2020-2021学年广西百色市九年级（上）期末数学试卷（解析版）

2020-2021学年广西百色市九年级第一学期期末数学试卷

一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分）

1.下列函数解析式中，一定为二次函数的是（）

A.y=3尤-1B.y=ax2+bx+cC.s=2fi-2t+lD.y=x2+—

x

2.下列关于二次函数y=2尤2+3,下列说法正确的是（）

A.它的开口方向向下

B.它的顶点坐标是（2,3）

C.当尤<-1时，y随x的增大而增大

D.当x=0时，y有最小值是3

3.甲、乙两城市的实际距离为500加1,在比例尺为1：10000000的地图上，则这两城市之

间的图上距离为（）

A.0.5cmB.5cmC.50cmD.500cm

4.下列四条线段中，成比例的是（）

A.a=l,b=2,c=3,d=4B.a=\,b=2,c=3,d=6

C.〃=2,b=3,c=4,d=12D.a=3,b=2,c=5,d=6

5.若△ABCSLDEF,相似比为1：3,则△ABC与AOE尸的对应角平分线的比为（）

A.1：2B.1：4C.1：3D.1：9

6.如图，已知RtZXABC中，ZC=90°,AB=10,AC=8,则tanB的值为（）

7.某人沿坡度，=1：2的斜坡向上前进了10米，则他上升的高度为（）

A.5米B.2泥米C.%石米D.10代米

8.下列四个函数图象中，当x<0时，函数值y随自变量x的增大而减小的是（）

9.如图，把一张矩形纸片ABC。沿着和BC边的中点连线跖对折，对折后所得的矩形

正好与原来的矩形相似，则原矩形纸片长与宽的比为（）

AED

BFC

A.4：1B.5/2：1C.1：V2D.2：1

10.如图，在网格中，小正方形的边长均为1,点A,B,C都在格点上，则/A3C的正切

11.如图nABCD,尸为中点，延长AD至E,使。E：AD=1：3,连接所交DC于点G,

贝!JS/xDEG：S^CFG=()

12.二次函数y=ax1+bx+c的图象如图所示，以下结论：①〃+b+c=0；②4〃+/?=0；③abc

<0；®4ac-Z?2<0,其中正确的有（）个.

C.3D.4

二、填空题(共6小题，每小题3分，共18分)

13.若将抛物线y=-2N+1向下平移1个单位后，则所得新抛物线的解析式是

14.若点尸(12,a')在反比例函数>=也的图象上，则cos/尸。"的值为.

x

16.如图，在△ABC中，。为A3边上的一点，要使△ABCs成立，还需要添加一个

条件为_______

17.如图，将矩形ABCQ沿AE折叠，点。恰好落在BC边上的点尸处，如果A8：AO=3：

18.在平面直角坐标系中，函数y=-x+3a+2(a#0)和y=x2-ar的图象相交于尸，。两

点.若P,。都在x轴的上方，则实数a的取值范围是.

三、解答题(本大题共8小题，共66分)

■Jo1

19.cos60°+"sin45°+|1-3tan30°|-(―)-1.

22

20.如图，一次函数yi=-x+5与反比例函数y2=X的图象交于A(1,m)、B(4,〃)两

x

点.

(1)求A、5两点的坐标和反比例函数的解析式；

(2)根据图象，直接写出当时x的取值范围；

(3)求05的面积.

21.在如图所小的平面直角系中，已知A(-3,-3),8(-1,-3),C(-1,-1)

(方格中每个小正方形的边长均为1个单位).

(1)画出△ABC；

(2)以原点。为位似中心，相似比为2,在第一象限内将AABC放大，画出放大后的图

形△ALBCI；并写出点4的坐标

成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB,AC上，这个正方

形零件的边长是多少mm2

23.据调查，超速行驶是引发交通事故的主要原因之一.小强用所学知识对一条笔直公路上

的车辆进行测速，如图所示，观测点C到公路的距离C0=200%，检测路段的起点A位

于点C的南偏东60°方向上，终点2位于点C的南偏东45°方向上.一辆轿车由东向

西匀速行驶，测得此车由A处行驶到B处的时间为10s.问此车是否超过了该路段16m/s

的限制速度？（观测点C离地面的距离忽略不计，参考数据：V2^1.41,V3^1.73）

24.如图，△ABC中，ZACB=9Q°,CO_LAB于。，E为AC的中点，ED、C8的延长线

交于点F.

(1)求证：XFDBs△FCD；

七、工DFBC

(2)求证：CF"AC

25.2020年春节期间，新型冠状病毒肆虐，突如其来的疫情让大多数人不能外出，网络销

售成为这个时期最重要的一种销售方式.某乡镇贸易公司因此开设了一家网店，销售当

地某种农产品.已知该农产品成本为每千克10元.调查发现，每天销售量y*g)与销

64(X10<X<14)

售单价x(元)满足的函数关系式为＞=(其中10<x.30)

-20x+920(14<x<30)

(1)分别求出销售单价为12元、20元时每天的销售利润.

(2)当销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？

26.如图，在平面直角坐标系中，已知点A(10,0),8(4,8),C(0,8),连接AB,

8C,点P在x轴上，从原点。出发，以每秒1个单位长度的速度向点A运动，同时点M

从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线A-8-C向点C运动，其中一点到达终

点时，另一点也随之停止运动，设P,M两点运动的时间为/秒.

(1)求A8长；

(2)设的面积为S,当0W/W5时，求S与/的函数关系式，并指出S取最大值

时，点P的位置；

(3)，为何值时，为直角三角形？

参考答案

一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分）

1.下列函数解析式中，一定为二次函数的是（）

A.y=3x-1B.y=ax1+bx+cC.s=2t2-2r+lD.y=x2+—

x

【分析】根据二次函数的定义，可得答案.

解：A、y=3x-l是一次函数，故A不符合题意；

B、y=ax1+bx+c（〃W0）是二次函数，故5不符合题意；

。、5=2/2-2什1是二次函数，故。符合题意；

D、＞=/+1■不是二次函数，故。不符合题意.

x

故选：C.

2.下列关于二次函数y=2N+3,下列说法正确的是（）

A.它的开口方向向下

B.它的顶点坐标是（2,3）

C.当尤＜-1时，y随x的增大而增大

D.当x=0时，y有最小值是3

【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否

正确.

解：：二次函数y=2无2+3,

...该函数的图象开口向上，对称轴是y轴，它的顶点坐标为（0,3）,

.•.当x=0时，函数有最小值3,当x＞0时，y随x的增大而增大，

故选项A、B、C错误，选项。正确；

故选：D.

3.甲、乙两城市的实际距离为500历〃，在比例尺为1：10000000的地图上，则这两城市之

间的图上距离为（）

A.0.5cmB.5cmC.50cmD.500cm

【分析】设这两城市之间的图上距离为xcm,利用比例尺的定义得到X：50000000=1：

10000000,然后利用比例性质求出X即可.

解：设这两城市之间的图上距离为XC7”,500km=50000000c?",

根据题意得无：50000000=1：10000000,

解得x=5,

即这两城市之间的图上距离为5cm.

故选：B.

4.下列四条线段中，成比例的是（）

A.a=l,b=2,c=3,d=4B.a=l,b=2,c=3,d=6

C.a—2,b=3,c—4,d—12D.a—3,b—1,c=5,d—6

【分析】根据比例线段的定义，分别计算各选项中最小的数与最大的数的积是否等于另

外两个数的积可判断四条线段成比例.

解：A、1X4W2X3,所以A选项不符合题意；

2、1X6=2X3,所以B选项符合题意；

C、2X12W3X4,所以C选项不符合题意；

D、2X6W8X5,所以。选项不符合题意；

故选：B.

5.若AABCSADEF,相似比为1：3,则△ABC与△£）斯的对应角平分线的比为（）

A.1：2B.1：4C.1：3D.1：9

【分析】利用相似三角形对应的角平分线的比等于相似比即可得到答案.

解：:△ABC与△ZJE尸的相似比为1：3,

.♦.△ABC与△。所对应的角平分线之比为1：3,

故选：C.

6.如图，已知Rt^ABC中，NC=90°,AB^10,AC=8,则tan3的值为（）

【分析】根据勾股定理，可得8C的长，根据正切函数的意义，可得答案.

解：在Rt^ABC中，由勾股定理，得

=22=

BCVAB-ACV102-82=6>

由正切函数的意义，得

tanB=^8=1

BC

故选：D.

7.某人沿坡度i=l：2的斜坡向上前进了10米，则他上升的高度为（）

A.5米B.2旄米C.人石米D.10代米

【分析】设8C=尤米，根据坡度的概念用尤表示出AC,根据勾股定理列出方程，解方程

得到答案.

解：设8C=尤米，

的坡度为i=l：2,

：.AC=2BC=2x^,

由勾股定理得：尤2+（2x）2=102,

解得：尤1=2旄，X2=_2炳（舍去），即他上升的高度为2遥米，

故选：B.

【分析】根据函数的图象分析函数的增减性，即可求出当%<0时，y随x的增大而减小

的函数.

解：4根据函数的图象可知y随尤的增大而增大，故本选项错误；

8、根据函数的图象可知在第二象限内y随x的增大而增大，故本选项错误；

C、根据函数的图象可知，当x<0时，在对称轴的右侧y随尤的增大而减小，在对称轴

的左侧y随尤的增大而增大，故本选项错误；

。、根据函数的图象可知，当尤＜0时，y随x的增大而减小；故本选项正确.

故选：D.

9.如图，把一张矩形纸片ABC。沿着和边的中点连线跖对折，对折后所得的矩形

正好与原来的矩形相似，则原矩形纸片长与宽的比为（）

AEp

BFC

A.4：1B.V2：1C.1：V2D.2：1

【分析】根据对应边的比相等列出比例式，计算即可.

解：：四边形ABFEs四边形BCDA,

.AB-VBC

FC肘，

则

故选：B.

10.如图，在网格中，小正方形的边长均为1,点A,B,C都在格点上，则NABC的正切

值是（）

l#kl.....j

：：：：B：

A?R275C.在D.《

A.ZD.

552

【分析】根据勾股定理，可得AC、A2的长，根据正切函数的定义，可得答案.

।::::

；!\]

解：如图：--

k----4-----------------------•

:：:：5：

由勾股定理，得

=

AC—^2，AB2yfQi9BC=T]0,

・・・△ABC为直角三角形,

AB2

故选：D.

11.如图口48。。，尸为中点，延长A0至£,使。及AD=1：3,连接E尸交。。于点G,

贝!jSzxOEG：SACFG=()

A.2：3B.3：2C.9：4D.4：9

【分析】先设出DE=X,进而得出AO=3x,再用平行四边形的性质得出3C=3x,进而

求出CF最后用相似三角形的性质即可得出结论.

解：设OE：X,

•:DE：AD=1：3,

.\AD=3x,

・・•四边形ABCD是平行四边形,

J.AD//BC,BC=AD=3x,

•・•点厂是5C的中点,

12

：.CF=-j-BC=^-x,

22

VAD//BC,

:.△DEGs^CFG,

S2kDEG=(DE)x

C3-)

2=

S/kCFGCF

万X

故选：D.

12.二次函数y=ax2-^-bx+c的图象如图所示，以下结论：①〃+b+c=0；②4〃+b=0；③abc

<0；@4ac-Z?2<0,其中正确的有（）个.

A.1B.2C.3D.4

【分析】利用1=1时，函数值为正数可对①进行判断；利用抛物线与x轴的交点坐标和

抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线X=-2=2,则可对②进行判断；利用抛物

线开口方向得。<0,利用对称轴在y轴的右侧得b>0；利用抛物线与y轴的交点在X轴

下方得c<0,于是可对③进行判断；根据抛物线与x轴的交点个数可对④进行判断.

解：：当x=l时，y=0,

.,.a+b+c—O,所以①正确；

:抛物线与无轴的交点坐标为（1,0）和（3,0）,

...抛物线的对称轴为直线x=-2=2,

.'.4a+b—0,所以②正确；

..•抛物线开口向下，

:对称轴在y轴的右侧，

：.b>0,

:抛物线与j轴的交点在无轴下方，

.'.c<0,所以。灰?>0,所以③错误；

:抛物线与x轴有2个交点，

A=b2-4ac>0,

BP4ac-Z>2<0,所以④正确.

故选：C.

二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）

13.若将抛物线y=-2N+1向下平移1个单位后,则所得新抛物线的解析式是y=-2N.

【分析】直接利用二次函数的平移规律得出答案.

解：将抛物线>=-2N+1向下平移1个单位后，则所得新抛物线的解析式是y=-2/+1

-1=-2x2.

故答案为：y=-2N.

14.若点尸（12,a）在反比例函数的图象上，则cos/尸。”的值为—与

x-13―

【分析】利用锐角三角函数的定义求解，cos/PO”为/POH的邻边比斜边，求出即可.

解：•.•尸（12,。）在反比例函数y=地图象上，

X

・.・PH_Lx轴于凡

:・PH=5,OH=n,

.-.OP=^52+122=13>

nil12

Acos

OP13

12

故答案为：—7«

J.J

15.若电=工，则斗生

a4b3

【分析】根据已知条件得咤J,再把詈化成唁然后计算即可得出答案.

•.•a___4_,

b3

.b+a1a147

・・----=1+-=l+—=—

bb33

7

故答案为：—.

o

16.如图，在△ABC中，。为AB边上的一点，要使成立，还需要添加一个

条件为/ADE=ZC或NB或再=绊

---------------------------------------AC—AB一

【分析】根据相似三角形对应角相等，可得NABC=NAEZ）,故添加条件NA即

即可求得△ABCsAAED,即可解题.

解：VZABC=ZAED,ZA=ZA,

AABC^AAED,

故添加条件/A8C=/A即即可求得△A8CSA4ED

同理可得：ZADE=ZC或或嘿=瞥可以得出△ABCS^AE。；

ACAB

故答案为：/AOE=NC或/4即=/8或黑=芈.

ACAB

17.如图，将矩形A2C£>沿AE折叠，点。恰好落在2c边上的点尸处，如果AB：AO=3：

【分析】根据AbAD=3：5,以及折叠的性质表示出三角形AB尸的各边长，然后利用

等角变换得出N54P=NCFE,继而可得出答案.

解：'：AB：AD=3：5,

.,.在RtZXAB尸中，设AB=3x,AF^AD=BC=5x,

则BF=7AF2-AB2=V(5X)2-(3X)2=4^

又•；NEFC+NAFB=90°,ZAFB+ZBAF=90°,

；・NBAF=NCFE,

BF4x4

.•.tanZEFC=tanZBAF=-^-=-^-=-^.

AB3x3

故答案为：

o

18.在平面直角坐标系中，函数y=-x+3a+2（aWO）和y=N-依的图象相交于尸，。两

点.若尸，。都在无轴的上方，则实数a的取值范围是。>0或-仔<4<0.

【分析】由函数y=%2-亦可知抛物线开口向上，与冗轴的交点为（0,0）和（Q,0）,

然后分两种情况：①当〃>0时，由题意可得当时，y>0,即2〃+2>0,解得。>-

9

1,故〃>0；②当〃<0时，由题意可得当％=0时，y>0,即3。+2>0,解得〃>-拳

O

根据以上两种情况即可求得。的取值范围.

解：函数y=N-办的图象是抛物线，抛物线开口向上，与x轴的交点为（0,0）和（a,

0),

①当〃>0时，若尸，。都在X轴的上方，如图1,

此时当时，y=-%+3。+2=-〃+3〃+2=2〃+2>0,解得。>-1,

故〃>0；

②当〃<0时，若P,。都在x轴的上方，如图2,此时当冗=0时，y=-x+3〃+2=34+2

入，2

>0,解得-―f

o

p

故-母<〃<0,

o

9

综上，实数。的取值范围是。>0或-可VaVO,

O

三、解答题(本大题共8小题，共66分)

19.cos60°+^sin45°+|1-3tan30°|-(―)-1.

22

【分析】根据特殊角的锐角三角函数值、绝对值的性质以及负整数指数幕的意义即可求

出答案.

解：原式=-^+返X返+|1-3X返|-2

2223

=1+73-1-2

=«-2.

20.如图，一次函数yi=-x+5与反比例函数y2=X的图象交于A(1,m)、B(4,〃)两

x

点.

(1)求A、5两点的坐标和反比例函数的解析式；

(2)根据图象，直接写出当时x的取值范围；

(3)求05的面积.

【分析】(1)先根据一次函数图象上点的坐标特征得到m=-1+5=4,n=-4+5=1,

这样得到A点坐标为(1，4),5点坐标为(4,1),然后利用待定系数求反比例函数

的解析式；

(2)观察函数图象找出一次函数图象都在反比例函数图象上方时x的取值范围；

(3)先确定一次函数图象与无轴交点。，与y轴交点。的坐标，然后利用S科O5=S^COQ

-SACOA-Sz\BO£)进行计算.

解：(1)分别把A(1,m)、B(4,n)代入yi=-x+5,

得m=-1+5=4,n=-4+5=1,

所以A点坐标为(1,4),8点坐标为(4,1),

把A(1,4)代入y2=K,得％=1X4=4,

x

所以反比例函数解析式为72=-；

X

(2)根据图象可知，当州＞”时工的取值范围是或1V%V4时；

(3)如图，设一次函数图象与x轴交于点。，与y轴交于点C

当％=0时，y=-x+5=5,则。点坐标为(0,5),

当y=0时，-x+5=0,解得％=5,则。点坐标为（5,0）,

所以S^AOB=S/^COD-S^coA-S^BOD

=—X5X5-—X5X1--X5X1

222

=7.5.

21.在如图所小的平面直角系中，已知A(-3,-3),2(-1,-3)»C(-1,-1)

(方格中每个小正方形的边长均为1个单位).

(1)画出△ABC；

(2)以原点。为位似中心，相似比为2,在第一象限内将△ABC放大，画出放大后的图

形△ALBIG；并写出点4的坐标(6,2).

【分析】(1)根据4B,C的坐标作出三角形即可;

（2）利用位似变换的性质分别作出A,B,C的对应点4,Bi,G即可.

解：（1）如图，△ABC即为所求；

（2）如图，即为所求，点4的坐标（6,2）.

故答案为：（6,2）.

22.如图，锐角△ABC是一块三角形余料，边BC=240加〃，高40=160加%要把它加工

成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB,AC上，这个正方

形零件的边长是多少nm?

【分析】设正方形的边长为贝!]AE=AD-ED=（160-x）

通过证明,利用相似比可得到晶发‘然后根据比例性质求

出X即可;

解：设正方形的边长为AT切n,贝!JPN=PQ=E7）=x小相,

.\AE=AD-ED=(160-x)mm,

•；PN〃BC,

：.△APNs/WC,

.PNAE

,•而K

_x_J60^

240160

解得尤=96,

...加工成的正方形零件的边长是96mm.

23.据调查，超速行驶是引发交通事故的主要原因之一.小强用所学知识对一条笔直公路上

的车辆进行测速，如图所示，观测点C到公路的距离CQ=200m，检测路段的起点A位

于点C的南偏东60°方向上，终点8位于点C的南偏东45°方向上.一辆轿车由东向

西匀速行驶，测得此车由A处行驶到B处的时间为10s.问此车是否超过了该路段16m/s

的限制速度？(观测点C离地面的距离忽略不计，参考数据：72^1.41,返心1.73)

【分析】根据直角三角形的性质和三角函数得出。8,DA,进而解答即可.

解：由题意得：ZDCA=60°,ZDCB=45°,

在RtACDB中，tanNOC2=¥|"^^-=l，

解得：08=200,

在Rt^CZM中，tan/QC4=黑嗡■*，

解得：D4=200代，

：.AB=DA-20073-200^146米，

轿车速度v丹笥*=14.6<16,

答：此车没有超过了该路段16m/s的限制速度.

24.如图，4ABC中，NACB=90。，CD，AB于。，E为AC的中点，ED、C8的延长线

交于点F.

(1)求证：AFDBs^FCD；

DFBC

(2)求证:CF=AC

c

【分析】（1）由互余两角的关系得出NA=N8CD,由直角三角形斜边上的中线性质得

出。E=%C=AE,由等腰三角形的性质得出再由对顶角相等得出尸

=NBCD,由公共角相等，即可得出△EDBS2XFCD；

（2）由相似三角形的性质得出与浅，证明△BCOS/^BAC,得出对应边成比例

CrCD

瞿耳，即可得出结论.

CDAC

【解答】（1）证明：VZACB=90°,CD±ABf

：.ZACD+ZBCD=90°,ZA+ZACD=90°,

，NA=/BCD,

・・・E为AC的中点，

：.DE=^-AC=AE,

2

，ZA=ZEDA,

,：ZEDA=ZBDF,

：.ZBDF=ZBCD,

又,：/F=/F,

:NDBsAFCD；

（2）证明：由（1）得：△即Bs△尸CD,

.DFBD

,宣司

'：ZCDB=ZACB=90°,ZCBD=ZABC,

：.^BCD^/\BAC,

.BDBC

"CD"AC'

.DFBC

"CF"AC'

25.2020年春节期间，新型冠状病毒肆虐，突如其来的疫情让大多数人不能外出，网络销

售成为这个时期最重要的一种销售方式.某乡镇贸易公司因此开设了一家网店，销售当

地某种农产品.已知该农产品成本为每千克10元.调查发现，每天销售量y(彷)与销

f640(10<x<14)

售单价元)满足的函数关系式为ccccc/一//cc、(其中1°<忘30)

(-20x+920(14<x<30)

(1)分别求出销售单价为12元、20元时每天的销售利润.

(2)当销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？

【分析】(1)根据每天销售利润=(售价-成本)X每天的销售量和售价的范围即可得

到答案；

(2)分两种情况讨论：当10〈尤W14时和当14<xW30时，分别求出最大值即可得到结

论.

解：(1)当销售单价为12元时，每天的销售利润为(12-10)X640=1280(元)，

当销售单价为20元时，每天的销售利润为(20-10)(-20X20+920)=5200(元)，

答：销售单价为12元、20元时每天的销售利润分别为1280元，5200元；

(2)解：设每天的利润为W元，

当10<尤W14时，W=640X(%-10)=640.r-6400,

：%=640>0,

随着龙的增大而增大，

这时x=14,W最大=4X640=2560元；

当14<x^30时，W=(x-10)(-20x+920)=-20(x-28)2+6480,

：-20<0,14cxW30,

此时，尤=28,W最大=6480.

综上所述当尤=28时