第04讲 解三角形（八大题型）（讲义）-2024年高考数学复习讲练测（新教材新高考）（解析版）

第第⑤在中，内角成等差数列．知识点三：实际应用（1）仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角（如图①）．（2）方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α（如图②）．（3）方向角：相对于某一正方向的水平角．（1）北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向（如图③）．（2）北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向．（3）南偏西等其他方向角类似．（4）坡角与坡度（1）坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数（如图④，角θ为坡角）．（2）坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比（如图④，i为坡度）．坡度又称为坡比．【解题方法总结】1、方法技巧：解三角形多解情况在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：A为锐角A为钝角或直角图形关系式解的个数一解两解一解一解无解2、在解三角形题目中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则常用：（1）若式子含有的齐次式，优先考虑正弦定理，“角化边”；（2）若式子含有的齐次式，优先考虑正弦定理，“边化角”；（3）若式子含有的齐次式，优先考虑余弦定理，“角化边”；（4）代数变形或者三角恒等变换前置；（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理使用；（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到．3、三角形中的射影定理在中，；；．题型一：正弦定理的应用例1．（2023·福建龙岩·高三校联考期中）在中，角所对的边分别为，若，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，所以，因为，所以．故选：C.例2．（2023·全国·高三专题练习）在中，设命题p：，命题q：是等边三角形，那么命题p是命题q的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由正弦定理可知，若t，则，即a＝tc，b＝ta，c＝bt，即abc＝t3abc，即t＝1，则a＝b＝c，即是等边三角形，若是等边三角形，则A＝B＝C，则1成立，即命题p是命题q的充要条件，故选：C.例3．（2023·河南·襄城高中校联考三模）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若且，，则（

）A． B． C．8 D．4【答案】D【解析】在中，由可得，即所以，因为，所以，且，所以，又，可得，由正弦定理可得．故选：D.变式1．（2023·全国·高三专题练习）在中，内角的对边分别是，若，且，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意结合正弦定理可得，即，整理可得，由于，故，据此可得，则.故选：C.变式2．（2023·河南郑州·高三郑州外国语中学校考阶段练习），，分别为内角，，的对边．已知，，则外接圆的面积为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为，由正弦定理得，可得．设外接圆的半径为，则，即，故外接圆的面积为．故选：B.变式3．（2023·甘肃兰州·高三兰州五十一中校考期中）△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由正弦定理得，化简得，则，故选：B变式4．（2023·宁夏·高三六盘山高级中学校考期中）在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．若，则的值为（

）A． B． C．1 D．【答案】A【解析】依题意，由正弦定理得.故选：A变式5．（2023·河南·洛宁县第一高级中学校联考模拟预测）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，则c＝（

）A．4 B．6 C． D．【答案】D【解析】因为，根据正弦定理得，移项得，即，即，则根据正弦定理有．故选：D.【解题方法总结】（1）已知两角及一边求解三角形；（2）已知两边一对角；．（3）两边一对角，求第三边．题型二：余弦定理的应用例4．（2023·全国·高三专题练习）已知的内角所对的边分别为满足且，则（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由题，,又，，，故选：A.例5．（2023·河南·高三统考阶段练习）在中，角的对边分别为，若，则（

）A． B． C．或 D．或【答案】C【解析】由正弦定理，得，又，所以，所以，因为，所以或，故选：C.例6．（2023·全国·高三专题练习）设△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，由正弦定理有，根据余弦定理有，且，故有，即，又，所以.故选：D.变式6．（2023·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则（

）A．0 B．1 C．2 D．【答案】A【解析】由余弦定理以及可得：，又在三角形中有，即，所以故.故选：A．变式7．（2023·全国·高三专题练习）在中，角的对边分别为，且，则的值为（

）A．1 B． C． D．2【答案】A【解析】因为，所以，由正弦定理与余弦定理得，化简得.故选：A【解题方法总结】（1）已知两边一夹角或两边及一对角，求第三边．（2）已知三边求角或已知三边判断三角形的形状，先求最大角的余弦值，若余弦值题型三：判断三角形的形状例7．（2023·甘肃酒泉·统考三模）在中内角的对边分别为，若，则的形状为（

）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形【答案】D【解析】由正弦定理，余弦定理及得，，即，则，即或为等腰三角形或直角三角形．故选：D.例8．（2023·全国·高三专题练习）在中，角，，的对边分别为，，，且，则形状为（

）A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．等腰直角三角形【答案】C【解析】，所以由正弦定理可得所以，所以，所以，所以，在三角形中，所以，所以为钝角，故选：C.例9．（2023·全国·高三专题练习）在中，若，则的形状为（

）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形【答案】D【解析】由正弦定理，以及二倍角公式可知，,即，整理为，即，得，或,所以的形状为等腰三角形或直角三角形.故选：D变式8．（2023·全国·高三专题练习）设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且，则的形状为（

）A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．等腰三角形【答案】B【解析】因为，所以，又，所以，因为，由正弦定理得，则，则，所以为有一个角为的直角三角形.故选：B.变式9．（2023·河南周口·高三校考阶段练习）已知的三个内角所对的边分别为．若，则该三角形的形状一定是（

）A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．锐角三角形【答案】C【解析】因为，由正弦定理（为外接圆的直径），可得，所以．又因为，所以．即为等腰三角形.故选：C变式10．（2023·全国·高三专题练习）设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若则的形状为（

）A．等腰三角形 B．等腰三角形或直角三角形C．直角三角形 D．锐角三角形【答案】B【解析】由得,由二倍角公式可得或，由于在，,所以或,故为等腰三角形或直角三角形故选：B变式11．（2023·北京·高三101中学校考阶段练习）设的内角，，所对的边分别为，，，若，则的形状为（

）A．等腰直角三角形 B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形 D．等边三角形【答案】C【解析】已知等式利用正弦定理化简得：，整理得：，即，，即，，，，，则或，即为等腰三角形或直角三角形．故选：C．【解题方法总结】（1）求最大角的余弦，判断是锐角、直角还是钝角三角形．（2）用正弦定理或余弦定理把条件的边和角都统一成边或角，判断是等腰、等边还是直角三角形．题型四：正、余弦定理与的综合例10．（2023·河南南阳·统考二模）锐角是单位圆的内接三角形，角的对边分别为，且，则等于（

）A．2 B． C． D．1【答案】C【解析】由，得，由余弦定理，可得，又由正弦定理，可得，所以，得，又，所以，所以.又，所以，故选：C例11．（2023·河北唐山·高三开滦第二中学校考阶段练习）在中，角，，所对的边分别为，，，.(1)求证：；(2)若，求.【解析】（1）在中，因为，由正弦定理可得，化简可得，由余弦定理可得，当且仅当时取等号，所以，因为角是的内角，所以，所以.（2）由，则，即，所以，又，所以，在中，由余弦定理可得，.例12．（2023·重庆·统考三模）已知的内角、、的对边分别为、、，．(1)求；(2)若，求．【解析】（1）因为，所以，所以，即，由正弦定理可得，由余弦定理可得，所以，即，所以.（2）由题意可知，又，可得，所以，即为等腰三角形，由，解得或，因为，所以，所以，所以.变式12．（2023·山东滨州·统考二模）已知的三个角，，的对边分别为，，，且．(1)若，求；(2)求的值．【解析】（1）若，则．因为，所以，，整理得．解得（舍），，因为，所以．（2）因为．所以，整理得由正弦定理得，由余弦定理得，即，所以．变式13．（2023·全国·高三专题练习）在中，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为，所以由正弦定理得，即，则，故，又，所以.故选：B.变式14．（2023·青海·校联考模拟预测）在中，内角A，B，C所对应的边分别是a，b，c，若的面积是，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由余弦定理可得：由条件及正弦定理可得：，所以，则．故选：A变式15．（2023·全国·校联考三模）已知a，b，c分别为的内角A，B，C的对边，.(1)求证：a，b，c成等比数列；(2)若，求的值.【解析】（1）因为，所以.所以.根据余弦定理，得，所以.所以.所以a，b，c成等比数列.（2）由余弦定理，得.因为，所以由正弦定理，得.所以.所以.变式16．（2023·天津武清·天津市武清区杨村第一中学校考模拟预测）在中，角，，所对的边分别为，，，已知(1)求角的大小；(2)若，，求边及的值．【解析】（1）因为，可得，所以由正弦定理可得，又为三角形内角，，所以，因为，，，所以，可得，所以；（2）因为，，，所以由正弦定理，可得，所以为锐角，，，，由余弦定理，可得，整理可得，解得或（舍去），所以．【解题方法总结】先利用平面向量的有关知识如向量数量积将向量问题转化为三角函数形式，再利用三角函数转化求解．题型五：解三角形的实际应用方向1：距离问题例13．（2023·全国·高三专题练习）山东省科技馆新馆目前成为济南科教新地标（如图1），其主体建筑采用与地形吻合的矩形设计，将数学符号“”完美嵌入其中，寓意无限未知､无限发展､无限可能和无限的科技创新.如图2，为了测量科技馆最高点A与其附近一建筑物楼顶B之间的距离，无人机在点C测得点A和点B的俯角分别为75°，30°，随后无人机沿水平方向飞行600米到点D，此时测得点A和点B的俯角分别为45°和60°（A，B，C，D在同一铅垂面内），则A，B两点之间的距离为______米.【答案】【解析】由题意，，所以，所以在中，，，又，所以，在中，由正弦定理得，，所以，在中，，由余弦定理得，，所以.故答案为：例14．（2023·安徽阜阳·高三安徽省临泉第一中学校考期中）一游客在处望见在正北方向有一塔，在北偏西45°方向的处有一寺庙，此游客骑车向西行后到达处，这时塔和寺庙分别在北偏东30°和北偏西15°，则塔与寺庙的距离为______.【答案】【解析】如图，在中，由题意可知，，可得.在中，，，，∴，∴.在中，，∴.故答案为：.例15．（2023·河南郑州·高三统考期末）如图，为了测量两点间的距离，选取同一平面上的，两点，测出四边形各边的长度（单位：km）：，，，，且四点共圆，则的长为_________.【答案】7【解析】∵四点共圆，圆内接四边形的对角和为﹒∴，∴由余弦定理可得，，∵，即，∴,解得,故答案为：7变式17．（2023·山东东营·高三广饶一中校考阶段练习）如图，一条巡逻船由南向北行驶，在A处测得灯塔底部C在北偏东方向上，匀速向北航行20分钟到达B处，此时测得灯塔底部C在北偏东方向上，测得塔顶P的仰角为，已知灯塔高为．则巡逻船的航行速度为______．【答案】【解析】由题意知在中，,故,即，解得，在中，，则，而，所以，所以，即船的航行速度是每小时千米，故答案为：方向2：高度问题例16．（2023·重庆·统考模拟预测）如图，某中学某班级课外学习兴趣小组为了测量某座山峰的高度，先在山脚处测得山顶处的仰角为，又利用无人机在离地面高的处（即），观测到山顶处的仰角为，山脚处的俯角为，则山高_________m．

【答案】【解析】依题意，则，,，故，，在中，由正弦定理得，即，解得，则.

故答案为：例17．（2023·河南·校联考模拟预测）中国古代数学名著《海岛算经》记录了一个计算山高的问题（如图1）：今有望海岛，立两表齐，高三丈，前后相去千步，令后表与前表相直.从前表却行一百二十三步，人目着地取望岛峰，与表末参合.从后表却行百二十七步，人目着地取望岛峰，亦与表末参合.问岛高及去表各几何?假设古代有类似的一个问题，如图2，要测量海岛上一座山峰的高度AH，立两根高48丈的标杆BC和DE，两竿相距BD=800步，D，B，H三点共线且在同一水平面上，从点B退行100步到点F，此时A，C，F三点共线，从点D退行120步到点G，此时A，E，G三点也共线，则山峰的高度AH=_________步.（古制单位:180丈=300步）

【答案】3280【解析】由题可知步，步，步.步.在RtAHF中，在RtAHG中.所以，，则.所以步.故答案为：3280例18．（2023·全国·高三专题练习）为了培养学生的数学建模和应用能力，某校数学兴趣小组对学校雕像“月亮上的读书女孩”进行测量，在正北方向一点测得雕塑最高点仰角为30°，在正东方向一点测得雕塑最高点仰角为45°，两个测量点之间距离约为米，则雕塑高为______【答案】【解析】如图所示，正北方向测量点为C，正东方向测量点为D，雕塑最高点为B，其中A，C，D三点位于同一水平面，由题意可知且，设，在直角中，可得，在直角中，可得，在直角中，可得，解得，故雕塑高为.故答案为：变式18．（2023·全国·模拟预测）山西应县木塔（如图1）是世界上现存最古老、最高大的木塔，是中国古建筑中的瑰宝，是世界木结构建筑的典范．如图2，某校数学兴趣小组为测量木塔的高度，在木塔的附近找到一建筑物，高为米，塔顶在地面上的射影为，在地面上再确定一点（，，三点共线），测得约为57米，在点处测得塔顶的仰角分别为30°和60°，则该小组估算的木塔的高度为__________米．【答案】【解析】如图，过点A作作垂线，垂足为，由题意可知，，米，设米，则米，米，∵，则，解得，所以估算木塔的高度为米．故答案为：.方向3：角度问题例19．（2023·福建厦门·高三厦门一中校考期中）足球是一项很受欢迎的体育运动．如图，某标准足球场的B底线宽码，球门宽码，球门位于底线的正中位置．在比赛过程中，攻方球员带球运动时，往往需要找到一点P，使得最大，这时候点P就是最佳射门位置．当攻方球员甲位于边线上的点O处时，根据场上形势判断，有、两条进攻线路可供选择．若选择线路，则甲带球______码时，到达最佳射门位置．【答案】/【解析】过点作于点，于点，如图所示，设，则，由题可知，，，易得四边形为矩形，所以，，，所以，则，，所以，设，则，所以，因为，当且仅当时等号成立，即，所以当时，即，最大，由题可知，，因为在上单调递增，所以最大时，最大，所以时，到达最佳射门位置，故答案为：．例20．（2023·全国·高三专题练习）当太阳光线与水平面的倾斜角为时，一根长为的竹竿，要使它的影子最长，则竹竿与地面所成的角________．【答案】【解析】作出示意图如下如，设竹竿与地面所成的角为，影子长为，依据正弦定理可得，所以，因为，所以要使最大，只需，即，所以时，影子最长．答案为：.例21．（2023·全国·高三专题练习）游客从某旅游景区的景点A处至景点C处有两条线路．线路1是从A沿直线步行到C，线路2是先从A沿直线步行到景点B处，然后从B沿直线步行到C．现有甲、乙两位游客从A处同时出发匀速步行，甲的速度是乙的速度的倍，甲走线路2，乙走线路1，最后他们同时到达C处．经测量，AB＝1040m，BC＝500m，则sin∠BAC等于________．【答案】【解析】依题意，设乙的速度为xm/s，则甲的速度为xm/s，因为AB＝1040m，BC＝500m，所以＝，解得AC＝1260m．在△ABC中，由余弦定理得，cos∠BAC＝＝＝，所以sin∠BAC＝＝＝．故答案为：.变式19．（2023·全国·高三专题练习）最大视角问题是1471年德国数学家米勒提出的几何极值问题，故最大视角问题一般称为“米勒问题”.如图，树顶A离地面a米，树上另一点B离地面b米，在离地面米的C处看此树，离此树的水平距离为___________米时看A，B的视角最大.【答案】【解析】过C作，交AB于D，如图所示：则，设，在中，，在中，，所以，当且仅当，即时取等号，所以取最大值时，最大，所以当离此树的水平距离为米时看A，B的视角最大.故答案为：【解题方法总结】根据题意画出图形，将题设已知、未知显示在图形中，建立已知、未知关系，利用三角知识求解．题型六：倍角关系例22．（2023·全国·高三专题练习）记的内角的对边分别为，已知.(1)证明：；(2)若，求的面积.【解析】（1）证明：由及正弦定理得：，整理得，.因为，所以，所以或，所以或（舍），所以.（2）由及余弦定理得:，整理得，又因为，可解得，则，所以△是直角三角形，所以△的面积为.例23．（2023·全国·模拟预测）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c（a，b，c互不相等），且满足.（1）求证：；（2）若，求.【解析】（1）证明：因为，由正弦定理，得，所以，所以.又因为，，所以或.若，又，所以，与a，b，c互不相等矛盾，所以.（2）由（1）知，所以.因为，所以，则，可得.又因为所以.因为，所以，所以，所以，解得，又，得.例24．（2023·江苏·高三江苏省前黄高级中学校联考阶段练习）在中，角、、的对边分别为、、，若．(1)求证：；(2)若，点为边上一点，，，求边长．【解析】（1），，或当时，，，即，综上（2），，，，，设，，，，在中：，变式20．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知分别是的角的对边，.(1)求证：；(2)求的取值范围.【解析】（1）由正弦定理及知，，由余弦定理得，，或..（2）由（1）和正弦定理得，，，设，则，则，设，则在上单调递增，则，即.的取值范围为.变式21．（2023·四川·成都市锦江区嘉祥外国语高级中学校考三模）已知分别为锐角ABC内角的对边，．(1)证明：；(2)求的取值范围．【解析】（1）∵．∴，∴，因为为锐角三角形内角，所以，，所以，所以，即；（2）由题意得，解得，所以，由正弦定理得，因为函数在上单调递减，所以当时，，所以当时，，所以，∴的取值范围为．变式22．（2023·福建三明·高三统考期末）非等腰的内角、、的对应边分别为、、，且.(1)证明：；(2)若，证明：.【解析】（1）由正弦定理，得，，由，则.（2）由，则为锐角，，则，去分母得，则，由则.由（1）有，得.解方程组，消元，则，可得，要证，即证，只需证，即证，即证，由，此不等式成立，得证.另令，，又，求导得，则在递增，则，得证.题型七：三角形解的个数例25．（2023·贵州·统考模拟预测）中，角的对边分别是，，.若这个三角形有两解，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由正弦定理可得，.要使有两解，即有两解，则应有，且，所以，所以.故选：B．例26．（2023·全国·高三专题练习）在△ABC中，a=18，b=24，∠A=45°，此三角形解的情况为（

）A．一个解 B．二个解 C．无解 D．无法确定【答案】B【解析】因为，如图所示：所以，即，所以三角形解的情况为二个解.故选：B例27．（2023·河南南阳·高三统考期中）在中，，，.若满足条件的有且只有一个，则的可能取值是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由正弦定理，即，所以，因为只有一解，若，则，若显然满足题意，所以或，所以或，解得或；故选：D变式23．（2023·全国·高三专题练习）在中，内角所对的边分别为，则下列条件能确定三角形有两解的是（

）A．B．C．D．【答案】B【解析】对于A：由正弦定理可知，∵，∴，故三角形有一解；对于B：由正弦定理可知，，∵，∴，故三角形有两解；对于C：由正弦定理可知，∵为钝角，∴B一定为锐角，故三角形有一解；对于D：由正弦定理可知，，故故三角形无解.故选：B.变式24．（2023·北京朝阳·高三专题练习）在下列关于的四个条件中选择一个，能够使角被唯一确定的是：（

）①②；③；④.A．①② B．②③ C．②④ D．②③④【答案】B【解析】对于①，因为，所以或，故①错误；对于②，因为在上单调，所以角被唯一确定，故②正确；对于③，因为，，所以，所以，所以，又，由正弦定理有，所以，所以角被唯一确定，故③正确；对于④，因为，所以，所以如图，不唯一，故④错误.故A，C，D错误.故选：B.变式25．（2023·全国·高三专题练习）设在中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，若满足的不唯一，则m的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由正弦定理，即，所以，因为不唯一，即有两解，所以且，即，所以，所以，即；故选：A变式26．（2023·全国·高三专题练习）在中，，，若该三角形有两个解，则边范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为三角形有两个解，所以，所以，所以.故选：D变式27．（2023·全国·高三专题练习）若满足的恰有一个，则实数k的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由正弦定理可得，故，由且恰有一个，故或，所以或，即．故选：B【解题方法总结】三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断．题型八：三角形中的面积与周长问题例28．（2023·全国·高三对口高考）在中，若，且，则的面积为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为且，所以，所以，所以的面积.故选：B例29．（2023·河南·襄城高中校联考三模）在中，内角A，，所对的边分别为，，，，为上一点，，，则的面积为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】如图所示，在中，由，得．又，即，所以，化简得．①

在中，由余弦定理得，，②

由①②式，解得．由，得，将其代入②式，得，解得，故的面积．故选：D例30．（2023·四川成都·校考模拟预测）在中，，，分别为角，，的对边，已知，，且，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】，由正弦定理可得，整理可得，所以，为三角形内角，，∴，∵，，则，故B错误；∵，，，解得，由余弦定理得，解得或（舍去），故C正确，D错误.又，所以，则三角形为等边三角形，所以，则，故A错误.故选：C.变式28．（2023·河北石家庄·统考三模）已知中，角，，的对边长分别是，，，，且.(1)证明：；(2)若，求外接圆的面积【解析】（1）由已知，，∴，∴，∴，∴，易知上式中，，，∴由上式得，即.（2）∵，∴由正弦定理和余弦定理得，，化简得，∴.又∵，，∴，是以为斜边，为直角的直角三角形，∴外接圆的直径，外接圆的半径，∴外接圆的面积.变式29．（2023·全国·高三专题练习）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．(1)证明：是等腰三角形；(2)若的面积为，且，求的周长．【解析】(1)在中，，由射影定理得，，所以是等腰三角形．(2)在中，因且，则，又，即，由(1)知，则有，在中，由余弦定理得：，解得，又，则a，b，c能构成三角形，符