2023年河南省南阳市唐河县四校联考中考模拟数学模拟试题（二）（含答案解析）

唐河县2023学年四校联考中招模拟试题数学（二）温馨提示：1.本试卷共两大题，满分120分，考试时间100分钟2.考试结束之后，将本卷和答题卡一并收回．一、选择题（每小题3分共30分）下列各小题均有4个选项，其中只有一项是正确的.1.下列说法正确的是（）A.任何有理数的绝对值一定是正数 B.正数和负数统称为有理数C.乘积为的两个数互为倒数 D.最大的负整数是【答案】D【解析】【分析】根据绝对值的意义、有理数的定义、倒数的定义，对选项一一进行分析，即可得出答案．【详解】解：A、任何有理数的绝对值一定是非负数，故该说法错误，不符合题意；B、整数和分数统称为有理数，故该说法错误，不符合题意；C、乘积为的两个数互为倒数，故该说法错误，不符合题意；D、最大的负整数是，故该说法正确，符合题意．故选：D【点睛】本题考查了绝对值、有理数的分类、倒数，解本题的关键在熟练掌握相关的意义和定义．2.如图所示的几何体，其主视图是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据主视图是从正面看得到的图形解答即可．【详解】该几何体的主视图如图，故选A．【点睛】本题考查判断几何体的三视图．掌握主视图是从正面看得到的图形，左视图是从左面看得到的图形，俯视图是从上面看得到的图形是解题关键．3.下列运算正确的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据同底数幂的乘法，平方差公式，幂的乘方和积的乘方，合并同类项分别求出每个式子，再分别判断即可．【详解】A．，A错；B．，B错；C．，C错；D．，D正确．故选：D．【点睛】此题考查了同底数幂的乘法，平方差公式，幂的乘方和积的乘方，合并同类项，解题的关键是熟练掌握以上运算法则．4如图，菱形ABCD中，过点C作CE⊥BC交BD于点E，若∠BAD＝118°，则∠CEB＝（）A.59° B.62° C.60° D.72°【答案】A【解析】【分析】根据菱形的性质可得，∠ABD=∠CBD，从而得到∠CBD=31°，再由CE⊥BC，即可求解．【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，∴，∠ABD=∠CBD，∴∠BAD+∠ABC=180°，∵∠BAD＝118°，∴∠ABC=62°，∴∠CBD=31°，∵CE⊥BC，即∠BCE=90°，∴∠CEB=59°．故选：A【点睛】本题主要考查了菱形的性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．5.若关于的方程有两个相等的实数根，则的值可以是（）A.0 B.4 C.2 D.【答案】B【解析】【分析】根据方程有两个相等的实数根，得到，进行求解即可．【详解】解：由题意，可知：，∴，故选B．【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式．熟练掌握，方程有两个相等的实数根，是解题的关键．6.如图，在中，．点E，F，D分别在边，，上，，，则四边形的周长是（）A.10 B.15 C.18 D.20【答案】A【解析】【分析】先根据等腰三角形的性质可得，再根据平行线的性质可得，，从而可得，然后根据等腰三角形的判定可得，由此即可得．【详解】解：，，，，，，，，则四边形的周长是，故选：A．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质、平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题关键．7.某班共有48名学生，体育课上老师统计全班一分钟仰卧起坐的个数，由于小亮没有参加此次集体测试，因此计算其他47名学生一分钟仰卧起坐的平均个数为30个，方差为15．后来小亮进行了补测，成绩为30个，关于该班48名学生的一分钟仰卧起坐个数，下列说法正确的是（）A.平均个数不变，方差不变 B.平均个数变小，方差不变C.平均个数变大，方差变大 D.平均个数不变，方差变小【答案】D【解析】【分析】根据平均数，方差的定义计算即可．【详解】解：∵小亮的一分钟仰卧起坐个数和其他47名学生一分钟仰卧起坐的平均个数相同，都是30个，∴该班48名学生一分钟仰卧起坐的平均个数为30，平均个数不变，方差变小．【点睛】本题考查方差，算术平均数等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．8.下列计算正确的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据整式的运算法则逐一计算即可得．【详解】A、，此选项错误，不符合题意；B、不能合并，此选项错误，不符合题意；C、，此选项正确，符合题意；D、，此选项错误，不符合题意．故选：C．【点睛】此题考查整式的运算，解题的关键是掌握同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法运算法则．9.在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2）．延长CB交x轴于点A1，作正方形A1B1C1C；延长C1B1交x轴于点A2，作正方形A2B2C2C1…按这样的规律进行下去，第2012个正方形的面积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先根据两对对应角相等的三角形相似，证明△AOD和△A1BA相似，根据相似三角形对应边成比例可以得到AB=2A1B，所以正方形A1B1C1C的边长等于正方形ABCD边长的，以此类推，后一个正方形的边长是前一个正方形的边长的，然后即可求出第2014个正方形的边长与第1个正方形的边长的关系，从而求出第2012个正方形的面积．【详解】解：如图，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=∠BAD=90°，AB=BC，∴∠ABA1=90°，∠DAO+∠BAA1=90°，又∵在坐标平面内，∠DAO+∠ADO=90°，∴∠ADO=∠BAA1，△AOD和△A1BA中，，∴△AOD∽△A1BA，∴OD：AO=AB：A1B=2，∴BC=2A1B，∴A1C=BC，以此类推A2C1=A1C，A3C2=A2C1，…，即后一个正方形的边长是前一个正方形的边长的倍，∴第2012个正方形的边长为（）2011BC，∵A的坐标为（1，0），D点坐标为（0，2），∴BC=AD=，∴第2012个正方形的面积为：[（）2011BC]2=5×（）4022．故选：D.【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与正方形的性质，根据规律推出第2012个正方形的边长与第1个正方形的边长的关系是解题的关键，也是难点，本题综合性较强．10.在一次生活垃圾分类知识竞赛中，某校七、八年级各有100名学生参加，已知七年级男生成绩的优秀率为40%，女生成绩的优秀率为60%；八年级男生成绩的优秀率为50%，女生成绩的优秀率为70%对于此次竞赛的成绩，下面有三个推断：①七年级男生成绩的优秀率小于八年级男生成绩的优秀率；②七年级学生成绩的优秀率一定小于八年级学生成绩的优秀率；③七、八年级所有男生成绩的优秀率一定小于七、八年级所有女生成绩的优秀率．所有合理推断的序号是（）A①② B.①③ C.②③ D.①②③【答案】B【解析】【分析】由题意直接根据给出条件，利用统计学知识逐一加以判断即可得出答案．【详解】解：①七年级男生成绩的优秀率即40%小于八年级男生成绩的优秀率即50%，故正确；②七年级学生成绩的优秀率在40%与60%之间，八年级学生成绩的优秀率在50%与70%之间，不能确定哪个年级的优秀率大，故错误；③七、八年级所有男生成绩的优秀率在40%与50%之间一定小于七、八年级所有女生成绩的优秀率即在50%与70%之间，故正确．故答案为：B.【点睛】本题考查统计学知识，熟练掌握数据的处理与应用以及判断优秀率的大小范围是解题的关键.二、填空题（每小题3分共15分）11.若代数式有意义，则实数x的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件求解即可．【详解】解：由题意，得：，∴；故答案为：．【点睛】本题考查代数式有意义的条件．熟练掌握被开方数为非负数，分式的分母不为零，是解题的关键．12.若，则的值是___________．【答案】20【解析】【分析】根据完全平方公式代入求值即可．【详解】∵∴故答案为：．【点睛】本题考查利用完全平方公式分解因式，整体代入求值是解题的关键．13.不透明袋子中装有9个球，其中有7个绿球、2个白球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率是___________．【答案】【解析】【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．详解】解：∵袋子中共有9个小球，其中绿球有7个，∴摸出一个球是绿球的概率是，故答案为：．【点睛】此题主要考查了概率的求法，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．14.如图，在中，，，点O在上，以点O为圆心，长为半径的圆恰好与相切于点D，分别交于点E，F．若，则阴影部分的面积是___________．【答案】【解析】【分析】连接，先证明是等边三角形，则，再证明,由得到的半径为4，再求得，又由，得到，代入数值计算即可得到阴影部分的面积．【详解】解：连接，如图，在中，，，∴，∵，∴是等边三角形，∴，∵以点O为圆心，长为半径的圆恰好与相切于点D，∴，∴，∴,∵，∴的半径为4，∴，∵，∴，故答案为：【点睛】此题考查了圆的切线的性质、解直角三角形、等边三角形的判定和性质等知识，求出解题的关键．15.如图，已知⊙O的半径为5，P是直径AB的延长线上一点，BP=1，CD是⊙O的一条弦，CD=6，以PC，PD为相邻两边作平行四边形PCED，当C，D点在圆周上运动时，线段PE长的最小值是_______________．【答案】4【解析】【分析】连接OC，设CD与PE交于点K，连接OK，根据平行四边形的性质结合垂径定理求出OK的长，在三角形PKO中，根据三角形的三边关系得到线段PK的取值范围，再由，得到结果．【详解】解：如图，连接OC，设CD与PE交于点K，连接OK，∵四边形PCED是平行四边形，∴，，∴根据垂径定理在中，，，∴，∵，∴，即，∵，∴，∴线段PE的最小值是4．故答案是：4．【点睛】本题考查线段最值问题，解题的关键是掌握平行四边形的性质和圆的垂径定理，再利用三角形三边的数量关系求出线段的取值范围从而得到最小值．三、解答题（本大题共8个小题共75分）16.观察下列算式：，，，（1）由此可推断：；（2）请用含字母为正整数）的等式表示（1）中的一般规律；（3）仿照以上方法解方程：．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根据已知等式得出规律，计算即可得到结果；（2）写出一般性规律即可；（3）方程变形后，计算即可求出解．【小问1详解】解：根据题意得：．故答案为：．【小问2详解】解：根据题意得：．故答案为：．【小问3详解】解：方程整理得：，即，去分母得：，解得：，检验把代入得：，∴是分式方程的解．【点睛】本题主要考查了解分式方程，弄清题中的拆项规律，是解本题的关键．17.为积极响应教育部“停课不停学”的号召，某中学组织本校优秀教师开展线上教学，经过近三个月的线上授课后，在五月初复学，该校为了解学生不同阶段学习效果，决定随机抽取八年级部分学生进行两次跟踪测评，第一次是复学初对线上教学质量测评，第二次是复学一个月后教学质量测评，根据第一次测试的数学成绩制成频数分布直方图（图1）复学一个月后，根据第二次测试的数学成绩得到如下统计表：成绩人数1338156根据以上图表信息，完成下列问题：（1）；（2）请在图2中作出两次测试的数学成绩折线图，并对两次成绩作出对比分析（用一句话概述）；（3）某同学第二次测试数学成绩为78分，这次测试中，分数高于78分的至少有人，至多有人；（4）请估计复学一个月后该校800名八年级学生数学成绩优秀（80分及以上）的人数．【答案】（1）14；（2）折线图见详解，通过第一次和第二次测试情况发现，复学初线上学习的成绩大部分在70以下，复学后线下学习的成绩大部分在70以上，说明线下上课的情况比线上好；（3）20，34；（4）320人【解析】【分析】（1）根据图1求出本次测评的总人数，用总人数减去第二次测评各成绩段的人数可得出m的值；（2）根据第一次和第二次测试的各分数段人数，可在图2中画出折线图，根据折线图可得出线上教学与线下教学的效果对比；（3）由第二次测试的成绩统计表可判断出分数高于78分的至少有多少人，至多有多少人；（4）样本估计总体，样本中数学成绩优秀的人数占测试人数的，因此估计总体800名的是成绩优秀的人数．【详解】解：（1）由图1可知总人数为：2+8+10+15+10+4+1=50人，所以m=50－1－3－3－8－15－6=14人；（2）如图：通过第一次和第二次测试情况发现，复学初线上学习的成绩大部分在70分以下，复学后线下学习的成绩大部分在70分以上，说明线下上课的情况比线上好；（3）由统计表可知，至少14+6=20人，至多15+14+6－1=34人；（4）800×（人）答：复学一个月后该校800名八年级学生数学成绩优秀（80分及以上）的人数为320人．【点睛】本题考查了条形统计图，折线统计图与统计表，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．18.如图，矩形的顶点分别在函数和的图象上，且．（1）求的值；（2）若点分别在和的图象上，且不与点重合，是否存在点，使得，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1），；（2）它们的坐标分别为、【解析】【分析】（1）利用，得到；，从而求得点C的坐标，进而求解；(2)假设存在点、符合题设条件，由勾股定理构造方程即可求解．【小问1详解】解：将点的坐标代入得：；过点作轴于点，过点作轴于点，∵四边形为矩形，则，∴，．∴．∵，∴．∵，则和的相似比为：，则，，故点．将点的坐标代入，得：．【小问2详解】解∶、．由（）知，两个反比例函数的表达式分别为：、，假设存在点，符合题设条件，设点，点，过点作轴于点，过点作轴于点，如下图：由（）知，∴．所以，．即．所以，（负值已舍去）；∵，∴．即且，解得：或或或，由题意负值不合题意舍去，点Q不与点C重合，不合题意舍去，故；故存在符合题设要求的点，，它们的坐标分别为、．【点睛】本题考查了反比例函数综合应用，涉及到三角形相似、反比例函数的基本性质、勾股定理、解直角三角形等知识，综合性强，难度适中．19.如图，在郑州世纪欢乐园，有一座直径120米的摩天轮“伦敦之眼”，旋转1周用时30min．小明从摩天轮的底部（与地面相距0.5m）出发开始观光．（1）10min后小明离地面多高？（2）摩天轮转动1周，小明在（1）中所求的高度以上，会持续多长时间？【答案】（1）10min后小明离地面90.5m；（2）摩天轮转动1周，小明在（1）中所求的高度以上，会持续10min【解析】【分析】（1）延长交圆上点，过作于点，交圆于点，连接，根据题意可得，然后利用含30度角的直角三角形即可求出后小明离地面的高度；（2）结合（1）可得．进而可得摩天轮转动1周，小明在（1）中所求的高度以上，会持续的时间．【详解】解：（1）旋转1周用时，后的度数为：，，延长交圆上点，过作于点，交圆于点，连接，，，，，，答：后小明离地面；（2）．上的点距离地面都是，弧上的点都大于．在中，，，．．．摩天轮旋转1周用时，摩天轮旋转用时：．答：摩天轮转动1周，小明在（1）中所求的高度以上，会持续．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是掌握含30度角的直角三角形的性质．20.学校要购入两种记录本，预计花费460元，其中A种记录本每本3元，B种记录本每本2元，且购买A种记录本的数量比B种记录本的2倍还多20本．（1）求购买A和B两种记录本的数量；（2）某商店搞促销活动，A种记录本按8折销售，B种记录本按9折销售，则学校此次可以节省多少钱？【答案】（1）购买A种记录本120本，B种记录本50本（2）学校此次可以节省82元钱【解析】【分析】（1）设购买B种记录本x本，则购买A种记录表（2x+20）本，根据总价=单价×数量，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；

（2）根据节省的钱数=原价-优惠后的价格，即可求出结论．【小问1详解】设购买B种记录本x本，则购买A种记录表（2x+20）本，

依题意，得：3（2x+20）+2x=460，

解得：x=50，

∴2x+20=120．

答：购买A种记录本120本，B种记录本50本．【小问2详解】460-3×120×0.8-2×50×0.9=82（元）．

答：学校此次可以节省82元钱．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．21.“水幕电影”的工作原理是把影像打在抛物线状的水幕上，通过光学原理折射出图象，水幕是由若干个水嘴喷出的水柱组成的（如图），水柱的最高点为P，，水嘴高．（1）以A为坐标原点，所在的直线为x轴，所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，求图中抛物线的解析式；（2）求水柱落点C与水嘴底部A的距离．【答案】（1）（2）水柱落点C与水嘴底部A的距离为m【解析】【分析】（1）根据题意设抛物线表达式为顶点式：，代入定点坐标，把与y轴交点坐标代入即可求出抛物线表达式；（2）令，解方程即可求解．【小问1详解】解：设抛物线的表达式为．由题意知，顶点，∴，把代入，得，∴，∴．【小问2详解】当时，解得，（舍去）.所以．答：水柱落点C与水嘴底部A的距离为．【点睛】此题考查了求二次函数表达式，二次函数与x轴交点坐标，解题的关键是找出坐标代入求解．22.人教版教材中的折纸活动，引起了许多同学的兴趣．在折纸的过程中，同学们不仅发展了空间观念，还积累了数学活动经验．【操作】在矩形中，，点E在边上，连接，将沿折叠，点B的对应点为．【发现】（1）如图1，若点M，，E在同一条直线上，求证：为等腰三角形；【探究】（2）若点落在矩形对角线上，求的长；【拓展】（3）如图2，过点作，当面积最大时，请直接写出的长．【答案】（1）见解析（2）BE的长为或（3）【解析】【分析】（1）根据折叠的性质得到，根据矩形的性质得到，根据平行线的性质得到，求得，根据等腰三角形的判定定理即可得到结论；（2）①如图1，当点落在上时，根据矩形的性质得到，根据勾股定理得到，由翻折的性质可知，求得，设，在中根据勾股定理得到；②如图2，当点在上时，由，可得垂直平分，根据相似三角形的性质即可得到；（3）如图3，过点作于点I，设，则，根据完全平方公式和勾股定理即可得到结论．【小问1详解】（1）证明：将沿折叠，点B的对应点为，，四边形是矩形，，，，，是等腰三角形；【小问2详解】①如图1，当点落在上时，′∵四边形是矩形，，，，将沿折叠，点B的对应点为，，，设，在中，，解得：，；②如图2，当点在上时，由，可得垂直平分，，，，，，即，解得：；综上所述，的长为或；【小问3详解】解：如图3，过点作于点I，设，则，；，，，当时，的面积最大，设，在中，，化简整理得：，故．【点睛】本题是四边形的综合题，考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，折叠的性质，分类讨论是解题的关键．23.图1