广东省清远市连山高级中学高三数学理上学期期末试卷含解析

广东省清远市连山高级中学高三数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知抛物线与双曲线有相同的焦点，点是两曲线的一个交点，且轴，则双曲线的离心率为 A． B．

C．

D．参考答案：D略2.在复平面内复数对应的点在第一象限，则实数a的取值可以为（）A．0 B．1 C．﹣1 D．2参考答案：A【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【专题】计算题；转化思想；数学模型法；数系的扩充和复数．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，然后由实部大于0且虚部大于0求得a的范围得答案．【解答】解：∵=对应的点在第一象限，∴，即﹣1＜a＜1．∴实数a的取值可以为0．故选：A．【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．3.一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是正三角形，则几何体的外接球的表面积为(

)A． B． C． D．参考答案：D【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】几何体是三棱锥，根据三视图知最里面的面与底面垂直，高为2，结合直观图判定外接球的球心在SO上，利用球心到A、S的距离相等求得半径，代入球的表面积公式计算．【解答】解：由三视图知：几何体是三棱锥，且最里面的面与底面垂直，高为2，如图：

其中OA=OB=OC=2，SO⊥平面ABC，且SO=2，其外接球的球心在SO上，设球心为M，OM=x，则=2﹣x?x=，∴外接球的半径R=，∴几何体的外接球的表面积S=4π×=π．故选：D．【点评】本题考查了由三视图求几何体的外接球的表面积，考查了学生的空间想象能力及作图能力，判断几何体的特征及利用特征求外接球的半径是关键．4.已知命题p：a=﹣1是直线x﹣ay+1=0与x+a2y﹣1=0平行的充要条件；命题q：?x0∈（0，+∞），x02＞2．下列命题为真命题的是（）A．（￢p）∧q B．（￢p）∧（￢q） C．p∨（￢q） D．p∧（￢q）参考答案：A【考点】复合命题的真假．【分析】命题p：对a及其直线的斜率分类讨论，利用两条直线平行的充要条件即可判断出结论．命题q：取x0=3∈（0，+∞），满足x02＞2．即可判断出真假．再利用复合命题真假的判定方法即可得出结论．【解答】解：命题p：a=0时，直线方程分别化为：x+1=0，x﹣1=0，此时两条直线平行；a≠0时，若两条直线平行，则：=﹣，≠，解得a=﹣1．综上可得：两条直线平行的充要条件是：a=0或﹣1．因此p是假命题．命题q：取x0=3∈（0，+∞），满足x02＞2．因此q是真命题．因此下列命题为真命题的是（￢p）∧q．故选：A．5.已知函数，它在处的切线方程为，则k＋b的取值范围是A.

B.C.

D.参考答案：D6.等比数列的前n项和为Sn,若,,则公比q的值为(

)A．1 B． C．l或

D．-1或参考答案：C略7.复数

（

）A.

B.

C.

D.参考答案：A8.下列说法中正确的是（）A．命题“p∧q”为假命题，则p，q均为假命题B．命题“?x∈（0，+∞），2x＞1”的否定是“?x°∈（0，+∞），2x°≤1”C．命题“若a＞b，则a2＞b2”的逆否命题是“若a2＜b2，则a＜b”D．设x∈R，则“x＞”是“2x2+x﹣1＞0”的必要而不充分条件参考答案：B【考点】2K：命题的真假判断与应用．【分析】A．命题“p∧q”为假命题，则p，q至少有一个均为假命题，；B，“＞1”的否定是“≤“；C，“＞”的否定是“≤“；D，设x∈R，x＞时2x2+x﹣1＞0成立，2x2+x﹣1＞0时，x＞或x＜﹣1；【解答】解：对于A．命题“p∧q”为假命题，则p，q至少有一个均为假命题，故错；对于B，命题“?x∈（0，+∞），2x＞1”的否定是“?x°∈（0，+∞），2x°≤1”，正确；对于C，命题“若a＞b，则a2＞b2”的逆否命题是“若a2≤b2，则a≤b”，故错；对于D，设x∈R，x＞时2x2+x﹣1＞0成立，2x2+x﹣1＞0时，x＞或x＜﹣1，故错；故选：B．【点评】本题考查了命题真假的判定，属于基础题．9.函数f（x）的定义域是R，f（0）=2，对任意x∈R，f（x）+f′（x）＞1，则不等式ex?f（x）＞ex+1的解集为（）A．{x|x＞0} B．{x|x＜0}C．{x|x＜﹣1，或x＞1} D．{x|x＜﹣1，或0＜x＜1}参考答案：A【考点】函数单调性的性质；导数的运算．【分析】构造函数g（x）=ex?f（x）﹣ex，结合已知可分析出函数g（x）的单调性，结合g（0）=1，可得不等式ex?f（x）＞ex+1的解集．【解答】解：令g（x）=ex?f（x）﹣ex，则g′（x）=ex?[f（x）+f′（x）﹣1]∵对任意x∈R，f（x）+f′（x）＞1，∴g′（x）＞0恒成立即g（x）=ex?f（x）﹣ex在R上为增函数又∵f（0）=2，∴g（0）=1故g（x）=ex?f（x）﹣ex＞1的解集为{x|x＞0}即不等式ex?f（x）＞ex+1的解集为{x|x＞0}故选A10.在等比数列中，若，是方程的两根，则的值是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x﹣2）=﹣f（x），且在区间[0，1]上是增函数，则f（﹣25），f（17），f（32）的大小关系为（从小到大排列）参考答案：f（﹣25）＜f（32）＜f（17）【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】先由“f（x）是奇函数且f（x﹣2）=﹣f（x）”转化得到f（x﹣4）=f（x），即函数f（x）为周期4的周期函数，然后按照条件，将问题转化到区间[0，1]上应用函数的单调性进行比较．【解答】解：∵f（x）是奇函数且f（x﹣2）=﹣f（x），∴f（x﹣4）=﹣f（x﹣2）=f（x），f（0）=0∴函数f（x）为周期4的周期函数，∴f（﹣25）=f（﹣25+7×4）=f（3）=﹣f（1），f（17）=f（16+1）=f（1），f（32）=f（0）=0，又∵函数在区间[0，1]上是增函数，0=f（0）＜f（1）∴﹣f（1）＜f（0）＜f（1）∴f（﹣25）＜f（32）＜f（17），故答案为：f（﹣25）＜f（32）＜f（17）．12.已知f（x）=log（x2﹣ax+3a）在区间[2，+∞）上为减函数，则实数a的取值范围是

．参考答案：﹣4＜a≤4【考点】复合函数的单调性．【分析】令t=x2﹣ax+3a，则由题意可得函数t在区间[2，+∞）上为增函数且t（2）＞0，故有，由此解得实数a的取值范围．【解答】解：令t=x2﹣ax+3a，则由函数f（x）=g（t）=logt在区间[2，+∞）上为减函数，可得函数t在区间[2，+∞）上为增函数且t（2）＞0，故有，解得﹣4＜a≤4，故答案为：﹣4＜a≤4．13.设抛物线：的准线与对称轴相交于点，过点作抛物线的切线，切线方程是

．参考答案：无略14.已知函数，则________.参考答案：略15.若变量满足约束条件则的最小值为*

*

*

*.参考答案：－616.在直角坐标系中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知射线与曲线（t为参数）相交于A、B两点，则线段AB的中点的直角坐标为

参考答案：17.若正数x，y满足，且的最小值为3，则a＝A．3

B．4

C．5

D．6参考答案：A三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.2018年9月，台风“山竹”在我国多个省市登陆，造成直接经济损失达52亿元.某青年志愿者组织调查了某地区的50个农户在该次台风中造成的直接经济损失，将收集的数据分成五组：[0,2000]，(2000,4000]，(4000,6000]，(6000,8000]，(8000,10000]（单位：元），得到如图所示的频率分布直方图.（1）试根据频率分布直方图估计该地区每个农户的平均损失（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；（2）台风后该青年志愿者与当地政府向社会发出倡议，为该地区的农户捐款帮扶，现从这50户并且损失超过4000元的农户中随机抽取2户进行重点帮扶，设抽出损失超过8000元的农户数为X，求X的分布列和数学期望.参考答案：（1）3360元；（2）见解析【分析】（1）根据频率分布直方图计算每个农户的平均损失；（2）根据频率分布直方图计算随机变量X的可能取值，再求X的分布列和数学期望值．【详解】（1）记每个农户的平均损失为元，则；（2）由频率分布直方图，可得损失超过1000元的农户共有（0.00009+0.00003+0.00003）×2000×50＝15（户），损失超过8000元的农户共有0.00003×2000×50＝3（户），随机抽取2户，则X的可能取值为0，1，2；计算P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，所以X的分布列为；X012P

数学期望为E（X）＝0×+1×+2×＝．【点睛】本题考查了频率分布直方图与离散型随机变量的分布列与数学期望计算问题，属于中档题．19.（本小题满分12分）

如图，在四棱锥ABCD-PGFE中，底面ABCD是直角梯形，侧棱垂直于底面，AB//DC，∠ABC＝45o，DC＝1，AB＝2，PA＝1．（Ⅰ）求PD与BC所成角的大小；（Ⅱ）求证：BC⊥平面PAC；（Ⅲ）求二面角A-PC-D的大小．参考答案：（Ⅰ）取的AB中点H，连接DH，易证BH//CD，且BD=CD…1分

所以四边形BHDC为平行四边形，所以BC//DH

所以∠PDH为PD与BC所成角………………2分

因为四边形，ABCD为直角梯形，且∠ABC=45o，

所以⊥DA⊥AB

又因为AB=2DC=2，所以AD=1，

因为Rt△PAD、Rt△DAH、Rt△PAH都为等腰直角三角形，所以PD=DH=PH=，故∠PDH=60o

………4分

（Ⅰ）连接CH，则四边形ADCH为矩形，∴AH=DC

又AB=2，∴BH=1

在Rt△BHC中，∠ABC=45o，∴CH=BH=1，CB=

∴AD=CH=1，AC=

∴AC2+BC2=AB2

∴BC⊥AC……6分又PA平面ABCD∴PA⊥BC……7分∵PA∩AC=A∴BC⊥平面PAC

………8分

（Ⅲ）如图，分别以AD、AB、AP为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则由题设可知：A(0，0，0)，P(0，0，1)，C(1，1，0)，D(1，0，0)，

∴=(0，0，1)，=(1，1，-1)…………9分

设m=(a，b，c)为平面PAC的一个法向量，

则，即

设，则，∴m=(1，-1，0)

………10分

同理设n=(x，y，z)为平面PCD的一个法向量，求得n=(1，1，1)………11分

∴

所以二面角A-PC-D为60o

…………………12分略20.（12分）如图抛物线C：y2=4x的弦AB的中点P（2，t）（t≠0），过点P且与AB垂直的直线l与抛物线交于C、D，与x轴交于Q．（Ⅰ）求点Q的坐标；（Ⅱ）当以CD为直径的圆过A，B时，求直线l的方程．参考答案：【考点】抛物线的简单性质．【分析】（Ⅰ）设AB直线方程，与抛物线C：y2=4x联立，利用韦达定理，求出直线l的方程，即可求点Q的坐标；（Ⅱ）（方法一）A，B，C，D四点共圆，有，即可求直线l的方程．（方法二）利用参数方程求．【解答】解：（Ⅰ）易知AB不与x轴垂直，设AB直线方程为：y=k（x﹣2）+t，与抛物线C：y2=4x联立，消去y得：k2x2+（2tk﹣4k2﹣4）x+（t﹣2k）2=0，∴△=（4k2+4﹣2tk）2﹣4k2×（t﹣2k）2＞0（i）设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1，x2是上述方程两根，∴x1+x2=，即tk=2，代入（i）中，求得且t≠0，∴直线l的方程为：y﹣t=（x﹣2），令y=0，得x=4，知定点坐标为（4，0）；…（Ⅱ）（方法一）|AB|===，…（7分）CD直线：，与抛物线y2=4x联立，消去y得：t2x2﹣（8t2+16）x+16t2=0，设C（x3，y3），D（x4，y4），∴x3+x4=，x3x4=16，…（8分）设CD的中点为M（x0，y0），∴x0=，y0=，|PM|=，∴|CD|====，∴A，B，C，D四点共圆，有，代入并整理得t4﹣12t2+32=0，求得t2=4或t2=8（舍去），t=±2．∴直线l的方程为y=x﹣4或y=﹣x+4．…（12分）（方法二）利用参数方程求：设AB直线的参数方程为：，代入抛物线C：y2=4x得，sin2θm2+2sinθmt﹣4cosθm+t2﹣8=0，，，则直线CD的参数方程为：，或有，，sin2β=cos2θ，依题意有：|PA|?|PB|=|PC|?|PD|，sin2θ=cos2θ，则有或，∴直线l的方程为y=x﹣4或y=﹣x+4．…（12分）【点评】本题考查直线过定点，考查直线方程，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．21.已知函数f（x）=ax﹣lnx．（1）过原点O作曲线y=f（x）的切线，求切点的横坐标；（2）对?x∈[1，+∞），不等式f（x）≥a（2x﹣x2），求实数a的取值范围．参考答案：【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程；6E：利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）过原点O作曲线y=f（x）的切线，求出切线方程，即可求切点的横坐标；（2）对?x∈[1，+∞），不等式f（x）≥a（2x﹣x2），化为ax2﹣ax﹣lnx≥0对?x∈[1，+∞）恒成立，分类讨论，即可求实数a的取值范围．【解答】解：（1）设切点为（x