第02讲 平面向量的数量积及其应用（七大题型）（讲义）-2024年高考数学复习讲练测（新教材新高考）（解析版）

第第页第02讲平面向量的数量积及其应用目录考点要求考题统计考情分析（1）理解平面向量的意义、几何表示及向量相等的含义．（2）掌握向量的加法、减法运算，并理解其几何意义及向量共线的含义．（3）了解平面向量基本定理及其意义（4）会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算2023年I卷第3题，5分2023年II卷第13题，5分2023年甲卷（理）第4题，5分2022年II卷第4题，5分平面向量数量积的运算、化简、证明及数量积的应用问题，如证明垂直、距离等是每年必考的内容，单独命题时，一般以选择、填空形式出现．交汇命题时，向量一般与解析几何、三角函数、平面几何等相结合考查，而此时向量作为工具出现．向量的应用是跨学科知识的一个交汇点，务必引起重视．预测命题时考查平面向量数量积的几何意义及坐标运算，同时与三角函数及解析几何相结合的解答题也是热点．知识点一．平面向量的数量积（1）平面向量数量积的定义已知两个非零向量与，我们把数量叫做与的数量积（或内积），记作，即=，规定：零向量与任一向量的数量积为0．（2）平面向量数量积的几何意义①向量的投影：叫做向量在方向上的投影数量，当为锐角时，它是正数；当为钝角时，它是负数；当为直角时，它是0．②的几何意义：数量积等于的长度与在方向上射影的乘积．③设，是两个非零向量，它们的夹角是与是方向相同的单位向量，，过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量．记为．知识点二．数量积的运算律已知向量、、和实数，则：①；②；③．知识点三．数量积的性质设、都是非零向量，是与方向相同的单位向量，是与的夹角，则①．②．③当与同向时，；当与反向时，．特别地，或．④．⑤．知识点四．数量积的坐标运算已知非零向量，，为向量、的夹角．结论几何表示坐标表示模数量积夹角的充要条件的充要条件与的关系（当且仅当时等号成立）知识点五、向量中的易错点（1）平面向量的数量积是一个实数，可正、可负、可为零，且．（2）当时，由不能推出一定是零向量，这是因为任一与垂直的非零向量都有．当时，且时，也不能推出一定有，当是与垂直的非零向量，是另一与垂直的非零向量时，有，但．（3）数量积不满足结合律，即，这是因为是一个与共线的向量，而是一个与共线的向量，而与不一定共线，所以不一定等于，即凡有数量积的结合律形式的选项，一般都是错误选项．（4）非零向量夹角为锐角（或钝角）．当且仅当且（或，且【解题方法总结】（1）在上的投影是一个数量，它可以为正，可以为负，也可以等于0．（2）数量积的运算要注意时，，但时不能得到或，因为时，也有．（3）根据平面向量数量积的性质：，，等，所以平面向量数量积可以用来解决有关长度、角度、垂直的问题．（4）若、、是实数，则（）；但对于向量，就没有这样的性质，即若向量、、满足（），则不一定有，即等式两边不能同时约去一个向量，但可以同时乘以一个向量．（5）数量积运算不适合结合律，即，这是由于表示一个与共线的向量，表示一个与共线的向量，而与不一定共线，因此与不一定相等．题型一：平面向量的数量积运算例1．（2023·吉林四平·高三四平市第一高级中学校考期末）已知向量，满足，且与的夹角为，则（

）A．6 B．8 C．10 D．14【答案】B【解析】`由，且与的夹角为，所以.故选：B.例2．（2023·全国·高三专题练习）已知，，向量在方向上投影向量是，则为（

）A．12 B．8 C．-8 D．2【答案】A【解析】在方向上投影向量为，，.故选：A例3．（2023·湖南长沙·周南中学校考二模）已知菱形ABCD的边长为1，，G是菱形ABCD内一点，若，则（

）A． B．1 C． D．2【答案】A【解析】在菱形ABCD，菱形ABCD的边长为1，，所以，所以，则为等边三角形，因为，所以，设点M为BC的中点，则，所以，所以G，A，M三点共线，所以AM为BC的中线，所以，同理可得点AB，AC的中线过点G，所以点G为的重心，故，在等边中，M为BC的中点，则，所以.故选：A

变式1．（2023·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）已知单位向量，且，若，，则（

）A．1 B．12 C．或2 D．或1【答案】D【解析】由题意单位向量，且，可知与的夹角为，因为，所以或，故当时，；当时，，故选：D.变式2．（2023·广东·校联考模拟预测）将向量绕坐标原点顺时针旋转得到，则（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】因为，所以，因为向量绕坐标原点顺时针旋转得到，所以向量与向量的夹角为，且，所以.故选：B变式3．（2023·全国·高三专题练习）正方形的边长是2，是的中点，则（

）A． B．3 C． D．5【答案】B【解析】方法一：以为基底向量，可知，则，所以；方法二：如图，以为坐标原点建立平面直角坐标系，则，可得，所以；方法三：由题意可得：，在中，由余弦定理可得，所以.故选：B.变式4．（2023·天津和平·高三耀华中学校考阶段练习）如图，在中，，，为上一点，且满足，若，，则的值为（

）.

A． B． C． D．【答案】C【解析】∵，，即且，∴，又C、P、D共线，有，即，即，而，∴∴=.故选：C变式5．（2023·陕西西安·西北工业大学附属中学校考模拟预测）已知向量，满足同向共线，且，，则（

）A．3 B．15 C．或15 D．3或15【答案】D【解析】因为向量，满足同向共线，所以设，又因为，，所以，所以或，即或.①当时，；②当时，；所以的值为3或15.故选：D.变式6．（2023·吉林长春·东北师大附中校考模拟预测）在矩形中，与相交于点，过点作于，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】建立如图所示直角坐标系：

则，设，则且，，解得，，在矩形中，为的中点，所以，由，所以，，故选：D.【解题方法总结】（1）求平面向量的数量积是较为常规的题型，最重要的方法是紧扣数量积的定义找到解题思路．（2）平面向量数量积的几何意义及坐标表示，分别突出了它的几何特征和代数特征，因而平面向量数量积是中学数学较多知识的交汇处，因此它的应用也就十分广泛．（3）平面向量的投影问题，是近几年的高考热点问题，应熟练掌握其公式：向量在向量方向上的投影为．（4）向量运算与整式运算的同与异（无坐标的向量运算）同：；；公式都可通用异：整式：，仅仅表示数；向量：（为与的夹角），使用范围广泛，通常是求模或者夹角．，通常是求最值的时候用．题型二：平面向量的夹角例4．（2023·河南驻马店·统考二模）若单位向量，满足，则向量，夹角的余弦值为____________．【答案】/【解析】设向量，的夹角为，因为，所以．又，所以，所以．故答案为：例5．（2023·四川·校联考模拟预测）若是夹角为的两个单位向量，则与的夹角大小为________.【答案】/【解析】是夹角为的两个单位向量，则，，，，，，.故答案为：例6．（2023·重庆·高三重庆一中校考阶段练习）已知向量和满足：，，，则与的夹角为__________．【答案】/【解析】记向量和的夹角为，将平方得到：或，又因为，即．故答案为：.变式7．（2023·上海杨浦·复旦附中校考模拟预测）若向量与不共线也不垂直，且，则向量夹角________.【答案】【解析】由题意可得：，故：，即向量与的夹角为.故答案为：变式8．（2023·上海长宁·上海市延安中学校考三模）已知是同一个平面上的向量，若，且，则__________.【答案】【解析】设，则，，故，，则，，，故，设，，则，又，解得，故.故答案为：.变式9．（2023·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知向量，满足，，，则向量与的夹角大小为___________.【答案】【解析】由于，所以，所以，所以为锐角，所以.故答案为：变式10．（2023·四川·校联考模拟预测）已知向量，，，则向量与的夹角为______．【答案】【解析】，则，则，又，则故答案为：.变式11．（2023·湖南长沙·雅礼中学校考模拟预测）已知向量，，若非零向量与，的夹角均相等，则的坐标为___（写出一个符合要求的答案即可）【答案】（1，1），答案不唯一，只需满足横纵坐标相等即可.【解析】设，因为，，所以，，因为与，的夹角均相等，所以，所以，化简得，所以，因为为非零向量，可取，此时.故答案为：（1，1），答案不唯一，只需满足横纵坐标相等即可.【解题方法总结】求夹角，用数量积，由得，进而求得向量的夹角．题型三：平面向量的模长例7．（2023·湖北·荆门市龙泉中学校联考模拟预测）已知平面向量，，满足，，且.若，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】令，则，可得，所以.故选：A例8．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知，是非零向量，，，向量在向量方向上的投影为，则________.【答案】2【解析】∵，∴，∴，∵向量在向量方向上的投影为，∴，∴，∴，∴.故答案为：2例9．（2023·海南·高三校联考期末）已知向量，满足，，，则__________．【答案】【解析】因为，，，则，所以，所以，解得：，.故答案为：.变式12．（2023·四川南充·阆中中学校考二模）已知为单位向量，且满足，则______.【答案】【解析】为单位向量，且满足，所以，即，解得，所以.故答案为：.变式13．（2023·河南驻马店·统考三模）已知平面向量满足,且，则=_________________．【答案】【解析】由,得,所以.故答案为：变式14．（2023·全国·高三专题练习）已知向量满足，，则______．【答案】【解析】由，得，即①．又由，得，即，代入①，得，整理，得，所以．故答案为：变式15．（2023·河南郑州·模拟预测）已知点O为坐标原点，，，点P在线段AB上，且，则点P的坐标为______．【答案】【解析】由题知，，设，，，，，，，，，则直线方程为，设点坐标为，，，，求解可得，，，即点坐标为.故答案为：变式16．（2023·广西·高三校联考阶段练习）已知，，若，则______．【答案】【解析】因为，且，所以，解得，所以，所以，所以.故答案为：【解题方法总结】求模长，用平方，．题型四：平面向量的投影、投影向量例10．（2023·上海宝山·高三上海交大附中校考期中）已知向量，，则在方向上的数量投影为______.【答案】【解析】因为向量，，所以在方向上的数量投影为.故答案为：.例11．（2023·上海虹口·华东师范大学第一附属中学校考三模）已知若向量在向量方向上的数量投影为，则实数_______．【答案】3【解析】由条件可知，向量在向量方向上的数量投影为，解得：.故答案为：3例12．（2023·全国·高三专题练习）已知向量，为单位向量，当向量、的夹角等于时，则向量在向量上的投影向量是________．【答案】【解析】因为向量、的夹角等于，所以向量在向量上的投影向量是，故答案为：.变式17．（2023·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）已知向量，向量，则向量在向量方向上的投影为_________.【答案】【解析】.故答案为：变式18．（2023·新疆喀什·统考模拟预测）已知向量，满足，，，则向量在向量方向上的投影为______.【答案】2【解析】因为，所以，又，，所以，所以，所以向量在向量方向上的投影为.故答案为：变式19．（2023·全国·高三专题练习）已知非零向量满足，且向量在向量方向的投影向量是，则向量与的夹角是________.【答案】【解析】因为，所以，即①.因为向量在向量方向的投影向量是，所以.所以②，将①代入②得，，又，所以.故答案为：变式20．（2023·全国·模拟预测）已知向量，则向量在向量上的投影向量为__________.【答案】【解析】设，因为所以所以则向量在向量上的投影向量为：.故答案为：.【解题方法总结】设，是两个非零向量，它们的夹角是与是方向相同的单位向量，，过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量．记为．题型五：平面向量的垂直问题例13．（2023·四川巴中·南江中学校考模拟预测）已知向量，若，则___________.【答案】/【解析】由题意可得，因为，则，解得.故答案为：例14．（2023·全国·高三专题练习）已知向量，，，其中，为单位向量，且，若______，则.注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形.【答案】1（答案不唯一）【解析】因为是相互垂直的单位向量，不妨设，即，，即，即向量的端点在圆心为，半径为的圆周上，故可以取，即；故答案为：1.例15．（2023·江西宜春·高三校联考期末）设非零向量，的夹角为．若，且，则____________．【答案】60°/【解析】由题设，所以，又，所以.故答案为：变式21．（2023·江西南昌·高三统考开学考试）已知两单位向量的夹角为，若，且，则实数_________．【答案】/-0.8【解析】因为单位向量的夹角为，所以；因为，所以，所以．故答案为：.变式22．（2023·海南·校考模拟预测）已知为单位向量，向量在向量上的投影向量是，且，则实数的值为______．【答案】/【解析】因为向量在上的投影向量为，所以，又为单位向量，所以，因为，所以，所以，所以，故，故答案为：.变式23．（2023·全国·模拟预测）向量，且，则实数_________．【答案】【解析】因为向量，所以，又，所以，得，解得．故答案为：.变式24．（2023·全国·高三专题练习）非零向量，，若，则______.【答案】/-0.5【解析】因为，所以，由题易知，，所以.故答案为：变式25．（2023·河南开封·校考模拟预测）已知向量，若，则________．【答案】【解析】因为，，所以，又，所以，解得.故答案为：变式26．（2023·海南海口·海南华侨中学校考模拟预测）已知向量，不共线，，，写出一个符合条件的向量的坐标：______.【答案】（答案不唯一）【解析】由题意得，，则，设，得，且，满足条件的向量的坐标可以为（答案不唯一或者）.故答案为：（答案不唯一）变式27．（2023·河南开封·统考三模）已知向量，，若，则______.【答案】13【解析】∵，，，又∵，∴，解得.故答案为：13【解题方法总结】题型六：建立坐标系解决向量问题例16．（2023·全国·高三专题练习）已知，，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】设的夹角为，，，，，，又，不妨设，，，所以，即，，由，当时，即时，有最小值．故选：B例17．（2023·安徽合肥·合肥市第七中学校考三模）以边长为2的等边三角形ABC每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成曲边三角形，已知P为弧AC上的一点，且，则的值为（

）

A． B．C． D．【答案】C【解析】如图所示，以B为坐标原点，直线BC为x轴，过点B且垂直于BC的直线为y轴，建立平面直角坐标系，则，，由，得，所以，，所以．

故选：C.例18．（2023·黑龙江哈尔滨·哈师大附中校考模拟预测）下图是北京2022年冬奥会会徽的图案，奥运五环的大小和间距如图所示．若圆半径均为12，相邻圆圆心水平路离为26，两排圆圆心垂直距离为11．设五个圆的圆心分别为、、、、，则的值为（

）

A． B． C． D．【答案】B【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，做轴于点，所以，由已知可得，，，所以，，，所以.故选：B.

变式28．（2023·陕西安康·陕西省安康中学校考模拟预测）如图，在圆内接四边形中，.若为的中点，则的值为（

）A．-3 B． C． D．3【答案】C【解析】连接，由余弦定理知，所以.由正弦定理得，所以为圆的直径，所以，所以，从而，又，所以为等边三角形，以为原点，以所在直线为轴，所在直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系.则，所以.故选：C.变式29．（2023·安徽合肥·合肥市第八中学校考模拟预测）如图，已知是面积为的等边三角形，四边形是面积为2的正方形，其各顶点均位于的内部及三边上，且恰好可在内任意旋转，则当时，（

）

A． B． C． D．【答案】A【解析】因为是面积为的等边三角形，记边长为，所以，解得，记内切圆的半径为，根据，可得：，解得，因为正方形的面积为2，所以正方形边长为，记正方形外接圆半径为，所以其外接圆直径等于正方形的对角线2，即，根据正方形的对称性和等边三角形的对称性可知.正方形外接圆即为等边三角形的内切圆，因为正方形可在内任意旋转，可知正方形各个顶点均在该的内切圆上，以的底边为轴，以的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系如图所示：故可知，圆的方程为，故设，即，，，

故选:A.变式30．（2023·河南安阳·统考三模）已知正方形的边长为为正方形的中心，是的中点，则（

）A． B． C． D．1【答案】C【解析】如图，以为坐标原点，所在直线为轴，轴，建立平面直角坐标系，则，，，所以，，所以故选：C.【解题方法总结】边长为的等边三角形已知夹角的任意三角形正方形矩形平行四边形直角梯形等腰梯形圆建系必备（1）三角函数知识；（2）向量三点共线知识．设，是两个非零向量，它们的夹角是与是方向相同的单位向量，，过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量．记为．题型七：平面向量的实际应用例19．（2023·江西宜春·高三校考阶段练习）一质点受到同一平面上的三个力，，（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态，已知，成120°角，且，的大小都为6牛顿，则的大小为______牛顿.【答案】6【解析】设三个力，，分别对于的向量为：则由题知所以所以又所以所以的大小为