第2课时　指数函数及其图象、性质(二) 高一数学

4.2

指数函数第2课时

指数函数及其图象、性质(二)自主预习·新知导学合作探究·释疑解惑规范解答

自主预习·新知导学一、与指数函数有关的函数的定义域与值域2.(1)对于函数y=af(x)(a>0,a≠1),其定义域即为函数

f(x)的定义域;(2)对于函数y=af(x)(a>0,且a≠1),求其值域时,可先求t=f(x)的值域,再利用y=at的单调性结合t=f(x)的值域求y=af(x)的值域.答案:R,(0,1]二、与指数函数有关的函数的单调性1.对于函数y=af(x)(a>0,且a≠1),其定义域为区间I,若令t=f(x),则y=at.(1)当a>1时,在区间I上,如果t随x的增大而增大,那么y随t怎样变化?y随x怎样变化?(2)当0<a<1时,在区间I上,如果t随x的增大而增大,那么y随t怎样变化?y随x怎样变化?提示:(1)y随t的增大而增大,y随x的增大而增大;(2)y随t的增大而减小,y随x的增大而减小.2.(1)若a>1,则函数y=af(x)的单调递增区间就是f(x)的单调递增区间,y=af(x)的单调递减区间就是f(x)的单调递减区间;(2)若0<a<1,则函数y=af(x)的单调递增区间就是f(x)的单调递减区间,y=af(x)的单调递减区间就是f(x)的单调递增区间.3.函数

的单调递增区间是

,单调递减区间是

.

解析:令t=-x2+2,则y=4t,因为y=4t在定义域上是增函数,且t=-x2+2的单调递增区间是(-∞,0],单调递减区间是(0,+∞),所以f(x)的单调递增区间是(-∞,0],单调递减区间是(0,+∞).答案:(-∞,0]

(0,+∞)【思考辨析】

判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.(1)若函数g(x)=af(x)(a>0,且a≠1),则g(x)与f(x)的定义域与值域相同.(×)(2)函数y=4-|x|的单调递增区间是(0,+∞),单调递减区间是(-∞,0).(×)(3)若a>1,则当f(x)有最大值时,g(x)=af(x)也有最大值.(√)(4)若函数g(x)=af(x)(a>0,且a≠1)的值域为(0,+∞),则f(x)的值域必为R.(√)

合作探究·释疑解惑探究一

与指数函数有关的函数的定义域与值域反思感悟求形如y=f(ax)的函数的定义域与值域,首先利用换元法,设ax=t,将函数转化为y=f(t),然后根据函数t=ax,y=f(t)确定原函数的定义域与值域.探究二

与指数函数有关的函数的奇偶性及其应用反思感悟判断与指数函数有关的函数的奇偶性的方法判断与指数函数有关的函数的奇偶性的方法与一般函数奇偶性的判断方法基本一样,先要确定函数的定义域,在其定义域关于原点对称的前提下,再探究f(-x)与f(x)的关系,这时往往需要将f(-x)的表达式利用指数运算的一些法则和性质进行转化变形,以明确f(-x)与f(x)的关系,从而得出奇偶性的结论.探究三

与指数函数有关的函数的单调性及其应用(2)令h(x)=ax2-4x+3,则由指数函数的性质知,应使h(x)=ax2-4x+3的值域为R,若a≠0,则h(x)为二次函数,其值域不可能为R,因此只能a=0,故a的值为0.反思感悟形如y=af(x)(a>0,且a≠1)的函数单调性的判断方法(1)当a>1时,y=af(x)的单调区间与y1=f(x)的单调区间完全相同;(2)当0<a<1时,y=af(x)的单调区间与y1=f(x)的单调区间完全相反.规范解答与指数函数有关的函数的综合应用问题【典例】

已知定义在区间[-1,1]上的奇函数f(x),当x∈(0,1]时,(1)求f(x)在区间[-1,1]上的解析式;(2)用函数单调性的定义证明f(x)在区间(0,1]上单调递减;(3)若f(x)=x+b在区间[-1,1]上有解,求b的取值范围.审题策略:(1)由f(x)在区间(0,1]上的解析式以及f(x)为奇函数可求出f(0)=0以及f(x)在区间[-1,0)内的解析式,从而得到f(x)在区间[-1,1]上的解析式;(2)利用单调性的定义证明;(3)转化为求函数的值域问题.答题模板:第1步:求f(x)在区间[-1,0)内的解析式.⇓第2步:结合f(0)=0即得函数f(x)在区间[-1,1]上的解析式.⇓第3步:根据取值、作差变形、定号、下结论的步骤证明函数的单调性.⇓第4步:转化为方程b=f(x)-x有解问题.⇓第5步:求g(x)=f(x)-x的值域即得b的取值范围.失误展示造成失分的主要原因如下:(1)思维混乱,求f(x)在区间[-1,0)内的解析式时设x∈(0,1];(2)缺少f(0)=0的说明;(3)利用函数单调性的定义证明单调性的过