人教新课标高一数学必修一讲义（上半册）共7讲（无答案）

第01讲

集合中的常用数学思想

窗（鲍⑥⑥⑥

对于集合，我们应从内心深处把集合当作一个锻炼的工具，集合从高中开始一直渗透到

高中结束，甚至在有些过程中，我们都没有意识到.

集合是数学的语言，是一个对话的平台，语言的作用是为了沟通，集合的问题不在于基

本的运算什么的你不会，而是给你一道集合相关的问题你根本读不明白题意，或者当你试图

表达一个条件时，你没有办法用一套很严格的数学语言把它表达出来.

集合的中还渗透着很多数学思想，比如要想确定一个由描述法表示的集合，可能需要对

参数进行分类讨论；理解一些集合的关系与运算需要借助韦恩图与数轴，这便是集合中的数

形结合；还有些集合问题直接解决比较困难，我们选择看它的反面，正难则反.这些数学思

想在以后的高中数学学习中，还会常常遇到，也会贯穿我们这一讲.

“给你一道集合相关的问题，你根本读不明白题意”，不信请看：

已知集合M=｛《，生，4J，1Wq<a2c…，若对于任意iWiWjWn,,

义中至少有1个在"中，则称集合M具有性质P.判断｛1,2,3,4｝、｛1,2,4,8｝、

[2,4,6,12｝是否具有性质尸.

元素与集合

知识点睛

第01讲

1.集合的概念：

一些能够确定的不同的对象所构成的整体叫做集合.构成集合的每个对象叫做这个集合的

元素.集合一般用英文大写字母A,8,C,…表示.元素一般用英文小写字母a,。,c,…表示;

不含任何元素的集合叫做空集，记作.

2.元素与集合的关系：、；

3.常见的数集的写法：

自然数集正整数集整数集有理数集实数集

N

4.元素的性质：、、无序性.

5.集合的表示法

⑴列举法.

⑵描述法(又称特征性质描述法)：

形如{xeA|p(x)},p(x)称为集合的特征性质，x称为集合的代表元素.A为x的范

围，有时也写为{x|p(x),A}.

⑶图示法，又叫韦恩(Venn)图.

(4)区间表示法：用来表示连续的数集.

深入剖析

⑴元素的性质：元素的性质中最本质的属性是确定性，集合是有边界的，边界确定了，

才能判断一个元素在还是不在集合中.正是因为有确定性，所以可以定义空集，因为所

有元素都不在这个集合中，所以这也能构成一个集合，就是空集.

⑵集合的表示法:

2

第01讲

①列举法一定要会用，当遇到陌生集合时，要会写出其中的元素.比如要想了解集合

A={x|x=2%+4,ZeZ},3={x|x=4A+2,%eZ}的关系，可以用列举法把一个个元素

写出来：A={…，-4,-2,0,2,4,.•■},8={…，-2,2,6,10,•••},就知道8是A的

真子集；

②描述法是集合的一个重点与难点：{xwA|/?(x)},xeA表达x的外延，即x的最大讨

论范围，以及集合中元素的形式，到底是数还是点，x并不一定能取到A中的所有，只

是x一定是A中的元素，p(x)表示x的内涵，是对x的精确描述.

如：集合S3={(%,x2,覆)|苦w{0,1,2},i=l,2,3},则(2,1,2)eS3,(2,3,4)g.

③Venn图是表达集合中的各种关系与运算的；

④当一个连续数集写成区间时，默认左端点是小于等于右端点的，如区间(2。-1,3a),

就表示2«-1<3。，即a>-l.这与{x|2a-l<x<3a}是有区别的，这个集合可以出现

2«-133a的情况，此时这个集合是空集.

.等、假知识回顾|

1.由实数“，-。，同所组成的集合里,所含元素个数里冬有()

A.0个B.1个C.2个D.3个

2.下列集合中恰有2个元素的集合是()

A.{x2-%=0}B.{y|/_y=0}C.{x\y=x2-x]D.3y--x}

3.若4={一2,1,2,3},B={x\x=t2,reA},则集合5中的元素共有()

A.3个B.4个C.7个D.8个

3

第01讲

Q经典精讲

一重点元素与集合的关系

【例1】⑴**已知A={1，0,2x-l},且/《A，求实数x及集合A.

⑵总已知aeZ,集合A={(x,y)卬—yW3},且(2,l)wA,(1,一4)eA,求满足条件

的a的值.

2

(3)在已知A是数集，且满足：若xeA,则3-±£4,则当户时，A中仅有1个

x

元素.若集合A中有且仅有两个元素，集合A=.

【选做】设A是非空数集，0£A,1£A,且满足条件：若则一匚eA.

\-a

证明：(1)若2eA,则A中必还有另外两个元素；

(2)集合A不可能是单元素集；

(3)集合A中至少有三个不同的元素.

4

第01讲

【点睛之笔】集合离不开元素，元素是集合的核心，所以解决有关集合中的探索性问题，

可以先从元素入手，作为解题的切入点.解此题关键在于由已知aeA,awl,得到

—匚€4,——eA,然后逐步探索，再根据集合中元素的互异性，从而将问题加以

1-«1L

\-a

解决.（2）中用到反证法的解题思想.下面的例3中会进一步提到正难则反的思想.

二重点两个集合相等

【例2］（1）**设〃，人€11,集合｛1，。｝=｛0,3，则6—。=

beR,集合{1,a+b,a}={o,,,b,,则b-a=

(2)玄若a,

5

第01讲

(3)在由三个实数构成的集合，既可以表示为{〃，,，，，也可表示为M，a+人o},则

产3+产3=---------------------

点评：根据两集合的元素是相同的，可以列方程组分类讨论，但显然复杂又繁琐，这时

从特殊元素出发，如发现0这个特殊元素和2中的4不为0的隐含信息，就能得到简便

a

解法.

一I难点集合中涉及到的数学思想

本讲的例题很多都涉及到数学思想，如例1与例2都涉及到了分类讨论的思想，例5与

例6会涉及到数形结合的思想.例3是对集合的思想的集中体现，可以在这里对集合中

常用的教学思想作一个介绍与说明.例3不同的方法对应不同的思考方式，直接解决需

要分类讨论，间接解决就是考虑问题的反面.遇到至少有、至多有的问题，需要注意问

题的反面的形式.

【例3】在已知集合A={x|/+3x+2=0}中至多有一个元素，则实数。的取值范围

是.

6

第01讲

【拓展】已知A={x|f+x+a<（）},/={x|f一五+加一1<0},C={x|〃Wx<4〃-9},且

A,8,C中至少有一个不是空集，求实数〃的取值范围.

L2集合之间的关系与运算

知识点睛

1.子集：

如果集合A中的任意一个元素都是集合3的元素，则A是3的子集，记作或

;规定：0是任意集合的,如果集合A中存在着不是集合3中的元

素，那么集合A不包含于5,记作或.

2.真子集：如果集合A=5,且存在XGB,但xeA,我们称集合A是集合8的,

记作（或___________）,读作A真包含于3（8真包含A）.

规定：0是任意非空集合的真子集.

7

第01讲

3.集合相等：如果A=且8=我们说集合A与集合8相等，记作月=3.

4.交集：AP|B={x|xeA且xe8}；

5.并集：A|JB={尤|x€A弧e8}；

6.补集：

①全集：如果所研究的集合都是某一给定集合的子集，那么称这个给定的集合为全集，常

用U表示.

②补集：4在。中的补集的数学表达式是.

7.AqBo4nB=A=AU8=8.

暑假知识回顾

1.集合之间的关系

（1）下列各个关系式中，正确的是（）

A.0={0}B.夜eQC.{3,5}"5,3}D.{1}G{X|X2=X}

（2）若集合M={x|x>-1},则下列关系成立的是（）

A.OcMB.{0}cMC.0eMD.{0}sM

(3)已知两个集合用={xwR|y=：N==卜这两个集合的关系是（）

A.M=NB.MGNC.MuND.MnN

第01讲

(4)设5={龙|尤=2〃，/eZ},P={x|x=4n+2,neZ),则下歹I」关系正确的是()

A.S^PB.S=PC.S卫尸D.PaS

2.集合之间的运算

(1)设集合M={〃?eZ|-3<，"2},N={〃eZ|-lW〃W3},则MC|N=.

(2)设集合M={x||x|<2,xeZ},N={-2,-1,0},则MUN=.

(3)已知全集。={1,2,3,4,5},集合A={X|X2-3X+2=0},B={x\x=2a,aeA},

则集合孰(AU8)中元素的个数为()

A.1B.2C.3D.4

经典精讲

:酉重点集口的关系

【例4】⑴由设集合用={x|x=6&+l,ZeZ},N={x|x=6%+4,ZwZ},

P={x\x=3k-2,keZ},则下列说法正确的有.

①M=N=P②(MUN)qP

③〃皿=0④CpM=N

9

第01讲

(2)1rtt设集合M={x[x=g+；,无ez},N={x|x=；+1,kezj,贝Ij()

A.M=NB.MuN

C.MnND.Mp|N=0

(3)肾集合M={x|x=m+3，〃zwZ

?/=<x|x=-ziGZ>,P=<x\x=—+—,psZ

[23JI26

则M、N、尸满足的关系是.

五重点集合的关系与运算

例5是具体的集合的关系与运算，其中⑴涉及一元二次方程的解集，是有限集问题；从

⑵一⑷是连续数集问题，借助韦恩图会更容易解决.对于一般的集合问题，这里有个易

错点，即空集是任何集合的子集，考虑子集问题先想空集！

【例5】⑴由已知4={4?+©=0},B={x|x2+2(«+l)x+a2-l=0},其中awR,如果

AQB=B,则实数。的取值范围是

(2)内已知集合A={x|-2<尤<5},8={x|a+lWxW2a-l},若=则实数。的取

值范围是.

⑶自已知集合A={x|x>4或x<0},B={x\ax-l>0},若AU8=A,则实数。的取值范

围是.

10

第01讲

(4)由设集合A={x||x-a|<l,xeR},B={x[l<x<5,xeR},若AD8=0,则实数〃的

取值范围是___________

【拓展】设集合A={x|aWxW2a+l},B={x|2a-l〈xW5a+l},若4=8,则实数“的

取值范围是；若A卫B,则实数。的取值范围是.

〈点睛之笔〉对于具体集合的子集问题例5已经讲得很明白，对于抽象的集合，要理解

AcB,需要从元素角度出发：即对任意的xeA,有xeB;这在证明抽象的集合的关系时

很有用，见下面的德摩根律的证明.

集合运算满足德摩根律：

①(QA)n(CuB)(C(7A)n(CuB)；②G,(An5)=(CuA)U(Q8).

对于德摩根律，可以使用两个集合相等的定义进行抽象的证明，如下：

证明：①对任意的xeC“(AU5),则xeAUB,从而xeA且n任3:

因为xwA,所以xeC°A；因为xeB,所以xe,从而xe(CuAinCuB)；

从而有Cu(AUB)工(C")n(G")：

ll

第01讲

对任意的XG（GyAirKCuB）,则xeCqA且xe从而xeA,且x走8.

故x任（AUB）,即xeQ（AUB）,故（QA）n（C*）qQ（AU8）.

综上有（QA）n（CuB）；

②尝试证明德摩根律②吧：

证明：

<£>（重点伟恩图

【例6】（1）由设A、B、/均为非空集合，且AaBq/,则下列各式中错误的是（）

A.（GA）UB=/B.（GA）US）=/

C.An（G5）=0D.（GA）n（GB）=G8

（2）上若全集。={1，2,3,4,5,6,7,8,9）,A、8为U的子集，且（QA）n8={1,9},

ACB={2},（C"）n（C*）={4,6,8},求A、B和CuB.

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七易错］子集个数问题

若集合A中有〃个元素，则集合A的子集有2"个,真子集有2--}个,非空真子集有2"-2

个.

〈点睛之笔〉这个结论可以归纳得到：当A中有两个元素时，记为&={4，为}，4的

子集有4个；

当A中有三个元素时，记为A3,A3=4U&},4的四个子集仍然为&的子集，且这些

子集中加入元素生后会得到四个新的互不相同的子集，且人的每个子集都可以归在这

两类中，从而4的子集个数是&的两倍，从而&有8个子集，可以归纳得到4（含有，2

个元素的集合）有2"个子集.

【例7】（1）**已知AqB,AcC,8={0,1,2,3,4},C={0,2,4,8},则满足上述条件

的集合A的个数是（）

A.8B.32C.16D.4

⑵内已知A={1,2,3,....10},B={1,2,3,4.5},若C是A的子集，且80。/。，

则子集C共有个.

（3）甘若集合A满足：对任意xeA,都有就称A是"和谐”集合.则在集合

X

M={-l，0，d，l，2,3,4,5,61的所有非空子集中，"和谐"集合有一个.

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第01讲

》思维风暴

己知数集A=｛《，生，4〃｝(1Wq〈a2〈…〈4，〃22)具有性质尸:对任意的i，j

(1WiWjWn),与豆两数中至少有一个属于A.

a,

⑴分别判断数集｛1,3,4｝与｛1,2,3,6｝是否具有性质尸，并说明理由;

⑵证明：4=1,且：°

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第01讲

实战演练

【演练1】设集合A={-1,1.3},B=[a+2,a2+4},AnB={3},则实数a=

【演练2]⑴已知U={2,3,4,5,6,7},M={3,4,5,7},N={2,4,5,6},则（）

A.〃口'={4,6}B.=U

C.（CUAQUMMUD.（CUM）CN=N

⑵已知集合M={yly=x+1},N={（x,y）|y=2x+3},则集合"QN中的子集个数

为（）

A.0B.1C.2D.4

⑶集合4={_1,0,1},A的子集中含有元素0的子集共有（）

A.2个B.4C.6个D.8个

【演练3】已知集合4=口|-2・犬45},8={x|,〃+lWxW2m-l},若A|J3=A,求实数

m的取值范围.

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第01讲

【演练4】已知集合A={xeR|ox：2+2X+]=0},其中a^R.

⑴1是A中的一个元素，用列举法表示A;

⑵若A中有且仅有一个元素，求。的值组成的集合5；

⑶若A中至多有一个元素，试求a的取值范围.

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第01讲

【演练5】设A,8是两个非空集合，定义A与8的差集A-8={x|xwA且》任㈤，

(1)已知集合人={1,2,3,4},3={2,3,4,5),求它们的差集4一8与8-A；

⑵已知A={x|x>4},B={x||x|<6),求A-(A-B)及8-(B-A),并猜测它们之间的关

系；

⑶若差集A-B与B-A是同一集合，证明A=8.

⑤极限挑战

己知集合A={q,%,生，%}，3={a；,a；,片，a：},GN(z=1,2,3,4),其中

且4门8={%,〃4},4+4=10,4U8的所有元素之和为124,

求⑴4,4；⑵A.

17

第01讲

第02讲

函数概念的深入理解

函数贯穿整个高中的数学学习，高中函数的本质是一种对应关系，无论你用什么形式表

达，只要对任何一个确定的自变量，存在唯一的函数值与之对应的就是函数关系，

最常见也是最实用的是解析式表示.如：/(》)=*2,表示/把任意一个东西对应到它的

平方；而/(f+l)=f+2则表示一把任意一个东西对应到它加1;/(2x+l)=-2x-l,表示

/把任何一个东西对应到它的相反数；这种对应是更本质的，而且不依赖于字母的选择.

也可以通过图象给出对应关系，它的最大好处是可以直观地看出一个函数长什么样，后

面我们会有一个很重要的任务，就是一点点教大家怎么去画一些你并不认识的函数图象,

]1e”

如.f(x)=x+-,f(x)=X——，f(x)=-一-.......

xx-\

2.1函数符号/(%)的理解

知识点睛

1.函数的定义

设A、3是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系/,使对于集合A中的任意一个数

x,在集合3中都有唯一确定的数/(幻和它对应，那么就称f8为从集合A到集合

8的一个函数.记作：y=f(x),xeA.其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的

定义域；与X的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合｛/(x)|xeA｝叫做函数的值域.

要点诠释:

(1)A、8集合的非空性；

(2)对应关系的存在性、唯一性、确定性；

(3)A中元素的无剩余性；

(4)8中元素的可剩余性。

2.构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域

①构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决

定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等(或为

同一函数):

②两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值

的字母无关.

3.函数的三种表示方法:

解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系.优点:简明，给自变量求函数值.

图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系.优点:直观形象，反应变化趋势.

列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系.优点:不需计算就可看出函数值.

4.映射定义:

设A、8是两个非空集合，如果按照某个对应法则/,对于集合A中的任何一个元素，在

集合6中都有唯一的元素和它对应，这样的对应叫做从A到B的映射；记为8.

象与原象：如果给定一个从集合A到集合6的映射，那么A中的元素。对应的3中的元素

人叫做人的象，a叫做b的原象.

第02讲

要点诠释：

(I)A中的每一个元素都有象，且唯一；

(2)8中的元素未必有原象，即使有，也未必唯一；

(3)。的象记为/(a).

5.函数与映射的区别与联系：

设4、6是两个非空数集，若/:4-3是从集合A到集合5的映射，这个映射叫做从集

合A到集合B的函数，记为y=/(x).

要点诠释：

(1)函数一定是映射，映射不一定是函数；

⑵函数三要素：定义域、值域、对应法则；

(3)8中的元素未必有原象，即使有原象，也未必唯一；

(4)原象集合=定义域，值域=象集合.

—重点考点1：具体函数的求值问题

暑假知识回顾

已知函数f(x)=x2+2ax一3,

(1)如果+-/(〃)=9,求。的值；

(2)当。为何值时，函数的最小值是T?

21

第02讲

警^经典精讲

【例1】（1）★★设/（幻=|%-1|一|划，则//[I]=

（2）自设函数/（X）=F',则4（〃+。）一（4一/?）/（4一切（4工。）的值为（）

I—1,x<02

a,a>baya<b

A.aB.hD.

hfa<bhya>h

(3)*★已知/(J+lj=2x+3且“,")=6,则根=.

⑷总设小)=普，则《未卜《£^+八2。⑵+/(2。13)=

〈点睛之笔〉考点1是具体函数的求值问题，即给出/"）的解析式，求出具体的某个

f（a）.考点2是具体函数的求解析式问题，即给出函数满足的某些条件或形式，求出

/（x）.暑期时我们学习了求函数解析式的代入法、配凑法、换元法与待定系数法，这里

介绍一种新的方法---方程组法，解决/'（X）满足形如/（X）+纱（a-x）=g（x）与

/（x）+"=g（x）的函数方程求解析式的问题.

22

第02讲

二难点：求函数解析式的方法总结

〈知识总结〉解析式给法分两种，一种是明着给的，一种是暗着给的.

⑴明着给的规则，如：已知/(%)=x2+1,求/(X+1).直接代入即可得f(x+l)=(x+l)2+1：

对于这个问题需要理解清楚：

①/的作用是把括号里的整体变成平方加1,不管括号里面的是什么，都对应到它整体

的平方加1；

②/(X)中的X与/(X+1)中的X不一样，如它们很可能对应不同的取值范围；

③/(x)与/(X+1)不是同一个函数，解析式就不一■样，但它们都有一个作用叫/.

⑵暗着给的规则，如：若/(X+l)=d+l,求/(X).此时，/对应的规则是不直接给出

的.

关键要看/对X+1进行了什么操作，所以要把Y+1变成与X+1相关的：

X2+1=(X+1)2-2(X+1)+2,于是f(x)=f—2x+2,这就是配凑的方法.

也可以令t=x+l,于是x=f—1,代入得到/(f)=(f-iy+1,即换元法.

⑶暗着给的对应法则还要注意定义域的限制，如：若/，+2)=/-3召+1,求/(x).

可以用配凑法或换元法得到/(x)=x2-7x+ll.于是我们得到/(1)=5.

但如何由/(%2+2)=\-3江+1得到了⑴呢,这不可能，因为f+222,

f(x)=x2-7x+1l(x>2).

暑假知识回顾

1.已知函数/。一1)="2一3x+2,求/(x+l).

23

第02讲

2.已知/(x)是一次函数,且/[/(x)]=9x+4,求/*).

经典精讲

【例2】(1)**已知二次函数y=〃x)的图象经过原点，且〃x-l)=〃x)+x-l,求“X)

的表达式.

(2)自已知/(工)一2/(5=3%+2,求/(x).

24

(3)内已知f(x)+2f(2-x)=3x2-8x+8,求/(x).

〈总结归纳〉对于法则只有一个描述，而不直接给出对应法则，反过来要求对应法则相关的

问题，在教学中统称为函数方程问题(是以函数的解析式为未知量，给出一些相关条件，去

求解函数).也叫抽象函数问题，这是与给出解析式的具体函数对应的.

通过函数方程求值、通过函数方程求解析式(仅目标班)、判断单调性与奇偶性的问题，都

是我们后面要研究的函数方程问题.这类问题的主要方法是赋值法.

难点抽象函数的求值问题

【铺垫】已知/(x)的定义域为R,对任意的x,yeR,有/(x+y)=/(x)+/(y),则/(0)=

第02讲

【例3】（1）禹定义在R+上的函数f（R满足函》）=f（x）+/（y）（x，y」R、），已知〃8）=3,

则/⑴=,/（V2）=.

(2)由定义在R上的函数/(x)满足f(x+y)=/(x)+/(y)+2个(x.yeR),/⑴=2,

则〃3)=，,/(-3)=

【拓展】已知定义域为R的函数〃x）满足；〃x+y）=〃x）〃y），且〃3）＞1.

（1）求〃0）；

（2）求证：/（-4）＜1.

【拓展】已知/g+b）=〃4）"（b）,/（i）=2,则

/（2）+/（3）+/（4）/（2010）/（2011）/（2012）/（2013）_

/（1）〃2）/⑶/（2009）/（2010）/（2011）/（2012）--------------

（2）当xeN且x\2时，函数〃x）的表达式为.

26

第02讲

2.2函数定义域与值域

知识点睛

图象变换有四种基本的形式，包含九种具体的变换方式，如下:

函数.f（x）的图象经过对应的变换后的对应解析式如下（4>0）：

四种基本九种具体的

针对图象的具体操作变换后对应的解析式

变换形式变换方式

f(x-a)

水平平移向右（左）平移a个单位

(/(x+a))

平移变换

fM+a

垂直平移向上（下）平移a个单位

(f(x)-a')

X轴上方的图象不变，将X轴下方的图象

上下翻折|/«l

翻折到X轴上方来

翻折变换

y轴右边的图象不变，将y轴右边的图

左右翻折象翻折到y轴的左边覆盖原来左边的图/(|x|)

象

按X轴对称将/（X）的图象作关于X轴的对称一

对称变换按y轴对称将/5）的图象作关于y轴的对称f(-x)

按原点对称将f（x）的图象作关于原点的对称

伸缩变换横向伸缩纵坐标不变，横坐标变为原来的,f(ax)

a

27

第02讲

(倍)

横坐标不变，纵坐标变为到原来的a

纵向伸缩af{x}

(倍)

一个函数经过图象变换变成一个新的函数，变化过程有两个基本原则:

①所有的变换都只针对X或y本体;

②x的变化只影响横方向，y的变化只影响纵方向.

由此我们可以得到：函数图象纵方向的变换，如上下平移不会改变函数定义域：而横方向的

变换，如左右平移不会改变函数的值域.

雷:难点函数图象的三大变换

【铺垫】试用图象变换的知识画出下列函数的草图：

Y-4-1

(1)/“)=上；；®/(x)=|2x+l|；(3)/(x)=2|x|+l.

28

第02讲

【例4］由试用图象变换的知识画出下列函数的草图:

(1)f(x)=(2)/(X)=|X2-2X-3|；(3)f(x)=x2-2\x\-3.

0重点函数的定义域

知识点睛

求函数定义域问题：

⑴具体函数的自然定义域：

目前的限制条件有分母不为零，零的零次方无意义，偶次根式下非负；

(自然定义域以后还会增加对数函数的真数不为零，指数函数的底数大于零且不等于1等，

一个函数不标注定义域，则指得就是它的自然定义域，如〃x)=」一，不需要再注明XK1).

X-1

⑵限制定义域：

①人为规定的限制，如/(x)=/+l,2］；

②实际背景的限制，如物理中的时间f'0;再如实际问题中，一个物体的个数是非负整数

等；

⑶抽象复合函数的定义域问题.

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第02讲

暑假知识回顾

i.函数/(幻=1叱+」一的定义域是________

|x|-2

2.(1)已知函数“X)的定义域为(2,3],则/(x-1)的定义域为；

(2)已知函数〃x-l)的定义域为(2,3],则〃x)的定义域为；

(3)已知函数f(x+2)的定义域为(0,1),则/(x-5)的定义域为

【分析】以第⑴小题为例：

为什么会这样？可以从两个南度来理解：

一是上面所说的图象的平移变换；/(x)向右平移1个单位得到/(x-1),所以/(x-1)的

定义域也是f(x)的定义域向右平移一个单位得到的.

第二种理解是直接从对函数的理解入手：需理解①“X)与/(x-1)是两个不同函数；②

定义域是指X的范围.而这两个函数的公共点在于/是有要求的，对于/(X)而言只有当

xe(2,3]时才能被一作用，这个之外的数/就作用不了，所以f会对()内的数加以限

制，同样的f的规则也会对/(x-l)括号中的数加以限制，这样就得到一个基本的等价

形式，：都在/的作用下，.\()内的范围应相同.

1

可以直接把⑴对应的函数简单地构造出来，帮助学习理解，如“X)K+疟I满足

定义域为(2,3],则f(x-l)=定义域为(3,4].

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第02讲

臂经典精讲

二i的定义域为函数g(x)=J=的定义域为N,

【例5】(1)口若函数/(X)=JX2-2X

V龙一3

则MCICRN=

(2)心若函数/(X)="可的定义域为非空集合A，函数g(x)=J^三的定义域

为B,若AQ3=A，则”的取值范围是.

【例6】(1)晶已知函数f(x+D的定义域为(0,3),则/(f)的定义域为

(2)由已知函数f(x)的定义域为(-1，9],则函数g(x)=f(l-x)+/(x+l)的定义域为

六难点|函数的值域

暑假知识回顾

1.求下列函数的值域：

(1)y=-3x+l,XG(L+oo)；(2)y=-x2-3x+2,x£(-00,0]；

(3)y_L,xe[3,4-oo)；2

=(4)y-——,xe(0,1).

Xx

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第02讲

2.求下列函数的值域:

团y=3-2\/x；0y=3----,x>0；

x+1

0y=V-3+4X-X2；吁一舟TTT

经典精讲

求解值域问题有两个大致的方向，一个方向是借助于基本函数的图象解决我们熟悉的函数

及其复合函数的值域问题，当然每个人熟悉的函数是不一样多的，后面我们也会学习更多的

函数，比如对勾函数、指对函数，扩充我们的函数库；另一个是借助于代数基本变形求值域，

比如配方法、换元法、分离常数法、判别式法等.当然，这两个方向不是完全独立的，很多

32

第02讲

时候，进行换元或者分离常数后，一个陌生的函数会转化为我们熟悉的函数，从而利用图象

解决值域问题.

⑴在高中范围内，能借助于代数基本变形解决的值域问题通常次数差小于等于2,如：X+-,

X

x--,-V：+2x~3,-+2)+2等,再比如F三+X次数差也不超过2,这些问题都是可

XXX

以解决的，往往都是通过换元法转化为二次函数相关的函数来求值域.如：

“+1=+2『")+1；Jl-x+x中:令/=Jl-x,则转化为f+1-产，f20；包括

x+1都可以通过x+2>2得到它的最小值.

XXI{x>

⑵分式函数：

分式函数是高中挺常见的一类函数，形如畋的形式，其中P(x)与式外都是次数不超过2

q(x)

的多项式函数.

①一次比一次，如生工，我们通过分离常数将分子化为常数，得到3-——,这是反比例

X+\X+1

函数通过平移得到的函数；

②二次比一次，如Y+3X+4,令f=x+],得至|J+'+2=r+2+i,转化为对勾函数；

X4-1tt

③一次比二次，如压一，当XX0时，将分子除下来得到4—,分母即为②的形式；

X2+1%2+2