福建省泉州市南侨高级中学高三数学理摸底试卷含解析

福建省泉州市南侨高级中学高三数学理摸底试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.下列命题中正确命题的个数是(

)（1）对于命题，则，均有；（2）是直线与直线互相垂直的充要条件；(3)已知回归直线的斜率的估计值为1.23，样本点的中心为(4,5)，则回归直线方程为＝1.23x＋0.08(4)曲线与所围成图形的面积是

A.2

B.3

C.4

D.1参考答案：A略2.考点：正弦函数、余弦函数图象的性质，函数图象的平移.一个所有棱长均为1的正四棱锥的顶点与底面的四个顶点均在某个球的球面上，则此球的体积为（

） A． B． C． D．参考答案：D略3.已知角的终边经过点,且,则的值为A． B． C． D．参考答案：4.已知向量为单位向量，且，则的值为（

）A.1

B.2

C.

3

D.参考答案：Ａ5.将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位长度，得到函数的图象，则图象的解析式是（

）A．

B． C．

D．参考答案：C略6.设集合，则等于 A． B．

C．

D．参考答案：B略7.在平行四边形ABCD中，AD=2，∠BAD=60°，E为CD的中点．若=3，则AB的长为（）A． B．1 C．2 D．3参考答案：C【考点】平面向量数量积的运算．【分析】利用平行四边形中的向量相等，结合已知数量积等式，得到关于AB的方程解之即可．【解答】解：因为平行四边形ABCD中，AD=2，∠BAD=60°，E为CD的中点．设AB=x，由=3，得到==x+4﹣﹣x=3，解得x=2；故选C．【点评】本题考查了平面向量的平行四边形法则以及三角形法则的运用和数量积公式的运用；用到了方程思想．8.已知等差数列的首项和公差均不为零，且，，成等比数列，则(

)

A．6

B．5

C．4

D．3参考答案：D∵，，成等比数列，∴，∴，∴，又，，∴，∴，∴，故应选D．9.设不等式组表示的平面区域为D，在区域D内随机取一点，则此点到坐标原点的距离大于1的概率为

A．

B．1-

C．

D．1-参考答案：D略10.已知集合A＝{x|x＞1}，B＝{x|－1＜x＜2}，则A∩B等于()．A．{x|－1＜x＜2}

B．{x|x＞－1}C．{x|－1＜x＜1}

D．{x|1＜x＜2}参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设函数f（x）=，则f（f（﹣1））的值为．参考答案：﹣2考点：分段函数的应用；函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：直接利用分段函数化简求解即可．解答：解：函数f（x）=，则f（﹣1）=，f（f（﹣1））=f（）=log2=﹣2．故答案为：﹣2．点评：本题考查分段函数的应用，函数值的求法，考查计算能力．12.为了了解名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为的样本，则分段的间隔为______________.参考答案：2513.在一个容量为5的样本中，数据均为整数，已测出其平均数为10，但墨水污损了两个数据，其中一个数据的十位数字1未污损，即9，10，11，，那么这组数据的方差S2可能的最大值是

．参考答案：【考点】BC：极差、方差与标准差．【分析】设这组数据的最后2个分别是：10+x，y，得到x+y=10，表示出S2，根据x的取值求出S2的最大值即可．【解答】解：设这组数据的最后2个分别是：10+x，y，则9+10+11+（10+x）+y=50，得：x+y=10，故y=10﹣x，故S2=[1+0+1+x2+（﹣x）2]=+x2，显然x最大取9时，S2最大是，故答案为：14.已知函数，定义函数则使恒成立的实数的取值范围

.参考答案：略15.已知函数，且，则当时，的取值范围是_______________.参考答案：[，]

略16.已知，则

参考答案：

17.函数的部分图像如图，则=

。参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）已知函数f(x)=-lnx,

x∈[1,3].(Ⅰ)求f(x)的最大值与最小值；(Ⅱ)若f(x)＜4-at对于任意的x∈[1,3],t∈[0,2]恒成立,求实数a的取值范围.参考答案：(Ⅰ)(Ⅱ)由(Ⅰ)知当x∈[1,3]时,f(x)≤,故对任意x∈[1,3],f(x)＜4-at恒成立,只要4-at＞对任意t∈[0,2]恒成立,即at＜恒成立,记g(t)=at,t∈[0,2],所以,所以a<.19.（本小题满分12分）如图，四棱锥的底面是平行四边形，平面,,,点是的中点．

（1）求证：；（2）求二面角的大小．参考答案：（1）证明：

平面，,,

（2）取的中点,连结，则∥,平面,平面.取的中点,连结,则∥，,连结,则是二面角的平面角，又二面角大小为

略20.（12分）（2012?宜春模拟）已知函数．（Ⅰ）当0＜a≤1时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）是否存在实数a，使f（x）≤x恒成立，若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，说明理由．参考答案：【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．

【专题】综合题；压轴题．【分析】（Ⅰ）确定函数f（x）的定义域，求导函数，分类讨论，利用导数的正负确定取得函数的单调区间；（Ⅱ）f（x）≤x恒成立可转化为a+（a+1）xlnx≥0恒成立，构造函数φ（x）=a+（a+1）xlnx，则只需φ（x）≥0在x∈（0，+∞）恒成立即可，求导函数，分类讨论，即可求出实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），…（2分）（1）当0＜a＜1时，由f′（x）＞0得，0＜x＜a或1＜x＜+∞，由f′（x）＜0得，a＜x＜1故函数f（x）的单调增区间为（0，a）和（1，+∞），单调减区间为（a，1）…（4分）（2）当a=1时，f′（x）≥0，f（x）的单调增区间为（0，+∞）…（5分）（Ⅱ）f（x）≤x恒成立可转化为a+（a+1）xlnx≥0恒成立，令φ（x）=a+（a+1）xlnx，则只需φ（x）≥0在x∈（0，+∞）恒成立即可，…（6分）求导函数可得：φ′（x）=（a+1）（1+lnx）当a+1＞0时，在时，φ′（x）＜0，在时，φ′（x）＞0∴φ（x）的最小值为，由得，故当时f（x）≤x恒成立，…（9分）当a+1=0时，φ（x）=﹣1，φ（x）≥0在x∈（0，+∞）不能恒成立，…（11分）当a+1＜0时，取x=1，有φ（1）=a＜﹣1，φ（x）≥0在x∈（0，+∞）不能恒成立，…（13分）综上所述当时，使f（x）≤x恒成立．…（14分）【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查分类讨论的数学思想，考查恒成立问题，同时考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．21.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，在△中，是的中点，是的中点，的延长线交于.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若△的面积为，四边形的面积为，求的值．参考答案：证明：（Ⅰ）过D点作DG∥BC，并交AF于G点，

∵E是BD的中点，∴BE=DE，

又∵∠EBF=∠EDG，∠BEF=∠DEG，

∴△BEF≌△DEG，则BF=DG，

∴BF：FC=DG：FC，

又∵D是AC的中点，则DG：FC=1：2，

则BF：FC=1：2；即

----------------------------（5分）

（Ⅱ）若△BEF以BF为底，△BDC以BC为底，

则由（1）知BF：BC=1：3，

又由BE：BD=1：2可知：=1：2，其中、分别为△BEF和△BDC的高，则，则=1：5．-----------------------（10分）略22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）．以坐标原