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文档简介

关于向量的线性相关性6.3.1线性组合与线性表示定义1设是向量空间V的r个向量，是数域F中任意r个数.我们把和叫做向量的一个向量组合.如果V

中某一向量

可以表示成向量的线性组合，我们也说

可以由线性表示.零向量显然可以由任意一组向量线性表示，因为第2页,共10页，2024年2月25日，星期天6.3.2线性相关与线性无关定义2设是向量空间V的r个向量。如果存在F中不全为零的数使得（1）那么就说线性相关.如果不存在F中不全为零的数使得等式（1）成立，换句话说，等式（1）仅当

时才成立，那么就说，向量

线性无关.第3页,共10页，2024年2月25日，星期天例1

令F是任意一个数域。中向量

1=（1,2,3），

2=（2,4,6），

3=（3,5,-4）线性相关。例2

判断的向量

1=（1,-2,3），

2=（2,1,0），

3=（1,-7,9）是否线性相关。例3在向量空间F[x]里，对于任意非负整数n,线性无关。第4页,共10页，2024年2月25日，星期天命题6.3.1

向量组中每一个向量都可以由这一组向量线性表示.命题6.3.2如果向量

可以由线性表示，而每一个又都可以由线性表示，那么

可以由

线性表示.命题6.3.3如果向量组线性无关,那么它的任意一部分也线性无关.一个等价的提法是:如果向量组

有一部分向量线性相关,那么整个向量组也线性相关.第5页,共10页，2024年2月25日，星期天命题6.3.4

设向量组线性无关,而线性相关.那么β一定可以由线性表示.定理6.3.5向量线性相关,必要且只要其中某一个向量是其余向量的线性组合.第6页,共10页，2024年2月25日，星期天6.3.3向量组等价定义3

设和是向量空间V的两个向量组,如果每一个都可以由线性表示,而每一也可以由线性表示,那么就说这两个向量组等价.例4

向量组

1=(1,2,3),

2=(1,0,2)与向量组β1=(3,4,8),β2=(2,2,5),β3=(0,2,1)等价.第7页,共10页，2024年2月25日，星期天等价的概念显然具有传递性:如果与

等价,而后者又与等价,那么与等价.定理6.3.6(替换定理）设向量组线性无关,并且每一都

可以由向量组线性表示,那么r≤s,并且必要时可以对中向量重新编号,使得用替换

后所得的向量与

等价.

推论6.3.7

两个等价的线性无关的向量组含有相同个数的向量。第8页,共10页，2024年2月25日，星期天6.3.4向量组的极大线性无关组(1)线性无关；定义4

向量组的一部分向量组叫做一个极大线性无关部分组（简称极大无关组），如果

(2)每一，j=

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