若存在两项使得，则的最小值为（

）A.

B.

C.

D.不存在参考答案：A因为，所以，即，解得。若存在两项，有，即，，即，所以，即。所以，当且仅当即取等号，此时，所以时取最小值，所以最小值为，选A.7.已知命题p：函数y=2﹣ax+1的图象恒过定点（1，2）；命题q：若函数y=f（x﹣1）为偶函数，则函数y=f（x）的图象关于直线x=1对称，则下列命题为真命题的是（）A．p∨q B．p∧q C．￢p∧q D．p∨￢q参考答案：D【考点】复合命题的真假．【专题】计算题；转化思想；综合法；简易逻辑．【分析】由函数的翻折和平移，得到命题p假，则￢p真；由函数的奇偶性，对轴称和平移得到命题q假，则命题￢q真，由此能求出结果．【解答】解：函数y=2﹣ax+1的图象可看作把y=ax的图象先沿轴反折，再左移1各单位，最后向上平移2各单位得到，而y=ax的图象恒过（0，1），所以函数y=2﹣ax+1恒过（﹣1，1）点，所以命题p假，则￢p真．函数f（x﹣1）为偶函数，则其对称轴为x=0，而函数f（x）的图象是把y=f（x﹣1）向左平移了1各单位，所以f（x）的图象关于直线x=﹣1对称，所以命题q假，则命题￢q真．综上可知，命题p∧￢q为真命题．故选：D．【点评】本题考查命题的真假判断，是中档题，解题时要认真审题，注意得复合命题的性质的合理运用．8.已知是实数，是纯虚数（是虚数单位），则=、

A．1

B．－1

C．

D．－参考答案：B略9.由不等式组确定的平面区域为,由不等式组确定的平面区域为,在内随机的取一点，则点落在区域内的概率为

（

）参考答案：D10.命题“”的否定是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在矩形中，，沿将矩形折成一个直二面角，则四面体的外接球的体积为

参考答案：12.若函数f(x)=(1－x2)(x2＋ax＋b)的图像关于直线x=－2对称，则f(x)的最大值是______.参考答案：1613.设Sn为数列{an}的前n项和，已知，，则an=______，S100=______．参考答案：

【分析】由已知可得=2，=2n，然后利用累加法可求{an}的通项公式；结合以上所求代入可得Sn=，然后利用错位相减可求Sn，进而可求S100．【详解】由，，可得=2，=2n，∴=2，，…，以上n-1个式子相加可得，=2+22+…+2n-1==2n-2，∴=2n，∴an=；Sn=，∴=，两式相减可得，===，∴，∴．故答案为：；．【点睛】本题主要考查了累加法求解数列的通项公式及利用错位相减求解数列的和，注意仔细审题，认真计算，属中档题．14.若执行如图3所示的框图，输入，,则输出的数于

。参考答案：略15.已知正三棱柱ABC—A1B1C1的高为6，AB＝4，点D为棱BB1的中点，则四棱锥C—A1ABD的表面积是________．参考答案：16.已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1和两点A（﹣m，0），B（m，0）（m＞0），若圆C上不存在点P，使得∠APB为直角，则实数m的取值范围是．参考答案：（0，4）∪（6，+∞）【考点】J9：直线与圆的位置关系．【分析】C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1的圆心C（3，4），半径r=1，设P（a，b）在圆C上，则=（a+m，b），=（a﹣m，b），由已知得m2=a2+b2=|OP|2，m的最值即为|OP|的最值，可得结论．【解答】解：圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1的圆心C（3，4），半径r=1，设P（a，b）在圆C上，则=（a+m，b），=（a﹣m，b），若∠APB=90°，则⊥，∴?=（a+m）（a﹣m）+b2=0，∴m2=a2+b2=|OP|2，∴m的最大值即为|OP|的最大值，等于|OC|+r=5+1=6．最小值为5﹣1=4，∴m的取值范围是（0，4）∪（6，+∞）．故答案为：（0，4）∪（6，+∞）．17.已知函数{an}的首项a1=2，且对任意的n∈N,都有an+1=，则a1?a2…a9=

．参考答案：2略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(本题满分13分).设全集为R，，，求及．参考答案：∵A∪B=，

∴；

∵=，

∴．19.（本小题满分12分）

甲、乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量，已知甲、乙两名射手在每次射击中击中的环数均大于6环，且甲射中10，9，8，7环的概率分别为，，，，乙射中10，9，8环的概率分别为，，。（1）求的分布列；（2）求的数学期望与方差，并以此比较甲、乙的射击技术。参考答案：解析：（1）依题意得解得………2分乙射中10，9，8环的概率分别为，，乙射中7环的概率为（++）=……………4分的分布列为：1098710987………………6分（2）由（1）可得：（环）（环）…………8分

……………10分由于，说明甲平均射中的环数比乙高；又因为，说明甲射中的环数比乙集中，比较稳定。所以，甲比乙的技术好。………………12分20.如图,在底面是矩形的四棱锥P—ABCD中,PA⊥底面ABCD,PA=AB=1,BC=2.(Ⅰ)求证：平面PCD⊥平面PAD；(Ⅱ)若E是PD的中点，求异面直线AE与PC所成角的余弦值.

参考答案：解析：（I）提示:先证CD⊥平面PAD;

（Ⅱ）提示:取PC的中点为M,AB的中点为N,选结EM、MN、PN,先证ANME是平行四边形,得MN∥＝AE,∴∠PMN或其补角为所求角,连AC可求得,.21.数列的首项,(1)求数列的通项公式；(2)设的前项和为,若的最小值为，求的取值范围？参考答案：(1)；（2）.解：（1）

又，则即奇数项成等差，偶数项成等差

（或:）

（2）当为偶数，即时：

当为奇数，即时：

22.（本题满分12分）叙述并证明余弦定理.参考答案：解：余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与他们夹角的余弦之积的两倍。或：在ABC中，a,b,c为A,B,C的对边，有