《第四章指数函数与对数函数》《4. 2. 2 指数函数的图像和性质》教案

《第四章指数函数与对数函数》

《4.2.2指数函数的图像和性质》教案

【教材分析】

本节课在已学指数函数的概念，接着研究指数函数的图像和性质，从而深化

学生对指数函数的理解，并且了解较为全面的研究函数的方法，为以后在研究对

数函数募函数等其它函数打下基础。另外，我们日常生活中的很多方面都涉及到

了指数函数的知识，例如细胞分裂，放射性物质衰变，贷款利率等，所以学习这

一节具有很大的现实价值。

【教学目标与核心素养】

课程目标

1、掌握指数函数的图象和性质，培养学生实际应用函数的能力；

2、通过观察图象，分析、归纳、总结指数函数的性质；

3、在指数函数的学习过程中，体验数学的科学价值并养成勇于探索的良好习

惯.

数学学科素养

1.数学抽象：指数函数的图像与性质；

2.逻辑推理：图像平移问题；

3.数学运算：求函数的定义域与值域；

4.数据分析：利用指数函数的性质比较两个函数值的大小：

5.数学建模：通过由抽象到具体，由具体到一般的数形结合思想总结指数函

数性质.

【教学重难点】

重点：指数函数的图象和性质；

难点：对底数的分类，如何由图象、解析式归纳指数函数的性质.

【教学方法】：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。

【教学过程】

一、情景导入

请学生用三点画图法画y=2。y=(±)，图像，观察两个函数图像猜测指数函

数有哪些性质？

要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.

二、预习课本，引入新课

阅读课本H6-117页，思考并完成以下问题

1.结合指数函数的图象，可归纳出指数函数具有哪些性质？

2.指数函数的图象过哪个定点？如何求指数型函数的定义域和值域问题？

要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。

三、新知探究

1、指数函数的图象和性质

a>\0<QV1

图象

(1)定义域：R

(2)值域：(0,+oo)

性质

(3)过点(0,1),即x=0时y=l

(4)在H上是增函数(4)在H上是减函数

四、典例分析、举一反三

题型一指数函数的图象问题

题点一：指数型函数过定点问题

例1函数y=a*T+3(a>0,且aWl)的图象过定点.

【答案】(3,4)

【解析】因为指数函数y=a*(a>0,且aWl)的图象过定点(0,1),所以在

函数y=a'T+3中，令x—3=0,得x=3,止匕时y=l+3=4,即函数y=a*T+3

的图象过定点(3,4).

题点二：指数型函数图象中数据判断

例2函数f(x)=axf的图象如图所示，其中a,b为常数，则下列结论正确

的是()

A.a>l,b<0B.a>l,b>0

C.0<a<l,b>0D.0<a<l,b<0

【答案】D

【解析】从曲线的变化趋势，可以得到函数f(x)为减函数,从而有OVaVl；

从曲线位置看，是由函数y=aX(O<aVl)的图象向左平移I—b|个单位长度得至U，

所以一b>0,即b<0.

题点三：作指数型函数的图象

例3画出下列函数的图象，并说明它们是由函数f(x)=才的图象经过怎样

的变换得到的.

(l)y=2x+l；(2)y=-2x.

【答案】见解析

【解析】如图.(l)y=2*+l的图象是由丫=2*的

图象向上平移1个单位长度得到的；

(2)y=—才的图象与y=2x的图象关于x轴对称.

解题技巧：(指数函数的图像问题)

1.指数函数在同一平面直角坐标系中的图象的相对位置与底数大小的关系：

在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小;在y轴左侧，图象从上到下相应

的底数由小变大.

无论指数函数的底数a如何变化,指数函数丫=a*(a>0,且aWl)的图象与直线

x=l相交于点(1,a),因此,直线x=l与各图象交点的纵坐标即为底数，由此可得底

数的大小.

2.因为函数y=ax的图象恒过点(0,1),所以对于函数f(x)=kag(x)+b(k,a,b

均为常数,且k关0,a>0,且aWl).若g(m)=0,则f(x)的图象过定点(m,k+b).

3.指数函数y=ax与y=G)(a>0,且aWl)的图象关于y轴对称.

4.处理函数图象问题的常用方法:一是抓住图象上的特殊点；二是利用图象

的变换;三是利用函数的奇偶性与单调性.

跟踪训练一

1、如图是指数函数:①y=a；②丫+,③y=c\④②丁十③

丫=#的图象，则a,b,c,d与1的大小关系是()/

A.a<b<Kc<dB,b<a<l<d<c

C.l<a<b<c<dD.a<b<l<d<c----/

2、已知函数f(x)=a'”+3的图象一定过点P,I

则点P的坐标是.

3、函数y=(g)w的图象有什么特征?你能根据图象指出其值域和单调区间吗?

【答案】LB2.(-1,4)3.原函数的图象关于y轴对称.由图象可知值域是

(0,1],单调递增区间是(-8,0],单调递减区间是(0,+8).

【解析】1、解析：(方法一)①②中函数的底数小于1且大于0,在y轴右边,

底数越小，图象

向下越靠近x轴,故有b〈a,③④中函数的底数大于1,在y轴右边,底数越大,

图象向上越靠近y轴,故有d<c.故选B.

(方法二)作直线x=l,与函数①,②,③,④的图象分别交于A,B,C,D四点，

将x=l代入各个函数可得函数值等于底数值，①,斗产④

所以交点的纵坐标越大,则对应函数的底数越大.

由图可知b<a<l<d<c,故选B.二

'1x

答案:B

2、解析:*.*当x+l=0,即x=-l时,f(x)=a°+3=4恒成立,故函数f(x)=ax+1+3恒

过(T,4)点.vi

・•.其图象由y=Q)X(xNO)和y=2x(x<0)的图象合并而成.

而y=g)(x〉0)和y=2x(x<0)的图象关于y轴对称,所以原函数的图象关于y

轴对称.由图象可知值域是(0,1],单调递增区间是(-8,0],单调递减区间是

(0,+8).

题型二指数函数的性质及其应用

题点一：比较两个函数值的大小

例4比较下列各题中两个值的大小：

(1)1.72-5与I/

(2)0.8一企与0.8一6

(3)1.7.与0.9―

【答案】(1)1.7*<1.7“2)0.8一在V0.8一百(3)1.7°-3>0.931

【解析】⑴(单调性法)由于11—与1.73的底数是1,7,故构造函数y=l.V,

而函数yn.7”在R上是

增函数.又2.5<3,：A.72-5<l.73

(2)(单调性法)由于0.8-四与0.8-8的底数是0.8,故构造函数y=0.8,而函数

y=0.8”在R上是减函数.又-友>-6,所以0.8-四<0.8-遮

(3)(中间量法)由指数函数的性质，知0.931<0.9°=1,1.7°-3>1.7°=1,则

1,703>0,931

题点二：指数函数的定义域与值域问题

例5求下列函数的定义域与值域

⑴y=2上;(2)y=(|)"|x|.

【答案】(1)定义域为｛x|x©R,且xW4｝，值域为(0,1)U(1,+8).

(2)定义域为R,值域为[1,+8).

【解析】⑴,由X-4W0,得xW4,

.,•函数的定义域为｛x|xGR,且xW4｝.••.2HWL.・.y=2一的值域

x-4

为(0,1)U(1,+8).

⑵函数的定义域为R.1x1河.5(1)-"=◎">

故y=(§”的值域为[1,+8).

解题技巧：(指数函数的性质及其应用)

1.函数y=af⑻(a>0,且aWl)的定义域、值域:

⑴定义域的求法.函数y=a，3的定义域与y=f(x)的定义域相同.

(2)函数y=a""的值域的求法如下.

①换元,令t=f(x);

②求t=f(x)的定义域x©D;

③求t=f(x)的值域tGM;

④利用y=al的单调性求y=al(t£M)的值域.

2.比较累的大小的常用方法：

比

个

两

较

<的

大

小

大

小

较

比

跟踪训练二

1、比较下面两个数的大小：

(aT)-与(aT)2"(a〉l,且aW2).

2、比较下列各题中两个值的大小：

①2.53,2.55-7;

②k，削

③2.3-028,0.67cl.

【答案】1.当a>2时，(a-1严<(a-l产;当"a〈2时，(aT)(aT)*

2.①2.53<2,5".•②1.5々〉(3.③2.3^28<0.677

【解析】1、因为a〉l,且aW2,所以a-l〉0,且aTWl,

若a-l>l,即a>2,则y=(a-L),是增函数，(aT)1%(aT)”

若0<a-Kl,即Ka<2,则丫=6-1厂是减函数,，6-1严>6-1产.

故当a>2时，（a-l）L3<（a-l）z4;

当l〈a〈2时，（aT）g〉（aT）”

2.①（单调性法）由于2.5^与2.5"的底数是2.5,故构造函数y=2.5\而函数

y=2.5、在R上是增函数.

又3<5,7,A2.53<2.5力

②（化同底）1.5三（|[=图[俱Y=[（|）3]4=（|广,构造函数遥）：

VO<|<1,.，.y=（|）XaR上是减函数.又7<12,即1.5-7呜广

③（中间量法）由指数函数的性质，知2.3"8<2.3°=1,0.67-31>0.67°=1,则

3-O-28<O.67-31.

五、课堂小结

让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧

六、板书设计

4.2.2指数函数的图像与性质

1.指数函数图像例1例2例3

2.指数函数的性质例4例5

七、作业

课本118页习题4.2

【教学反思】

本节通过运用指数函数的图像及应用解决相关问题，侧重用实操，培养学生

的逻辑思维能力，提高学生的数学素养.

《4.2.2指数函数的图像和性质》导学案

【学习目标】

知识目标

1、掌握指数函数的图象和性质，培养学生实际应用函数的能力;

2、通过观察图象，分析、归纳、总结指数函数的性质;

3、在指数函数的学习过程中，体验数学的科学价值并养成勇于探索的良好习

惯.

核心素养

1.数学抽象指数函数的图像与性质;

2.逻辑推理图像平移问题;

3.数学运算求函数的定义域与值域;

4.数据分析利用指数函数的性质比较两个函数值的大小:

5.数学建模通过由抽象到具体，由具体到一般的数形结合思想总结指数函

数性质.

【重点与难点】

重点：指数函数的图象和性质;

难点：对底数的分类，如何由图象、解析式归纳指数函数的性质.

【学习过程】

一、预习导入

阅读课本H1T13页，填写。

1.指数函数的图像与性质

【小试牛刀】

1.函数尸（小一1），在R上是（

A.增函数B.奇函数

C.偶函数D.减函数

2.函数尸2r的图象是()

3.函数£&)=2工+3的值域为一

【自主探究】

题型一指数函数的图象问题

题点一：指数型函数过定点问题

例1函数y=a*T+3(a>0,且aWl)的图象过定点

题点二：指数型函数图象中数据判断

例2函数f(x)=aL°的图象如图所示，其中a,b为常

数，则下列结论正确的是()

A.a>l,b<0B.a>l,b>0

C.0<a<l,b>0D.0<a<l,b<0

题点三：作指数型函数的图象

例3画出下列函数的图象，并说明它们是由函数£&)=才的图象经过怎样

的变换得到的.

⑴y=2、+l；(2)y=-2*.

跟踪训练一

］、如图是指数函数:①y=a；②y=b*,③y=c；④y=d'的图象,贝|a,b,c,d与］

的大小关系是()

A.a<b<l<c<dB.b<a<Kd<c

C.l<a<b<c<dD.a<b<l<d<c

2、已知函数f(x)=a*，3的图象一定过点P,

则点P的坐标是.

3、函数y=(；/的图象有什么特征?你能根据图象指出其值域和单调区间

吗？

题型二指数函数的性质及其应用

题点一：比较两个函数值的大小

1.725与170.8-点与0.8一有

例4比较下列各题中两个值的大小：

(1)1.725与1.73

(2)0.8-e与0.8-遮

(3)1.7—与oyi

题点二：指数函数的定义域与值域问题

例5求下列函数的定义域与值域

⑴y=2专;(2)y=(|y|x|.

跟踪训练二

1、比较下面两个数的大小：

(aT)「3与(aT)2"(a>l,且aW2).

2、比较下列各题中两个值的大小：

①2.53,2.56-7;

②⑸①

③2.3-0-28,0.67~。

【课堂检测】

1.函数/(%)=屋+1+2(a>0且awl)的图象恒过定点()

A.(0,3)B.(1,3)C.(-1,2)D.(-1,3)

._____x

2.设函数f(x)=4^不，则函数f(7)的定义域为()

A.(—8,4]B.1巴/C.(0,4]D.[o,；

3.设a=0.6°3,b=0.3。6,C=0.3°-3,则a,4c的大小关系为()

A.b<-a<-cB.a<-c<bC.b<c<aD.c<-b<a

4.已知函数/1(x)=a，+力(a>0,aWl)的定义域和值域都是[-1,0],则a

+b=.

5.不等式22,一一<1耳的解集为.

6.已知函数/(X)=2,T。

(1)求函数〃x)的定义域；

(2)判断函数/(x)的奇偶性，并证明；

(3)解不等式/(无)24。

答案

小试牛刀

1.D2.B3.(3,+8)

自主探究

例1【答案】(3,4)

【解析】因为指数函数y=a*(a>0,且aWl)的图象过定点(0,1),所以在

函数y=a'T+3中，令x—3=0,得x=3,止匕时y=l+3=4,即函数y=a'T+3

的图象过定点(3,4).

例2【答案】D

【解析】从曲线的变化趋势，可以得到函数f(x)为减函数,从而有0<a<l；

从曲线位置看，是由函数y=a，(O<a<l)的图象向左平移I—b1个单位长度得至IJ,

所以一b>0,即b<0.

例3【答案】见解析

【解析】如图.(l)y=2*+l的图象是由y=2”的图象向上平移1个单位

长度得到的；

(2)y=—2，的图象与y=2”的图象关于x轴对称.

跟踪训练一

【答案】1.B2.（-1,4）3.原函数的图象关于y轴对称.由图象可

知值域是（0,1],单调递增区间是（-8,0],单调递减区间是（0,+8）.

【解析】1、（方法一）①②中函数的底数小于1且大于0,在y轴右边，底数

越小，图象

向下越靠近x轴,故有b〈a,③④中函数的底数大于1,在y轴右边,底数越大,

图象向上越靠近y轴，故有d<c.故选B.

（方法二）作直线x=l,与函数①,②,③,④的图象分别交于A,B,C,D四点,

将x=l代入各个函数可得函数值等于底数值，

所以交点的纵坐标越大,则对应函数的底数越大.

由图可知b<a<l<d<c.故选B.

答案:B

2、当x+l=0,即x=-l时,f(x)=a°+3=4恒成立,故函数f(x)=ax+1+3恒过(-1,4)

・•.其图象由y=CY（x三0）和y=2x（x<0）的图象合并而成.

而y=（l）X（x>0）和y=2'（x<0）的图象关于y轴对称,所以原函数的图象关于y

轴对称.由图象可知值域是（0,1],单调递增区间是（-8,0],单调递减区间是（0,+

8),

例4【答案】(1)1.72-5<1,73(2)0.8-0.8-8(3)1.7*〉

0.931

【解析】（1）（单调性法）由于1.7之与1.7?5的底数是1.7,故构造函数y=l.7\

而函数y=l.7'在R上是增函数.又2,5<3,Al.72-5<1.73.

（2）（单调性法）由于0.8-池与88-旧的底数是0.8,故构造函数y=0.8：而函数

y=0.8”在R上是减函数.又所以0.8-危<0.8-何

(3)(中间量法)由指数函数的性质，知0.931<0.9°=1,1.731>1.7°=1,则1.731>

0.931.

例5【答案】(1)定义域为｛x|x©R,且xW4｝，值域为(0,1)U(1,+8).

(2)定义域为R,值域为［1,+8).

【解析】⑴•.,由X-4W0,得xW4,

...函数的定义域为｛x|x£R,且xW4｝..,.2〃WL，y=2二的值域

x—4

为(0,1)U(1,+8).

(2)函数的定义域为R.1x］河.5()"=©">

故y=O11的值域为［i，+8).

跟踪训练二

【答案】1.当a>2时,—(a-1产;当l〈a<2时，(aT)->(a-l产.

2.①2.53<2,55-7.②1.⑥\③2.3^28<0,677

【解析】1、因为a〉l,且aW2,所以a-l〉0,且aTWl,

若a-l>l,即a>2,则y=(aT)*是增函数，I.(a-1)*-3<(a-1)2-4.

若0<a-Kl,即l<a<2,则y=(aT)*是减函数，I.(a-1)L3>(a-1)24.

故当a>2时，(a-l)L3〈(a-l)24；

当l〈a〈2时，(aT)L3〉(aT)T

2.①(单调性法)由于2.5,与2.5"的底数是2.5,故构造函数y=2.5\而函数

y=2.5*在R上是增函数.

又3<5,7,A2.53<2.5叱

②（化同底）1.5三（1）-7=®7>O4=[®3]4=®12，构造函数y=6）：

VO<|<1,.,.y=（|）X^R上是减函数.又7<12,>（|广,即1.5,）⑥：

③（中间量法）由指数函数的性质，知2.3-028<2.3°=1,0.67~31>0.67°=1,则

，-3.1

当堂检测

1-3.DAC

5.(-1,2)

6.【答案】(1)R-,(2)详见解析；(3)或x<-g｝.

【解析】(1)易知函数/(X)=2,T,XGR.

所以定义域为H.

(2)由/(_X)=2(T)2T=2小=〃x),从而知/(x)为偶函数;

(3)由条件得2j24=22，得公_1»2,解得或

所以不等式的解集为：｛x|x26或x<-百｝.

《4.2.2指数函数的图像及性质》分层同步练习一

巩固基础

1.若则实数a的取值范围是()

A.(1,+°°)B.(；,+°°)C.(-8,1)D.(一8,1)

2.若函数F(x)=(l—2a)'在实数集R上是减函数，则实数a的取值范围是

()

3.设F(x)为奇函数，且当xNO时，/1(x)=e*—l,则当A<0时，f(x)=()

A.e'—1B.e*+1

C.—e=lD.—L+l

4.函数y=a"在［0,1］上的最大值与最小值的和为3,则函数y=2ax—1在

［0,1］上的最大值是()

A.6B.1C.3

z[xX2+2X-1

5.函数y=g的值域是()

A.(—8,4)B.(0,+8)c.(0,4]D.[4,+«=)

6.满足方程4'+2“一2=0的x值为.

7.比较下列各组数的大小：

(1)0.7f与0.7-0-4；

⑵2.514与1.21-4；

(3)1.9。4与0.92\

8.已知函数f(x)=&)a*—4x+3.

⑴若a=—1时，求函数F(x)的单调增区间；

⑵如果函数/1(x)有最大值3,求实数a的值.

综合应用

—x-I-3ax<0

9.函数/1(x)={,/'(a>0,且aWl)是R上的减函数，则a

[a,

的取值范围是()

A.(0,1)B.1)C.10,；D.10,|

10.若函数f(x)=a"T(a〉0,aWl),满足/U)=]则/1(x)的单调递减区

y

间是()

A.(-8,2]B.[2,+°0)

C.[—2,+8)D.(—8,-2]

11.已知函数/1(x)=a2f(a>0且aWl),当x>2时，f{x)>1,则/1(x)在R

上()

A.是增函数

B.是减函数

C.当x〉2时是增函数，当x〈2时是减函数

D.当x〉2时是减函数，当x〈2时是增函数

12.已知定义在R上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)+g(x)=a-ax

+2(a>0,且aWl).若g(2)=a,则/'(2)等于()

13.已知函数/1(x)=a",若实数/、满足/■(血〉/1(〃)，贝IJ7、n

乙IA

的关系为()

A.%+〃<0B.勿+4>0C.ni>nD.nKn

14.已知函数Hx)是定义在R上的奇函数，当x>0时，〃x)=l—2一',则不

等式/'(xX—；的解集是.

15.函数尸32—2•3」1,xd[l,+8)的值域为.

16.用清水漂洗衣服，若每次能洗去污垢的脑要使存留污垢不超过原来的

1%,则至少要漂洗次.

17.已知f{x)=x(/i+$).

z—1乙

(1)求f(x)的定义域；

(2)判断F(x)的奇偶性，并说明理由;

(3)求证:f{x)>0.

18.已知定义域为R的函数F(X)=K丁是奇函数.

2十H

⑴求a,6的值;

⑵用定义证明Hx)在(一8,+8)上为减函数.

⑶若对于任意teR,不等式/1(y—2t)+a2/一团<0恒成立，求A的范

【参考答案】

1.B解析\•函数y=(；)”在R上为减函数，.•.2a+l〉3—2a,...a〉(

2.B解析由已知，得0〈l—2a〈l,解得0〈a〈；，即实数a的取值范围是

(0,故选B.

3.D解析由题意知/'(x)是奇函数，且当xNO时，f{x)=eA—1,则当x〈0

时，一x〉0,则/1(—x)=e-*—l=—•/1(«),得/1(x)=—e-"+l.故选D.

4.C解析函数y=a*在。1］上是单调的，最大值与最小值都在端点处

取到，故有a°+4=3,解得a=2,因此函数y=2ax—l=4x—l在［0,1］上是单

调递增函数，当x=l时，ymax=3.

5.C解析设力=f+2、-1,则尸，)［因为［=(x+l)2—22—2,y=

(1)'为关于t的减函数，所以0〈尸(J)W(|)-2=4,故所求函数的值域为(0,4］.

6.0解析设t=2\t>Q'),则原方程化为/+%—2=0,，=1或t=-2.

t>0,方=一2舍去.t=1,即2"=1,...x=0.

7.解(1)..,y=0.7"在R上为减函数，又3〉一0.4,7一°上0.7f々

(2)在同一坐标系中作出函数y=2.5,与y=l.2'的

图象，如图所示.由图象可知2.5「4>1.21.

(3)VI.904>1.9°=l,0.92-4<0.9°=1,Al.904>0.9空

8.解(1)当a=—1时，F(X)=[]"H+3,

令g(x)=—1—4x+3=—(x+2”+7,由于g(x)

在(一2,十8)上递减，在R上是减函数,

Mx)在(一2,+8)上是增函数,即F(x)的单调增区间是(一2,+8).

⑵令力(x-,f(x)=［|r,由于f(x)有最大值3,所以方(X)

ja〉O,

应有最小值一1;因此必有，12a-16_

解得a=l,故当Hx)有最大值

I-4a-=一

3时，a的值为1.

［0<a<L1

9.B解析由单调性定义，/1(x)为减函数应满足：《°°，即

3a7aJ

故选B.

10.B解析由/U)得a』"所以a=：(a=—J舍去)，即F(x)=(；)隈

yyooo

由于尸|2x—4|在(一8,2］上递减，在［2,+8)上递增，所以f(x)在(一

8,2］上递增，在［2,+8)上递减.

11.A解析令2—x=3则t=2—x是减函数，因为当x〉2时，f(x)>1,

所以当K0时，a'〉l.所以0〈a〈l,所以/'(x)在R上是增函数，故选A.

12.B解析是奇函数，g(x)是偶函数，

:.由f(x)+g(x)=a—『+2,①得/一x)+g(-x)=-f(x)+g(x)=",

-a~\~2,②

①+②，得g(x)=2,①一②，得f(x)=a—a\又g(2)~a,.,.a—2,

二2»一2:

15

.\A2)=22-2-2=y.

13.D解析，.,()〈m211'；"(x)=a，=(也2*’且广(才)在R上单调

递减，又f1(血〉F(〃)，欣〃.

14.(—8,-1)解析•."(X)是定义在R上的奇函数，•,"(0)=0.

当x<0时，F(x)=—f(—x)=—(1—2')=2-1.当x〉0时，由1—2一y一

(；尸>|，得x©0；

当x=0时，/XO)=0〈一(不成立；当x〈0时，由2，一1〈一；，2,〈2一1得x〈

-1.

综上可知x@(—8,-1).

15.[14,+0°)解析]令3'=焉由xG[l,+8),得力©[3,+°°).

・•/=/+21-1="+1)2—2三(3+1)2—2=14.故所求函数的值域为[14,

+°°).

16.4解析经过第一次漂洗，存留量为总量的;；经过第二次漂洗，存留

量为第一次漂洗后的;，也就是原来的［J,经过第三次漂洗，存留量为原来的

3,…，经过第x次漂洗，存留量为原来的弓卜故解析式为.由题意，耳

"W焉，4，三100,2氏三10,.•.xN4,即至少漂洗4次.

17.⑴解由于2*—1W0和2，W2°,故xWO,所以函数f(x)的定义域为

{^ER|^#0}.

(2)解函数Ax)是偶函数.理由如下：

由⑴知函数f(x)的定义域关于原点对称，因为Ax)=x(17+〈)=

Z—1z

X.2'+1

2,2A-r

匚匚…,、x2^+1X2-1+1-2'x1+2'x2"+1,、

所以f(-x)=--•2._]=—2*2-T2'=~2,1—2A=2*2A~1=,"

所以Hx)为偶函数.

x9^-I-1

⑶证明由⑵知F(x)=5・k7•对于任意XGR，都有才+1〉0,

/z—1

xV+\

若x〉0,则2,2°,所以2'-1>0,于是5•十7>0,即f(x)>0,

zz—1

x2^-I-1

若x<0,则2<2°,所以2'-1<0,于是w>0,即F(x)>0,

22—1

综上知:f(x)>0.

18.解(1)•.♦/1(X)为R上的奇函数，••.f(0)=0,6=1.又F(—1)=—H1),

得a=l.

]_2百1_2吃

(2)任取苞，苞©R,且王<在，则A^i)—AJT)=--------—~-=

22』+12七+1

(1-2为)(2*+1)-(1-2河)(2』+1)

(2国+1)(2*+1)

2(2也-2国)

(2国+1)(2*+1)

•.♦为<苞,2亚-2为>0,又(2为+1)(2*+1)>0,F(xi)—f(莅)>0

••"(x)为R上的减函数.

(3)VteR,不等式At2—2^)+f(2t2—A)<0恒成立，.,"(4一21)V一((2♦

i)

,.♦/10)是奇函数，；"(#—21)〈/>(4—2。)，：/>0)为减函数，，#—2%>/

-21?.

即4<3d一2%恒成立，而3干一2t=3（1—；）‘一1三一；.

OOO

1

k<--

《§4.2.2指数函数的图像及性质》同步练习二

一.选择题

1.已知集合4=卜卜=,4—2，,xeN},则集合A的子集个数为（）

A.8B.16

C.4D.7

2.若函数丁=优+"+1（。>0且awl）的图象恒过定点P（T2）,则勿的值是

（）

A.-1B.0

C.1D.2

3.函数丁=%+。与y=,其中a>0,且awl,它们的大致图象在同一直

角坐标系中有可能是（）

4.函数丁=加（。＞1）的图象是（)

已知函数/(x)=(£|,

5.则不等式/"-4）＞/（3a）的解集为（

A.(-4,1)B.(-1,4)

C.(1,4)D.(0,4)

已知函数/■（%）=/-己广，则下列判断正确的是（）

6.

e

A.函数/（X）是奇函数,且在R上是增函数

B.函数是偶函数,且在R上是增函数

C.函数/（x）是奇函数,且在R上是减函数

D.函数了。）是偶函数,且在R上是减函数

2-2X

函数/"（X）=g]X

7.I的单调递减区间为（）

A.(0,+co)B.(1,+»)

C.(5)D.(-oo,-l)

8.若的解集是函数＞=2,的定义域，则函数y=2,的值域是（）

A.B.r2

1

C.—oo—D.[2,+8)

8

二.填空题

9.函数/（x）=5匕的定义域是.

10.若函数八%）=ax（。>0且awl）在［1,2］上最大值是最小值的2倍，则。=

三.解答题y

2%x<0

n.已知函数/'（%）="二丫Y、。，

•X十T■人,人，U

（1）求/（/（5））的值；

（2）画出函数"%）的图像;

（3）求函数〃尤）的单调区间，并写出函数〃尤）的值域.

一+6%-5

12.已知函数/(x)=[£|

（1）求函数Ax）的定义域;

（2）求函数Ax）的单调增区间和单调减区间;

（3）求函数f（x）的值域.

【参考答案】

一.选择题

1.已知集合4=卜卜=，4—2\xeN},则集合A的子集个数为（）