第01讲圆（10类题型）（原卷版）

第01讲圆（10类题型）课程标准学习目标1.圆的基础概念；2.确定圆的条件；3.点与圆的位置关系；1.掌握的圆的基本概念；2.掌握点与圆的位置关系；3、掌握确定圆的条件；知识点01：圆（1）圆的定义1．在一个平面内，线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形成的图形叫圆．这个固定的端点叫做圆心，线段叫做半径．以点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O．点拨：（1）圆指的是“圆周”，即一条封闭的曲残，而不是“圆面”。（2）“圆上的点”指的是圆周上的点，圆心不在圆周上。（3）确定一个圆需要两个要素:一是定点，即圆心；二是定长，即半径。圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。只有圆心和半径都确定了，圆才能被唯一确定。【即学即练1】1．（2022秋·浙江温州·九年级校联考阶段练习）已知的直径长为4，点A，B在上，则的长不可能是（）A．2 B．3 C．4 D．8【即学即练2】2．（2023秋·浙江·九年级专题练习）下列说法中，不正确的是（

）A．同圆中，直径是最长的弦 B．同圆中，所有的半径都相等C．圆既是轴对称图形又是中心对称图形 D．长度相等的弧是等弧（2）点和圆的位置关系点和圆的位置关系点到圆心的距离与半径的关系图示文字语言符号语言点在圆内圆内各点到圆心的距离都小于半径，到圆心的距离小于半径的点都在圆内点在圆内点在圆上圆内各点到圆心的距离都等于半径，到圆心的距离等于半径的点都在圆上点在圆上点在圆外圆内各点到圆心的距离都大于半径，到圆心的距离大于半径的点都在圆外点在圆外点拨：（1）利用与的数量关系可以判断点和圆的位置关系；同时，知道了点和圆的位置善长，也可以确定与的数量关系。（2）符号“”读作“等价于”，它表示从符号“”的左端可以推出右端，从右端也可以推出左端。（3）弦、弧、圆心角1．连结圆上任意两点的线段叫做弦．经过圆心的弦叫做直径，直径是同一圆中最长的弦，直径等于半径的2倍．2．圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以为端点的弧记作EQ\O(\s\up6(⌒),AB)，读作弧AB．在同圆或等圆中，能够重合的弧叫做等弧．圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．4．从圆心到弦的距离叫做弦心距．5．由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形．6．顶点在圆心的角叫做圆心角．名称概念注意图示弦连接圆上任意两点的线段叫作弦，如右图中“弦”直径是圆中最长的弦不一定是直径直径经过圆心的弦叫作直径，如右图中“直径”但弦不一定是直径弧、半圆、劣孤、优弧圆上任意两点间的部分叫作圆弧，简称弧。圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫作半圆；大于半圆的弧叫作优弧，用三个字母表示，如右图中的；小于半圆的弧叫作劣弧，用两个字母表示，如右图中半圆是弧，但弧不一定是半圆等圆能够重合的两个圆叫作等圆，容易看出：半径相等的两个圆是等圆；反过来，等圆的半径相等等圆只和半径的大小有关，和圆心有位置有关等弧在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫作等孤长度相等的孤不一定是等孤【即学即练3】3．（2023秋·浙江·九年级专题练习）如图所示，点M是⊙O上的任意一点，下列结论：①以M为端点的弦只有一条；②以M为端点的直径只有一条；③以M为端点的弧只有一条．则（）A．①、②错误，③正确 B．②、③错误，①正确C．①、③错误，②正确 D．①、②、③错误【即学即练4】4．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，在中，，，．以点为圆心，为半径作圆，当点在内且点在外时，的值可能是（

）A．2 B．3 C．4 D．5三、确定圆的条件1．过已知点作圆条件类别过一点作圆过两点作圆过不在同一条直线上的三点作圆理论依据经过平面内一个点作圆时，只要以点以外任意一点为圆心，以这点到点的距离为半径就能作出一个圆，这样的圆能作出无数多个经过平面内的两个点，作圆，由于圆心到这两个点的距离相等，所以圆心在线段的垂直平分线上，这样的圆心有无数多个，这样的圆能作无数多个经过不在同一条直线上的三点，，作圆，圆心到这三个点的距离相等。因此，圆心是线段，的垂直平分线的交点，以点为圆心，以（或，）为半径可作出经过，，三点的圆，这样的圆只有一个圆形结论不在同一条直线上的三个点确定一个圆2．定理：不在同一直线上的三点确定一个圆．注意：⑴“不在同一直线上”这个条件不可忽视，换句话说，在同一直线上的三点不能作圆；⑵“确定”一词的含义是“有且只有”，即“唯一存在”．3．三角形的外接圆⑴经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形．⑵三角形外心的性质：①三角形的外心是指外接圆的圆心，它是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离相等；②三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合.⑶锐角三角形外接圆的圆心在它的内部（如图1）；直角三角形外接圆的圆心在斜边中点处（即直角三角形外接圆半径等于斜边的一半，如图2）；钝角三角形外接圆的圆心在它的外部（如图3）.【即学即练5】5．（2022秋·浙江金华·九年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，，，．则△ABC的外心坐标为（

）A． B． C． D．【即学即练6】6．（2022秋·浙江宁波·九年级统考期中）已知在Rt中，，则Rt的外接圆的半径为（）A．4 B． C．5 D．题型01圆的基本概念辨析1．（2022·广东湛江·岭师附中校联考一模）下列命题中，是真命题的个数有（

）直径是弦；弦是直径；半圆是弧；弧是半圆．A．个 B．个 C．个 D．个2．（2022秋·山东临沂·九年级统考期中）下列说法中正确的有（填序号）．（1）直径是圆中最大的弦；（2）长度相等的两条弧一定是等弧；（3）半径相等的两个圆是等圆；（4）面积相等的两个圆是等圆；（5）同一条弦所对的两条弧一定是等弧．3．（2022秋·九年级单元测试）已知：如图，矩形中交于点，求证：、、、个点在以为圆心，为半径的圆上．题型02求圆中弦的条数1．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，点，，，点，，以及点，，分别在一条直线上，则圆中弦的条数为（

）A．条 B．条 C．条 D．条2．（2023秋·浙江·九年级专题练习）如图，⊙O中，点A、O、D以及点B、O、C分别在一条直线上，图中弦的条数有条．3．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，是内接三角形，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求画图．（1）在图1中，画山一条与相等的弦；（2）在图2中，画出一个与全等的三角形．题型03求过圆内一点最长的弦1．（2023秋·浙江·九年级专题练习）、是半径为的上两个不同的点，则弦的取值范围是（

）A． B． C． D．2．（2021秋·江苏镇江·九年级统考期中）小明同学非常喜欢数学，他在课外书上看到了一个有趣的定理“中线长定理”：在△ABC中，若O为BC边的中点，则必有：AB2＋AC2＝2AO2＋2BO2成立．依据以上结论，解决如下问题：如图，在矩形DEFG中，已知DE＝4，EF＝3，点P在以DE为直径的半圆上运动，则的最小值为．3．（2022春·九年级课时练习）如图，点A，B，C在⊙O上，按要求作图：(1)过点A作⊙O的直径AD；(2)过点B作⊙O的半径；(3)过点C作⊙O的弦．题型04圆的周长和面积问题1．（2022秋·浙江金华·九年级校联考阶段练习）由所有到已知点O的距离大于或等于1，并且小于或等于2的点组成的图形的面积为（

）A．π B．2π C．3π D．4π2．（2022秋·黑龙江哈尔滨·六年级校联考期中）如图，阴影部分的面积为cm2．（π取）3．（2022春·九年级课时练习）为了落实“二十大”报告精神，办人民满意教育，决定重新修建学校运动场，设计图如下：两端是半圆形，中间是长方形．（取）(1)求这个运动场的周长．(2)求这个运动场的面积．(3)已知整个运动场由草坪和塑胶跑道组成，塑胶跑道和草坪的面积比是：，每平方米草坪的价格是元，比每平方米塑胶的价格低，则购买铺满该运动场所需要的塑胶和草坪的总费用是多少元？题型05判断点与圆的位置关系1．（2023秋·浙江·九年级专题练习）已知⊙O的半径是8，点P到圆心O的距离d为方程的一个根，则点P在（）A．的内部 B．的外部C．上或的内部 D．上或的外部2．（2023春·九年级单元测试）如图，在矩形中，，，以顶点D为圆心作半径为x的圆，使点A和点B有且只有一个点在内，则x的取值范围是．3．（2022春·九年级课时练习）在矩形中，，．(1)若以为圆心，8长为半径作，则、、与圆的位置关系是什么？(2)若作，使、、三点至少有一个点在内，至少有一点在外，则的半径的取值范围是．题型06确定圆心（尺规作图）1．（2023河北）如图，在的正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是（

）A．点P B．点Q C．点R D．点M2．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点，，的横、纵坐标都为整数，过这三个点作一条圆弧，则此圆弧的圆心坐标为．3．（2023·黑龙江绥化·统考二模）如图，在中，，平分，(1)在边上找一点O，以点O为圆心，且过A、D两点作（不写作法，保留作图痕迹）．(2)在（1）的条件下，若，求的半径．题型07求能确定的圆的个数1．（2023·江西·统考中考真题）如图，点，，，均在直线上，点在直线外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（

）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个2．（2023·全国·九年级专题练习）如图所示，点A，B，C在同一直线上，点M在AC外，经过图中的三个点作圆，可以作个．3．（2021春·九年级课时练习）已知点A，B和直线l，作一个圆，使它经过点A和点B，并且圆心在直线l上．（1）当直线l与直线不垂直时，可作几个圆？（2）当直线l与直线垂直但不经过的中点时，可作几个圆？（3）当直线l是线段的垂直平分线时，可作几个圆？题型08求一点到圆上点距离的最值1．（2022秋·江苏·九年级专题练习）如图，⊙M的半径为2，圆心M的坐标为，点P是⊙M上的任意一点，PA⊥PB，且PA、PB与轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则AB的最大值为（

）A．3 B．14 C．6 D．82．（2023春·江苏连云港·九年级校联考阶段练习）如图，在矩形中，，，为上一个动点，连接，线段与线段关于直线对称，连接，当点从点运动到点时，点与点的最近距离为．3．（2022春·九年级课时练习）如图，菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝3，⊙A、⊙B的半径分别为2和1，P、E、F分别是边CD、⊙B和⊙A上的动点，求PE＋PF的最小值．题型09求圆内的角度1．（2023秋·浙江·九年级专题练习）如图，的直径的延长线与弦的延长线交于点，且，已知，则等于（）A．36° B．30° C．18° D．24°2．（2023·安徽·统考一模）如图，为半圆O的直径，点C、D在半圆上，沿、折叠半圆，若点A、B的对应点落在同一点E处，则的度数为．3．（2023春·全国·九年级专题练习）如图，为的直径，C是延长线上一点，点D在上，且，的延长线交于点E，若，试求的度数．题型10求圆内的线段长1．（2023秋·九年级单元测试）如图，⊙O的直径CD垂直弦于点E，且，则（）A．4 B．2 C． D．2．（2022秋·九年级单元测试）如图，等腰直角中，，，为线段上一动点，连接，过点作于，连接，则的最小值为．3．（2023·湖北武汉·校考一模）如图，在中，，点D，E在上，．过A，D，E三点作，连接并延长，交于点F．(1)求证；(2)若，求的半径长．A夯实基础1．（2023春·山东潍坊·七年级校考阶段练习）下列说法：①面积相等的圆是等圆；②过圆心的线段是直径；③长度相等的弧是等弧；④半径是弦，其中正确的是（

）A．① B．② C．③ D．④2．（2023秋·黑龙江大庆·六年级大庆一中校考阶段练习）两个连在一起的皮带轮，其中一个轮子的直径是，当另一个轮子转1圈时，它要转3圈，另一个轮子的周长是（）．A． B． C． D．3．（2023春·安徽合肥·九年级校考开学考试）已知的直径长为6，点A，B在上，则的长不可能是：（

）A．4 B．5 C．6 D．74．（2023秋·浙江·九年级专题练习）如图，在的正方形网格中（小正方形的边长为），有个点，，，，，，以为圆心，为半径作圆，则在外的点是（）A． B． C． D．5．（2023秋·九年级课时练习）如图所示的圆可记作，图中半径有条，分别是．6．（2023秋·九年级课时练习）如图，圆中以为一个端点的劣弧有条．7．（2023秋·九年级课时练习）三角形的外接圆与外心（1）的三个点确定一个圆；（2）三角形的外接圆：经过三角形的三个的圆；（3）三角形的外心：三角形的圆心．它是三角形三边的交点，到三角形三个的距离相等．8．（2023秋·江苏南京·九年级校考开学考试）如图，从A地到B地有两条路可走，一条路是大半圆，另一条路是4个小半圆．有一天，一只猫和一只老鼠同时从A地到B地．老鼠见猫沿着大半圆行走，它不敢与猫同行（怕被猫吃掉），就沿着4个小半圆行走．假设猫和老鼠行走的速度相同，那么先到达B地9．（2023·浙江·九年级假期作业）在直角坐标平面内，的半径是5，圆心的坐标为，试判断点与的位置关系．10．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，已知ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心作⊙C，半径为r．（1）当r取什么值时，点A在⊙C外？（2）当r取什么值时，点A在⊙C内，点B在⊙C外．B能力提升1．（2023春·河北石家庄·九年级校考开学考试）在数轴上，点所表示的实数为3，点所表示的实数为，的半径为2，下列说法错误的是（

）A．当时，点在内 B．当时，点在内C．当时，点在外 D．当时，点在外2．（2023秋·九年级课时练习）已知的半径为，A为线段的中点，当时，点A与的位置关系是（

）A．点A在内 B．点A在上C．点A在外 D．不能确定3．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，点A，B，C均在上，若，，则（）A． B． C． D．4．（2023秋·全国·九年级专题练习）在平面直角坐标系中，以原点O为圆心，为半径作，点M的坐标是，则点M与的位置关系是（

）A．M在圆内 B．M在圆外 C．M在圆上 D．无法确定5．（2023秋·江苏南京·九年级校考开学考试）一个点到圆上的点的最小距离为，最大距离为，则圆的半径为cm．6．（2023秋·黑龙江大庆·六年级校联考阶段练习）一个圆形花坛的半径是米，直径是米，它的面积是平方米，绕花坛走一圈，走了米．7．（2023秋·九年级课时练习）如图，是的直径，弦的延长线与的延长线交于点．若，，则．8．（2023春·浙江嘉兴·九年级校考开学考试）如图，在中，，，D为上一点，，以C为圆心，长为半径作圆，连结并延长交于另一点E，若，则的长为．9．（2023秋·九年级课时练习）如图，四边形是矩形．求证：，，，四点在同一个圆上．10．（2023秋·全国·九年级专题练习）已知：的半径，过点A作，在上截取，连结，的外接圆，交于点C，连．(1)请在图中作出线段并求的半径，（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法和证明）．(2)求证：垂直平分线段．C综合素养1．（2023秋·全国·九年级专题练习）在平面直角坐标系中，是以点为圆心，为半径的圆．则下列说法正确的是