2024届山东省济宁市高三上学期期末考试数学和答案

2023—2024学年度第一学期高三质量检测数学试题2024.01本试卷共4页.满分150分，考试时间120分钟。注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名，考试号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知复数z满足zi)10，则在复平面内z对应的点位于（）A.第一象限2.已知集合B.第二象限C.第三象限D.第四象限AxNx23x0，集合Byyx,xA，则AB（）2A.B.C.D.3.“a1”是“直线1:axy10与直线l:xa22y10垂直”的（）A.充分不必要条件C.充要条件B.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件x22y224.已知椭圆E:ab0)的左、右焦点分别为F、F，点P为椭圆E上位于第一象限内的一12ab点，若PF3PF，|（OE的离心率为（）12256210A.B.C.D.44245.如图，已知圆锥SO的母线长为26，AB是底面圆O的直径，且AB4，点C是弧AB的中点，D是SA的中点，则异面直线SO与CD所成角的大小为（）A.B.C.D.64326.定义在R上的函数yf(x)和yg(x)的图象关于y轴对称，且函数yf(x2是奇函数，则函数yg(x)图象的对称中心为（A.2)）B.(2)C.2)D.(2)7.若tan2，则4sinsin)cossin（）65336A.B.C.D.5558.已知正三棱锥PABC的底面边长为22，E为棱PB的中点，若PACE，则三棱锥PACE的外接球的表面积是（）81A.B.C.D.24二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9.下列命题中正确的是（）acbc2，则ab2A.若B.若ab且cd，则acbd11C.若a0，b0，且ab1，则的最小值为322ab9a2D.若a0，则4a的最小值为410.已知函数f(x)x0,0)的最小正周期为，且函数f(x)的图象关于直线x对称，则下列说法正确的是（）123A.函数f(x)的图象关于点,0对称B.函数f(x)在区间内单调递减12C.函数f(x)在区间,内有恰有两个零点42D.函数f(x)的图象向右平移个单位长度可以得到函数g(x)2x的图象12111.已知数列a的前n项和为Sn，且满足11，nn12n，nn1的前n项，数列bbnnlog22n和为n，则下列说法正确的是（）2n1B.2n2n1D.n1A.C.a2n1S3101232024y212.已知双曲线E:x21的左、右焦点分别为F、F，过左焦点F的直线与双曲线E的左支相交于1213,B两点（AC与B关于坐标原点对称，点M的坐标为(0,23（）13A.记直线AB、AC的斜率分別为k、k，则kk1212B.若CFBF0，则S3CBF111C.CF1的最小值为634D.AFAF的取值范围是,12三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.已知指数函数yf(x)的图象经过点27)，则f22__________.314.已知平面向量a,b满足a1，b2)，a(ab)，则向量a,b夹角的余弦值为__________.15.已知圆O:xy4，过点P作两条与圆O相切的直线，切点分别为,B，则AB__________.f(x)x222axex1aex恰有两个不同的零点，则实数a的取值范围是__________.216.若函数四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。17.（本题满分10分）a在△ABC中，角,B,C的对边分别为a,b,c，已知bCcB（1）求角A的大小；0.2A（2）若△3，求a的最小值.18.（本题满分12分）已知数列a为公差大于0的等差数列，其前n项和为Sn，S515，aa48.n2（1）求数列a的通项公式；nn2bn2n，求数列b的前100项和T.100（2）设n19.（本题满分12分）如图，已知三棱柱ABCABC各棱长均为2，D,E分別是线段AC，AA的中点，AD平面ABC.11111（1）求证：平面1平而；（2）求平面1BD与平面夹角的大小.20.（本题满分12分）如图，点P是圆心角为，半径为1的扇形圆弧AB上的一动点（与,BC在线段上且3CP//OA，记，线段，CP及圆弧PA的长度之和为f).（1）求函数f)关于的解析式；（2）求为何值时，函数f)取得最大值.21.（本题满分12分）已知抛物线C:x2py(p0)的焦点到C的准线的距离为1.2（1）求抛物线C的方程；（2）若经过定点D(0,4)的直线l与抛物线C交于,B两点，M为弦AB的中点，过M作与x轴垂直的直线与抛物线C交于点N，当ANBN时，求直线l的方程.22.（本题满分12分）1x已知函数f(x).x（1）求函数f(x)的单调区间；ennem（2）若实数,n满足mn0，证明：1；emen4ex2（3）证明：当x0时，f(x).x22023—2024学年度第一学期高三质量检测数学试题参考答案及评分标准1）此评分标准仅供参考：（2）学生解法若与此评分标准中的解法不同，请酌情给分。一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。1.C2.A3.A4.D5.B6.C7.C8.B二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9.AC10.ABD11.ACD12.BD12.提示：设Ax,y，Bx,y，Cx,y2211225554由于,B两点均在双曲线的左支上，所以xA，xB，C44对于A：设Ax,y，Bx,y，Cx,y2211221y21y212y22则，kk12222121221x211113,B均在双曲线上，，所以xxyy12122222y223x223所以，kk3，A错误.12对于B：由CFBF0知，CFBF1111由对称性得，CFCF且SCF1212CBF1计算可得，CBFS3，B正确1CF1F2对于C:CF212当M，C，F三点共线时，CF2621255此时，C，与C矛盾，故C错误44x1x1224对于D:AFAF1211y213x211，所以，AFAF4x721又，12结合，xA得，AFAF的取值范围是,，故D正确.534124综上，正确答案为：BD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。54155116.aa0或ae13.414.15.10f(x)x2axex1a2ex(xa)xaex16.提示：x令f(x)0，则xa或aexx1x记g(x)，g(x)g(x)在上单调递增；在)上单调递减exex1g(x)最大值为g.e当a0时，f(x)只有一个零点，x0，显然不合题意x要使f(x)恰好有两个零点，则方程a1只有一个实根，另一个零点为xa.ex故a的取值范围为：(0,)e四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。17.（10分）a1bCcB02A由正弦定理得：sinBCsinCBsinA02AsinAsinA12sin(BC)sinA0sinA0A，2A2AA(0,)A3113（2）△bcsinAbc3，bc4222a2b2c2bcAb2cbcbc122由余弦定理得：当且仅当bc2时等号成立.a23即a的最小值为23.18.（12分）1）设数列a的公差为d(d0)n因为S15，aa85245a2d151所以ad1d811115或解得（舍去）d1d1所以，aa(nd1(n1，即an.n1nn2bn2a2n（2）由（1）得n2(4k2k0，所以4k10；2当n4k1，kN时，当n4k2，kN时，当n4k3，kN时，2(4kcos(2k)1，所以b24k2；4k22(4k0，所以4k30；2k224(k当n4(k，kN时，cos(2k)1，所以b24k4；4k421002224262810041(4)501024.122519.（12分）（1AD平面ABC，BD平面ABCADBD11ABACBC2，D为AC的中点，BDACACADDBD平面ACCABDAC1111在平行四边形ACCA中，ACCCCAAA2，111111四边形ACCA为菱形，ACAC1111又D,E分别为AC，AA的中点，DE//AC11ACAC平面，AC平面ABC1111平面1平面（2）由（1）可知，，，两两相互垂直，故建立以D为坐标原点，以，，所在直11线分别为x轴，y轴，z轴的如图所示的空间直角坐标系由三棱柱的所有棱长均为2得，3，1，DA13D(0,0)，(0,0)，B(3,0)，B(3)，C(0,3)11(3,0)，(3)，AC(0,3)11设平面BBD的法向量为m(x,y,z)1m03x0则，m03xy3z01令z1，则y3，x0所以，平面BBD的一个法向量为m(0,1由（1）知1平面所以，平面的一个法向量为AC(0,3)1设平面1BD与平面的夹角为333mAC121则cos|m|AC22331所以，平面1BD与平面的夹角为20.（12分）.31）在△PCO中，由题可知1，CPO，OCP，COP331CP3由正弦定理得，sinsinsin3sin2sin所以，.3sin33sin2sin3CP3sin3在扇形POA中，记弧PA的长度为l，则l22sin2sin2333所以，f)CPsincos333226所以，f)2sin，36（2）由（1）得，f)2cos1，36令f)2cos10，得2当时，f)0，f()单调递增223当,时，f)0，f()单调递减所以，当时，f)取最大值，且最大值为3.2221.（12分）1）因为抛物线C的焦点到C的准线的距离为1，所以，p1所以，抛物线C的方程为2x2y.（2）由题意可得，直线l存在斜率，又直线l过D(0,4)，故设直线l的方程为y4，2x2y，消去y并整理得2x280，由y44k2320，所以直线l与抛物线C恒有两个交点.8，2设Ax,y，Bx,y，则122k，121121222(2所以，1y2kxx82k2，yy816.1212224因为，M为弦AB的中点，过M作x轴垂直的直线与抛物线C交于点N，1x2x2N22k所以，xxk，yNNM222k所以，N的坐标为k,222kk所以，ANkx,y，BNkx,y112222因为ANBN22kk所以，ANBNkxkx2yy021122k2k4即12k1x2k21y21y2024k2k482k2k2162k228024整理得k420k232k8k402233解得k所以，直线l的方程为23x3y120或23x3y120.22.（12分）x1）f(x)的定义域为(0,)，f(x)x2由f(x)0，得0x1，由f(x)0得x1；所以f(x)的单调递增区间为；f(x)的单调递减区间为).（2mn0，0een1mennem1，即证明：emnnememen要证明emenm1n1em1e1n即证明：，即证：emenemen又由（1）可知