2021-2022学年江苏省宿迁市沭阳县九年级（上）期末数学试卷（含解析）

2021-2022学年江苏省宿迁市沐阳县九年级(上)期末数

学>、建试卷2U4

注意事项：

1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息.考

生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、

姓名是否一致.

2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.非选择题答案用0.5毫米黑色墨水签字

笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效.

3.作图可先使用2B铅笔画出，确定后必须用0.5毫米黑色墨水签字笔描黑.

一、选择题

1.下列关于c的方程中，一定是一元二次方程的是()

A.ax2+bx+c=0B.(工+2)(a;—3)=(c—I)?

C.a；2+1=0D.—+a;=1

x

2.已知一组数据2,3,5,c,5,3有唯一的众数3,则上的值是()

A.3B.5C.2D.无法确定

3,若一元二次方程a/+2c+l=0有两个不相等的实数根，则实数。的取值范围是

()

A.a<1B.Q<1C.Q41且QROD.。<1且。#0

4.若。。的直径为10,点4到圆心。的距离为6,那么点/与。。的位置关系是()

点y1在圆外B.点4在圆上C.点力在圆内D.不能确定

5.二次函数？/=/—2z的顶点坐标是()

A.(2,-4)B.(2,4)C.(1,-1)D.(1,1)

6.若将半径为16cm的半圆形纸片围成一个圆锥的侧面,则这个圆锥的底面圆半径是

()

A.4cmB.6cmC.8cmD.10cm

7.如图，在平行四边形ABC。中，E为边上的点,

若BE：EC=2：3,4E交于F,则BF：FD

等于()

E

A.4：5

B.2：5

C.5：9

D.4：9

8.抛物线y=x2+bx+S的对称轴为直线z=1.若关于工的一元二次方程

x2+bx+3-t=0(t为实数)在—1<£<3的范围内有实数根,则t的取值范围是

()

A.B.C.6<f<11D.24t<6

二、填空题(本大题共10小题，共30.0分)

9.四边形内接于。O,若乙8=85°,则/。=°,

10.已知彳=3=彳，则---=_______.

234z

11.已知点4(0,a),8(4,6)是抛物线u=/-2a:+2022上的两点，则a,6的大小关

系是•

12.甲、乙、丙、丁四人参加射击比赛，经过三轮的初赛,他们成绩的方差分别是s率=0.2,

%=0.3,s引=0.25,s%=0.4,你认为成绩更稳定的是

13.已知出、/2为方程/—4立+3=0的两根，则叫+电一2叼电=.

14.2022年的春节即将到来，一年一度的“春节联欢晚会”即将拉开序幕，若“春节

联欢晚会”的舞台纵深10米，若想获得最佳的音响效果，主持人应该站在舞台纵

深所作线离舞台前沿较近的黄金分割点P处，那么主持人站立的位置离舞台前沿较

近的距离为.(结果保留根号)

15.已知圆心角为135°的扇形面积为24万，则扇形的半径为

16.如图，在。。中，。力=3,NC=45°，则图中阴影部分

的面积是.(结果保留7T)

17.在平面直角坐标系中，二次函数y=a/+法+c(a#0)

的图象如图所示，现给出以下结论：①abc<0；

②c+2a<0；③9a-3b+c=0；

④a-b》m(ani+6)(m为实数)，其中正确的结论有

第2页，共28页

.（只填序号）

18.如图，在用/"LB。中，乙4cB=90°，4。=8,

BC=6,点P是平面内一个动点，且AP=4,Q为

的中点，在P点运动过程中，设线段CQ的长度

为则m的取值范围是.

三、解答题（本大题共10小题，共96.0分）

19.计算:

⑴——2x—3=0；

⑵先化简’再求值：（/而三—达）+金,

其中a满足（？+3a-3=0.

20.关于立的一元二次方程x2-（k+l）x+2k-2=0.

（1）求证：方程总有两个实数根；

（2）若方程有一根小于2,求k的取值范围.

21.如图所示，在网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，把小正方形的顶点

叫做格点，O为平面直角坐标系的原点，矩形。ABC的4个顶点均作格点上，连

接对角线03.

(1)在平面直角坐标系内，以原点O为位似中心，把△048缩小，作出它的位似

图形，并且使所作的位似图形与△OAB的相似比等于;；

(2)将△OAB以。为旋转中心，逆时针旋转90°,得到△。43,作出△。小功，

并求出线段03旋转过程中所形成扇形的面积.

22,将4张印有“梅”“兰”“竹”“菊”字样的卡片(卡片的形状、大小、质地都相

同)放在一个不透明的盒子中，将卡片搅匀.

(1)从盒子中任意取出1张卡片，恰好取出印有“兰”字的卡片的概率为.

(2)先从盒子中任意取出1张卡片，记录后放回并搅匀，再从中任意取出1张卡片,

求取出的两张卡片中，至少有1张印有“兰”字的概率(请用画树状图或列表等方

法求解).

第4页，共28页

23.如图，在R力△ABC中，ZC=90°,AE^ABAC

交BC于点E,点。在43上，DELAE.0。是

圾△4DE的外接圆，交4。于点F.

(1)求证：是。。的切线；

⑵若。。的半径为10,AC=16,求以4DE.

24.为扎实推进“五育并举”工作，沐阳某学校利用课外活动时间，开设了书法、健美

操、乒乓球和朗诵四个社团活动，每个学生选择一项活动参加，为了了解活动开展

情况，学校随机抽取了部分学生进行调查，将调查结果绘制成条形统计图和扇形统

计图：

书去限臬乒乓球朗诵社团

请根据以上信息，回答下列问题:

(1)抽取的学生有_____人，n=,a=_______人;

(2)补全条形统计图；

(3)若该校有学生4000人，估计参加书法社团活动的学生人数.

25.如图，河对岸有一路灯杆43,在灯光下，小明在点。处，自己的影长DF=4小，

沿方向到达点F处再测自己的影长FG=5小，如果小明的身高为1.6m,求路

灯杆43的高度.

26.2020年是脱贫攻坚的收官之年，老李在驻村干部的帮助下，利用网络平台进行“直

播带货”，销售一批成本为每件30元的商品，按单价不低于成本价，且不高于50元

销售，经调查发现，该商品每天的销售量贝件)与销售单价以元)之间满足一次函

数关系，部分数据如表所示.

第6页，共28页

销售单价式（元）304045

销售数量：!/（件）1008070

⑴求该商品每天的销售量yk件）与销售单价双元）之间的函数关系式；

（2）销售单价定为多少元时，每天的销售利润为800元？

⑶销售单价定为多少元时，才能使销售该商品每天获得的利润“，（元）最大？最大

利润是多少元？

27.如图①，△4BC和△AOE是有公共顶点的等腰直角三角形，

/BAC=/ZX4E=90°,点P为射线B。，CE的交点.

（1）如图②，将△ADE绕点4旋转，当。、D、E在同一条直线上时，连接3。、

BE.

求证：BD=CE且BDLCE.

（2）若48=8,AD=4,把△4DE绕点/旋转，

①当/况4。=90°时，求PB的长；

②旋转过程中线段长的最小值是.

①②

备用图

28.如图，在平面直角坐标系内，抛物线“=a/+fcr—8(a刈)与/轴交于点4、点

与y轴交于点C,且0B=204过点A的直线夕=。+4与抛物线交于点E.点、P

为第四象限内抛物线上的一个动点，过点P作PHLAE于点H.

(1)抛物线的表达式中，a=,b=；

(2)在点P的运动过程中，若取得最大值，求这个最大值和点P的坐标；

(3)在⑵的条件下，在/轴上求点Q,使以工，P,Q为顶点的三角形与△ABE

相似.

第8页，共28页

答案和解析

1.【答案】C

【解析】解：4、a=0时，不是一元二次方程，选项错误；

B、原式可化为：x-7=0,是一元一次方程，故选项错误；

C、符合一元二次方程的定义，正确；

。、是分式方程，选项错误.

故选：C.

本题根据一元二次方程的定义解答.

一元二次方程必须满足四个条件：

(1)未知数的最高次数是2；

(2)二次项系数不为0；

(3)是整式方程；

(4)含有一个未知数.由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答

案.

判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只

含有一个未知数且未知数的最高次数是2.

2.【答案】A

【解析】解：在这组已知的数据中，“3”出现2次，“5”出现2次，“2”出现1次，

要使这组数据有唯一的众数3,因此立所表示的数一定是3,

故选：A.

根据众数的定义，结合这组数据的具体情况进行判断即可.

本题考查众数的定义，掌握一组数据中出现次数最多的数据是这这组数据的众数是正确

判断的关键.

3.【答案】D

【解析】解：•.•一元二次方程a/+2z+l=0有两个不相等的实数根，

a7^0，△=标—4ac=22—4xaxl=4—4a>0,

解得：a<1,

故选：D.

由一元二次方程a/+27+1=0有两个不相等的实数根，即可得判别式△>(),际0,

继而可求得a的范围.

此题考查了一元二次方程判别式的知识.此题比较简单，注意掌握一元二次方程有两个

不相等的实数根，即可得△>().

4.【答案】A

【解析】解：•.•(DO的直径为10,

®O的半径为5，

而圆心。的距离为6,

.•.点人在。。外.

故选：A.

根据题意得。。的半径为5cm,则点4到圆心。的距离小于圆的半径，则根据点与圆

的位置关系可判断点力在。。内.

本题考查了点与圆的位置关系：设©O的半径为了，点P到圆心的距离OP=d,则有

点P在圆外台d>r；点P在圆上=d=r；点P在圆内台d<r.

5.【答案】C

【解析】解：9=/—=(1—I)?—1,

二抛物线顶点坐标为

故选：C.

将抛物线解析式化为顶点式求解.

本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系.

6.【答案】C

第10页，共28页

【解析】解：圆锥的侧面展开图的弧长为27rxi6+2=167r(cm),

二.圆锥的底面半径为167r2TT=8(cm),

故选：C.

易得圆锥的母线长为16cm,以及圆锥的侧面展开图的弧长，也就是圆锥的底面周长，

除以27r即为圆锥的底面半径.

本题考查了圆锥的计算.用到的知识点为：圆锥的弧长等于底面周长.

7.【答案】B

【解析】解：•.•四边形4BCO是平行四边形，

AD//BC,AD=BC,

■.BE：EC=2：3

BE：AD=2：5,

ADIIBC,

：.AADFsAEBF,

：,BF：FD=BE：AD=2：5,

故选：B.

通过证明可求解.

本题考查的是平行四边形的性质和相似三角形的判定和性质，灵活运用平行四边形的性

质定理和相似三角形的判定和性质定理是解题的关键.

8.【答案】D

【解析】解：•.•抛物线沙=/+就+3的对称轴为直线l=-：=：!,

b=—2,

V=/-2c+3,

・「g=—26+3=(/—I)2+2，

厂.抛物线开口向上，顶点坐标为(1,2),

将力之+匕力+3=0整理为/—2c+3=%，

当力=2时，抛物线顶点落在直线4=2上，满足题意，

把(—1")代入g=/—2/+3得1=6,

把(3,t)代入y=/—2a;+3得力=6,

；.2<t<6满足题意，

故选：D.

由抛物线的对称轴可得抛物线解析式，将/+就+3一1=0转化为抛物线

yx2+bx+3与直线沙=力在-1<1<3的范围内有交点的问题，进而求解.

本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程的关系，掌握二次函数图象

与系数的关系.

9.【答案】95

【解析】解：•.•四边形ABC。内接于。0,

/B+ND=180°，

-：/B=85°,

AD=180°-85°=95°,

故答案为：95.

根据圆内接四边形的对角互补列式计算即可.

本题考查的是圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键.

10.【答案】?

4

【解析】解：设5x=*u=4z=卜，

/.x=2ky=3k,z=4k,

x+y2k+3k5

,z=4k=4f

故答案为：I

利用设k法进行计算即可解答.

本题考查了比例的性质，熟练掌握设心法是解题的关键.

11.【答案】a〈b

第12页，共28页

【解析】解：•；y=x2-2x+2022,

二.抛物线开口向上，对称轴为直线/=一年=1,

•1-1-0<4-1,

点A到对称轴的距离小于点B到对称轴的距离，

：.a<b,

故答案为：a<6.

根据抛物线解析式可得抛物线对称轴与开口方向，根据点4,B到抛物线对称轴的距

离求解.

本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握二次函数的性质.

12.【答案】甲

【解析】解：,一率=0.2,$2=0.3,s需=0.25,4=0.4,

方差最小的为甲，

,成绩更稳定的是甲.

故答案为：甲.

根据方差的定义，方差越小数据越稳定即可求解.

本题考查了方差的意义.方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组

数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分

布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定.

13.【答案】-2

【解析】解：根据题意得11+①2=4,XiX-2=3,

所以3+①2—2力述2=4—2x3=—2.

故答案为-2.

根据根与系数的关系得到叫+电=4,电力2=3,然后利用整体代入的方法计算

Xi+x2-2力112的值.

本题考查了根与系数的关系：若工1,工2是一元二次方程a/+近+c=o（a#o）的两根

2be

时，g+12=--，力"2=-•

aQ

14.【答案】（15—5峋米

【解析】解：•.•主持人应站在舞台纵深所在线段的离舞台前沿较近的黄金分割点P处,

二离舞台前沿较近的距离为：号内义10=15-5遍（米），

故答案为：（15—5，^）米.

由黄金分割的定义即可求解.

本题考查了黄金分割的概念：如果一个点把一条线段分成两条线段，并且较长线段是较

短线段和整个线段的比例中项，那么就说这个点把这条线段黄金分割，这个点叫这条线

段的黄金分割点.

15.【答案】8

【解析】解：根据s="，

360

俎1357T7-2

可得：247r=------，

360

解得：r=8.

故答案为：8.

根据扇形面积的计算公式进行计算即可得出答案.

本题主要考查了扇形面积的计算，熟练掌握扇形面积的计算方法进行计算是解决本题的

关键.

16.【答案】%U

【解析】解:•.•/。=45°,

AAOB=90°，

•*-S阴影=S扇形AOB-S^AOB

99

=TTT——•

42

故答案为：?gT—1g

42

由ZC=45°根据圆周角定理得出/.AOB=90°，根据S阴影=S扇形力。笈-SA4O8可得出

第14页，共28页

结论.

本题考查的是扇形面积的计算，根据题意求得三角形与扇形的面积是解答此题的关键.

17.【答案】①②③

【解析】解：由图象可得a>0,c<0,-?<0，

2a

.'.6>0,

abc<Q,故①正确，符合题意.

由抛物线对称轴-9=-1可得b=2a,

2a

•.,4=1时，y=a+b+c=0,

a+2a+c=0,

即c+3a=0,

c+2a=—a<0,

故②正确，符合题意.

•.•图象对称轴为直线i=-1,且经过点(1,0),

二抛物线与工轴另一个交点坐标为(-3,0),

二.c=—3时，y=9a—3b+c=0,

故③正确，符合题意.

当z=—l时，函数有最小值为a-b+c,

当XTTI时，y=CLTfl^+bui+C,

am2+bm+c》a-b+c,

整理得a—b4m(am+b),

故④错误，故符合题意.

故答案为：①②③.

由抛物线的开口方向判断a的正负，由抛物线与，轴交点判断c的正负，由抛物线对称

轴判断a与6的关系，根据抛物线的图象的性质对结论进行判断.

本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数

与不等式的关键，二次函数与方程的关系.

18.【答案】

【解析】解：如图，取43的中点时，连接。M,CM,

AB=y/AC2+BC2=7淬+62=10，

•.•点时是的中点，

AM=BM=CM=^AB=5.

•.•点Q是PB的中点，点M是43的中点，

.•.QM是△APB的中位线.

AP=4,

QM==2,

在△CMQ中，CM-MQ<CQ<CM+MQ,

..3<m<7,

•.•点C,点时是定点，点Q是动点，且点Q以点时为圆心，长为半径的圆上运

动，

当点。，M,Q三点共线，且点Q在线段CM上时，m取得最小值3,

当点C,M,Q三点共线，且点Q在射线CM上时，m取得最大值7,

综上，7n的取值范围为：3WmW7.

故答案为：W7.

取的中点A1,连接QAf,CM,分析可知，点C,点Af是定点，点Q是动点，

且点Q在以点W为圆心，。”长为半径的圆上运动，且当点C,M,Q三点共线，

且点Q在线段CM上时，7n取得最小值3,当点C,M,Q三点共线，且点Q在射

线CM上时，m取得最大值7,可得结论.

本题主要考查勾股定理，直角三角形斜边中线等于斜边一半，中位线定理，三角形三边

关系等内容，分析清楚点Q的运动是本题解题的关键.

19.【答案】解：(1)/——3=0,

(a?-3)(a:+1)=0,

可得1―3=0或工+1=0,

第16页，共28页

解得：/1=3,x2=-1；

面弋_（（Q+2）（Q—2）1Q(Q—2)

⑵原式一（（a—2）2+X

a-22

/Q+21、0,(CL—2)

(-------------1-------------)X-------------

%—2a—2)2

a+3a(a—2)

a—22

a2+3a

------,

2

由a?+3a—3=0得a?+3a=3,

3

原式=--

【解析】（1）利用因式分解法求解可得；

（2）先根据分式的减法法则进行计算，再根据分式的除法法则进行计算，求出

a2+3a=3，最后把a?+3a=3代入化简的结果，即可求出答案.

此题考查了解一元二次方程，分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

20.【答案】⑴证明：•「a=l,b=—（%+1）,c=2fc-2,

M-4ac=［-（k+l）］2-4x1x（2k—2）=衿—6k+9=（%—3产20,

.•.方程总有两个实数根.

⑵解：:x1—（k+l）x+2fc—2=0,即［z—（卜—l）］（z—2）=0,

立1=2,X2=k—1,

又•.•方程有一个根小于2,

k—1<2,

：.k<3>

即R的取值范围为k<3.

【解析】（1）根据方程的系数结合根的判别式△=/-4ac，可得出△》（），进而可证

出方程总有两个实数根；

（2）利用因式分解法解一元二次方程可得出原方程的两个根，结合方程有一根小于2,

即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围.

本题考查了根的判别式以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当

△》0时，方程有两个实数根”；（2）利用因式分解法，求出方程的两根.

21.【答案】解：（1）如图，△OAB或△。4归〃即为所求.

⑵如图，△0小为即为所求.

0B=，42+62=2V13，

Of）1

线段OB旋转过程中所形成扇形的面积=标x"X°债=r"x52=阿・

【解析】（1）利用位似变换的性质分两种情形分别画出图形即可；

（2）利用旋转变换的性质画出图形，利用扇形的面积公式求解即可.

本题考查作图-位似变换，矩形的性质，扇形的面积等知识，解题的关键是掌握位似变

换，旋转变换的性质，属于中考常考题型.

22.【答案】解：⑴从盒子中任意取出1张卡片，恰好取出印有“兰”字的卡片的概率

为5，

4

故答案为：I

⑵画树状图如下：

八小

梅兰竹菊梅兰竹菊梅兰竹菊梅兰竹菊

由树状图知，共有16种等可能结果，其中至少有1张印有“兰”字的有7种结果,

第18页，共28页

7

・•.至少有1张印有“兰”字的概率为，.

16

【解析】（1）直接利用概率公式求解可得；

（2）画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再利用概率公式求解

可得.

本题考查了用列表法或树状图法求随机事件的概率，解题时需要注意是放回试验还是不

放回试验.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

23.【答案】（1）证明：连接OE,

：OA=OE,

：.Zl=Z.OEA,

AE平分ABAC

.-.Zl=Z2,

Z2=Z.OEA,

AC//OE,

ZC=ZOEB=90°,

是。。的半径，

二8。是。。的切线；

(2)•二4。是©O的直径,

NAED=90°,

ZC=ZAED=90°，

-1•Zl=Z2,

/XACE-/XAED,

ACAE

--AE=A15,

16AE

n即n——=——，

AE20

AE=8\/5,

DE=y/AD2-AE2=J2O2_（8，K）2=4^，

S/\ADE=-AE-DE=—x8A/5X4\/5=80.

【解析】（1）连接OE,利用角平分线的性质和等腰三角形的性质证明4C〃0E,即可

解答；

⑵先证明△ACE-△4E。，求出4E的长，再利用勾股定理求出DE的长，进行计

算即可解答.

本题考查了切线的判定与性质，三角形外接圆与外心，圆周角定理，熟练掌握角平分线

的性质和等腰三角形的性质证明平行线是解题的关键.

24.【答案】2005425

【解析】解：（1）抽取的学生有：80+40%=200（人）,

36。"丽=54。,

h=54,

100%=25%,

a=25,

故答案为：200,54,25;

（2）参加朗诵社活动的学生人数为200-（50+30+80）=40（人）,

补全条形统计图如图：

⑶估计参加书法社团活动的学生人数为4000x25%=1000（人）.

答：估计参加书法社团活动的学生人数为1（）00人.

第20页，共28页

(1)由参加乒乓球社团活动的学生人数及其所占百分比可得抽取的总人数，用360°乘以

参加健美操社团活动的学生人数所占比例即可得n，根据参加书法社团活动的学生人数

和抽取的总人数求出参加书法社团活动的学生所占比例可得Q的值；

(2)先根据参加四个社团活动的学生数之和等于总人数求出参加朗诵社团活动的学生人

数，再补全条形统计图；

(3)用总人数乘以样本中参加书法社团活动的学生人数对应的百分比可得答案.

本题主要考查读条形统计图与扇形统计图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统

计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题.

25.【答案】解：CD//EF//AB,

.•.可以得到AABGMEFG,

AB_BFAB_BG

"CD=1DF,^F=TG'

又；CD=EF,

BF_BG

：DF=4,PG=5,BF=BD+DF=BD+4,

BG=BD+DF+FG=BD+9,

4+BD_9+BD

45'

：.BD=16,BF=16+4=20,

AB_20

,,U=T)

解得AB=8m.

答：路灯杆的高度为87n.

【解析】在同一时刻物高和影长成正比，根据相似三角形的性质即可解答.

此题主要考查了相似三角形的应用，本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用

相似三角形的性质对应边成比例就可以求出结果.

26.【答案】解：⑴设该商品每天的销售量y(件)与销售单价双元)之间的函数关系式

为沙=krr+b,

将点(3,100)、(40,80)代入一次函数关系式得：

(100=30k+b

[80=40%+。’

解得：｛之褊

.•.函数关系式为沙=—2z+160；

⑵由题意得：(/—30)(—24+160)=800,

整理得：/-n(te+2800=0,

解得：叼=40,42=70.

•.•单价不低于成本价，且不高于50元销售，

.•.±2=70不符合题意，舍去.

销售单价定为40元时，每天的销售利润为800元；

(3)由题意得：

w=(x-30)(—2c+160)

=-2(4-55)2+1250,

•.--2<0,抛物线开口向下，

.•.当:r<55时，"随£的增大而增大，

,/30W/(50,

.•.当,=50时，"有最大值，此时u;=—2(50-55户+1250=1200.

二.销售单价定为50元时，才能使销售该商品每天获得的利润切元)最大，最大利润是

1200元.

【解析】(1)设该商品每天的销售量少(件)与销售单价c(元)之间的函数关系式为

y=kx+b,用待定系数法求解即可；

(2)根据每件的利润乘以销售量等于利润800元，列出方程并求解，再结合单价不低于

成本价，且不高于50元销售，可得符合题意的答案；

(3)根据每件的利润乘以销售量等于利润得出方关于x的二次函数，将其写成顶点式，

根据二次函数的性质及自变量的取值范围可得答案.

本题考查了二次函数和一元二次方程在销售问题中的应用，明确成本利润问题的基本数

量关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键.

27.【答案】4^3-4

【解析】(1)证明：-：ABAC=ADAE=^°,

：.ABAC+ADAC=ADAE+ADAC,

第22页，共28页

即ABAD=ACAE.

在△ABO和△ACE中，

(AD=AE

<ABAD=Z.CAE,

[AB=AC

「.△48。三△ACE(SAS),

：.BD=CE,

：/\ABDzdACE,

/ABD=4ACE,

•「ACAB=90°,

AABD+AAFB=90°,

/ACE+/LAFB=90°.

•「ADFC=AAFB,

AACE+Z.DFC=90°,

AEAC=90°,

CE=y/AE2+AC2=^82+42=4\/5，

同(1)可证△AD534AEC.

：.ADBA=AECA.

•「APEB=4AEC,

：3EB八AEC.

PB_BE

''AC='CE9

PB_X

/,-8-=475，

Q

5

如图3,当点石在84延长线上时，BE=12.

CE=7A钟+2=/42+82=4通，

同（1）可证：△AD^wZVLE。，

：.ZDBA=AECA,

•：ABEP=ACEA,

SPEBsAAEC,

PB_BE

\AC=~CE，

PB_12

：,PB=^.

5

综上.P_B=或空，;

55

②解：如图，以4为圆心4D为半径画圆，当CE在0A下方与04相切时，PB的值

最小.

理由：此时NBCE最小，因此PB最小，（△PBC是直角角形，斜边3。为定值，ABCE

：.EC=V^C2-AE2=,82—42=4\/3，

由（1）可知AABD=△ACE,

ZADB=AAEC=90°,BD=CE=4y/3，

第24页，共28页

AADP=ZDAE=ZAEP=90°，

二.四边形4EP0是矩形，

:.PD=AE=4,

PB=BD-PD=4\/3-4.

综上所述，PB长的最小值是4^-4，

故答案为：4\/3-4-

(1)根据全等三角形的性质得到BD=CE,NABD=Z.ACE，根据垂直的定义即可

得到结论;

(2)①如图2,当点E在上时，根据勾股定理得到CE,根据全等三角形的性质得

到/O3A=ZECA.根据相似三角形的性质得到结论；

②如图，以/为圆心4D为半径画圆，当CE在©4下方与©4相切时，PB的值最

小.根据勾股定理得到EC,根据全等三角形的性质得到

AADB=AAEC=90°,BD=CE=4通，根据矩形的性质得到PD=AE=4,于

是得到结论.

本题属于几何变换综合题，考查等腰直角三角形的性质、旋转变换、全等三角形的判定

和性质、相似三角形的判定和性质、圆的有关知识，解题的关键是灵活运用这些知识解

决问题，学会分类讨论的思想思考问题，学会利用图形的特殊位置解决最值问题，属于

中考压轴题.

28.【答案】1-1

4

【解析】解：(1)直线？/=力+4,当沙=0时，则］+4=0,解得/=-