人教版八年级数学11章-三角形教案

第十一章三角形

11.1.1三角形的边

［教学目标］1、了解三角形的意义，认识三角形的边、内角、顶点，能用符号语言表示三角形；2、理

解三角形三边不等的关系，会判断三条线段能否构成一个三角形,并能运用它解决有关的问题.

［重点难点］三角形的有关概念和符号表示，三角形三边间的不等关系是重点；用三角形三边不等关

系判定三条线段可否组成三角形是难点。

［教学过程］

一、情景导入

三角形是一种最常见的几何图形，如古埃及金字塔，香港中银大厦，交通标志，等等，处处都有三角

形的形象。

那么什么叫做三角形呢？

二、三角形及有关概念

不在一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形。

注意：三条线段必须①不在一条直线上，②首尾顺次相接。

组成三角形的线段叫做三角形的边，相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称角，相邻两边的公

共端点是三角形的顶点。

三角形ABC用符号表示为AABC。三角形ABC的顶点C所对的边AB可用c表示，顶点B所对的边

AC可用b表示，顶点A所对的边BC可用a表示.

三、三角形三边的不等关系

任意画一个AABC,假设有一只小虫要从B点出发，沿三角形的边爬到C,它有几种路线可以选择?各条

路线的长一样吗?为什么？

有两条路线：（1）从B-C,（2）从B—ATC；不一样，AB+AOBC①；因为两点之间线段最短。

同样地有AC+BOAB②

AB+BOAC③

由式子①②③我们可以知道什么？

三角形的任意两边之和大于第三边.

四、三角形的分类

我们知道，三角形按角可分为锐角三角形、钝角三角形、直角三角形，我们把锐角三角形、钝角三角

形统称为斜三角形。

按角分类：

三角形f直角三角形

I斜三角形（锐角三角形

I钝角三角形

那么三角形按边如何进行分类呢？请你按“有几条边相等”将三角形分类。

三边都相等的三角形叫做等边三角形：

有两条边相等的三角形叫做等腰三角形；

顶角

三边都不相等的三角形叫做不等边三角形。

显然，等边三角形是特殊的等腰三角形。flyW

底角L------'底角

按边分类：

三角形f不等边三角形底功

t等腰三角形］底和腰不等的等腰三角形

I等边三角形

五、例题

例用一条长为18cm的细绳围成一个等腰三角形。（1）如果腰长是底边的2倍，那么各边的长是多

少？（2）能围成有一边长为4cm的等腰三角形吗？为什么？

分析：（1）等腰三角形三边的长是多少？若设底边长为xcm,则腰长是多少？（2）“边长为4cm”

是什么意思？

解：（1）设底边长为xcm,则腰长2xcm„

x+2x+2x=18

解得x=3.6

所以，三边长分别为3.6cm,7.2cm,7.2cm.

（2）如果长为4cm的边为底边，设腰长为xcm,则

4+2x=18

解得x=7

如果长为4cm的边为腰，设底边长为xcm,则

2X4+x=18

解得x=10

因为4+4<10,出现两边的和小于第三边的情况，所以不能围成腰长是4cm的等腰三角形。

由以上讨论可知，可以围成底边长是4cm的等腰三角形。

五、课堂练习

课本练习1、2题。

六、课堂小结

1、三角形及有关概念；

2、三角形的分类；

3、三角形三边的不等关系及应用。

作业：

课本1、2、67题。

11.1.2三角形的高、中线与角平分线

（教学目标）1、经历画图的过程，认识三角形的高、中线与角平分线；

2、会画三角形的高、中线与角平分线；3、了解三角形的三条高所在的直线，三条中线，三条角平分线分别

交于~1点.

（重点难点）三角形的高、中线与角平分线是重点；三角形的角平分线与角的平分线的区别，画钝角

三角形的高是难点.

（教学过程）

一、导入新课

我们已经知道什么是三角形，也学过三角形的高。三角形的主要线段除高外，还有中线和角平分线

值得我们研究。

二、三角形的高

请你在图中画出4ABC的一条高并说说你画法。

从4ABC的顶点A向它所对的边BC所在的直线画垂线，垂足为D,所得线段AD叫做4ABC的边

BC上的高，表示为ADLBC于点D。

注意：高与垂线不同，高是线段，垂线是直线。

请你再画出这个三角形AB、AC边上的高，看看有什么发现？

三角形的三条高相交于一点。

如果aABC是直角三角形、钝角三角形，上面的结论还成立吗？

现在我们来画钝角三角形三边上的高，如图。

///F\

显然，上面的结论成立.

请你画一个直角三角形，再画出它三边上的高。DC

上面的结论还成立。

三、三角形的中线

如图，我们把连结AABC的顶点A和它的对边BC的中点D,所得线段AD叫做AABC的边BC上

的中线，表示为BD=DC或BD=DC=1/2BC或2BD=2DC=BC.

请你在图中画出4ABC的另两条边上的中线，看看有什么发现？

三角的三条中线相交于一点。

如果三角形是直角三角形、钝角三角形，上面的结论还成立吗？请画图回答。

上面的结论还成立。

四、三角形的角平分线

如图，画NA的平分线AD,交NA所对的边BC于点D,所得线段AD叫做^ABC的角平分线，表示

为NBAD=/CAD或/BAD=NCAD=1/2NBAC或2NBAD=2NCAD=NBAC。

思考：三角形的角平分线与角的平分线是一样的吗？

三角形的角平分线是线段，而角的平分线是射线，是不一样的。

A

请你在图中再画出另两个角的平分线，看看有什么发现？/

三角形三个角的平分线相交于一点。

如果三角形是直角三角形、钝角三角形，上面的结论还成立吗？请画图回答。//

上面的结论还成立。BDC

想一想：三角形的三条高、三条中线、三条角平分线的交点有什么不同？

三角形的三条中线的交点、三条角平分线的交点在三角形的内部，而锐三角形的三条高的交点在三角

形的内部，直角三角形三条高的交战在角直角顶点，钝角三角形的三条高的交点在三角形的外部。

五、课堂练习

课本练习1、2题。

六、课堂小结

1、三角形的高、中线、角平分线的概念和画法。

2,三角形的三条高、三条中线、三条角平分线及交点的位置规律。

作业：

课本3、4；8、9题

11.1.3三角形的稳定性

［教学目标］1、知道三角形具有稳定性，四边形没有稳定性；2、了解三角形的稳定性在生产、生活中

的应用。

［重点难点］三角形稳定性及应用。

［教学过程］

一、情景导入

盖房子时，在窗框未安装之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，为什么要这样做呢？

二、三角形的稳定性____________

〔实验〕1、把三根木条用钉子钉成一个三角形木架，然后扭动它，它的形状会

改变吗？IX

AFT■

(1)

不会改变。

2、把四根木条用钉子钉成一个四边形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？

会改变。

3、在四边形的木架上再钉一根木条，将它的一对顶点连接起来，然后扭动它，它的形状会改变吗？

不会改变。

从上面的实验中，你能得出什么结论？

三角形具有稳定性，而四边形不具有稳定性。

三、三角形稳定性和四边形不稳定的应用

三角形具有稳定性固然好,四边形不具有稳定性也未必不好，它们在生产

和生活中都有广泛的应用。如:

(3)

钢架桥屋顶钢架

活动挂架

钢架桥、屋顶钢架和起重机都是利用三角形的稳定性，活动挂架则是利用四边形的不稳定性。

你还能举出一些例子吗？

四、课堂练习

1、下列图形中具有稳定性的是（）

A正方形B长方形C直角三角形D平行四边形

2、要使下列木架稳定各至少需要多少根木棍？

nao

四边形木架五边形木架六边形木架

3、课本练习。

作业：510题。

11.2.1三角形的内角

【教学目标］掌握三角形内角和定理。

［重点难点］三角形内角和定理是重点；三角形内角和定理的证明是难点。

【教学过程］

一、导入新课

我们在小学就知道三角形内角和等于180°,这个结论是通过实验得到的，这个命题是不是真命题还需

要证明，怎样证明呢？

二、三角形内角和的证明

回顾我们小学做过的实验，你是怎样操作的？

把一个三角形的两个角剪下拼在第三个角的顶点处，用量角器量出

NBCD的度数，可得到/A+/B+NACB=180°。

想一想，还可以怎样拼？

①剪下/A,按图（2）拼在一起，可得到/A+/B+/ACB=180°。

图2

②把N8和NC剪下按图（3）拼在一起，可得到/A+/B+NACB=180°。

如果把上面移动的角在图上进行转移，由图1你能想到证明三角形内角和等于180°的方法吗？

已知△ABC,求证：ZA+ZB+ZC=180°o

证明一

过点C作CM〃AB,则NA=/ACM,ZB=ZDCM,

又NACB+ZACM+ZDCM=180°

ZA+ZB+ZACB=18Oo»

即:三角形的内角和等于180°。

由图2、图3你又能想到什么证明方法？请说说证明过程。

三、例题

例如图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西40°

方向，从C岛看A、B两岛的视角NACB是多少度？

分析：怎样能求出NACB的度数？

根据三角形内角和定理，只需求出/CAB和/CBA的度数即可。

NCAB等于多少度？怎样求NCBA的度数？

解：/CBA=NBAD-/CAD=80°-50°=30°

VAD//BEZBAD+ZABE=180°

ZABE=180o-ZBAD=180o-80°=100<,

，ZABC=ZABE-ZEBC=1OOo-4O°=6O°

NACB=180°-NABONCAB=180°-60°-30°=90°

答：从C岛看AB两岛的视角NACB=180°是90°。

四、课堂练习

课本1、2题。

作业：

1、3、4；7、9题。

11.2.2三角形的外角

［教学目标］1、理解三角形的外角；2、掌握三角形外角的性质，能利用三角形外角的性质解决问题。

|重点难点］三角形的外角和三角形外角的性质是重点；理解三角形的外角是难点。

［教学过程］

一、导入新课

［如图，AABC的三个内角是什么？它们有什么关系？

是NA、/B、ZC,它们的和是180°«

若延长BC至D,则NACD是什么角？这个角与AABC的三个内角有什么关系？

二、三角形外角的概念

/ACD叫做AABC的外角。也就是，三角形一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。

想一想，三角形的外角共有几个？

共有六个。A

注意：每个顶点处有两个外角，它们是对顶角。研究与三角形八H外

角有关的问题时，通常每个顶点处取一个外角./\/

三、三角形外角的性质/X*z

容易知道，三角形的外角/ACD与相邻的内角NACB是邻补口/---------V_L_D角，

bc

那与另外两个角有怎样的数量关系呢？

〕如图，这是我们证明三角形内角和定理时画的辅助线，你能就此图说明NACD与/A、NB的关系

吗？

；CE〃AB,.,.ZA=Z1,ZB=Z2

又NACD=N1+N2

.\ZACD=ZA+ZB

你能用文字语言叙述这个结论吗？

三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。

由加数与和的关系你还能知道什么？

三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。AA

即ZACD>ZA,ZACD>ZB。

四、例题

例如图，ZkN2、N3是三角形ABC的三个外角，它们的和是多少？/^2

分析：Z1与NBAC、N2与NABC、N3与/ACB有什么关系？NBAC、ABC、NACB有什么关系？

解：VZ1+ZBAC=18O°,Z2+ZABC=180°,Z3+ZACB=18O°,

AZ1+ZBAC+Z2+ZABC+Z3+ZACB=54O°

XZBAC+ZABC+ZACB=180°

NI+N2+N3==360°。

你能用语言叙述本例的结论吗？

三角形外角的和等于360°。

五、课堂练习

课本练习；

六、课堂小结

1、什么是三角形外角？A

2、三角形的外角有哪些性质？人

作业：\

课本1、2、5、6；8题。/\

BD

11.3.1多边形C

［教学目标］1、了解多边形及有关概念，理解正多边形的概念.2、区别凸多边形与凹多边形.

［重点难点］多边形及有关概念、正多边形的概念是重点；区别凸多边形与凹多边形是难点。

［教学过程］

一、情景导入

看下面的图片，你能从中找出由一些线段围成的图形吗？

二、多边形及有关概念

这些图形有什么特点？

由几条线段组成；它们不在同一条直线上；首尾顺次相接.

这种在平面内，由一些不在同一条直线上的线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。

多边形按组成它的线段的条数分成三角形、四边形、五边形……、n边形。这就是说，一个多边形由

儿条线段组成，就叫做儿边形，三角形是最简单的多边形。

与三角形类似地，多边形相邻两边组成的角叫做多边形的内角，如图中的NA、/B、ZC>ND、Z

Eo多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.如图中的/I是五边形ABCDE的一个外

角。［

连接多边形的不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.

四边形有几条对角线？五边形有几条对角线？画图看看。

你能猜想n边形有多少条对角线吗？说说你的想法。

n边形有l/2n(n-3)条对角线。因为从n边形的一个顶点可以引n-3条对角线，n个顶点共引n(n

-3)条对角线，又由于连接任意两个顶点的两条对角线是相同的，所以，n边形有l/2n(n-3)条对角线。

三、凸多边形和凹多边形

如图，下面的两个多边形有什么不同？

在图(1)中，画出四边形ABCD的任何一条边所在的直线，整个图形都在这条直线的同一侧，这样

的四边形叫做凸四边形，这样的多边形称为凸多边形；而图(2)就不满足上述凸多边形的特征，因为我

们画BD所在直线，整个多边形不都在这条直线的同一侧，我们称它为凹多边形。

注意：今后我们讨论的多边形指的都是凸多边形.

四、正多边形的概念

我们知道，等边三角形、正方形的各个角都相等，各条边都相等，像这样各个角都相等，各条边都相

等的多边形叫做正多边形。

下面是正多边形的一些例子。

正三角形正方形正五边杉正六边杉

五、课堂练习

课本练习1。

2、有五个人在告别的时候相互各握了一次手，他们共握了多少次手？你能找到一个几何模型来说明

吗？

六、课堂小结

1、多边形及有关概念。

2、区别凸多边形和凹多边形。

3,正多边形的概念。

4、n边形对角线有l/2n(n-3)条。

作业：

11.3.2多边形的内角和

［教学目标］1、了解多边形的内角、外角等概念；2、能通过不同方法探索多边形的内角和与外角和公

式，并会应用它们进行有关计算.

［重点难点］多边形的内角和与多边形的外角和公式是重点；多边形的内角和定理的推导是难点。

［教学过程］

一、复习导入

我们已经证明了三角形的内角和为180°,在小学我们用量角器量过四边形的内角的度数，知道四边

形内角的和为360°,现在你能利用三角形的内角和定理证明吗？

二、多边形的内角和

如图，从四边形的一个顶点出发可以引几条对角线？它们将四边形分成几个三角形？那么四边形的内

角和等于多少度？

可以引一条对角线：它将四边形分成两个三角形；因此，四边形的内角和=4人1®的内角和+Z\BDC的

内角和=2XI80°=360°。

类似地，你能知道五边形、六边形……n边形的内角和是多少度吗？

观察下面的图形，填空：

五边形六边形

从五边形一个顶点出发可以引对角线，它们将五边形分成三角形，五边形的内角和等

于;

从六边形一个顶点出发可以引对角线，它们将六边形分成三角形，六边形的内角和等

于;

从n边形一个顶点出发，可以引—对角线，它们将n边形分成三角形，n边形的内角和等

于o

n边形的内角和等于(n-2)•180°.

从上面的讨论我们知道，求n边形的内角和可以将n边形分成若干个三角形来求。现在以五边形为例，

你还有其它的分法吗？

分法一〔投影3〕如图1,在五边形ABCDE内任取一点0,连结0A、0B、0C、0D、0E,则得五个三

角形。

五边形的内角和为5X180°—2X1800=(5—2)X1800=540°。

分法二如图2,在边AB上取一点0,连0E、0D、0C,则可以(5-1)个三角形。

五边形的内角和为(5—1)X180°—180°=(5—2)X180°

如果把五边形换成n边形，用同样的方法可以得到n边形内角和=(n-2)X180°.

三、例题

例1如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？

如图，已知四边形ABCD中，ZA+ZC=180°,求NB与/D的关系.

分析：NA、/B、NC、/D有什么关系？

解:VZA+ZB+ZC+ZD=(4-2)X180°=360°

又NA+NC=180°

ZB+ZD=360°-(ZA+ZC)=180°

这就是说，如果四边形一组对角互补，那么另一组对角也互补.

例2如图，在六边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做

六边形的外角和.六边形的外角和等于多少？

如图，己知Nl,N2,Z3,Z4,Z5,N6分别为六边形ABCDEF的外角，求N1+N2+N3+N4+N5+

N6的值.

分析：多边形的一个外角同与它相邻的内角有什么关系？六边形的内角和是多少度？

解：VZ1+ZBAF=18O°Z2+ZABC=180°Z3+ZBAD=180°

Z4+ZCDE=180°Z5+ZDEF=180°Z6+ZEFA=180°

AZ1+ZBAF+Z2+ZABC+Z3+ZBAD+Z4+ZCDE+Z5+ZDEF+Z6+ZEFA=6X1800

又Nl+N2+N3+N4+N5+N6=4X180°

ZBAF+ZABC+ZBAD+ZCDE+ZDEF+ZEFA=6X1800-4X180°=360°

这就是说，六边形形的外角和为360。。

如果把六边形换成n边形可以得到同样的结果：

n边形的外角和等于360°。

对此，我们也可以这样来理解。如图，从多边形的一个顶点A出发，沿多边形各边走过各顶点，再回

到A点，然后转向出发时的方向，在行程中所转的各个角的和就是多边形的外角和，由于走了一周，所得

的各个角的和等于一个周角，所以多边形的外角和等于360°.

四、课堂练习

课本1、2、3题。

五、课堂小结

n边形的内角和是多少度？

n边形的外角和是多少度?

作业：

2、34、5、6、7。

第十二章全等三角形

12.1全等三角形

教学目标：1了解全等形及全等三角形的的概念；

2理解全等三角形的性质

3在图形变换以及实际操作的过程中发展学生的空间观念，培养学生的几何直觉，

4学生通过观察、发现生活中的全等形和实际操作中获得全等三角形的体验在探索和运用全等

三角形性质的过程中感受到数学的乐趣

重点：探究全等三角形的性质

难点：掌握两个全等三角形的对应边，对应角

教学过程：

观察下列图案，指出这些图案中中形状与大小相同的图形

问题：你还能举出生活中一些实际例子吗？

这些形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合。能够完全重合的两个图形叫做全等形

能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形

思考：

在图13.1-1中.把△ABC沿直线BC平移.得到△DEF.

在图13.1-2中，把△ABC沿直线BC翻折180°,得到△DBC.

在图13.1-3中.把△ABC旋转180°,得到AMED.

各困中的两个三角形全等吗？

A

图13.1-1图13.1-2图13.1-3

一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前

后的图形全等。

“全等”用三表示，读作“全等于”

两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上，如A钻C和△£>£尸全等时，点A

和点D,点B和点E,点C和点F是对应顶点，记作

把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合

的角叫做对应角

思考：如上图，12。\-WABC^\DEF,对应边有什么关系？对应角呢？

全等三角形性质：

全等三角形的对应边相等；

全等三角形的对应角相等。

思考：

(1)下面是两个全等的三角形，按下列图形的位置摆放，指出它们的对应顶点、对应边、对应角

BC

AC

.0

A'D

(2)将AABC沿直线BC平移，得到AOEF,说出你得到的结论，说明理由？

(3)如图，\ABE=\ACD,ABAC,AD与AE是对应边，已知：NA=43°,N3=30°,求/加C的

小结：

作业：P92—1,2,3

课题：12.2三角形全等的条件(1)

教学目标

①经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程.

②掌握三角形全等的“边边边”条件，了解三角形的稳定性.

③通过对问题的共同探讨，培养学生的协作精神.

教学难点

三角形全等条件的探索过程.

一、复习过程，引入新知

多媒体显示，带领学生复习全等三角形的定义及其性质，从而得出结论：全等三角形三条边对应相等,

三个角分别对应相等.反之，这六个元素分别相等，这样的两个三角形一定全等.

二、创设情境，提出问题

根据上面的结论，提出问题：两个三角形全等，是否一定需要六个条件呢？如果只满足上述六个条件

中的一部分，是否也能保证两个三角形全等呢？

组织学生进行讨论交流，经过学生逐步分析，各种情况逐渐明朗，进行交流予以汇总归纳.

三、建立模型，探索发现

出示探究1,先任意画一个△ABC,再画一个△A'B'C',使aABC与B'C',满足上述条件中的一个或两

个.你画出的△A'B'C'与△ABC一定全等吗？

让学生按照下面给出的条件作出三角形.

(1)三角形的两个角分别是30°、50°.

(2)三角形的两条边分别是4cm,6cm.

(3)三角形的一个角为30°,一条边为3cm.

再通过画一画，剪一剪，比一比的方式，得出结论：只给出一个或两个条件时，都不能保证所画出的

三角形一定全等.

出示探究2,先任意画出一个△A'B'C',使A'B'=AB,B'C'=BC,C'A'=CA,把画好的AA'B'C'剪下,

放到AABC上，它们全等吗？

让学生充分交流后，在教师的引导下作出△A'B'C',并通过比较得出结论：三边对应相等的两个三角

形全等.

四、应用新知，体验成功

实物演示：由三根木条打成的一个三角形的框架，它的大小和形状是固定不变的.

鼓励学生举出生活中的实例.

给出例1,如下图4ABC是一个钢架，AB=AC,AD是连接点A与BC中点D的支架，求证aABD也△ACD.

让学生独立思考后口头表达理由，由教师板演推理过程.

例2如图是用圆规和直尺画已知角的平分线的示意图，作法如下:

①以A为圆心画弧，分别交角的两边于点B和点C；

②分别以点B、C为圆心，相同长度为半径画两条弧，两弧交于点D；

③画射线AD.

AD就是NBAC的平分线.你能说明该画法正确的理由吗？

例3如图四边形ABCD中，AB=CD,AD=BC,你能把四边形ABCD分成两个相互全等的三角形吗?你有几

种:方法?口你能证明你的方法吗?试一试.

五、巩固练习

教科书第96页的思考及练习.

六、反思小结

回顾反思本节课对知识的研究探索过程、小结方法及结论，提炼数学思想，掌握数学规律.

七、布置作业

1.必做题：教科书第103页习题12.2中的第1、2题.

2.选做题：教科书第104页第9题.

课题：12.2三角形全等的条件（2）

教学目标

①经历探索三角形全等条件的过程，培养学生观察分析图形能力、动手能力.

②在探索三角形全等条件及其运用的过程中，能够进行有条理的思考并进行简单的推理.

③通过对问题的共同探讨，培养学生的协作精神.

教学难点

指导学生分析问题，寻找判定三角形全等的条件.

知识重点

应用“边角边”证明两个三角形全等，进而得出线段或角相等.

教学过程（师生活动）

一、创设情境，引入课题

多媒体出示探究3：已知任意△ABC,画△A'B'C',使A'B'=AB,A'C'=AC,ZA'=ZA.

教帅点拨，学生边学边画图，再让学生把画好的△ABC,剪下放在aABC上，观察这两个三角形是

否全等.

二、交流对话，探求新知

根据前面的操作，鼓励学生用自己的语言来总结规律：

两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.（SAS）

补充强调：角必须是两条相等的对应边的夹角，边必须是夹相等角的两对边.

三、应用新知，体验成功

出示例2,如图，有一池塘，要测池塘两端A、B的距离，可先在平地上取一个可以直接到达A和IB的点C,

连接AC并延长到D,使CD=CA,连接BC并延长到E,使CE=CB.连接DE,那么量出DE的长就是A、B的

距离，为什么？

让学生充分思考后，书写推理过程，并说明每一步的依据.

（若学生不能顺利得到证明思路，教师也可作如下分析：

要想证AB=DE,

只需证△ABC名ADEC

△ABC与ADEC全等的条件现有……还需要……）

明确证明分别属于两个三角形的线段相等或者角相等的问题，常常通过证明这两个三角形全等来解

决.

补充例题：

1、已知：如图AB=AC,AD=AE,NBAC=NDAE

E

cD

求证：AABD畛Z\ACE

证明：；NBAC=NDAE(已知)

ZBAC+ZCAD=ZDAE+ZCAD

ZBAD=ZCAE

在AABD与4ACE

AB=AC（已知）

ZBAD=ZCAE（已证）

AD=AE（已知）

A△ABDACE（SAS）

思考：

求证：l.BD=CE

2.ZB=ZC

3.ZADB=ZAEC

变式1：已知:如图，AB±AC,AD±AE,AB=AC,AD=AE.

DAC^AEAB

1.BE=DC

2.ZB=ZC

3.ZD=ZE

4.BEXCD

四、再次探究，释解疑惑

出示探究4,我们知道，两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.由“两边及其中一边的对角对应

相等”的条件能判定两个三角形全等吗?为什么？

让学生模仿前面的探究方法，得出结论：两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等.

教师演示：方法(-)教科书98页图13.2-7.

方法(二)通过画图，让学生更直观地获得结论.

五、巩固练习

教科书第99页，练习⑴⑵.

六、小结提高

1.判定三角形全等的方法；

2.证明线段、角相等常见的方法有哪些?让学生自由表述，其他学生补充，让学生自己将知识系统化,

以自己的方式进行建构.

七、布置作业

1.必做题：教科书第104页，习题13.2第3、4题.

2.选做题：教科书第105页第10题.

3.备选题：

(D小明做了一个如图所示的风筝，测得DE=DF,EH=FH,你能发现哪些结沦?并说明理由.

(2)如图，Nl=/2,AB=AD,AE=AC,求证BC=DE.

课题：12.2三角形全等的条件⑶

教学目标

①探索并掌握两个三角形全等的条件：“ASA”“AAS”，并能应用它们判别两个三角形是否全等.

②经历作图、比较、证明等探究过程，提高分析、作图、归纳、表达、逻辑推理等能力；并通过对知识方

法的总结，培养反思的习惯，培养理性思维.

③敢于面对教学活动中的困难，能通过合作交流解决遇到的困难.

教学重点

理解，掌握三角形全等的条件：“ASA”“AAS”.

教学难点

探究出“ASA”“AAS”以及它们的应用.

教学过程（师生活动）

创设情境

复习：

师：我们已经知道，三角形全等的判定条件有哪些？

生：“SSS”“SAS”

师：那除了这两个条件，满足另一些条件的两个三角形是否,

也可能全等呢?今天我们就来探究三角形全等的另一些条件。

探究新知：

一张教学用的三角形硬纸板不小心/

被撕坏了，如图，你能制作一张与原来/

同样大小的新教具？能恢复原来三角形

的原貌吗？7

1.师：我们先来探究第一种情况.（课件出示“探究5……”）

⑴探究5

先任意画出一个△ABC,再画一个△A'B'C',使A'B'=AB,NA'=/A,NB'=/B（即使两角和它们的

夹边对应相等）.把画好的△A'B'C'剪下，放到aABC上，它们全等吗？

师：怎样画出△A'B'C'?先自己独立思考，动手画一画。

在画的过程中若遇到不能解决的问题.可小组合作交流解决.

生：独立探究，试着画△A'B'C',（有问题的，可以小组内交流解决……）……

⑵全班讨论交流

师：画好之后，我们看这儿有一种画法：（课件出示画法，出现一步，画一步）

你是这样画的吗？

师：把画好的△A'B'C'剪下，放到aABC上，看看它们是否全等.

生：（剪△A'B'C',与AABC作比较……）

师：全等吗？

生：全等.

师：这个探究结果反映了什么规律?试着说说你的发现.

生1：我发现……

生2：...

生3:两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.AA'

师：这条件可以简写成“角边角”或“ASA”.至此，A

我们又增加了一种判别三角形全等的方法.特别应/\/N\

E

D

BC

注意，“边”必须是“两角的夹边”.

练习：已知：如图，AB=A'C,ZA=ZA\ZB=ZC

求证：4ABE畛4A'CD

例1.已知：点D在AB上，点E在AC上，BE和CDA

相交于点0,AB=AC,ZB=ZC,求证：BD=CE/\

D/\E

2.探究6/

师：我们再看看下面的条件：

在AABC和ADEF中，NA=/D,/B=/E,BC=EF,△°BQABC与△DEF

全等吗?能利用角边角条件证明你的结论吗？

师：看已知条什，能否用“角边角”条件证明.

生独立思考，探究……再小组合作完成.

师：你是怎么证明的？（让小组派代表上台汇报）

小组1：

小组2：……投影仪展示学生证明过程

（根据学生的不同探究结果，进行不同的引导）

师：从这可以看出，从这些已知条件中能得出两个三角形全等.这又反映了一个什么规律？

生1：两个角和其中一条边对应相等的两个三角形全等.

生2：在"ASA”中，“边”必须是“两角的夹边”,而这里，“边”可以是“其中一个角的对边”.

师：非常好，这里的“边”是“其中一个角的对边”.那怎样更完整的表述这一规律？

生1：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等.

师：生1很好，这条件我们可以简写成“角角边”或“AAS”，又增加了判定两个三角形全等的一个条

件.

强调“AAS”中的边是“其中一个角的对边”.

多让几个学生描述，进一步培养归纳、表达的能力.

例2.教材101页1题。

师：从这道例题中，我们又得出了证明线段相等的又一方法，先证两线段所在的三角形全等，这样，

对应边也就相等了.

探究7：

（1）三角对应相等的两个三角形全等吗？（课件出示题目）

师：想想，怎样来探究这个问题？

生1：...

生2：….

引导学生通过“画两个三角对应相等的三角形”，看是否一定全等，或“用两个同一形状但大小不同的三

角板”等等方法来探究说明.

师：这一规律我们可以怎样表达？

生1：….

生2：三个角对应相等的两个三角形不一定全等.

（2）师：说得非常好.现在我们来小结一下；判定两个三角形全等我们已有了哪些方法？

生：SSSSASASAAAS

小结提高

师：这节课通过对两个三角形全等条件的进一步探究，你有什么收获？

巩固练习

教科书第101页，练习2.

布置作业

1。必做题：教科书第103页习题13.2第6、11题

2.如图，小明不慎将一块三角形模具打碎为两块，他是否可以只带其中的一块碎片到商店去，就能配一

块与原来一样的三角形模具呢?如果可以，带哪块去合适?为什么？

课题：12.2三角形全等的条件(4)

教学目标

①探索并掌握两个直角三角形全等的条件：HL,并能应用它判别两个直角三角形是否全等.

②经历作图、比较、证明等探究过程，提高分析、作图、归纳、表达、逻辑推理等能力；并通过对知识方

法的总结，培养反思的习惯，培养理性思维.

③提高应用数学的意识.

教学重点

理解，掌握三角形全等的条件：HL.

教学过程：

提问：

1、判定两个三角形全等方法有：,，,。

创设情境：

(显示图片)，舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人员想知道这两个直角三角形是否全等，但每个

三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量.

(1)你能帮他想个办法吗？

方法一：测量斜边和一个对应的锐角.(AAS)

方法二：测量没遮住的一条直角边和一个对应的锐角.(ASA)或(AAS)

⑵如果他只带了一个卷尺，能完成这个任务吗？

工作人员测量了每个三角形没有被遮住的直角边和斜边，发现它们分别对应相等，于是他就肯定“两个直

角三角形是全等的”.你相信他的结论吗？

下面让我们一起来验证这个结论。

新课：

已知线段a、c(a<c)和一个直角a,利用尺规作一个RtaABC,使NC=Za,CB=a,AB=c.

想一想，怎样画呢？

按照下面的步骤做一做：

⑴作NMCN=/a=90°;

⑵在射线CM上截取线段CB=a

⑶以B为圆心,C为半径画弧，交射线CN于点A;

(4)连接AB.

⑴AABC就是所求作的三角形吗？

⑵剪下这个三角形，和其他同学所作的三角形进行比较，它们能重合吗?

宜角三角形全等的条件

斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.

简写成“斜边、直角边”或“HL”.

想一想

你能够用几种方法说明两个直角三角形全等？

直角三角形是特殊的三角形，所以不仅有一般

三角形判定全等的方法:SAS、ASA、NAS、SSS,

还有直角三角形特殊的判定方法一一“HL”.

例如图，AC16C,8Z)1AD,AC=8r)

求证：BC=AD.

练一练：

1.如图，两根长度为12米的绳子，一端系在旗杆上,

另一端分别固定在地面两个木桩上，两个木桩离旗

杆底部的距离相等吗？请说明你的理由。

2.如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC

与右边滑梯水平方向的长度DF相等，两个滑梯的倾

斜角NABC和NDFE的大小有什么关系？

解：NABC+NDFE=90°.理由如下：

在RSABC和RSDEF中，

则

BC=EF,

AC=DF.

二RtAABC^RtADEF(HL).

AZABC=ZDEF

(全等三角形对应角相等).

又NDEF+NDFE=90°,

AZABC+ZDFE=90°.

小结：这节课你有什么收获呢？与你的同伴进行交流

作业：104页7、8。

§12.3角的平分线的性质

§12.3.1角的平分线的性质（一）

教学目标

（-）教学知识点

角平分线的画法.

（二）能力训练要求

1.应用三角形全等的知识，解释角平分线的原理.

2.会用尺规作一个已知角的平分线.

（三）情感与价值观要求

在利用尺规作图的过程中，培养学生动手操作能力与探索精神.

教学重点

利用尺规作已知角的平分线.

教学难点

角的平分线的作图方法的提炼.

教学方法

讲练结合法.

教具准备

多媒体课件（或投影）.

教学过程

I,提出问题，创设情境

问题1：三角形中有哪些重要线段.

问题2：你能作出这些线段吗？

［生甲］三角形中有三条重要线段，它们分别是：三角形的高，三角形的中线，三角形的角的平分线.

过三角形的顶点作这个顶点的对边的垂线，交对边于一点，顶点与垂足的连线就是这个三角形的高.

取三角形一边的中点，此中点与这个边对应顶点的连线就是这条边的中线.

用量角器量出三角形的角的大小，量角器零度线与这个角的一边重合，这个角一半所对应的线就是这

个角的角平分线.

［生乙］我不同意你对角平分线的描述，三角形的角平分线是一条线段，而一个己知角的平分线是一条

射线，这两个概念是有区别的.

［师］你补充得很好.数学是一门严密性很强的学科，你的这种精神值得我们学习.

如果老师手里只有直尺和圆规，你能帮我设计一个作角的平分线的操作方案吗？

n.导入新课

［生］我记得在学直角三角形全等的条件时做过这样一个题：

在NAOB的两边0A和0B上分别取OM=ON,MC±OA,NC±OB.MC与NC交于C

点.

求证：ZMOC=ZNOC.

通过证明Rt^MOC丝Rt^NOC,即可证明/M0C=NN0C,所以射线0C就是N

AOB的平分线.

受这个题的启示，我们能不能这样做：

在已知NA0B的两边上分别截取OM=ON,再分别过M、N作MCLOA,NC±OB,

MC与NC交于C点，连接0C,那么0C就是NA0B的平分线了.

［师］他这个方案可行吗？

（学生思考、讨论后，统一思想，认为可行）

［师］这位同学不仅给了操作方法，而且还讲明了操作原理.这种学以致用，联想迁移的学习方法值

得大家借鉴.

议一议：下图是一个平分角的仪器，其中AB=AD,BC=DC.将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两

边放下，沿AC画一条射线AE,AE就是角平分线.你能说明它的道理吗？

教师活动：

播放多媒体课件，演示角平分仪器的操作过程，使学生直观A「解得到射

线AC的方法.

学生活动：

观看多媒体课件，讨论操作原理.

［生1］要说明AC是/DAC的平分线，其实就是证明NCAD=NCAB.

［生2］ZCAD和/CAB分别在4CAD和aCAB中，那么证明这两个三角形全

等就可以了.

［生3］我们看看条件够不够.©El

AB=AD

<BC=DC

AC=AC

所以△ABCg/\ADC(SSS).

所以NCAD=NCAB.

即射线AC就是NDAB的平分线.

［生4］原来用三角形全等，就可以解决角相等.线段相等的一些问题.看来温故是可以知新的.

老师再提出问题：

通过上述探究，能否总结出尺规作已知角的平分线的一般方法.自己动手做做看.然后与同伴交流操

作心得.

(分小组完成这项活动，教师可参与到学生活动中，及时发现问题，给予启发和指导，使讲评更具有

针对性)

讨论结果展示：

作已知角的平分线的方法：

已知：ZAOB.

求作：NAOB的平分线.

作法：

(1)以。为圆心，适当长为半径作弧，分别交OA、0B于M、N.

(2)分别以M、N为圆心，大于‘MN的长为半径作弧.两弧在NAOB内部交于点C.