土木工程中的几何非线性问题

关于土木工程中的几何非线性问题30.04.2024非线性有限元130.04.2024非线性有限元2基本概念几何非线性问题：位移与应变成非线性（微分意义上）关系。物理现象：将位移（转动）和/或应变较大的问题统称为大变形问题，有时称为有限变形问题。这类问题又分为大位移（转动）小应变问题及大位移大应变问题两大类。

研究意义：和材料非线性问题一样重要。例如，平板的弯曲问题，大挠度理论分析结果更符合实际情况；薄壳的屈曲，非线性理论的预测值更好。又例如，对于橡皮型材料，大变形还必须考虑本构关系的变化，这与纯粹的材料非线性又有区别。几何线性问题：位移与应变成线性（微分）关系；研究现状：大变形问题有限元分析的理论和方法存在不同学派间的争鸣，尚未得到一个权威性的结论。随之并发的其它问题，如解的稳定性、收敛性及收敛率等，都有待进一步深入研究。第2页,共42页，2024年2月25日，星期天30.04.2024非线性有限元31.物体运动的描述第3页,共42页，2024年2月25日，星期天30.04.2024非线性有限元4拉格朗日描述

t=0的坐标为Xi，t时刻位置为xi，质点运动可表为

对物体t时刻位置和变形的刻划称为构形(configuration)，如图示。该描述实质是给出初始位置坐标为Xi

的质点运动轨迹。

描述运动的参照基准称为参考位形，以初始位形作参考位形的描述称为物质描述或拉格朗日描述，Xi称为物质坐标,Xi和t称为拉格朗日变量。第4页,共42页，2024年2月25日，星期天30.04.2024非线性有限元5欧拉描述

现时构形中，经过空间位置xi的质点的速度为vi

研究不同时刻经过同一空间点xi的质点的运动状态以现时位形作参考位形的描述称为空间描述或欧拉描述，xi称为空间坐标,xi和t称为欧拉变量。注意：两种描述下对某个质点加速度的描述是不一样的第5页,共42页，2024年2月25日，星期天30.04.2024非线性有限元6

物体现时坐标xi对物质坐标Xi的偏导数称为变形梯度，是非对称的二阶张量。(思考？什么时候其是对称的)

因此可以将变形梯度视作一种线性变换，它将参考位形中的线元dXi变换为现时位形中的线元dxi，这变换中既有伸缩，也有转动。变形梯度在大变形分析中很重要。

现时位形两邻点的距离为点的变换第6页,共42页，2024年2月25日，星期天30.04.2024非线性有限元7物体运动和变形是单值和连续的，也即在任一时刻，和是一一对应的，那么在参考位形的任意点Jacobi行列式J不为零。也即变形梯度可逆

第7页,共42页，2024年2月25日，星期天30.04.2024非线性有限元8设图示初始位形微元体体积为dV0，三线元为运动变形后，现时位形三线元为体积变换体积变换公式dV=JdV0第8页,共42页，2024年2月25日，星期天30.04.2024非线性有限元9图示面元可表示为

如果记初始和现时位形的密度分别为则由质量守恒，可得因此对不可压缩物体面积变换面积变换公式第9页,共42页，2024年2月25日，星期天30.04.2024非线性有限元102.大变形问题的应变描述第10页,共42页，2024年2月25日，星期天30.04.2024非线性有限元11应变张量关注P、Q两点的距离研究变形前后线段尺度的变化可以获得变形的度量－应变格林应变张量阿尔曼西张量第11页,共42页，2024年2月25日，星期天30.04.2024非线性有限元12格林应变张量用初始位形定义，也即用变形前的坐标定义，它是lagrange坐标的函数。阿尔曼西应变张量用现时位形定义，它是Euler坐标的函数。两种应变张量同样也可以通过位移向量导出：分别对lagrange坐标或对Euler坐标求偏导，可得变形梯度张量分别为初始坐标的函数现时坐标的函数第12页,共42页，2024年2月25日，星期天30.04.2024非线性有限元13

由此公式可见，两种应变张量都是对称的。类似弹（塑）性力学的应变分析（与主应力分析相仿），可以证明，体内任一点处至少有三个相互垂直的应变主轴，任两与主轴平行的物质线元，变形过程中仍保持垂直。

将变形梯度张量代入两种应变的表达式，可得用位移梯度张量表示的应变公式如下第13页,共42页，2024年2月25日，星期天30.04.2024非线性有限元14这表明，当位移梯度很小时，可以不区分初始位形和现时位形，位移梯度分量的乘积项是高阶小量，将其略去后，即可得到小变形时的柯西应变-工程应变

当位移梯度远小于1时，对任意函数F有如下关系第14页,共42页，2024年2月25日，星期天30.04.2024非线性有限元15若现时位形只是相对初始位形作刚体移动，则则物体一定无变形，反之一样。因此，物体作刚体运动的充分必要条件是到处存在第15页,共42页，2024年2月25日，星期天30.04.2024非线性有限元16

一般来说，在本构方程中Almansi应变张量不直接出现，使用的是左Cauchy-Green变形张量bij，又称为现时（Updated）Green应变张量Green应变张量：以初始构型为参考构型所定义的应变，数学表示为现时（Updated）Green应变张量：以现时构型为参考构型所定义的应变，数学表示为注意：我们用下标的大小写表示坐标的大小写，对应于不同的构型。

最终方程中常用的两种应变张量为：第16页,共42页，2024年2月25日，星期天30.04.2024非线性有限元17应变增量：Green应变增量：现时（Updated）Green应变增量：线性部分非线性部分线性部分非线性部分二者之间满足张量变换关系！大变形分析由于采用增量方法，需经常用到它们的增量形式。第17页,共42页，2024年2月25日，星期天30.04.2024非线性有限元18应变增量：（续）－对于大变形小应变情形

Green应变增量退化成：现时（Updated）Green应变增量退化成：线性部分非线性部分是高阶小量线性部分非线性部分是高阶小量对于小变形情形第18页,共42页，2024年2月25日，星期天30.04.2024非线性有限元193.大变形问题的应力描述第19页,共42页，2024年2月25日，星期天30.04.2024非线性有限元20

应力是借助于微元体来定义的，但在大变形分析中，必须注意微元体所在的构型。Euler应力：

与应变类似，连续介质力学理论具有严格的应力定义和多种不同的应力概念。这里也只介绍后面将要用到的几种。

从当前构型中取出微元体，在其上定义的应力称为Euler应力，用表示。Euler应力代表物体的真实应力。然而，当前构型是待求的未知构型，因而，有必要通过已知构型上的微元体再对应力进行描述。

Kirchhoff（克希霍夫）应力：

通过初时构型上的微元体定义的应力称为Kirchhoff应力，用表示；通过现时构型的微元体定义的应力称为现时（Updated）Kirchhoff应力，用表示。

第20页,共42页，2024年2月25日，星期天30.04.2024非线性有限元21在大变形问题中，是用从变形后的物体内截取的微元体来建立平衡方程及与之相等效的虚功原理的。因此首先在变形后的物体内截取出的微元体上定义应力张量，称为Euler应力张量；此应力张量有明确的含义，即代表真实的应力张量。是现时位形和变形相关的真实应力。由四面体的平衡，可将面的应力，用表示

Euler应力张量:τij第21页,共42页，2024年2月25日，星期天30.04.2024非线性有限元22然而在分析过程中，必须联系应力与应变。如果应变是用变形前的坐标（初始位形）表示的Green应变张量，那么，还需定义与之相对应的，即关于变形前位形的应力张量。对于变形后的位形（现时位形），有Euler应力张量对于变形前的位形（初始位形），可以定义名义应力

Kirchhoff应力张量：SijKirchhoff规定:规定变形前面元上的内力与变形后面元上的内力满足变形梯度的关系Lagrange应力张量第22页,共42页，2024年2月25日，星期天30.04.2024非线性有限元23Kirchhoff、现时Kirchhoff及Euler应力（增量）间的关系：根据张量的坐标变换规则，它们之间还有以下关系现时Kirchhoff应力Euler应力现时Kirchhoff应力增量时刻t

时刻特点：以现时构型为参考。第23页,共42页，2024年2月25日，星期天30.04.2024非线性有限元244.大变形问题的本构关系第24页,共42页，2024年2月25日，星期天30.04.2024非线性有限元25弹性材料

若Kirchhoff应力与Green应变之间存在一一对应关系，则称这类材料为弹性材料

不依赖于构型变化弹性本构关系多用于大位移（转动）小应变的情形。

特殊情形第25页,共42页，2024年2月25日，星期天30.04.2024非线性有限元26

超弹性材料

假定材料具有单位质量的应变能函数，再根据能量原理来定义本构关系，这类材料称为超弹性材料。(不限于这种形式）总之，对于一般的大变形问题，在连续介质力学中常用超弹性来表征材料的本构关系。

例如一阶近似初始构型时材料的密度－常数增量形式…坐标变换现时Kirchhoff应力或增量形式…Case-1Case-2不能简化！一阶近似现时构型时材料的密度－随变形变化。相比较第26页,共42页，2024年2月25日，星期天30.04.2024非线性有限元27

次弹性材料若应力率与变形率之间成线性变化规律，这类材料称为次弹性材料。但本构关系描述时要求“率”为与刚体转动无关的客观时间导数。同乘以时间增量增量形式…Case-2Case-1可以证明，这两个率都与转动无关Jaumann应力率

现时Green应变的线性部分

可以证明，这两个率都与转动无关旋转率第27页,共42页，2024年2月25日，星期天30.04.2024非线性有限元28

三种本构关系间的关系对于实际的大变形问题，上述三种本构关系并不等价。可以证明，弹性材料是一种特殊的次弹性材料，超弹性材料是一种特殊的弹性材料。实际材料所遵守的本构关系，只有通过实验测试才能得以确定。次弹性材料弹性材料超弹性材料第28页,共42页，2024年2月25日，星期天30.04.2024非线性有限元295.大变形问题的有限元方程第29页,共42页，2024年2月25日，星期天30.04.2024非线性有限元30

与塑性力学有限元方法的异同区别：塑性力学的本构关系随加载变化，而大变形问题的构型随加载变化。TL？UL?相似：都采用增量方法，都不显含时间。导致分析方法、应力应变描述、本构关系、控制方程的变化。构型对应构型相关客观性描述第30页,共42页，2024年2月25日，星期天30.04.2024非线性有限元31

TL法有限元方程的建立特点：始终以初始（0时刻）构型做为应力与应变描述的参考构型，因而，采用Kirchhoff应力（增量）和Green应变（增量）。t时刻:TL法：TotalLagrangianDescription（TLD）虚功方程：优点：参考构型不发生变化，本构关系与虚功方程描述形式简单。

时刻:两式相减，得增量型虚功方程：第31页,共42页，2024年2月25日，星期天30.04.2024非线性有限元32

TL法有限元方程的建立（续）将有限元位移插值、初始构型下的几何关系和本构关系引入后，得到刚度矩阵形式较复杂，因问题的类型而不同。载荷向量TL法的求解步骤:Step1：利用有限元方程求出间隔内的位移增量；Step2：利用几何关系，计算Green应变增量；Step3：利用本构关系，计算Kirchhoff应力增量

；Step4：更新当前时刻；更新当前应力；计算当前刚度矩阵和载荷向量。

Step5：转到Step1，进入下一个时间间隔计算。第32页,共42页，2024年2月25日，星期天30.04.2024非线性有限元33

UL法有限元方程的建立特点：总以t

时刻（即现时构型）为参考构型，也就是说参考构型是变化的，因而，采用现时Kirchhoff应力（增量）和现时Green应变（增量）。UL法：UpdatedLagrangianDescription（ULD）仿照TL法的推导，可得虚功方程：优点：可以处理加载方式更为复杂的问题，亦可处理边界非线性问题等。UL法的增量型虚功方程：第33页,共42页，2024年2月25日，星期天30.04.2024非线性有限元34UL法有限元方程的建立（续）将有限元位移插值、初始构型下的几何关系和本构关系引入后，得到UL法的求解步骤及与TL法的比较:Step1：利用有限元方程求出间隔内的位移增量；Step2：利用几何关系，计算现时Green应变增量；Step3：利用本构关系，计算现时Kirchhoff应力增量

；Step4：更新当前时刻；更新当前应力,根据计算，并且使得；更新当前构型；计算当前刚度矩阵与载荷向量。

Step5：转到Step1，进入下一个时间间隔计算。第34页,共42页，2024年2月25日，星期天30.04.2024非线性有限元35小结

大变形问题有限元方法与弹塑性问题有限元方法都是在增量意义上通过拟线性化，进而加以求解。但弹塑性问题有限元方法在确定弹塑性状态时还应当进行迭代或按优化问题处理，这点与接触问题类似。所以，从方法上说，弹塑性问题有限元方法包含了大变形问题有限元和接触问题有限元两类问题的所有特点。第35页,共42页，2024年2月25日，星期天30.04.2024非线性有限元366.大变形问题的载荷处理第36页,共42页，2024年2月25日，星期天30.04.2024非线性有限元37

载荷目前还没有考虑重要区别TL法的载荷项：UL法的载荷项：体积力表面力第37页,共42页，2024年2月25日，星期天30.04.2024非线性有限元38

体积力的处理原则：物体的重力在变形过程中保持不变。

全量增量区别之处第38页,共42页，2024年2月25日，星期天30.04.2024非线性有限元39

表面力的处理

表面力的处理较为复杂，不但与构型变化有关，还与表面力的施加方式有关。以常见的集中力和均布力为例。1