更高更妙的物理：专题9-动量与动量守恒

专题9动量与动量守恒在这个专题中，我们将枚举动量定理之妙用，点击动量守恒常见模型特征，纵观过程中动量与能量的变化规律。与速度、加速度、动能等物理量一样，动量也是描述物体机械运动状态的一个物理量。用质量与速度的乘积来表述的这个对应于状态的物理量，表达质点机械运动的“运动量”。举一个形象的例子：速度相同的一只蚊子和一辆汽车扑向我们，我们的感受是不一样的，这就是因为它们的“运动量”大小迥异；一辆汽车以同样的速度从我们身边飞驶而过和向我们飞奔而来，我们的感受也是不同的。这说明动量所描述的运动状态既有大小又有方向，动量是一个矢量。我们知道，力是改变运动〔速度〕状态、产生加速度的原因，这个关系就是我们熟谙的牛顿第二定律，它揭示了力的瞬时作用效应；力对位移的积累即功，其效应是改变物体的能量状态，功对相应的能量变化的量度关系在上个专题中已经熟稔；力对时间的积累是冲量，冲量改变物体的动量状态，它们间的关系遵从动量定理。与牛顿第二定律一样，动量定理既可用于单个质点单一过程，也可用于质点系多过程。对质点系，动量定理表述为，在特殊条件—时，质点系总动量增量为零，即质点系动量守恒。运用动量定理解决问题时，既要关注其矢量性、独立性与适用性，又要充分利用其特殊性，巧用动量定理，解决牛顿第二定律所不及的问题。【例1】如下图，椭圆规的尺质量为，曲柄质量为，而套管，质量均为。；曲柄和尺的重心分别在其中点上；曲柄绕轴转动的角速度为常量；开始时曲柄水平向右。求：曲柄转成竖直向上的过程中，外力对系统施加的平均冲量。【分析与解】动量定理给出了外力冲量对系统动量增量的量度关系，此题中，由给定条件可求出质点系的动量：由动量定义，质点系总动量是各质点动量的矢量和；再根据动量变化情况确定质点系所受外力的平均冲量。四质点构成的质点系中，曲柄与尺的动量容易求得，且方向总相同；求套管，的动量时，先要清楚这两个质点的速度与尺重心点速度的相关关系。曲柄匀速转动，故其重心及端点速度分别为，，方向垂直于，那么曲柄与尺的动量之和为；根据杆约束速度相关关系，如下图，套管，的速度分别满足，，两套管对点的转动速度、大小相等〔〕、方向相反，故两套管在垂直于尺方向上的动量之和为零；在垂直于曲柄方向上，两套管具有与点相同的平动速度，故两套管的动量均为。于是可得系统的总动量大小不变，为；方向总与曲柄垂直，沿其转动方向。为了求得外力作用的平均冲量，只须确定质点系动量的变化量，如下图反映了系统初、末动量及其变化量间的矢量关系，那么由动量定理有，方向与末状态时质点系动量方向成角斜向下。此题中涉及的“椭圆规”可视作四个质点构成的质点系，实际上它们的“质心”〔这个概念将在专题中系统介绍〕是在作匀速圆周运动，质点系动量是变量，外力冲量也是变量，故我们求出的只是质心运动圆周过程中的平均冲量。用质点系的动量定理处理多质点多过程问题可以免去繁杂的递推、归纳，表达出物理学常用的整体方法的功能。【例2】如下图，光滑的水平面上停着一只木球和载人小车，木球质量为，人和车总质量为，，人以速率沿水平面将木球推向正前方的固定挡板，木球被挡板弹回之后，人接住球后再以同样的对地速率将球推向挡板。设木球与挡板相碰时无动能损失。求经过几次推木球后，人再也不能接住木球？【分析与解】这个问题的处理，我们将选取适当的研究对象，对质点系运用动量定理做出巧解。首先明确，人“再也不能接住木球”的条件是载人小车速度大小至少等于被挡板弹回后的木球速度认我们取木球与载人小车这个系统为研究对象，系统初始时总动量为零，最后要求总动量至少为，引起这个动量增量的外力冲量是固定挡板施予系统中的木球局部的。对木球而言，每一次被挡板弹碰，均有，那么人推次木球，挡板对人、车、木球质点系的总冲量为，对质点系运用动量定理，有，代入题给数据可得〔次〕。对一类变质量过程，或冲击、碰撞、爆炸等短瞬间变冲量问题，往往可用动量定理处理。【例3】一根均匀的不可伸缩的软缆绳全长为、质量为开始时，绳的两端都固定在邻近的挂钩上，自由地悬着，如图甲。某时刻绳的一端松开了，缆绳开始下落，如图乙，每个挂钩可承受的最大负荷为〔大于缆绳的重力〕，为使缆绳在下落时，其上端不会把挂钩拉断，与必须满足什么条件？假定下落时，缆绳每个局部在到达相应的最终位置之后就都停止不动。【分析与解】在缆绳下落过程中，挂钩所受的力由两局部组成：一是承静止悬挂在钩下的那局部缆绳的重；一是受紧接着落向静止局部最下端的绳元段的冲力，挂钩不被拉断，这两局部力的总和不得超过钩的最大负荷。取如图乙所示情况，左边绳最下边一个绳元段，长度设为，，其速度是左边绳自由下落高度而获得的，；其质量。设在时间内，这个微元段的上端走过〔图中〕而停住，动量从变为零。动量的变化是由挂钩通过静悬绳对微元段的冲力引起的，对微示段应用动量定理，得；注意到在极短的时间内，微元段的运动可视为匀减速直线运动，平均速度等于初、末速度的算术平均，有。显然，这个力可能的最大值出现在当，即左边绳全部落下并恰好伸直时。这时，挂钩承受的力是绳重及的反作用力〔〕。那么，要挂钩不断，就必须满足下面不等式给出的关系。【例4】逆风行船问题。帆船在逆风的情况下仍然能只依靠风力破浪航行。设风向从向，如下图。位于点处的帆船要想在静水中最后驶达目标点，应如何操纵帆船？要说明风对船帆的作用力是如何使船逆风前进到达目标的。【分析与解】可以采取如图中虚线所示的锯齿形路线，到达使船“迎风前进”的效果。我们作如下一些假设，航行中，航向与风向成角，风帆与船身轴向〔即船行方向〕成角，风以〔〕的入射角吹到帆面，与帆面发生弹性碰撞后以同样的反射角折回。风与帆的碰撞，就对帆面施加了一个冲量，使船受到了一个方向与帆面垂直的压力，这个力沿船身方向及垂直于船身方向的分力分别是图中和，其中正是船沿航线前进的动力，那么有使船侧向漂移的作用，可以认为被水对船的横向阻力平衡。故只要适时地改变船身走向，同时调整帆面的方位，船就可以依靠风力沿锯齿形航线从驶向。现在，我们定量探讨一下在上述情景中，船获得的前进的动力。如下图，设帆面受风面积为，空气密度为，风速为，在时间内到达帆面并被反弹的空气质量是；那么由动量定理，可得，所以，那么。由以上分析可知，船沿航线方向的动力大小与扬帆方向有关，帆面与船行方向的夹角甲适当，可使船获得尽量大的动力。注意，我们在讨论上面的讨论中，将风—运动的空气—与帆面的碰撞简化为弹性碰撞了，实际情况那么要复杂得多。下面，讨论常用的动量守恒模型总动量为零的反冲运动模型这类问题的模型特征是系统不受外力，总动量为零，两个质点系统动量守恒关系可被表述为，在系统各局部相互作用过程的各瞬间，总有，那么在动量守恒式中可用各质点在同一时间内的位移来表示速度，即有。这里，用来表示速度的位移是矢量，对于一维方向的反冲运动，要注：意正确使用“”、“”号来确定动量的方向。【例5】如下图浮动起重机〔浮吊〕从岸上吊起的重物。开始时起重杆与竖直方向成角，当转到杆与竖直成角时，求起重机的水平方向的位移。设起重机质量为，起重杆长，水的阻力与杆重均不计。【分析与解】此题中，我们研究起重机和重物组成的系统，忽略阻力，系统在水平方向不受外力，动量守恒，水平方向总动量始终为零。以水平向右为正方向，那么有。式中是重物相对于起重机的位移。由此可得，“”号表示起重机位移的方向向左。“子弹打木块”模型这是指由两个物体组成的系统，所受合外力为零且相互作用力为一对恒力的一类问题，以子弹水平射入置于光滑水平面上的木块为代表，其他情景各异、模型同属，称为“子弹打木块”，典型情景如下图。“子弹打木块”问题具有以下主要的力学规律：⑴动力学规律两物体的加速度大小与质量成反比，方向相反。⑵运动学规律是两个做匀变速运动物体的追及问题或是一个相对运动问题。⑶动量规律系统的总动量守恒。⑷能量规律力对“子弹”做的功等于“子弹”动能的增量；力对“木块”做的功等于“木块”动能增量；一对力的功等于系统动能增量；并且“一对力的功”大小可用其中一个力的大小与两物体相对位移大小的乘积来计算。⑸图象描述描述“子弹打木块”类问题的模型特征时，图象语言具有最丰富的表现力，通常用速度一时间〔〕图象将系统方方面面的特征同时展现，图中具体情景不同的“子弹打木块”问题，可依次表述为图中的、、、。在处理“子弹打木块”问题时，我们要注意模型特征的分析，领悟其丰富的内涵，举一反三、触类旁通，还应善于用图象涵盖题意，尽量做出最简答案。【例6】如下图，长为的木板右边固定着一个挡板，包括挡板在内的总质量为，静止在光滑水平面上，有一质量为的小木块，从木板的左端开始以初速度在木板上滑动，小木块与木板间的动摩擦因数为，小木块滑到木板的右端与挡板发生碰撞。碰撞过程时间极短，且碰后小木块恰好滑到木板的左端就停止滑动。求：⑴假设，在小木块与挡板碰撞后的运动过程中，摩擦力对木板做正功还是做负功？做多少功？⑵讨论木板和小木块在整个运动过程中，是否有可能在某段时间里相对地面运动方向是向左的？如果不可能，说明理由；如果可能，求出能向左滑动，又能保证木板和小木块刚好不脱离的条件。【分析与解】这是典型的“子弹打木块”模型：、间相互作用着一对等大、反向的摩擦力且系统不受外力，它的变化在于过程中发生系统内部瞬时的相互碰撞。小木块与挡板碰撞前、后及整个过程均遵从动量守恒规律；、两者加速度大小与质量成反比；碰撞前木块“追”木板，碰撞后那么成木板“追”木块；用图展示系统的运动过程如下图。图中，是木块以开始运动至与挡板碰撞历时，碰后直至木块滑到板左端历时为，、碰撞前加速、减速，碰撞后，减速而加速，加速度大小〔即图线的斜率大小〕分别为，。由于最终、具有共同速度，系统全过程属完全非弹性碰撞，由动量守恒关系：可得，当恰停止在左端时，两者共同速度。图中，梯形及三角形划阴影线局部“面积”各表示、相对运动位移。利用图象先求出木块与挡板碰后滑行时间。，得；随后可得碰后板的速度；那么，由动能定理，摩擦力在此过程中对木板做的功，做负功。从图上容易看出，相对地面运动方向向左的情况只可能发生在木块上，木块与挡板相碰后假设速度变为向左，就会在一段时间内先向左减速而后向右加速地运动，而木板一直向右减速，直至两者以共同速度向右运动。木块能有向左运动的阶段而又刚好不落下板应满足两个条件：一是木块与挡板碰后速度为负，即，；二是一对摩擦力在的相对位移上做的功不大于系统动能的增量，即，；综上，在满足条件时，木块可在与挡板碰撞后的一段时间内相对地面向左运动并刚好相对静止在板的左端。弹性碰撞的一条常用规律，我们通过下面一个具体情景进行推证。【例7】推证两光滑物体发生弹性碰撞时，接近速度与别离速度大小相等，方向遵守“光反射定律”，即入射角等于反射角。【分析与解】这个结论，我们在专题四、专题七的例解或练手中已然运用，这里，我们将以动量与动能守恒为根本条件做出推证。如图，设小球与平板均光滑，小球与平板发生完全弹性碰撞，木板质量为，小球质量为，沿板的法向与切向建立坐标系，设碰撞前，板的速度为，球的速度为，碰撞后，分别变为和。因为两者发生完全弹性碰撞，系统同时满足动量与动能守恒，即，①。②在方向，由于光滑，无相互作用的力，故两者在这个方向的动量不变，即有，。对①、②两式移项变形为，③。④由③、④两式，可得，因此。该式意义是：在方向上小球对木板的接近速度与对木板的别离速度大小相等，方向相反；在方向，显然两者的相对速度不变，故在我们所设定的情景中，球与木板的接近速度与别离速度大小相等，即我们在专题中介绍的，恢复系数。现在关注一下方向。设小球入射角，即以木板为参考系而言小球的“接近速度”与法线〔轴〕的夹角为；反射角即“别离速度”与法线〔轴〕的夹角为，有；。所以，，。这样我们证明了在满足完全弹性碰撞的条件下，小球相对于木板，总是遵守入射角等于反射角的规律。【例8】“弹弓效应”。如图，质量为的小球放在质量为的大球顶上，从高处释放，紧挨着落下，撞击地面后跳起。所有的碰撞都是完全弹性碰撞，且都发生在竖直轴上。⑴小球弹起可能到达的最大高度？⑵如在碰撞后，物体处于平衡，那么质量之比应为多少？在此情况下，物体升起的高度为多少？【分析与解】这是一个有趣的问题。结果也是特别的。将两球无初速释放后，两球均自由下落，大球刚触地时两球速度均为，大球与地发生完全弹性碰撞，速度立即变为向上，大小仍为，这时小球速度是向下的，大小为，那么相对于大球以的速度接近，随即与大球发生对心碰撞，并以的速度与大球别离，假设小球质量远小于大球，两球碰后大球对地速度仍是向上的，可知小球相对地面向上运动的速度已是，为小球直接触地弹起速度的三倍，由机械能守恒定律，小球向上弹起的高度最大可到达，其效果就如同被大球这个“弹弓”弹射出去的一样。在太空中，也会有这种“弹弓效应”。如图，设相对恒星，大行星的速度为，卫星〔质量远小于行星〕以速度经历了一次与大行星的弹性碰撞—在万有引力作用下靠近行星，后又远离，碰撞后的别离速度大小是，那么对恒星而言，卫星以大小为的速度被行星“弹射”出去，这种类似的“弹弓效应”，已被应用于空间探测，研究太阳系中诸多行星的大环游。如大球在与小球迎面相碰后处于平衡，那么由动量守恒定律，两球质量之比为。这种质量关系下，小球以速度向上弹出，由机械能守恒定律，，小球跳起高度为下落高度的倍。1、如下图，三个重物质量为，，，直角梯形物块质量为。三个重物由一根绕过两个定滑轮和的绳子相连。当重物下降时，重物在梯形物块的上面向右移动，而重物那么沿斜面上升。如忽略一切摩擦和绳子质量，求当重物下降时，梯形物块的位移。2、放风筝时，风沿水平方向吹来，要使风筝得到最大上升力，求风筝平面与水平面的夹角。设风被风筝面反射后的方向遵守反射定律。3、一根铁链，平放在桌面上，铁链每单位长度的质量为。现用手提起链的一端，使之以速度竖直地匀速上升，试求在从一端离地开始到全链恰离地，手的拉力的冲量，链条总长为。4、如下图，水车有一孔口，水自孔口射出。水面距孔口高，孔口截面积为，水的密度为。假设不计水车与地面的摩擦，求水车加于墙壁的水平压力。5、图中，局部是一光滑水平面，局部是倾角为〔〕的光滑斜面〔时为竖直面〕。一条伸直的、长为的匀质光滑柔软细绳绝大局部与棱垂直地静止在面上，只是其右端有极小局部处在面上，于是绳便开始沿下滑⑴取，试定性分析细绳能否一直贴着下滑直至绳左端到达？⑵事实上，对所给的角度范围〔〕，细绳左端到棱尚有一定距离时，细绳便会出现脱离约束〔即不全部紧贴〕的现象。试求该距离。6、质量为的皮球，从某一高度处自由下落到水平地板上，皮球与地板碰一次，上升的高度总等于前一次的倍。如果某一次皮球上升最大高度为时拍一下皮球，给它一个竖直向下的冲力，作用时间为，使皮球与地板碰后跳回前一次高度。求这个冲力多大？7、一袋面粉沿着与水平面倾斜成角度的光滑斜板上，从高处无初速度地滑下来，落到水平地板上。袋与地板之间的