2020-2021学年桂林市高二年级上册期末数学试卷(文科)(含解析)

2020-2021学年桂林市高二上学期期末数学试卷（文科）

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）

1,已知｛即｝是等差数列，且+1是的和的等差中项，则｛a„｝的公差为（）

A.1B.2C.—2D.—1

2.已知双曲线的一条渐近线的方程为y=2x,双曲线的一个焦点与抛物线.y=4x的焦点重合，则

抛物线的准线与双曲线的两交点为4,B,则|上却的长为（）

A.2B.4C.逑D.也

55

3.2.下列四个命题中是真命题的为

A.：孑町国居；1«：耳鼻,<兽B.3^:图尾者解#：1=0

C.’崩&笔欧;/#罪:书方净❿D.W«：<.,«?-1=©

4.已知a,b,c>dGR,并且ab>0,—,<—『则下列各式中恒成立的是（）

be<adbe>ad

A.B.C.-c>-dD,-c<-d

5.已知锐角△ABC的外接圆半径为3BC,且48=3,AC=4,贝“BC=（）

A.V37B.6C.5D.V13

2

6.已知椭圆C.+y2=1,点％,M2....弥为其长轴48的6等分点，分别过这五点作斜率为k（k中

0）的一组平行线，交椭圆C于B，P2,P10,则直线4P1，AP2,AP1O这10条直线的斜率乘

积为（）

A.一2B.一点CD.一毒

x-220

7,设变量x,y满足约束条件卜+yW4,贝Uz=x-y的最大值为（）

,x-2y<4

A.0B.2C.3D.4

8.在△ABC中，a,b,c分别是角4B,C的对边，以下四个结论中，错误的一个是（）

A.若a>b>c,则sinA>sinB>sinC

B.若A>B〉C,则sinA>sinB>sinC

C.acosB+bcosA=c

D.若q2+b2>c2,则△ZBC是锐角三角形

9.已知f(x)是定义在(0,+8)上的可导函数，满足〃1)=1,工尸(无)—“万)<尤2,则不等式心^(2)<

2,②〃2)<4,③解)>$④居)<；中一定成立的个数为()

A.1B.2C.3D.4

10.设见尸2是双曲线C：l(a>0,6>0)的左右焦点，M是C上一点，。是坐标原点，若

\MFr\=2\MF2\,\MF2\=\OF2\,则C的离心率是

A.匹B.fC.2D.V5

22

11."镰:1-'啜*,一黝=颜”是"8"的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

12.己知等比数列｛即｝公比为q,其前几项和为工,若S3,S9,S6成等差数列，则或等于

'■｛，［"I

A.--B.1C.一士或1D.-1或士

鬟鬟鬟

二、单空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.已知x,y&R,满足/+2孙+4y2=6,贝Uz=/+4y2的最小值为.

14.设448C的内角4,B,C所对的边分别为a,b,c,若(6-2c)cosA=a(2cosC—V3sinB),且小ABC

的面积等于百，贝UBC边上的中线a。的长的最小值是.

15.已知数列弧满足：吗=ID⑺为正整数)，&Jh及“当鲤'为懒财若稣=1,则加所有

卜魄当维为奇数时。

可能的取值为O

2222

16.设心、尸2分别为椭圆的：,+底=l(a>b>0)与双曲线。2：器—看=1(%>瓦>0)的公共焦

点，设椭圆G与双曲线。2在第一象限内交于点M,且N&MF2=90。，若椭圆G的离心率ei6

［|,等］,则双曲线。2的离心率02的最小值是.

三、解答题(本大题共6小题，共70.0分)

17.已知等比数列｛5｝满足.ar=2,S2=3

(1)求｛an｝的通项公式；

(2)设数列｛匕｝满足的=an+bx=bn(n>2),求数列｛%｝的通项公式.

o

18.在△4BC中，内角a,B,C的对边分别为a,b,c,且7as出B=4c,cosB=

(1)求角4的大小；

(2)设BC边上的中点为D,\AD\=V137-求△力8c的面积.

19.已知rneR,设条件p：不等式(-一1)/+⑺+1)久+1no对任意的久eR恒成立；条件q：

关于x的不等式|x+1|+|x-2|＜小的解集为。.

(1)分别求出使得p以及q为真的小的取值范围；

(2)若复合命题“p或q”为真，“p且q”为假，求实数小的取值范围.

20.要建造一个容积为4800^3,深为36的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别

为150元和120,那么怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价为多少元？

21.a2,a3,a的值；

求数列cm｝的通项公.

22.已知椭圆E：3y2+/=3的长轴端点分别为p2,动点P满足|P&|+|PFzl=4.

(I)求动点P的轨迹C的方程；

(口)若直线1与轨迹C交于不同的两点4,B,且岫4+k°B=-1,求直线Z的斜率的取值范围.

参考答案及解析

1.答案：B

解析：解：设等差数列｛即｝的公差为d.

由已知条件，得的+a4=2(a2+1),

即a[+(a1+3d)=2(的+d+1),解得d=2.

故选：B.

设等差数列的公差为d,由己知结合等差中项的概念列式求得｛a"的公差.

本题考查等差数列的通项公式及性质，是基础题.

2.答案：D

解析：

本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，考查抛物线的性质.

解：双曲线的一条渐近线的方程为：=2x,可知双曲线的方程为/一二=2,

可知抛物线f=4》的焦点为氏0),可知双曲线的焦点为工+4%=1,=2=：,

、5>

双曲线的方程为5^=?,抛物线的准线为为=-1,

f5

i5x?--v2=l，.-475„,44、I“Ig#

可知142*-1,—-^—),£(一L「一人|HS|=一.

5、•5

Ix=-l-

故选D

3.答案：C

解析：解析：本题考查命题的真假判定。

选项A、因为L：必至自，所以不存在整数有。

4-4-

选项3、不存在整数美使得方程成立。

选项D、当窖=怎时方程就不成立。

4.答案:B

解析：解：由题意可得：一£<一?，即也等>o,

abab

因为Qb>0,

所以cb—ad>0.

故选：B.

由题意可得：-£<-?，即中〉o,结合题中条件防>0,可得答案.

abab

此题主要考查了分式的基本性质，解答此类题一定要熟练掌握分式的基本性质才能比较好解决这类

问题.

5.答案：D

解析：解：,••锐角△A8C的外接圆半径为立BC,且48=3,AC=4,

3

•••由正弦定理可得：匹=2X更BC,解得:sinA=可得：cosA=g

sinA322

•••由余弦定理可得：BC=y/AC2+AB2-2AB-AC-cosA=J16+9-2x3x4x|=V13.

故选：D.

由已知利用正弦定理可求sin4进而利用同角三角函数基本关系式可求cos4,根据余弦定理即可解

得BC的值.

本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算

能力和转化思想，属于基础题.

6.答案：B

解析：解：如图所示，

由椭圆的性质可得-kBPi=kAp2-kBp2=—%=—

由椭圆的对称性可得々BP】=%P]o,^BP10=KAP],

,题Pi•^AP10=一鼻，

同理可得七「3,^APQ=^AP5,^AP6=^AP7'^AP4=^AP9'

1

.••直线力P1，AP2,力Pio这10条直线的斜率乘积=(—[)5=

32

故选：B.

利用椭圆的性质可得%kBPi=kAP2-kBP2=-^=得及其椭圆的对称性可得程区=kAP10,

=

^-BP10进而得出答案.

本题考查了椭圆的性质可得心%-心％=-9及椭圆的对称性，考查了推理能力和计算能力，属于难

题.

本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档

题.目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键

点、定出最优解.

8.答案：D

解析：

本题考查了正弦定理、余弦定理的应用，考查了推理能力和计算能力，属于基础题.

由于a>6>c,结合正弦定理急=焉=肃=2R,可判断4由由大边对大角定理

可知，可判断a>b>c,然后由正弦定理名=熹=肃=2R，可判断B；根据正弦定理对acosB+

bcosA进行化简即可判断。对于D,由。2+。2>c2结合余弦定理定理可得：cosC="^J>0,然

2ab

后结合ce(o，W，可判断c的范围，进而可判断；

解：对于4由于a>b>c,由正弦定理=[二=-J=2R,可得：sinA>sinB>sinC,故A

正确;

对于8,A>B>C,由大边对大角定理可知，则a〉6>c,由正弦定理高=焉=品=2R，可

得：sinA>sinB>sinC,故B正确；

对于C,根据正弦定理可得：acosB+bcosA=2R{sinAcosB+sinBcosA)=2Rsin(B+Z)=

2Rsin(ji—C)=2RsinC=c.故C正确；

对于a2+b2>c2,由余弦定理可得：cosC=由。。，兀)，可得是锐角，故

D,2ab>0,6(CA

或B可能为钝角，故错误；

故选D

9.答案:A

解析：解：令g(久)=竽—x,则“⑺=_1=-1⑺*,

%广(%)-/(%)<X2，：.g'(x)<0在(0,+8)上恒成立，即g(%)在(0,+8)上单调递减，

f(1)=1,g⑴=—1=1—1=0,

对于g(2)=[容—2Vg(l)=0,即/(2)V4,・•.①错误，②正确；

对于。©)=学—3>g(i)=o,即/(}〉；，.•.③和④均错误；

2

因此一定成立的只有②，

故选：A.

根据题意构造函数g(x)=号-久，并判断其在(0,+8)上单调递减，然后分别算出g(l)、g(2)和g(》，

并利用单调性比较大小，即可判断每个选项.

本题考查导数的综合应用，构造新函数是解题的关键，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于

中档题.

10.答案:C

解析：解：|M6|=IMF2I=|。尸2],T3，

故…™“

•・•£=2,故C的离心率是2.

F，。代

故选C/,

由已知可得2a=\MFr\-\MF2\=\MF2\=\OF2\=c,可得

答案.

本题考查的知识点是双曲线的简单性质，构造关于a,c的方程是解答的关键，难度中档.

11.答案：B

解析：试题分析：因为您:-旗篇-缠:=(如=客=域器：=鬟，而结论是x=l,那么根据前者表示的x的

集合包含后者，可知条件不能推出结论，但是结论可以推出条件，因此说条件是结论成立的充分不

必要条件，故选8

考点：本题主要考查充分条件的判定问题的运用。

点评：解决该试题的关键是弄清楚条件表示的集合与结论表示的集合之间的包含关系，结合集合的

关系来得到判定。

12.答案：A

解析：试题分析：因为S3,S9,56成等差数列，即，2Sg=S6+S3,所以2

喳二逢=喳二递#睢也，整理得，刎-g,解得q3=—J或1,但q3=i时与

已知不符，故选A。

考点：本题主要考查等比数列通项公式、求和公式。

点评：简单题，根据S3,S9,S6成等差数列可建立q的方程，解之即得。

13.答案：4

解析：解：由题意％2+2xy+4y2=(%+2y)2—2xy=6,那么(％+2y)2=2xy+6,

(%+2y)2>4x-2y=8xy,当且仅当久=2y时取等号.

则：2%y+6>8xy

解得：xy<1

z=x2+4y2=(%+2y产—4xy>8xy—4yx=4.

所以z=%2+4y2的最小值为4.

故答案为：4.

将％2+2xy+4y2=(%+2y)2—2xy=6,那么(％+2y)2=2xy+6,z=x2+4y2=(x+2y)2—

4xy,利用基本等式的性质，即可求解.

本题考查了基本不等式的变形和灵活的运用能力.属于中档题.

14.答案：V3

解析：解：:由(b—2c)cos/=a(2cosC—遮sinB),

得百sinAs讥8+cosAsinB=2sinB,即遍sin/+cosA=2,

・•・sin(i4+^)=1,

又0<4<7T,

^S^ABC=^bcsinA,得:=遮，即be=4；

222>22

由=-(AB+前)，可得：|AD|l?l-(h+c+2bccosA)=-(fo+c+be)>-bc=3f

当且仅当"6=c=2"时，取“=”，

所以|而|最小值为V5.

故答案为：V3.

利用正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得sin(A+£)=1,结合范围0<4<兀，可求

O

A=^,利用三角形的面积公式可求be=4,利用同=3荏+刀)，两边平方，根据余弦定理，基

本不等式可求|而|最小值.

本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形的面积公式，余弦定理，基本不等式在

解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题.

15.答案:4532

解析：试题分析：由题设知的=2,%=4,有①②两种情况：①的=1,。2=2,ar=4,即zn=4；

②a3=8,的=16,有③④两种情况：③的=5,即m=5；④的=32,即m=32.解:,数列｛a九｝

.*□(力于壑枷仔"当猥历懒^时

胸足：的=为正整数)，：%皿=：2，。6=1，*,,。5=2,。4=4,

卜％带?”当:飓为奇^加寸。

两种情况：①。3=1，42=2,%=4,即m=4；②a3=8,a2=16,有③④两种情况：③%.=5,

即m=5；④的=32,即爪=32.故答案为：4,5,32

考点：数列的性质

点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题,仔细解答，注意公式的合理运用

16.答案：四

7

解析：解：如图，画出椭圆和双曲线的图象：

设幽尸1|=小，\MF2\=n,

由椭圆定义可得m+n=2a,由双曲线定义可得m-ri=...

Uijo\FJx

解得?n=a+a1,n=a—a1,

2n\

因为N&MF2=90°,所以爪2+n=4c2,

即02+进=202,

由离心率的公式可得3+看=2,

因为el6［|,誓］,

所以e在品即2-白电引，

解得e2e［字,誓］,

因为的>瓦，所以02=J1+(泞<鱼,

2y/14

。2Gvv2),

双曲线C2的离心率02的最小值是字.

故答案为：烟.

7

设|MF/=TH,|MFz|二九，运用椭圆和双曲线的定义，由a,由表示出TH,n,结合勾股定理和离心

率公式，可得0,3的关系式，再由4的范围，解不等式可得力的范围，进而得到所求最小值.

本题考查椭圆和双曲线的定义、方程和性质，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题.

17.答案：解：(1)S2=%+a2=2+2q=3,

1

•••q=了

•••an=2-(1r-1=4.(|r，

(2)。1=瓦=2,

a

•••n+bn_i=bn.

n

•••bn-bn_r=an,=4-(|),

2

・・.(瓦一瓦)+(久一坛)+-+-fan-i)=bn-b1=4[|+(|)+…+(|)"]=4.=4[1-

2

(加，

=2-4-(I)",(n>2)

2,n=1

/-hn=2-4-(1)n,n>2

解析：(1)根据已知条件求得公比q,则数列的通项公式可得.

(2)根据题意表示出g-6nt，进而通过递加法求得数列的通项公式.

本题主要考查了等比数列的通项公式和求和公式的应用.考查了学生对数列基础公式的熟练记忆.

18.答案：解：（1）•••由cosB=|,得...（1分）

又17asinB=4c,

，代入得7a=5c,

由焉=高？得7sin"=5sinC,...（3分）

••・7sinA=Ssin（A+B）,7sinA=SsinAcosB+ScosAsinB,...（5分）

，得tcmA=1,A=$…（7分）

（2）•.•由余弦定理可得：AB2+BD2-2AB-BDCOSB=137,...（9^）

c2+偌）2-2cxa义|=137,c=14,

••.则a=10,…（12分）

S=^1acsin1B=|x14x410x|=56....（15分）

解析：（1）由cosB=可得sinB,又7as讥B=4c,代入得7a=5c,由正弦定理得7s讥A=SsinC,

化简可得tcrnA=1,从而可求力的值.

（2）由余弦定理可得：AB2+BD2-2AB-BDcosB=137,代入可解得c=14,a=10,利用三角形

面积公式即可得解.

本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角函数恒等变换的应用，三角形面积公式的应用，属于基

本知识的考查.

19.答案：解：（1）P：不等式（巾2-1）乂2+（M+］）x+1N0对任意的％eR恒成立

当P为真时，

m=-1或R71-02"2nQ爪W-1或爪N|

（△=（m+-4（mz-1）<03

又yq：关于x的不等式|x+1|+|x-2|<m的解集为。

当q为真，

•••（|x+1\+\x-2|）m；n

■■p真时ni的取值范围为力={m\m<-1或zn>|},q真时m的取值范围为B={m\m<3}；

（2）：“p或q”为真,“p且q”为假，

p和q一真一假，分两况讨论：

1°当p真且q假时，有4ClCRB={m|ni>3}；

2。当p假且q真时，有(CRA)nB=｛m|-l<m<|｝,

1°,2。取并,

即得“p或q”为真，“p且q”为假时实数小的取值范围是｛刘一1<巾<|或6>3｝

解析：本题考查的知识点是复合命题的真假判定，解决的办法是先判断组成复合命题的简单命题的

真假，再根据真值表进行判断.

本题考查的知识点是复合命题的真假判定，属于基础题目

20.答案：(8分)解：设水池底面长为久米时，总造价为y元.

由题意知水池底面积为竿=1600^2,水池底面宽为幽山.

3x

1600

•••y=150X1600+120X3X(2%+2X----)

x

1600

=150X1600+720(x+----)

x

■.-X+—>2k义心=80,当且仅当“X=40”时取得“=”

X\X

所以当％=40时，ymin=297600.

解析：设水池底面长为x米时，总造价为y元.列出函数关系式，利用基本不等式求解最值即可.

本题考查实际问题的应用，基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力.

21.答案：解：•・•数列研满足几+1=黑，al=l,eN*.•-2=^-=I，同理可得：=],4=|.

CLfl।TD25

二数列｛《｝是等数列首项为，公差为3

数列cm｝足Q九+1=三3al=,nN*.

•*-T-=1+1(九一)，解得九=一,

.・.n=——2.

n+1

解析：数列an｝满足cm+=1^al=l,^6乂别令二1,2,,即可得出.

列｛cm｝满足加1=普必九6N*.两边取倒数可得：六-十=§,再利用等数列的通项式即可出.

本题考查了等差数列的通公式递推关系，考查能力与能力，属中档题.

2

22.答案：解：(I)椭圆E的方程化为:+y2=1,

其长轴端点分别为Fi(-百,0),F2(V3,0),

•••|PFi|+|PFzl=4>万昌，

•••动点P的轨迹C是以&,尸2为焦点，长轴长2a=4的椭圆,

故点P的轨迹C的方程为：-+y2=1；

4

(U)①当直线，的斜率不存在时，由椭圆的对称性可知,

k0A+^OB=不合题意；

②当直线1的斜率存在时，

设其方程为y=k