专题12数列通项及数列前n项和求法

专题12数列通项及数列前n项和求法一、知识速览二、考点速览知识点1数列的递推公式1、递推公式：如果已知数列{an}的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．2、通项公式和递推公式的异同点不同点相同点通项公式可根据某项的序号n的值，直接代入求出an都可确定一个数列，也都可求出数列的任意一项递推公式可根据第一项(或前几项)的值，通过一次(或多次)赋值，逐项求出数列的项，直至求出所需的an，也可通过变形转化，直接求出an知识点2数列通项公式的求法1、观察法：已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而根据规律写出此数列的一个通项．2、公式法（1）使用范围：若已知数列的前项和与的关系，求数列的通项可用公式构造两式作差求解．（2）用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”，即和合为一个表达，（要先分和两种情况分别进行运算，然后验证能否统一）．3、累加法：适用于an＋1＝an＋f(n)，可变形为an＋1－an＝f(n)要点：利用恒等式an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)(n≥2，n∈N*)求解4、累乘法：适用于an＋1＝f(n)an，可变形为eq\f(an＋1,an)＝f(n)要点：利用恒等式an＝a1·eq\f(a2,a1)·eq\f(a3,a2)·…·eq\f(an,an－1)(an≠0，n≥2，n∈N*)求解5、构造法：对于不满足an＋1＝an＋f(n)，an＋1＝f(n)an形式的递推关系，常采用构造法要点：对所给的递推公式进行变形构造等差数列或等比数列进行求解类型一：形如（其中均为常数且）型的递推式：（1）若时，数列{}为等差数列；（2）若时，数列{}为等比数列；（3）若且时，数列{}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求．方法有如下两种：法一：设，展开移项整理得，与题设比较系数（待定系数法）得，即构成以为首项，以为公比的等比数列．再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得法二：由得两式相减并整理得即构成以为首项，以为公比的等比数列．求出的通项再转化为累加法便可求出类型二：形如型的递推式：（1）当为一次函数类型（即等差数列）时：法一：设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得法二：当的公差为时，由递推式得：，两式相减得：，令得：转化为类型Ⅴ㈠求出，再用累加法便可求出（2）当为指数函数类型（即等比数列）时：法一：设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得法二：当的公比为时，由递推式得：—①，，两边同时乘以得—②，由①②两式相减得，即，构造等比数列。法三：递推公式为（其中p，q均为常数）或（其中p，q，r均为常数）时，要先在原递推公式两边同时除以，得：，引入辅助数列（其中），得：，再结合第一种类型。6、取倒数法：an＋1＝eq\f(pan,qan＋r)(p，q，r是常数)，可变形为eq\f(1,an＋1)＝eq\f(r,p)·eq\f(1,an)＋eq\f(q,p)要点：①若p＝r，则eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是等差数列，且公差为eq\f(q,p)，可用公式求通项；②若p≠r，则转化为an＋1＝san＋t型，再利用待定系数法构造新数列求解7、三项递推构造：适用于形如型的递推式用待定系数法，化为特殊数列的形式求解．方法为：设，比较系数得，可解得，于是是公比为的等比数列，这样就化归为型．8、不动点法（1）定义：方程的根称为函数的不动点．利用函数的不动点，可将某些递推关系所确定的数列化为等比数列或较易求通项的数列，这种求数列通项的方法称为不动点法．（2）在数列中，已知，且时，（是常数），=1\*GB3①当时，数列为等差数列；=2\*GB3②当时，数列为常数数列；=3\*GB3③当时，数列为等比数列；=4\*GB3④当时，称是数列的一阶特征方程，其根叫做特征方程的特征根，这时数列的通项公式为：；（3）形如，，（是常数）的二阶递推数列都可用特征根法求得通项，其特征方程为（*）．（1）若方程（*）有二异根、，则可令（、是待定常数）；（2）若方程（*）有二重根，则可令（、是待定常数）．(其中、可利用，求得)知识点3几种数列求和的常用方法1、公式法（1）等差数列的前n项和，推导方法：倒序相加法．（2）等比数列的前n项和，推导方法：乘公比，错位相减法．（3）一些常见的数列的前n项和：①；②；③；=4\*GB3④2、分组转化法求和（1）适用范围：某些数列的求和是将数列转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和，注意在含有字母的数列中对字母的讨论．（2）常见类型：=1\*GB3①若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列；=2\*GB3②通项公式为an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(bn，n为奇数，,cn，n为偶数))的数列，其中数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列.3、并项求和法：一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．例如，．4、倒序相加法：如果一个数列{an}的前n项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n项和公式即是用此法推导的．5、裂项相消法求和：如果一个数列的通项为分式或根式的形式，且能拆成结构相同的两式之差，那么通过累加将一些正、负项相互抵消，只剩下有限的几项，从而求出该数列的前n项和．6、错位相减法求和：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用错位相减法来求.一、已知Sn求an的三个步骤（1）利用a1＝S1求出a1.（2）当n≥2时，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)求出an的表达式．（3）看a1是否符合n≥2时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；否则应写成分段的形式，即an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2.))根据所求结果的不同要求，将问题向两个不同的方向转化．（1）利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解．（2）利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含an，an－1的关系式，再求解．【典例1】（2023·山东烟台·校联考三模）已知数列的前n项和为，，，则（）A．20B．19C．18D．17【答案】B【解析】因为，所以①，当时，②，①②得，，所以，又，得，所以是等差数列，公差，又，所以，则.故选：B【典例2】（2023·广东广州·高三校考模拟预测）已知数列的各项均为正数，记数列的前项和，且满足，则下列说法正确的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】当时，，解得；当时，因为，代入得：，化简得：，所以是首项为，公差为的等差数列.所以，因为，所以，所以，，，经检验也成立，所以，对于B：，所以B正确.对于D：，所以D错误.故选：B二、累加法求通项公式形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造：【典例1】（2023·全国·高三专题练习）若数列满足：，，则数列的通项公式为．【答案】【解析】由，得，所以当时，，而满足上式，所以.故答案为：.【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，且，求数列的通项公式．【答案】（）．【解析】因为，，所以，原等式两边同除以得，，即，所以，，…，（），各式相加得，（）.则（）.（），又当时，，综上所述，（）.【典例3】（2023·全国·高三专题练习）若是函数的极值点，数列满足，，则数列的通项公式．【答案】【解析】，∴，即，∴数列是首项为2，公比为3的等比数列，∴，则故答案为：三、累乘法求通项公式形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造：【典例1】（2023秋·江西宜春·高三校考开学考试）若，则通项公式.【答案】【解析】由，得，所以，，，……，，所以，所以，因为，所以，因为满足上式，所以，故答案为：【典例2】（2023·全国·高三专题练习）在数列中，，求.【答案】【解析】在数列中，，则当时，，而满足上式，所以.四、形如的构造法形如（为常数，且）的递推式，可构造，转化为等比数列求解．也可以与类比式作差，由，构造为等比数列，然后利用叠加法求通项．【典例1】（2023春·四川泸州·高三校考开学考试）若数列满足，，，则数列的前项和.【答案】【解析】由得，所以数列是以3为公比的等比数列，其中首项，所以，所以，所以，故答案为：.【典例2】（2023·全国·高三对口高考）已知数列中，，且（，且），则数列的通项公式为．【答案】【解析】由，得，即由所以，于是数列是以首项为，公比为的等比数列，因此，即，当时，,此式满足，所以数列的通项公式为.故答案为：.【典例3】（2023·全国·高三专题练习）已知数列中，且，则数列的通项公式为.【答案】【解析】∵，等式两侧同除，可得，令，则，∴，又，∴是以2为首项，2为公比的等比数列，∴，即，∴，即.故答案为：.五、形如的构造法形如，）的递推式，当时，两边同除以转化为关于的等差数列；当时，两边人可以同除以得，转化为．【典例1】（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，，求数列的通项公式．【答案】【解析】解法一：因为，设，所以，则，解得，即，则数列是首项为，公比为的等比数列，所以，即；解法二：因为，两边同时除以得，所以，，所以是以为首项，为公比的等比数列，所以，则，所以.【典例2】（2023·全国·高三专题练习）设数列满足：，（），数列满足：．求数列的通项公式．【答案】．【解析】∵，两边同时除以得．令，则．两边同时加上得．∴数列是以为首项，为公比的等比数列．∴，∴．∴．又∵，∴，六、形如的构造法通过配凑转化为，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得【典例1】（2023·全国·高三专题练习）已知：，时，，求的通项公式．【答案】【解析】设，所以，∴，解得：，又，∴是以3为首项，为公比的等比数列，∴，∴．【典例2】（2022秋·河北保定·高三校考期中）若，，则；【答案】【解析】设，所以，，，所以，所以数列是一个以为首项，以2为公比的等比数列，所以，所以.【典例3】（2023·全国·高三专题练习）设数列满足，，则数列的通项公式为.【答案】【解析】设，化简后得，与原递推式比较，对应项的系数相等，得，解得，即，令，则，又，故，，得.故答案为：七、取倒数法求通项对于，取倒数得．当时，数列是等差数列；当时，令，则，可用待定系数法求解．【典例1】（2023·全国·高三专题练习）已知数列中，且，则为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由得：，又，数列是以为首项，为公差的等差数列，，，.故选：A.【典例2】（2023·全国·高三专题练习）在数列中，已知，，则的通项公式为．【答案】【解析】由，两边取倒数得，即，又因为，所以是首项为，公差为的等差数列，所以，故.八、裂项相消法求数列的前n项和1、用裂项法求和的裂项原则及规律（1）裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发现被消去项的规律为止．（2）消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项．【注意】利用裂项相消法求和时，既要注意检验通项公式裂项前后是否等价，又要注意求和时，正负项相消消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项．2、裂项相消法中常见的裂项技巧（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）【典例1】（2023·江西景德镇·统考三模）在数列中，，，则数列的前项和（）A．B．C．D．【答案】D【解析】，，.故选：D.【典例2】（2023秋·宁夏石嘴山·高三校考阶段练习）数列中，，，则（）A．97B．98C．99D．100【答案】C【解析】，故，解得.故选：C【典例3】（2023·四川绵阳·校考模拟预测）设数列的前n项和为，．（1）求证数列为等比数列，并求数列的通项公式．（2）若数列的前m项和，求m的值，【答案】（1）证明见解析，；（2）7【解析】（1）因为，所以当时，，解得．当时，，则，整理得，故，，所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，所以．所以（2），数列的前m项和，则，则，则，解得，故m的值为7．九、错位相减法求数列的前n项和1、解题步骤2、注意解题“3关键”①要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形．②在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式．③在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比q＝1和q≠1两种情况求解．3、等差乘等比数列求和，令，可以用错位相减法．①②得：．整理得：．【典例1】（2023秋·福建三明·高三三明一中校考阶段练习）设是首项为1的等比数列，数列满足，已知，，成等差数列.（1）求和的通项公式；（2）记和分别为和的前n项和，求和.【答案】（1），；（2），.【解析】（1）设的公比为q，则，由，，成等差数列，得，则有，解得，所以和的通项公式是，.（2）由（1）知；，则，两式相减得，所以.【典例2】（2023秋·河南郑州·高三校考阶段练习）记为数列的前项和，已知.（1）求的通项公式；（2）设，求.【答案】（1）；（2）【解析】（1）当时，；当时，；经检验：满足上式，所以的通项公式是.（2）由（1）得，，，所以.即，即.【典例3】（2023秋·湖南长沙·高三校考阶段练习）已知数列满足：.（1）证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；（2）若数列满足，求数列的前项和.【答案】（1）证明见解析，；（2）【解析】（1）由题意：，且，则数列是以2为首项，2为公比的等比数列，所以.（2）由（1）可得：，则，两边同乘得：，作差得，所以.易错点1由求时忽略对“”检验点拨：在数列问题中，数列的通项与其前n项和之间关系如下，在使用这个关系式时，要牢牢记住其分段的特点。当题中给出数列｛｝的与关系时，先令求出首项，然后令求出通项，最后代入验证。解答此类题常见错误为直接令求出通项，也不对进行检验。【典例1】（2023·全国·高三专题练习）已知数列的前项和为，且，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】令可得：，解得：，①，②，由①②可得：，，故选：C