江西省景德镇市第六中学高二数学文上学期期末试卷含解析

江西省景德镇市第六中学高二数学文上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设，则（

）A. B. C.1 D.－1参考答案：B【分析】对函数求导得到函数的导函数，代入求值即可.【详解】因为，所以.故答案为:B.2.已知双曲线的两条渐近线与抛物线的准线分别交于A,B两点,O为坐标原点.若双曲线的离心率为2,△AOB的面积为,则p=（）A．1 B． C．2 D．3参考答案：C3.如图，已知四边形ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，连接AC，BD，PB，PC，PD，则下列各组向量中，数量积不一定为零的是（）A．与 B．与 C．与 D．与参考答案：A【考点】空间向量的数量积运算；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】根据题意，若空间非零向量的数量积为0，则这两个向量必然互相垂直．据此依次分析选项，判定所给的向量是否垂直，即可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A、PC与BD不一定垂直，即向量、不一定垂直，则向量、的数量积不一定为0，对于B、根据题意，有PA⊥平面ABCD，则PA⊥AD，又由AD⊥AB，则有AD⊥平面PAB，进而有AD⊥PB，即向量、一定垂直，则向量、的数量积不一定为0，对于C、根据题意，有PA⊥平面ABCD，则PA⊥AB，又由AD⊥AB，则有AB⊥平面PAD，进而有AB⊥PD，即向量、一定垂直，则向量、的数量积不一定为0，对于D、根据题意，有PA⊥平面ABCD，则PA⊥CD，即向量、一定垂直，则向量、的数量积不一定为0，故选：A．【点评】本题考查空间向量的数量积的运算，若空间非零向量的数量积为0，则这两个向量必然互相垂直．4.双曲线的焦点到渐近线的距离为（

）A．

B．

C．2

D．3参考答案：C5.已知函数，则的值为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：D6.的值是（）

A．

B．

C．

D．参考答案：A略7.已知的外接圆半径为1，圆心为，且0，则的值为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：A略8.已知，则等于（

）

A

B)

—1

C

2

D

1参考答案：D9.已知,为双曲线左,右焦点,以双曲线右支上任意一点P为圆心,以为半径的圆与以为圆心,

为半径的圆内切,则双曲线两条渐近线的夹角是

(

)A.

B.

C.

D.参考答案：C10.参数方程（为参数）所表示的曲线是（

）。参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.用一张长6，宽2的矩形铁皮围成圆柱形的侧面，则这个圆柱形的体积是

。参考答案：12.在的展开式中，的系数为_

(用数字作答).参考答案：413.设的内角A,B,C所对的边分别为,若,，则的取值范围为_____.参考答案：14.某校共有师生2400人，现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为160的样本，已知从学生中抽取的人数为150，那么该学校的教师人数是参考答案：15015.已知，且则=

参考答案：略16.给出下列命题：

①，使得；

②曲线表示双曲线；

③的递减区间为

④对，使得

.

其中真命题为

（填上序号）参考答案：①③17.复数（a∈R，i为虚数单位）为纯虚数，则复数z=a+i的模为．参考答案：【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简，再结合已知条件列出方程组，求解可得a的值，然后由复数求模公式计算得答案．【解答】解：∵==为纯虚数，∴，解得a=2．∴z=2+i．则复数z=2+i的模为：．故答案为：．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念以及复数模的求法，是基础题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，已知点F1，F2是椭圆C1：+y2=1的两个焦点，椭圆C2：+y2=λ经过点F1，F2，点P是椭圆C2上异于F1，F2的任意一点，直线PF1和PF2与椭圆C1的交点分别是A，B和C，D，设AB、CD的斜率为k，k′．（1）求证kk′为定值；（2）求|AB|?|CD|的最大值．参考答案：【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】（1）求得椭圆C1的焦点，代入椭圆C2，可得λ=，设P（m，n），即有m2+2n2=1，再议直线的斜率公式，化简整理即可得证；（2）设PF1：y=k（x+1），代入椭圆方程x2+2y2=2，运用韦达定理和弦长公式，可得|AB|；同样求得|CD|，化简整理，由（1）的结论，运用基本不等式可得最大值．【解答】解：（1）证明：椭圆C1：+y2=1的两个焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0），由题意可得λ=，即有椭圆C2：+y2=，设P（m，n），即有m2+2n2=1，AB、CD的斜率为k，k′．即有kk'=?===﹣；（2）设PF1：y=k（x+1），代入椭圆方程x2+2y2=2，可得（1+2k2）x2+4k2x+2k2﹣2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），即有x1+x2=﹣，x1x2=，即为|AB|=?=；设PF2：y=k'（x﹣1），代入椭圆方程x2+2y2=2，可得（1+2k'2）x2﹣4k'2x+2k'2﹣2=0，设C（x3，y3），D（x4，y4），即有x3+x4=，x3x4=，即为|CD|=?=．则|AB|?|CD|=8?=8?=4[1+]，由kk'=﹣，可得k2+k'2≥2|kk'|=1，当且仅当|k|=|k'|=时，取得等号．则|AB|?|CD|≤4（1+）=，即有|AB|?|CD|的最大值为．【点评】本题考查椭圆方程和运用，注意运用直线的斜率公式和点满足椭圆方程，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理，以及弦长公式，同时考查基本不等式的运用：求最值，考查化简整理的运算能力，属于中档题．19.已知椭圆过点，离心率是，（1）求椭圆C的标准方程；（2）若直线l与椭圆C交于A、B两点，线段AB的中点为求直线l与坐标轴围成的三角形的面积.参考答案：(1)(2)试题分析：（1）利用点在椭圆上、离心率进行求解；（2）先利用点差法求出直线的斜率，再写出直线的点斜式方程，再分别求出该直线在坐标轴上的截距，利用三角形的面积公式进行求解.试题解析：（1）由已知可得,

,

解得，

∴椭圆的方程为（2）设、代入椭圆方程得，两式相减得,由中点坐标公式得，∴可得直线的方程为令可得令可得则直线与坐标轴围成的三角形面积为.20.（本小题满分12分）在平面直角坐标系中，已知圆心在轴上，半径为4的圆位于轴右侧，且与轴相切．[:]（I）求圆的方程；（II）若椭圆的离心率为，且左右焦点为．试探究在圆上是否存在点，使得为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）．参考答案：（I）依题意，设圆的方程为． ---------------------------1分∵圆与轴相切，∴∴圆的方程为

-----------------------------------4分（II）∵椭圆的离心率为,

∴,,

解得 -------6分∴,

∴， ]∴恰为圆心--------8分（i）过作轴的垂线，交圆，则，符合题意；--------10分（ii）过可作圆的两条切线，分别与圆相切于点，连接，则，符合题意．综上，圆上存在4个点，使得为直角三角形．-------------------------12分21.(本小题满分12分)如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB＝4，BC＝3，AD＝5，∠DAB＝∠ABC＝90°，E是CD的中点．(1)证明：CD⊥平面PAE；(2)若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，求四棱锥P－ABCD的体积．参考答案：（1）如图所示，连接AC，由AB＝4，BC＝3，∠ABC＝90°，得AC＝5.又AD＝5，E是CD的中点，所以CD⊥AE.∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，所以PA⊥CD.而PA，AE是平面PAE内的两条相交直线，所以CD⊥平面PAE.(2)过点B作BG∥CD，分别与AE，AD相交于F，G，连接PF.由(1)CD⊥平面PAE知，BG⊥平面PAE.于是∠BPF为直线PB与平面PAE所成的角，且BG⊥AE.由PA⊥平面ABCD知，∠PBA为直线PB与平面ABCD所成的角．AB＝4，AG＝2，BG⊥AF，由题意，知∠PBA＝∠BPF，因为sin∠PBA＝，sin∠BPF＝，所以PA＝BF.由∠DAB＝∠ABC＝90°知，AD∥BC，又BG∥CD，所以四边形BCDG是平行四边形，故GD＝BC＝3.于是AG＝2.在Rt△BAG中，AB＝4，AG＝2，BG⊥AF，所以BG＝＝2，BF＝＝＝.于是PA＝BF＝.又梯形ABCD的面积为S＝×(5＋3)×4＝16，所以四棱锥P－ABCD的