数列不等式恒成立求取值范围问题-

数列不等式恒成立求取值范围问题1、常见的裂项公式：（1）；（2）；（3）；（4）.2、数列求和的方法：（1）倒序相加法：如果一个数列的前n项中首末两端等距离的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可以用倒序相加法（2）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成，那么这个数列的前n项和即可以用错位相减法来求；（3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时，中间的一些像可相互抵消，从而求得其和；（4）分组转化法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列，或可求和的数列组成，则求和时可用分组转换法分别求和再相加减；（5）并项求和法：一个数列的前n项和可以两两结合求解，则称之为并项求和，形如类型，可采用两项合并求解.1．已知数列、的各项均为正数，且对任意，都有、、成等差数列，、、成等比数列，且，.(1)求证：数列是等差数列；(2)求数列、的通项公式；(3)设，如果对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.【详解】（1）因为、、成等差数列，、、成等比数列，所以①，②，又数列、的各项均为正数，则由②可得③，将③代入①，得对任意，有，即，所以数列是等差数列；（2）设数列的公差为，由，得，，所以，由已知，当时，，而也满足此式，所以；（3）由（2），得，则，则不等式恒成立，即恒成立，而，所以，所以实数的取值范围为.2．已知等差数列的公差不为0，其前项和为，且成等比数列.(1)求的通项公式；(2)设，记数列的前项和为，若对任意恒成立，求的取值范围.【详解】（1）设数列的公差为，且，依题意得：，，解得，.（2），，，或.3．已知公差不为零的等差数列中，，且，，成等比数列，（1）求数列的通项公式；（2）数列满足，数列的前n项和为，若不等式对一切恒成立，求的取值范围.（3）设数列的前n项和为，求证：对任意正整数n，都有成立.【详解】（1）已知等差数列中，，设公差为，由已知，则，所以，得的通项公式为：即：.（2）由（1）可得，，则两式相减得：解得：.所以不等式化为对一切恒成立，若为偶数，则，即；若为奇数，则，即；综上可得：.（3）证明：当时，结论显然成立；当时，由（2）知，.所以，对任意正整数n，都有成立.4．在公差不为零的等差数列中，，且成等比数列，数列的前项和满足.(1)求数列和的通项公式；(2)设，数列的前项和，若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.【详解】（1）设等差数列的公差为，且成等比数列，，即，解得或（舍去），所以.数列的前项和，当时，，当时，，，即数列是首项为，公比为的等比数列，.（2）由（1）可得，.令，，单调递增，.，，.5．已知是等比数列，满足，且成等差数列.(1)求的通项公式；(2)设，数列的前项和为，，求正整数的值，使得对任意，均有.【详解】（1）设等比数列的公比为，因为成等差数列，所以，又，则，即，因为，所以，故.（2）由（1）得，则①，②，①②得：，所以，则，所以，当，即时，，则；当，即时，，则；而，，故；综上：对任意，且均有，故.6．已知正项等差数列满足：，且成等比数列．(1)求的通项公式；(2)设，是数列的前n项和，若对任意均有恒成立，求的最小值．【详解】（1）解：设等差数列的公差为，由得，则，所以．因为、、成等比数列，所以，即，所以，解得或，因为为正项数列，所以，所以，所以．（2）解：由（1）可得，所以，因为对任意均有，所以，所以实数的最小值为7．已知数列是公差不为0的等差数列，其前项和为，满足，且，，成等比数列．（1）求数列的通项公式；（2）若，数列的前项和为，实数使得对任意恒成立，求的取值范围.【详解】解：（1）设数列的公差为，因为是等差数列，所以，故，又，，成等比数列，所以，故，将代入得，即，又知，故，所以；（2）由（1）知，，故，所以，即，故，即对任意恒成立，而在上单调递增，故在时单调递增，，所以，故的取值范围为.8．数列首项，前项和与之间满足.（1）求证：数列是等差数列；并求数列的通项公式；（2）设存在正数，使对任意都成立，求的最大值.详解：（1）因为时，∴得由题意∴又因为∴是以∴∴时，又，∴（2）设；则∴在上递增，故使恒成立，只需.又，又，∴，所以，的最大值是9．已知数列的前项和为，点均在函数的图象上．（1）求数列的通项公式；（2）设是数列的前项和，求使得对所有都成立的实数的范围．试题解析：（1）点在函数的图象上，当时，2分当时，5分当时，符合6分（2）10分＜又对所有都成立故12分1．已知等比数列的公比和等差数列的公差都为，等比数列的首项为2，且，，成等差数列，等差数列的首项为1．(1)求和的通项公式；(2)若数列的前项和为，若对任意均有恒成立，求的范围．【详解】（1）因为，，成等差数列，所以：，整理得：，即，故，解得，所以，．（2）证明：（2）由（1）得：，故①，②，①②得：，故．因此的范围为.2．已知数列的前项和满足，且，，成等差数列.（1）求数列的通项公式；（2）设，的前项和为，对任意，恒成立，求的取值范围.【解析】（1）根据题设中的递推关系有，算出后可求的通项.（2）利用裂项相消法可求，求出的最小值后可得的取值范围.【详解】（1）因为，故，所以即，其中，所以且，因为，，成等差数列，故即，故且，故，故即为等比数列且公比为2，故.（2）,所以，因为，故为增数列，故，故即.【点睛】方法点睛：数列求和关键看通项的结构形式，如果通项是等差数列与等比数列的和，则用分组求和法；如果通项是等差数列与等比数列的乘积，则用错位相减法；如果通项可以拆成一个数列连续两项的差，那么用裂项相消法；如果通项的符号有规律的出现，则用并项求和法.3．已知首项为的等比数列不是递减数列，其前项和为，且成等差数列.（1）求数列的通项公式；（2）若实数使得对任意恒成立，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）先根据已知求出，再求出等比数列的通项；（2）由（1）得，分类讨论求出最大值即得解.【详解】（1）设等比数列的公比为，由成等差数列，可得：，即，即有，即为，解得，由等比数列不是递减数列，可得，即.（2）由（1）得当为奇数时，随的增大而减小，所以.当为偶数时，随的增大而增大，所以实数使得对任意恒成立，则的取值范围为【点睛】本题主要考查等比数列前n项和基本量的计算，考查等比数列求n项和的求法，考查数列中最值的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.4．设数列的前n项和为，已知，，成等差数列，且.(1)求的通项公式；(2)若，的前n项和为，若对任意正整数n，不等式恒成立，求的最小值.【分析】（1）根据，，成等差数列，可得，再根据与的关系求通项即可；（2）利用裂项相消法求出，从而可求得的范围，即可求出的范围，即可得解.【详解】（1）解：因为，，成等差数列，所以，即，当时，，即，由，得，所以数列是以为公比的等比数列，则，即，所以，所以；（2）解：，则，因为恒成立，所以，所以的最小值.5．已知首项为的等比数列公比小于0，其前n项和为，且，，成等差数列.(1)求数列的通项公式；(2)若实数a使得对任意恒成立，求a的取值范围.【详解】（1）设等比数列的公比为q，由，，成等差数列，可得：，整理：，所以，即为，解得，由等比数列不是递减数列，可得，即.（2）由（1）得，设，，设，时，，递减，时，，递增，当n为奇数时，随n的增大而减小，所以..当n为偶数时，随n的增大而增大，所以..故，实数a使得对任意恒成立，则a的取值范围为.6．已知数列的各项均为正数，其前n项和为，且（1）求数列的通项公式；（2）若，设数列的前n项和为，当对任意都成立时，求实数k的取值范围.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由，当时，，解得，当时，，利用等比数列的通项公式即可得出．（2），利用错位相减法即可得出．【详解】解：（1），当时，，解得，当时，，，数列是以2为首项，以2为公比的等比数列，．（2），数列的前项和为，，相减可得：，化为：．，当对任意都成立时，，实数的取值范围是,．1．已知数列的前项和为，满足．(1)求数列的通项公式；(2)记，是数列的前项和，若对任意的，不等式都成立，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）由得出的递推关系，结合得等比数列，从而得通项公式；（2）利用裂项相消法求得和，不等式可变形为，令，利用作差法得出的单调性，得最大项，从而得的取值范围．【详解】（1）因为数列的前n项和满足，当时，，两式相减得：，即，当时，，解得：，可知数列是以2为首项，2为公比的等比数列，所以.（2）由（1）可知：，所以，对任意的，不等式都成立，即，化简得：，设，因为，所以单调递减，则，所以，所以实数k的取值范围是．2．已知数列的前n项和为，且对任意正整数n都有.(1)求数列的通项公式；(2)若（n为正整数），求数列的前n项和；(3)若（n为正整数），且不等式对任意正整数n都成立，求实数t的取值范围.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根据与之间的关系，结合等比数列分析求解；（2）由（1）可得：，利用裂项相消法求和；（3）由（1）可得：，求数列的最大项，结合恒成立问题分析求解.【详解】（1）因为，则有：当时，则，解得；当时，则，两式相减得，整理得；且，可知数列是以首项，公比为的等比数列，所以，即.（2）由（1）可得：，所以，所以数列的前n项和.（3）由（1）可得：，令，即，解得，可得数列的最大项为，因为等式对任意正整数n都成立，即，可得，解得或，所以实数t的取值范围.3．已知正项数列的前n项和为，数列满足.（1）求数列的通项公式；（2）数列满足，它的前n项和为，若存在正整数n，使不等式成立，求实数的取值范围.【答案】（1），；（2）或【解析】（1）由题意可得当时，，从而推出，则，从而可求出；（2）易知，利用错位相减法求得，从而有不等式成立，对分奇偶数讨论，令，利用换元法化为二次函数，从而可求出答案．【详解】解：（1），当时，，或（舍去）当时，由，得，两式相减得：，，即，∴．又∵数列为正项数列，故，也即，∴数列为以1为首项1为公差的等差数列，∴，；（2）易知，则①，②，①②可得：，故，所以不等式成立，若n为偶数，则，所以，设，则在单调递减，故当时，，所以；若n为奇数，则，所以设，则在单调递增，故当时，，所以，综上所述，的取值范围或.【点睛】本题主要考查已知递推公式求通项公式，考查错位相减法，考查数列与不等式的综合，属于难题．4．已知数列中，，.（1）设，证明数列是等差数列，并求数列的通项公式；（2）是数列的前n项和，对任意正整数n不等式恒成立，求实数a的取值范围.【答案】（1）证明见解析，；（2）.【分析】（1）由得：，再用定义法证明数列为等差数列，并求出；（2）利用错位相减法即可求出，对任意正整数n不等式恒成立，可转化为对任意正整数恒成立，再利用函数的单调性即可求解【详解】（1）由得：，则，又，故数列，则.

（2）∴∴

∴=因为对任意正整数n不等式恒成立，∴对任意正整数恒成立，设，易知单调递增.

为奇数时，的最小值为，∴得，

为偶数时，的最小值为，∴，

综上，，即实数的取值范围是.5．已知数列的前n项和为，，．（1）证明数列是等差数列，并求出；（2）求；（3）令，若对任意正整数n，不等式恒成立，求实数m的取值范围．【答案】（1）证明见解析；；（2）；（3）.【解析】（1）由可得即即可求证；（2）由（1）可得，利用乘公比错位相减即可求；（3），计算，可判断数列的单调性，令的最大值小于即可求解.【详解】（1）证明：，，

可得即，可得数列是首项和公差均为的等差数列，所以，可得，即；

（2），，相减可得，化简可得；

（3），，当时，；时，；即，当时，，即，则时，的最大值为，不等式恒成立，可得，即为，解得或．则m的取值范围是.【点睛】易错点睛：解决函数与数列的综合问题应该注意的事项：(1)数列是一类特殊的函数，它的图象是一群孤立的点；(2)转化以函数为背景的条件时，应该注意题中的限制条件，如函数的定义域，这往往是很容易被忽视的问题；(3)利用函数的方法研究数列中的相关问题时，应准确构造相应的函数，注意数列中相关限制条件的转化.6．在数列中，，，.（1）求证：数列是等比数列；（2）若数列的前n项和为，且对任意正整数n恒成立，求实数m的取值范围.【详解】（1）证明：由，得．则，所以数列是以为首项，为公比的等比数列．（2）解：由（1）得．当时，．当时，适合．所以，所以．因为是关于的递增数列，且，所以也关于单调递增，从而的最小值为．因为恒成立．所以，解得．即实数的取值范围是．【点睛】思路点睛：根据数列不等式恒成立求参数时，一般通过分离参数，得到参数大于某个式子或小于某个式子恒成立的问题，再根据分离后的式子，由函数（或数列）的性质求出最值，即可求解参数范围.7．已知等差数列满足，.（1）求的通项公式；（2）若，数列满足关系式，求证：数列的通项公式为；（3）设（2）中的数列的前n项和为