2024年初三下册数学专项相似图形-巩固练习

2024年初三下册数学专项相似图形--巩固练习【巩固练习】一.选择题1.下面图形中，相似的一组是（）．A．B．C．D．2.手工制作课上，小红利用一些花布的边角料，剪裁后装饰手工画，下面四个图案是她剪裁出的空心不等边三角形、等边三角形、正方形、矩形花边，其中，每个图案花边的宽度都相等，那么，每个图案中花边的内外边缘所围成的几何图形不相似的是（）．A.B.C.D.3.（2014•闸北区一模）对一个图形进行放缩时，下列说法中正确的是（） A． 图形中线段的长度与角的大小都保持不变 B． 图形中线段的长度与角的大小都会改变 C． 图形中线段的长度保持不变、角的大小可以改变 D． 图形中线段的长度可以改变、角的大小保持不变4.若把△ABC的各边扩大到原来的3倍后，得△A′B′C′，则下列结论错误的是（）．A．△ABC∽△A′B′C′B．△ABC与△A′B′C′的相似比为Ｃ．△ABC与△A′B′C′的对应角相等Ｄ．△ABC与△A′B′C′的相似比为5.如图，下列图中与它相似的是（）．Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．6.已知矩形ABCD中，AB=1，在BC上取一点E，沿AE将△ABE向上折叠，使B点落在AD上的F点，若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD=（）．A.B.C.D.2二.填空题7.下列图形中是_________与_______相似的．（1）（2）（3）（4）8.用“正确”与“错误”填空：

（1）所有的三角形都相似_________；（2）所有的梯形都相似__________；

（3）所有的等腰三角形都相似_______；

（4）所有的直角三角形都相似_________；

（5）所有的矩形都相似_________；

（6）所有的平行四边形都相似_______；（7）大小的中国地图相似_________；

（8）所有的正多边形都相似_________．9.（2015•和平区模拟）有一块三角形的草地，它的一条边长为25m．在图纸上，这条边的长为5cm，其他两条边的长都为4cm，则其他两边的实际长度都是m．10.△ABC中，D、E分别在AB、AC上，DE∥BC，△ADE是△ABC缩小后的图形.若DE把△ABC的面积分成相等的两部分，则AD：AB=________.11.把一矩形纸片对折，如果对折后的矩形与原矩形相似，则原矩形纸片的长与宽之比为____________.12.如图（1），将一个正六边形各边延长，构成一个正六角星形AFBDCE，它的面积为1，取△ABC和△DEF各边中点，连接成正六角星形A1F1B1D1C1E1，如图（2）中阴影部分，取△A1B1C1和△D1E1F1各边中点，连接成正六角星形A2F2B2D2C2E2，如图（3）中阴影部分，如此下去…，则正六角星形A4F4B4D4C4E4的面积为__________________.

三．综合题13.下框中是小明对一道题目的解答以及老师的批改．

题目：某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2：1，在温室内，沿前侧内墙保留3m的空地，其他三侧内墙各保留1m的通道，当温室的长与宽各为多少时，矩形蔬菜种植区域的面积是288m2？

解：设矩形蔬菜种植区域的宽为xm，则长为2xm，

根据题意，得x•2x=288．

解这个方程，得x1=-12（不合题意，舍去），x2=12

所以温室的长为2×12+3+1=28（m），宽为12+1+1=14（m）

答：当温室的长为28m，宽为14m时，矩形蔬菜种植区域的面积是288m2．

我的结果也正确！

小明发现他解答的结果是正确的，但是老师却在他的解答中画了一条横线，并打了一个？．

结果为何正确呢？

（1）请指出小明解答中存在的问题，并补充缺少的过程：

变化一下会怎样…

（2）如图，矩形A′B′C′D′在矩形ABCD的内部，AB∥A′B′，AD∥A′D′，且AD：AB=2：1，设AB与A′B′、BC与B′C′、CD与C′D′、DA与D′A′之间的距离分别为a、b、c、d，要使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD，a、b、c、d应满足什么条件？请说明理由．14.（2014秋•慈溪市期末）一个矩形ABCD的较短边长为2．（1）如图①，若沿长边对折后得到的矩形与原矩形相似，求它的另一边长；（2）如图②，已知矩形ABCD的另一边长为4，剪去一个矩形ABEF后，余下的矩形EFDC与原矩形相似，求余下矩形EFDC的面积．15.如图所示，在矩形ABCD中，AB=10cm，AD=20cm，两只小虫P和Q同时分别从A，B出发沿AB，BC向终点B，C方向前进，小虫P每秒走1cm，小虫Q每秒走2cm，请问它们同时出发多少秒时，以P、B、Q为顶点的三角形与以A、C、D为顶点的三角形相似？【答案与解析】一、选择题1．【答案】D．【解析】A、对应边的比值不相等，对应角不对应相等，不符合相似形的定义，故错误；

B、形状不同，不符合相似形的定义，故错误；

C、对应边的比值不相等，不符合相似形的定义，故错误；

D、形状相同，但大小不同，符合相似形的定义，故正确．

故选D．2．【答案】D．【解析】A：形状相同，符合相似形的定义，对应角相等，所以三角形相似，故选项不符合要求；

B：形状相同，符合相似形的定义，故选项不符合要求；

C：形状相同，符合相似形的定义，故选项不符合要求；

D：两个矩形，虽然四个角对应相等，但对应边不成比例，故选项符合要求；故选D．3．【答案】D【解析】根据相似多边形的性质：相似多边形的对应边成比例，对应角相等，∴对一个图形进行收缩时，图形中线段的长度改变，角的大小不变，故选D．4．【答案】B．【解析】A、因为两个三角形的三条对应边的比相等，都为3，所以△ABC∽△A′B′C′，正确；

B、可知△ABC与△A′B′C′的相似比为，错误；

C、所以△ABC与△A′B′C′的对应角相等，正确；

D、因为相似比即是对应边的比，所以△ABC与△A′B′C′的相似比为，正确．

故选B．5．【答案】A．【解析】A、与原图形状相同，大小不同，符合相似性的定义，故正确；

B、与原图形状不同，大小不同，不符合相似性的定义，故错误；

C、与原图形状不同，大小不同，不符合相似性的定义，故错误；

D、与原图形状不同，大小不同，不符合相似性的定义，故错误；

故选A6．【答案】B.【解析】∵AB=1，

设AD=x，则FD=x-1，FE=1，

∵四边形EFDC与矩形ABCD相似，

∴，

，

解得,,（负值舍去），

经检验是原方程的解．故选B．二、填空题7.【答案】图形中是（1）与（4）相似的．8.【答案】（1）错误，（2）错误，（3）错误，（4）错误，（5）错误，（6）错误，（7）正确，（8）错误．9.【答案】20.【解析】设其他两边的实际长度分别为xm、ym，由题意得，==，解得x=y=20．即其他两边的实际长度都是20m．10.【答案】；【解析】由BC∥DE可得△ADE∽△ABC，所以，故.11.【答案】；【解析】矩形ABCD对折后所得矩形与原矩形相似，则矩形ABCD∽矩形BFEA，设矩形的长为a，宽为b．则AB=CD=b，AD=BC=a，BF=AE=，根据矩形相似，对应边的比相等得到：即：，则b2=∴∴12.【答案】.【解析】∵A1、F1、B1、D1、C1、E1分别是△ABC和△DEF各边中点，

∴正六角星形AFBDCE∽正六角星形A1F1B1D1C1E1，且相似比为2：1，

∵正六角星形AFBDCE的面积为1，

∴正六角星形A1F1B1D1C1E1的面积为，

同理可得，第三个六角形的面积为：=，

第四个六角形的面积为：，

故答案为：.三．解答题13.【答案与解析】（1）小明没有说明矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2：1的理由．

在“设矩形蔬菜种植区域的宽为xm，则长为2xm．”前补充以下过程：

设温室的宽为ym，则长为2ym．

则矩形蔬菜种植区域的宽为（y-1-1）m，长为（2y-3-1）m．

∵，

∴矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2：1；

（2）要使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD，

就要，即，

即，

即2AB-2（b+d）=2AB-（a+c），

∴a+c=2（b+d），

即．14.【答案与解析】解：（1）由已知得MN=AB=2，MD=AD=BC，∵沿长边对折后得到的矩形与原矩形相似，∴矩形DMNC与矩形ABCD相似，=，∴DM•BC=AB•MN，即BC2=4，∴BC=2，即它的另一边长为2；（2）∵矩形EFDC与原矩形ABCD相似，∴=，∵AB=CD=2，BC=4，∴DF==1，∴矩形EFDC的面积=CD•DF=2×1=2．15.【答案与解析】解：①设经x秒后，△PBQ∽△CDA，

由于∠PBQ=∠ADC=90°，

当时，

即，解得x=5；

②设经x秒后，△QBP∽△CDA，

由于∠PBQ=∠ADC=90°，

当，即，解得x=2．

故经过5秒或2秒时，以P、B、Q为顶点的三角形与以A、C、D为顶点的三角形相似．相似多边形--知识讲解【学习目标】1、掌握相似多边形的概念及性质运用；2、掌握相似三角形的概念及相关求值问题.【要点梳理】要点一、相似三角形定义:在△ABC和△A′B′C′中，如果∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′，，那么△ABC和△A′B′C′相似，记做△ABC∽△A′B′C′．相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边成比例.相似三角形的对应边的比叫作相似比.一般地，若△ABC与△A′B′C′的相似比为k,则△A′B′C′与△ABC的相似比为.要点诠释：全等三角形是相似比为1的相似三角形.全等三角形是相似三角形的一个特例.要点二、相似多边形相似多边形：对于两个边数相等的多边形，如果他们的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫作相似多边形.相似多边形对应边的比叫做相似比.如果四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似，且点A,B,C,D分别与点A1，B1，C1，D1对应，则记作：“四边形ABCD∽四边形A1B1C1D1”.相似多边形的性质：相似多边形的对应角相等，对应边成比例．要点诠释：用相似多边形定义判定特殊多边形的相似情况：（1）对应角都相等的两个多边形不一定相似，如：矩形；（2）对应边的比都相等的两个多边形不一定相似，如：菱形；（3）边数相同的正多边形都相似，如：正方形，正五边形.【典型例题】类型一、相似三角形1.已知：如图，△ADE∽△ABC，AB=10cm，AD=6cm，BC=12cm，∠A=56°，∠ADE=40°．求：（1）∠ACB的度数；

（2）DE的长．【思路点拨】根据三角形相似，对应角相等，对应边的比相等，可以把本题转化为求∠AED的问题，再根据对应边的比相等，就可以求出DE的长．【答案与解析】∵∠A=56°，∠ADE=40°，

∴∠AED=84°．

∵△ADE∽△ABC，

∴∠ACB=∠AED=84°，．

∴．

∴DE=7.2（cm）．【总结升华】本题主要考查了相似三角形的性质，对应角相等，对应边的比相等．2.如图，△ABC中，AI、BI分别平分∠BAC、∠ABC．CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，交BI延长线于E，连接CI．

（1）△ABC变化时，设∠BAC=2α．若用α表示∠BIC和∠E；

（2）若AB=1，且△ABC与△ICE相似，求相应AC长．【思路点拨】（1）根据三角形的外角等于不相邻的两个内角的和即可求解．（2）根据相似三角形对应边的比相等，即可求解．【答案与解析】（1）∵AI、BI分别平分∠BAC、∠ABC，∴∠AIE=又∵CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，∴∠ACE==∴∠AIE=∠ACE即∠E=∠IAC==α∵AI、BI分别平分∠BAC、∠ABC，∴CI平分∠BCA，又∵CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，∴∠ICE=90°，∴∠BIC=90°+∠E，即∠BIC=90°+α.（2）解：∵CI是∠BCA的平分线，CE是∠ACB的外角平分线，

∴∠ICE=∠ICA+∠ACE=∠ACB+∠ACD=90°，

分情况讨论：

①当△ABC∽△ICE时，∠ABC=∠ICE=90°，∠ACB=∠IEC=α，

所以α=30°，AC=2

②当△ACB∽△ICE时，∠ACB=∠ICE=90°，∠ABC=∠IEC=α，

所以α=30°，AC=．

③当△BAC∽△ICE时，∠BAC=∠ICE=90°，∠IEC=∠BAC=45°，

所以∠ABC=∠ACB=45°，AC=AB=1．【总结升华】两三角形相似，注意根据对应边的不同，分情况讨论是解决本题的关键．举一反三【变式】已知：如图Rt△ABC∽Rt△BDC，若AB=3，AC=4．

（1）求BD、CD的长；

（2）过B作BE⊥DC于E，求BE的长．【答案】（1）Rt△ABC中，根据勾股定理得：

BC==5，

∵Rt△ABC∽Rt△BDC，

∴，，

∴BD=，CD=；

（2）在Rt△BDC中，

S△BDC=BE•CD=BD•BC，

∴BE===3.类型二、相似多边形3.（2014•镇江）如图：矩形ABCD的长AB=30，宽BC=20．（1）如图（1）若沿矩形ABCD四周有宽为1的环形区域，图中所形成的两个矩形ABCD与A′B′C′D′相似吗？请说明理由；（2）如图（2），x为多少时，图中的两个矩形ABCD与A′B′C′D′相似？【答案与解析】解：（1）不相似，AB=30，A′B′=28，BC=20，B′C′=18，而≠；（2）矩形ABCD与A′B′C′D′相似，则=，则：=，解得x=1.5，或=，解得x=9．∴当x=1.5或9时，图中的两个矩形ABCD与A′B′C′D′相似.【总结升华】两个边数相同的多边形，必须同时满足“对应边的比都相等，对应角都相等”这两个条件才能相似，缺一不可.举一反三【变式】如图，梯形ABCD中，AD∥BC，E、F两点分别在AB、DC上．若AE=4，EB=6，DF=2，FC=3，且梯形AEFD与梯形EBCF相似，则AD与BC的长度比为（）A.1:2B.2:3C.2:5D.4:9【答案】D.4.（2014•南通）如图，点E是菱形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AE为边作一个菱形AEFG，且菱形AEFG∽菱形ABCD，连接EB，GD．（1）求证：EB=GD；（2）若∠DAB=60°，AB=2，AG=，求GD的长．【思路点拨】（1）利用相似多边形的对应角相等和菱形的四边相等证得三角形全等后即可证得两条线段相等；（2）连接BD交AC于点P，则BP⊥AC，根据∠DAB=60°得到然后求得EP=2，最后利用勾股定理求得EB的长即可求得线段GD的长即可．【答案与解析】（1）证明：∵菱形AEFG∽菱形ABCD，∴∠EAG=∠BAD，∴∠EAG+∠GAB=∠BAD+∠GAB，∴∠EAB=∠GAD，∵AE=AG，AB=AD，∴△AEB≌△AGD，∴EB=GD；（2）解：连接BD交AC于点P，则BP⊥AC，∵∠DAB=60°，∴∠PAB=30°，∴BP=AB=1，AP==，AE=AG=，∴EP=2，∴EB===，∴GD=．【总结升华】本题考查了相似多边形的性质，解题的关键是了解相似多边形的对应边的比相等，对应角相等．探索三角形相似的条件（基础）知识讲解【学习目标】1.掌握平行线分线段成比例定理以及和三角形一边平行的判定定理，并会灵活应用；2.探索三角形相似的条件，掌握三角形相似的判定方法；3.了解三角形的重心，并能从相似的角度去进行相关的证明.【要点梳理】要点一、平行线分线段成比例定理1.平行线分线段成比例定理两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.如图：l1∥l2∥l3，直线a、b分别与l1、l2、l3交于点A、B、C和点D、E、F、，则有（1）（2）（3）成立.要点诠释：当两线段的比是1时，即为平行线等分线段定理，可见平行线等分线段定理是平行线分线段成比例定理特殊情况，平行线分线段成比例定理是平行线等分线段定理的推广.2.平行于三角形一边的直线的性质平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所截得的三角形与原三角形相似.要点诠释：

这条定理也可以作为判定两个三角形相似的判定定理，有时也把他叫做判定两个三角形相似的预备定理.要点二、相似三角形的判定定理【高清课程名称：相似三角形的判定（1）高清ID号：394497关联的位置名称：相似三角形的判定】1．判定方法（一）：两角分别相等的两个三角形相似.要点诠释：

要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似.2．判定方法（二）：两边成比例夹角相等的两个三角形相似.要点诠释：

此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的.3．判定方法（三）：三边成比例的两个三角形相似.

要点三、相似三角形的常见图形及其变换：要点四、三角形的重心三角形的三条中线相交于一点，这点叫做三角形的重心.【典型例题】类型一、平行线分线段成比例定理1.如图，若AB∥CD∥EF，则下列结论中，与相等的是（）A.B.C.D.【答案】D.【解析】根据AB∥CD∥EF得到：.故选：D．【总结升华】本题考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键是找准对应线段．举一反三：【变式】如图已知△ABC中AB=AC，AD⊥BC，M是AD的中点，CM交AB于P，DN∥CP交AB于N，若AB=6cm，求AP的值.

【答案】解：∵AB=AC，AD⊥BC,

∴BD=DC.

∵DN∥CP,

∴BN=NP又AM=MD.

∴AP=PN==2cm.2.如图所示，已知中，E为AB延长线上的一点，AB=3BE，DE与BC相交于F，请找出图中各对相似三角形，并求出相应的相似比.

【思路点拨】充分利用平行寻找等角，以确定相似三角形的个数.【答案与解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，AD∥BC，

∴△BEF∽△CDF，△BEF∽△AED.

∴△BEF∽△CDF∽△AED.

∴当△BEF∽△CDF时，相似比；当△BEF∽△AED时，相似比；

当△CDF∽△AED时，相似比.【总结升华】此题考查了平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所截得的三角形与原三角形相似.以及相似三角形的性质定理求得相似比.解题的关键是要仔细识图，灵活应用数形结合思想.类型二、相似三角形的判定3.（2014•金平区模拟）如图，点D在等边△ABC的BC边上，△ADE为等边三角形，DE与AC交于点F．（1）证明：△ABD∽△DCF；（2）除了△ABD∽△DCF外，请写出图中其他所有的相似三角形．【思路点拨】（1）利用等边三角形的性质以及相似三角形的判定方法两角对应相等的两三角形相似得出即可；（2）利用对顶角的性质以及相似三角形的判定定理进行判断即可．【答案与解析】（1）证明：∵△ABC，△ADE为等边三角形，∴∠B=∠C=∠3=60°，∴∠1+∠2=∠DFC+∠2，∴∠1=∠DFC，∴△ABD∽△DCF；（2）解：∵∠C=∠E，∠AFE=∠DFC，∴△AEF∽△DCF，∴△ABD∽△AEF，故除了△ABD∽△DCF外，图中相似三角形还有：△AEF∽△DCF，△ABD∽△AEF，△ABC∽△ADE，△ADF∽△ACD．【总结升华】此题主要考查了相似三角形的判定方法以及等边三角形的性质等知识，得出对应角关系是解题关键．【高清课程名称：相似三角形的判定（2）高清ID号：394499关联的位置名称（播放点名称）：例4及变式应用】【变式】（2014秋•宁波期末）如图所示，点D是△ABC的AB边上一点，且AD=1，BD=2，AC=．求证：△ACD∽△ABC．【答案】证明：证明：∵==，=，∴=，∵∠A=∠A，∴△ACD∽△ABC．4.（2015•湖州模拟）如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，AE=ED，，连接EF并延长交BC的延长线于点G．（1）求证：△ABE∽△DEF；（2）若正方形的边长为4，求BG的长．【答案与解析】（1）证明：∵ABCD为正方形，∴AD=AB=DC=BC，∠A=∠D=90°，∵AE=ED，∴，∵DF=DC，∴，∴，∴△ABE∽△DEF；（2）解：∵ABCD为正方形，∴ED∥BG，∴，又∵DF=DC，正方形的边长为4，∴ED=2，CG=6，∴BG=BC+CG=10．【总结升华】此题考查了相似三角形的判定（有两边对应成比例且夹角相等三角形相似）、正方形的性质、平行线分线段成比例定理等知识的综合应用．解题的关键是数形结合思想的应用．探索三角形相似的条件--巩固练习（基础）【巩固练习】一、选择题1.如图，AB∥CD∥EF，则在图中下列关系式一定成立的是()．

A．

B．C．

D．2．已知△ABC的三边长分别为、、2,△A′B′C′的两边长分别是1和,如果△ABC与△A′B′C′相似,那么△A′B′C′的第三边长应该是().

A.

B.

C.

D.

3．（2015•大庆校级模拟）如图，小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（）A．B．C．D．4.在△ABC和△DEF中，①∠A=35°，∠B=100°，∠D=35°，∠F=45°；②AB=3cm，BC=5cm，∠B=50°，DE=6cm，DF=10cm，∠D=50°；其中能使△ABC与以D、E、F为顶点的三角形相似的条件().

A.只有①B.只有②C.①和②分别都是D.①和②都不是5．在矩形ABCD中，E、F分别是CD、BC上的点，若∠AEF＝90°，则一定有（）.

A．ΔADE∽ΔAEF

B．ΔECF∽ΔAEF

C．ΔADE∽ΔECF

D．ΔAEF∽ΔABF6.如图所示在平行四边形ABCD中，EF∥AB，DE：EA=2：3，EF=4，则CD的长为().

A.

B.8C.10D.16

二、填空题

7.（2015•伊春模拟）如图，在△ABC中，D为AB边上的一点，要使△ABC∽△AED成立，还需要添加一个条件为．8如图所示，∠C=∠E=90°，AD=10，DE=8，AB=5，则AC=________.

9.如图所示，在直角坐标系中有两点A(4，0)，B(0，2)，如果点C在x轴上(C与A不重合)，当点C的坐标为________或________时，使得由点B、O、C组成的三角形与△AOB相似(至少找出两个满足条件的点的坐标).10.如图，已知AB⊥BD，ED⊥BD，C是线段BD的中点，且AC⊥CE，ED=1，BD=4，那么AB=__________.

11.如图，CD∥AB，AC、BD相交于点O,点E、F分别在AC、BD上，且EF∥AB,则图中与△OEF相似的三角形为_________.12．如图，点E是平行四边形ABCD的边BC延长线上一点，连接AE交CD于点F,则图中相似三角形共有_________对.三．解答题13.如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝3，AE＝2，BD＝4，求的值及AC、EC的长度．

14.如图在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，且，求证：B