相似三角形全章教案

4.1比例线段(1)教学目标：1.理解比例的基本性质。2.能根据比例的基本性质求比值。3.能根据条件写出比例式或进行比例式的简单变形。教学重点、难点：教学重点：比例的基本性质教学难点：例2根据条件判断一个比例式是否成立，不仅要运用比例的基本性质，还要运用等式的性质等方法是本节教学的难点。知识要点：1.如果两个数的比值与另两个数的比值相等，那么这四个数成比例。2.a、b、c、d四个实数成比例，可表示成a:b＝c:d或EQ\F(a,b)=EQ\F(c,d)，其中b、c叫做内项，a、d叫做外项。3.基本性质：EQ\F(a,b)=EQ\F(c,d)<=>ad＝bc(a、b、c、d都不为零)重要方法：1.判断四个数a、b、c、d是否成比例，方法1:计算a:b和c:d的值是否相等；方法2:计算ad和bc的值是否相等，(利用ad＝bc推出EQ\F(a,b)=EQ\F(c,d))2.“EQ\F(a,c)=EQ\F(b,d)<=>EQ\F(a,b)=EQ\F(c,d)”的比例式之间的变换是抓住实质ad＝bc。3.记住一些常用的结论：EQ\F(a,b)=EQ\F(c,d)=>EQ\F(a＋b,b)=EQ\F(c＋d,d)，EQ\F(a,b)=EQ\F(a＋c,b＋d)。教学过程：一、复习引入1、举例说明生活中大量存在形状相同，但大小不同的图形。如：照片、放电影中的底片中的图与银幕的象、不同大小的国旗、两把不同大小都含有30°角的三角尺等。2、美丽的蝴蝶身长与双翅展开后的长度之比约为0.618.一些长方形的画框，宽与长之比也设计成0.618,许多美丽的形状都与0.618这个比值有关。你知道0.618这个比值的来历吗？说明学习本章节的重要意义。3.如何求两个数的比值？二、自学新课，探究结论阅读思考题(1)什么是两个数的比？2与—3的比；—4与6的比。如何表示？其比值相等吗？用小学学过的方法可说成为什么？可写成什么形式？(2)比与比例有什么区别？(3)用字母a,b,c,d表示数，上述四个数成比例可写成怎样的形式？你知道内项、外项和第四比例项的概念吗？回答(1)2：（—3）=—EQ\F(2,3)；—4：6=—EQ\F(4,6)=—EQ\F(2,3)；EQ\F(2,—3)=EQ\F(—4,6)，2，—3，—4，6四个数成比例。注意四个数字的书写顺序(2)比是一个值；比例是一个等式。(3)a:b=c:dEQ\F(a,b)=EQ\F(c,d)，a,d叫做比例外项，b,c叫做比例内项，d，叫做a,b,c的第四比例项。注意:这里的字母是泛指，概念只与位置有关，第四比例项必须描述清楚是谁的第四比例项。补充练习：①指出EQ\F(x,y)=EQ\F(e,f)的比例内项、比例外项及第四比例项。②求3，4，5的第四比例项。P96做一做1,2(2答案：等式EQ\F(a,b)=EQ\F(c,d)的两边同乘以bd，可由EQ\F(a,b)=EQ\F(c,d)推出ad＝bc。反过来等式ad＝bc两边同除以bd，即可由ad＝bc推出EQ\F(a,b)=EQ\F(c,d))比例的基本性质：基本性质：EQ\F(a,b)=EQ\F(c,d)<=>ad＝bc(a、b、c、d都不为零)两内项之积等于两外项之积。说明：由EQ\F(a,b)=EQ\F(c,d)=>ad＝bc的形式是唯一的，而由ad＝bc=>EQ\F(a,b)=EQ\F(c,d)的形式不唯一，有8个不同的比例式。可以补充，但不出现更比定理的名称。三、模仿与应用例1:根据下列条件，求a:b的值。(1)2a＝3b；(2)EQ\F(a,5)=EQ\F(b,4)比例的基本性质直接运用，其中第2小题两次运用了性质，初学时易差错，要求学生重视对变形结果的检验，即变形后是否仍然满足“两内项之积等于两外项之积”。例2:已知EQ\F(a,b)=EQ\F(c,d)，判断下列比例式是否成立，并说明理由。(1)EQ\F(a＋b,b)=EQ\F(c＋d,d)；(2)EQ\F(a,b)=EQ\F(a＋c,b＋d)分析：(1)比较条件和结论的形式得到解题思路；(2)采用设比值较为简单。这两个小题反映了在比例式的变形中的两种常用方法：一是利用等式的基本性质；二是设比值。课堂练习：P97课内练习、作业题、条件活动(学生板演)补充练习：(1)已知：x：(x+1)=(1—x)：3，求x。(2)若EQ\F(2x-3y,x+y)=EQ\F(1,2)，求EQ\F(y,x)。(3)若EQ\F(a＋b,b)＝EQ\F(6,5)，求EQ\F(a,b)，EQ\F(a－b,b)(4)若x2-3xy+2y2=0,求EQ\F(y,x)(5)已知EQ\F(x,2)=EQ\F(y,3)=EQ\F(z,4)求EQ\F(2x+3y-z,z+2y-3x)，EQ\F(x+y+z,x)(6)已知x:y:z=4:5:7,求，(7)a：b：c=1：3：5且a+2b—c=8求a、b、c(8)已知x：y=3：4，x：z=2：3，求x：y：Z的值。(9)若，求，(10)EQ\F(y+z,x)=EQ\F(z+x,y)=EQ\F(x+y,z)=k,求k的值(两种情况)。(11)已知在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，AB＝12,AE＝6,EC＝4,且eq\f(AD,DB)＝eq\f(AE,EC).求AD的长。(12)已知1,eq\r(2),2三个数，请你再添上一个数，写出一个比例式。(13)操场上有一群学生在玩游戏，其中男生与女生的人数比例是3:2,后来又有6名女同学参加进来，此时女生与女生人数的比为5:4,求原来各有多少男生和女生？四、课堂小结1.比例的概念，比例的基本性质；2.判断四个数成比例的基本方法；3.比例式变形的常用方法：(1)利用等式性质；(2)设比值。五、作业：见作业本4.2比例线段(2)教学目标：1.了解两条线段的比和比例线段的概念；2.能根据条件写出比例线段；3.回运用比例线段解决简单的实际问题。教学重点、难点教学重点：比例线段的概念。教学难点：例3要求根据具体问题发现等量关系，找出比例式，有一定的隐蔽性，是本节教学的难点。知识要点：1.两条线段的长度的比叫做两条线段的比。2.四条线段a、b、c、d中，如果a与b的比等于c与d的比，即EQ\F(a,b)=EQ\F(c,d)，那么这四条线段a、b、c、d叫做成比例线段，简称比例线段。重要提示：1.用方程思想寻找几何图形中四条线段成比例是常用方法。2.四条线段成比例可以解决一些实际问题，如地图上的某两地之间的距离。教学过程一、复习引入1.列举四个数成比例，并写出比例式，指出比例内项、外项、第四比例项。2.说出比例的基本性质。由ad＝bc可推出哪些比例式？3.练习：(1)若3x＝4y，求EQ\F(x,y)、EQ\F(x,x－y)、EQ\F(x－2y,x＋y)的值。(2)若EQ\F(a＋b,a)＝EQ\F(5,3)，求EQ\F(a－2b,b)的值。(3)x:y:z＝2:3:4，求EQ\F(x－y＋z,2x＋3y－z)的值。(4)已知a:b:c＝3:4:5，且2a＋3b－4c＝－1，求2a－3b＋4c的值。(5)已知线段AB＝15cm，CD＝20cm。求AB:CD的值。(6)完成P98网格问题。(问题建立在相似变换基础上，可复习相似变换)二、设置问题，探究新课如何定义两线段的比呢？什么是比例线段？在同一长度单位下，a,b,两线段长度的比叫做这两线段的比。记为a：b或EQ\F(a,b)注意：(1)两线段是几何图形，可用它的长度比来确定；(2)度量线段的长，单位多种，但求比值必需在同一长度单位下比值一定是正数，比值与采用的长度单位无关。(3)表示方式与数字的比表示类同，但它也可以表示为AB:CD.比例线段：一般地，四条线段a、b、c、d中，如果a与b的比等于c与d比，即EQ\F(a,b)=EQ\F(c,d)，那么这四条线段a、b、c、d叫做成比例线段，简称比例线段。(老教材定义：如果四条线段的长度成比例，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段)完成P99做一做三、模仿与应用例题：已知线段a=10mm，b=6cm，c=2cm，d=3cm.问：这四条线段是否成比例？为什么?答：这四条线段成比例∵a=10mm=1cm∴EQ\F(a,c)＝EQ\F(1,2)，EQ\F(d,b)＝EQ\F(3,6)＝EQ\F(1,2)∴EQ\F(a,c)＝EQ\F(d,b)，即线段a、c、d、b是成比例线段。想一想:是否还可以写出其他几组成比例的线段.反思：判断四条线段是否成比例的方法有两种：(1)把四条线段按大小排列好，判断前两条线段的比和后两条线段的比是否相等。(2)查看是否有两条线段的积等于其余两条线段的积。例3如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高。请找出一组比例线段，并说明理由。分析：(1)根据比例基本性质，要判断四条线段是否成比例，只要采取什么方法(看其中两条线段的乘积是否等于另两条线段的乘积)(2)已知条件中有三角形的高，我们通常可以把高与什么知识联系起来？(3)根据三角形的面积公式，你能得到一个怎样的等式？根据所得的等式可以写出怎样的比例式。例4如图，是我国台湾省的几个城市的位置图，问基隆市在高雄市的哪一个方向？到高雄市的实际距离是多少km？注意：要设实际距离为s；求角度时要注意方位。解：从图上量出高雄市到基隆市的距离约35mm,设实际距离为s，则=315000000(mm)即s＝315(km)答：如果量得图中,我们还能确定基隆市在高雄市的北偏东28的315km处。课堂练习：P99课内练习、P100作业题(学生板演)补充练习：1.已知线段a＝30mm，b＝2cm，c＝eq\f(4,5)cm，d＝12mm，试判断a、b、c、d是否成比例线段。2.已知a、b、c、d是比例线段，其中a＝6cm，b＝8cm，c＝24cm,则线段d的长度是多上？3.已知三角形三条边之比为a：b：c=2：3：4，三角形的周长为18cm4.已知AB两地的实际距离是60km，画在图上的距离A1B1是6cm，求这幅图的比例尺。5.现在有一棵很高的古树，欲测出它的高度，但又不能爬到树尖上去直接测量，你有什么好的方法吗？类题：相同时刻的物高与影长成比例。如果一电视塔在地面上影长为180m，同一时刻高为2m的竹竿的影长为3m，那么电视塔的高是多少？6.如图，已知AD，CE是△ABC中BC、AB上的高线，求证：AD：CE=AB：BC.7.如图，在Rt△ABC中，CD⊥AB，DE⊥AC,请找出一组比例线段，并说明理由。8.如图，已知,求.9.育美中学请张工程师设计学校的矩形花坛的平面图，这个花坛长为20m，宽为12m。(1)在比例尺为1:100的平面图上，这个矩形花坛的长和宽各是多少？(2)在平面图上，这个花坛的长和宽的比是多少？(3)花坛长和宽实际比是多少？(4)你发现这两个比有什么关系？四、课堂小结1.两条线段的比及比例线段的概念；2.方程思想的体现；3.比例线段在实际问题中的应用。五、作业：见作业本4.3两个三角形相似的判定（1）教学目标：1．经历“有两个角对应相等的两个三角形相似”的探索过程.2．能运用“有两个角对应相等”的条件判定两个三角形相似.重点和难点：1．本节教学的重点是相似三角形的判定方法：有两个角对应相等的两个三角形相似.2．有两个角相等的三角形是相似三角形的探索过程比较复杂，是本节教学的难点.知识要点：1、有两个角对应相等的两个三角形相似.如图，∵∠A＝∠A′,∠B＝∠B′∴△ABC∽△A′B′C′2、基本图形（1）如图甲，若DE∥BC,则△ADE∽△ABC.（2）如图乙，若AC∥DB,则△AOC∽△BOD.3、常见图形（1）如图1,若∠AED＝∠B,则△ADE∽△ACB；（2）如图2,若∠ACD＝∠B,则△ACD∽△ABC；（3）如图3,若∠BAC＝90°,AD⊥BC,则△ABC∽△DBA∽△DAC.重要方法：1、有一个锐角相等的两个直角三角形相似；2、识别三角形相似的常用思路：（1）当条件中有平行线时，找两对对应角相等；（2）当条件中有一对相等的角（对顶角或公共角）时，可考虑再找一对相等的角；（3）两个等腰三角形，可以找顶角相等或找一对底角相等.教学过程一．创设情境，导入新课1、如图，在方格图中△ABC，DE∥BC，问：△ADE∽△ABC吗？说明理由.2、如图2，A、B、C、D、E、F、G都在小方格的的顶点上，问：DE∥BC∥FG吗？△ADE∽△ABC∽△AFG？二．合作学习，探索新知1、合作学习：如图4－14,在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，且DE∥BC.则△ADE与△ABC相似吗？议一议：这两个三角形的三个内角是否相等？量一量：这两个三角形的边长，它们是否对应成比例？追问：若点D、E分别在AB、AC的反向延长线上，△ADE与△ABC是否还相似呢？定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或它们的反向延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似.定理的几何语言表述：∵DE∥BC∴△ADE∽△ABC2、结合预备定理探求三角形相似的判定定理一判定定理一：有两个角对应相等的两个三角形相似.简称：两角对应相等，两三角形相似.（由学生根据命题的题设和结论，写出已知求证）已知：在△ABC和△A′B′C′中,∠A＝∠A′，∠B＝∠B′求证：△ABC∽△A′B′C′分析:要证两个三角形相似，目前只有两个途径。一个是三角形相似的定义，（显然条件不具备）；另一个是上面学习的利用平行线来判定三角形相似的定理。为了使用它，就必须创造具备定理的基本图形的条件。怎样创造呢？（即怎样把小的三角形移动到大的三角形上）证明：在△A′B′C′的边A′B′、A′C′上，分别截取A′D=AB,A′E=AC，连结DE。∵A′D=AB,∠A=∠A′，A′E=AC∴ΔA′DE≌ΔABC，∴∠A′DE=∠B，又∵∠B′＝∠B，∴∠A′DE=∠B′，∴DE//B′C′∴ΔA′DE∽ΔA′B′C′∴△ABC∽△A′B′C′判定定理一的几何语言表述：在△ABC和△A′B′C′中∵∠A＝∠A′,∠B＝∠B′∴△ABC∽△A′B′C′3、学以致用，体验成功例1、已知：ΔABC和ΔDEF中，∠A=40°，∠B=80°，∠E=80°，∠F=60°.求证：ΔABC∽ΔDEF证明：∵在ΔABC中，∠A=40°，∠B=80°，∴∠C=180°－∠A－∠B=180°－40°－80°＝60°∵在ΔDEF中，∠E=80°，∠F=60°∴∠B=∠E，∠C=∠F∴ΔABC∽ΔDEF（两角对应相等，两三角形相似）例2、一次数学活动课上,为了测量河宽AB,张杰采用了如下方法:从A处沿与AB垂直的直线方向走40m到达Ｃ处，插一根标杆，然后沿同方向继续走15m到达Ｄ处，再右转90°到E，使B，C，E三点恰好在一条直线上，量得DE＝20m就可以求出河宽AB你算出结果（要求给出解题过程）由学生口答过程，教师板书示范，并启发学生如何去分析问题，解决问题.例3、直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。已知：如图，在RtΔABC中，CD是斜边AB上的高。求证：ΔACD∽ΔABC∽ΔCBD证明:∵∠A=∠A，∠ADC=∠ACB=90°，∴ΔACD∽ΔABC（两角对应相等，两三角形相似）同理ΔCBD∽ΔABC∴ΔABC∽ΔCBD∽ΔACD此结论可以称为“母子相似定理”,今后可以直接使用.三．巩固应用，拓展延伸1、如图，在ΔABC中，AD、BE分别是BC、AC上的高，AD、BE相交于点F。（1）求证：ΔAEF∽ΔADC；（2）图中还有与ΔAEF相似的三角形吗？请一一写出。答:有ΔAEF∽ΔADC∽ΔBEC∽ΔBDF.2、在ΔABC中，点D、E分别是边AB、AC上的点，连结DE，利用所学的知识讨论：当具备怎样的条件时，ΔADE与ΔABC相似？（分两种情况讨论）1、完成课本“课内练习”P1081、22．完成课本作业题P108～1091、2、3、4、5、6五．归纳小结，反思提高试谈谈通过本节课的学习，你有哪些收获与感想六．布置作业作业本4.3两个相似三角形的判定（2）教学目标：1、经历三角形相似的判定方法“两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似”和“三边对应成比例的两个三角形线相似”的探索过程.2、掌握“两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似”和“三边对应成比例的两个三角形线相似”的两个三角形相似的判定方法.3、能运用上述两个判定方法判定两个三角形相似.重点与难点：1、本节教学的重点是相似三角形的判定方法“两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似”和“三边对应成比例的两个三角形线相似”及其应用.2、例3的解答首先要选择用什么判定方法，然后利用方格进行计算，根据计算结果来判断两个三角形的三边是否对应成比例，需要学生有一定的分析、判断和计算能力，是本节教学的难点.知识要点：三角形相似的条件：1、有两个角对应相等的两个三角形相似.2、两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似.3、三边对应成比例的两个三角形线相似.重要方法：1、利用两对对应角相等证相似，关键是找出两对对应角.2、三边对应成比例的两个三角形相似中，三边对应是有序的即：大对大，小对小，中对中.3、两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，一定要弄清边与角的位置关系.即边是指夹角的两边，角是成比例的两边的夹角.4、在相似三角形条件（3）中，如果对应相等的角不是两条对应边的夹角，那么这两个三角形不一定相似，如在图4-3-14△ABC中,AB＝AC，∠A＝120°,在△A′B′C′中，A′B′＝A′C′,∠A′＝30°,可以说AB∶A′B′＝AC∶A′C′,∠B＝∠A′,但两个三角形不相似.教学过程：一、复习1、我们已经学习了几种判定三角形相似的方法？（1）平行于三角形一边直线定理∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC（2）判定定理1：∵∠A=∠A′，∠B=∠B′，∴△ABC∽△A′B′C′（3）直角三角形中的一个重要结论∵∠ACB=Rt∠，CD⊥AB，∴△ABC∽△ACD∽△CDB二、新课1、合作学习:P109--110下面我们来探究还可用哪些条件来判定两个三角形相似?我们学习了三角形相似的判定定理1，类似于三角形全等的“SAS”、“SSS”判定方法，三角形相似还有两个判定方法，即判定定理2和判定定理3。2、判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。可以简单说成“两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似”已知：如图，△A′B′C′和△ABC中，∠A′=∠A，A′B′∶AB=A′C′∶AC求证：△A′B′C′∽△ABC.定理的几何格式：∵∠A=∠A′EQ\F(AB,A′B′)＝EQ\F(AC,A′C′)∴△ABC∽△A′B′C′3、例题讲解例1.如图已知点D,E分别在AB,AC上，EQ\F(AD,AB)＝EQ\F(AE,AC).求证：DE∥BC.4、判定定理3：如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。可简单说成：三边对应成比例，两三角形相似。几何格式∵EQ\F(AB,A′B′)＝EQ\F(AC,A′C′)＝EQ\F(BC,B′C′)∴△ABC∽△A′B′C′5、例2.如图判断4×4方格中的两个三角形是否相似,并说明理由.例3.依据下列各组条件，判定△ABC与△A´B´C´是不是相似，并说明为什么：⑴∠A=120º，AB=7厘米，AC=14厘米，∠A´=120º，A´B´=3厘米，A´C´=6厘米；⑵AB=4厘米，BC=6厘米，AC=8厘米，A´B´=12厘米，B´C´=18厘米，A´C´=24厘米三、课堂练习P111、课内练习1、2P112、作业题选做探究活动：在有平行横线的练习薄上画一条线段AB,使线段A,B恰好在两条平行线上,线段AB就被平行线分成了相等的三小段,你能说出这一事实的数学原理吗?如果只给你圆规和直尺,你会把任意一条线段AB五等分吗?请试一试,并说明你的画法的依据.四、小结:三角形相似的判定方法五、作业:见作业本24.4相似三角形的性质及其应用（1）教学目标：1、经历相似三角形性质“相似三角形对应高线、对应中线、对应角平分线之比等于相似比”“相似三角形的周长之比等于相似比”和“相似三角形的面积之比等于相似比的平方”的探究过程.2、掌握“相似三角形对应高线、对应中线、对应角平分线之比等于相似比”“相似三角形的周长之比等于相似比”和“相似三角形的面积之比等于相似比的平方”的两个性质.3、会运用上述两个性质解决简单的几何问题.重点与难点：1、本节教学的重点是关于相似三角形的周长和面积的两个性质及对应线段的性质.2、相似三角形的性质的证明，要用到相似三角形的判定及性质，过程比较复杂，是本节教学的难点.知识要点：三角形相似的条件1、相似三角形的对应角相等，对应边成比例.2、相似三角形对应高线、对应中线、对应角平分线之比等于相似比.3、相似三角形的周长比等于相似比；相似三角形的面积比等于相似比的平方.重要方法：1、相似三角形的相似比等于面积比的算术平方根.2、相似三角形中的相似比和面积比的关系，应注意相似三角形这个前提，否则不成立.教学过程：一、问题情境某施工队在道路拓宽施工时遇到这样一个问题，马路旁边原有一个面积为100平方米，周长为80米的三角形绿化地，由于马路拓宽绿地被削去了一个角，变成了一个梯形，原绿化地一边AB的长由原来的30米缩短成18米.现在的问题是:被削去的部分面积有多大？它的周长是多少？思考：你能够将上面生活中的问题转化为数学问题吗？二、新课1、如图，4×4正方形网格看一看：ΔABC与ΔA′B′C′有什么关系？为什么？（相似）算一算：ΔABC与ΔA′B′C′的相似比是多少？（EQ\R(,2)）ΔABC与ΔA′B′C′的周长比是多少?（EQ\R(,2)）面积比是多少？（2）想一想：上面两个相似三角形的周长比与相似比有什么关系？面积比与相似比又有什么关系？结论：相似三角形的周长比等于相似比；相似三角形的面积比等于相似比的平方验一验：是不是任何相似三角形都有此关系呢？你能加以验证吗？已知：如图4-24,△ABC∽△A′B′C′，且相似比为k.求证：EQ\F(△ABC的周长,△A′B′C′的周长)＝k，EQ\F(△ABC的面积,△A′B′C′的面积)＝k2例题已知：如图，△ABC∽△A′B′C′,△ABC与△A′B′C′的相似比是k,AD、A′D′是对应高。求证：EQ\F(AD,A′D′)＝k证明：∵△ABC∽△A′B′C′∴∠B=∠B′∵AD、A′D′是对应高。∴∠ADB=∠A′D′B′=90O∴△ABD∽△A’B’D’练一练：1、已知两个三角形相似，请完成下列表格相似比2周长比EQ\F(1,3)面积比10000注：周长比等于相似比，已知相似比或周长比，求面积比要平方，而已知面积比，求相似比或周长比则要开方。2、如图，D、E分别是AC，AB上的点，∠ADE＝∠B，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F.若AD＝3，AB＝5，求：（1）EQ\F(AG,AF)；（2）△ADE与△ABC的周长之比；（3）△ADE与△ABC的面积之比.例1如图：是某市部分街道图，比例尺为1∶10000；请估计三条道路围成的三角形地块ABC的实际周长和面积.问题解决：如图，已知DE//BC,AB=30m,BD=18m,ΔABC的周长为80m，面积为100m2,求ΔADE的周长和面积拓展延伸1.过E作EF//AB交BC于F,其他条件不变，则ΔEFC的面积等于多少？BDEF面积为多少？2.若设SΔABC=S,SΔADE=S1,SΔEFC=S2.请猜想：S与S1、S2之间存在怎样的关系？你能加以验证吗？证明：DE//BC△ADE∽△ABCEQ\F(S1,S)＝（EQ\F(AE,AC)）2EQ\F(EQ\R(,S1),EQ\R(,S))＝EQ\F(AE,AC)FE//BA△CFE∽△CBAEQ\F(S2,S)＝（EQ\F(AE,AC)）2EQ\F(EQ\R(,S2),EQ\R(,S))＝EQ\F(CE,AC)EQ\F(EQ\R(,S1),EQ\R(,S))＋EQ\F(EQ\R(,S2),EQ\R(,S))＝1类比猜想如图，DE//BC,FG//AB,MN//AC,且DE、FG、MN交于点P。若记SΔDPM=S1,SΔPEF=S2,SΔGNP=S3,SΔABC=S、S与S1、S2、S3之间是否也有类似结论？猜想并加以验证。练一练：书本P115课内练习1、2练一练（分组练习）证明：相似三角形的对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比等于相似比。能力训练1.若两个相似三角形的相似比是2∶3，则它们的对应高线的比是，对应中线的比是，对应角平分线的比是，周长比是，面积比是。2.两个等边三角形的面积比是3∶4，则它们的边长比是，周长比是。3.某城市规划图的比例尺为1∶4000，图中一个氯化区的周长为15cm，面积为12cm2，则这个氯化区的实际周长和面积分别为多少？4、在△ABC中，DE∥BC，E、D分别在AC、AB上，EC=2AE，则S△ADE∶S四边形DBCE的比为______5、如图，△ABC中，DE∥FG∥BC，AD＝DF＝FB，则S△ADE:S四边形DFGE:S四边形FBCG=______6.已知:梯形ABCD中,AD∥BC,AD=36,BC=60cm,延长两腰BA,CD交于点O,OF⊥BC,交AD于E,EF=32cm,则7、ΔABC中，AE是角平分线，D是AB上的一点，CD交AE于G，∠ACD=∠B，且AC=2AD.则ΔACD∽Δ______.它们的相似比K=_______.探究活动：1、书本P115已知△ABC,如图，如果要作与BC平行的直线把△ABC划分成两部分，使这两部分（三角形与四边形）的面积之比为1∶1该怎么作？如果要使划分成的两部分的面积之比为1∶2呢？如果要使划分成的两部分的面积之比为1∶n呢？（平行线等分线段、平行线分线段成比例定理）2．阅读下面的短文，并解答下列问题：我们把相似形的概念推广到空间：如果两个几何体大小不一定相等，但形状完全相同，就把它们叫做相似体．如图，甲、乙是两个不同的正方体，正方体都是相似体，它们的一切对应线段之比都等于相似比(a∶b)．EQ\F(S甲,S乙)＝（EQ\F(a,b)）2EQ\F(V甲,V乙)＝（EQ\F(a,b)）3练习(1)下列几何体中，一定属于相似体的是()A．两个球体 B．两个锥体C．两个圆柱体D．两个长方体(2)请归纳出相似体的三条主要性质：①相似体的一切对应线段(或弧)长的比等于______；②相似体表面积的比等于______；③相似体体积比等于___．(3)假定在完全正常发育的条件下，不同时期的同一人的人体是相似体，一个小朋友上幼儿园时身高为1.1米，体重为18千克，到了初三时，身高为1.65米，问他的体重是多少？(设他的体重为x千克，根据题意得EQ\F(x,18)＝（EQ\F(1.65,1.1)）3解得x＝60.75(千克)三、小结四、作业：见作业本4.4相似三角形的性质及其应用（2）教学目标：1、能运用相似三角形的性质解决一些简单的实际问题.2、进一步检验数学的应用价值.重点与难点：1、本节教学的重点是运用相似三角形的性质解决简单的实际问题.2、由于学生缺乏一定的生活经验，让他们设计测量树高的方案有一定的难度，所以例3的方案设计是本节教学的难点.知识要点：1、若物体的高度和宽度不能被直接测量，则一般思路是根据题意和所求，建立相关的相似三角形的模型，然后根据相似三角形的性质以及比例关系可求得.2、在同一时刻两个物体的高度和它的影长是成比例的.重要方法：1、在测量物体的高时，物体与水平面是垂直的.2、在测量宽度时，可采用下面的方法.教学过程：一、复习提问我们已经学习相似三角形的性质有哪些？1、相似三角形对应角相等。∵△A′B′C′∽△ABC∴∠A=∠A′，∠B=∠B′∠C=∠C′2、相似三角形对应边成比例。∵△ABC∽△ABC∴EQ\F(AB,A′B′)＝EQ\F(BC,B′C′)＝EQ\F(CA,C′A′)3、相似三角形的周长之比等于相似比；4、相似三角形的面积之比等于相似比的平方。5、相似三角形对应边上的高线之比、对应边上中线之比、对应角平分线之比等于相似比.思考：你能够将上面生活中的问题转化为数学问题吗？二、例题讲解1、校园里有一棵大铁树，要测量树的高度，你有什么方法？方法1:把一小镜子放在离树（AB）8米的点E直线BE后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量得DE=2.8m，观察者目高CD=1.6m。这时树高多少？你能解决这个问题吗？DCABABCD方法2:把长为2.40m的标杆CD直立在地面上，量出树的影长为2.80m，标杆的影长为1.47m。这时树高多少？你能解决这个问题吗？分别根据上述两种不同方法求出树高（精确到0.1m）请你自己写出求解过程，并与同伴探讨，还有其他测量树高的方法吗？2、如图，屋架跨度的一半OP=5m，高度OQ=2.25m。现要在屋顶上开一个天窗，天窗高度AC=1.20m，AB在水平位置。求AB的长度。（结果保留3个有效数字）AABCOPQ三、练一练1、课内练习步枪在瞄准时的示意图如图，从眼睛到准星的距离OE为80cm，步枪上准星宽度AB为2mm，目标的正面宽度CD为50cm，求眼睛到目标的距离OF。准星准星ABEEABOCDF2、反馈练习（1）某一时刻树的影长为8米,同一时刻身高为1.5米的人的影长为3米,则树高4米.AODBC（2）AODBC长臂OB=10米，短臂端下降AC=0.6米，则长臂端上升BD=3.(深圳市中考题)如图:小明在打网球时,要使球恰好能打过网,而且落在离网５米的位置上，则拍击球的高度h应为（A）。5m10m0.9mhA、2.7米B、1.8米5m10m0.9mhO思考题：O1、如图，已知零件的外径为a，要求它的厚度x，需先求出内孔的直径AB，现用一个交叉卡钳（两条尺长AC和BD相等）去量，若OA:OC=OB:OD=n，且量得CD=b，求厚度x。分析：如图，要想求厚度x，根据条件可知，首先得求出内孔直径AB。而在图中可构造出相似形，通过相似形的性质，从而求出AB的长度。解：∵OA:OC＝OB:OD＝n且∠AOB＝∠COD∴△AOB∽△COD∵OA:OC＝AB:CD＝n又∵CD＝b∴AB=CD·n＝nb∴x＝EQ\F(a－AB,2)＝EQ\F(a－nb,2)2、如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC=120毫米，高AD=80毫米，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少？解：设正方形PQMN是符合要求的△ABC的高AD与PN相交于点E。设正方形PQMN的边长为x毫米。因为PN∥BC，所以△APN∽△ABC所以EQEQ\F(AE,AD)＝EQ\F(PN,BC)因此EQ\F(80－x,80)＝EQ\F(x,120)得x=48（毫米）。答：这个正方形零件的边长是48毫米。四、课堂小结1、相似三角形的应用主要有如下两个方面（1）测高(不能直接使用皮尺或刻度尺量的)（2）测距(不能直接测量的两点间的距离)2、测高的方法测量不能到达顶部的物体的高度,通常用“在同一时刻物高与影长的比例”的原理解决.3、测距的方法测量不能到达两点间的距离,常构造相似三角形求解.4、解决实际问题时（如测高、测距），一般有以下步骤：①审题②构建图形③利用相似解决问题五、布置作业1、见作业本22、书本P117作业题1、2、3、4、53、课外活动设计题：以4～6人为一组举行一次应用相似三角形的有关知识进行测量实践的活动.每组测量的目标、内容和方法均可以自选.在完成实践活动后，以组为单位写一份测量实践报告，在班内进行交流.4.5相似多边形教学目标：1、了解相似多边形的概念和性质.2、在简单情形下，能根据定义判断两个多边形相似.3、会用相似多边形的性质解决简单的几何问题.重点与难点：1、本节教学的重点是相似多边形的定义和性质.2、要判断两个多边形是否相似，需要看它们的边是否对应成比例、对应角是否相等，情形要比三角形复杂，是本节教学的难点.知识要点：1、对应角相等，对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形.相似多边形对应边的比叫做相似比..2、相似多边形的周长的比等于相似比，面积比等于相似比的平方.重要方法：相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比，运用这两个性质解决实际问题时，一定要弄清他们的关系，并努力把实际问题与之联系，从而把实际问题简单化.AABCDA1B1C1D1教学过程：一、创设情景如图:四边形A1B1C1D1是四边形ABCD经过相似变换所得的像请分别求出这两个四边形的对应边的长度,并分别量出这两个四边形各个内角的度数,然后与你的同伴议一议;这两个四边形的对应角之间有什么关系?对应边之间有什么关系?二、新课1、相似多边形各对应角相等、各对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形.对应顶点的字母写在对应的位置上，如四边形A1B1C1D1∽四边形A1B1C1D1E1F1相似多边形对应边的比叫做相似比.四边形A1BA1B1C1D1E1F1判断，它们形状相同吗？AABCDEF这两个五边形是相似六边形，即六边形A1B1C1D1E1F1∽六边形ABCDEF.2、例题例下列每组图形的形状相同，它们的对应角有怎样的关系?对应边呢？(1)正三角形ABC与正三角形DEF;(2)正方形ABCD与正方形EFGH.解:(1)由于正三角形每个角等于60°，所以∠A=∠D=60°,∠B=∠E=60°,∠C=∠F=60°.由于正三角形三边相等，所以AB:DE=BC:EF=CA:FD解：(2)、由于正方形的每个角都是直角，所以∠A=∠E=90°∠B=∠F=90°∠C=∠G=90°∠D=∠H=90°由于正方形的四边相等，所以AB:EF=BC:FG=CD:GH=DA:HE练习（1）它们相似吗？菱形菱形1212正方形正方形1010（2）它们呢？正方形10正方形1010矩形8123、相似多边形的性质问题：如果两个多边形相似，那么它们的对应角有什么关系？对应边呢？相似多边形的性质：相似多边形的对应角相等，对应边成比例.相似多边形的周长之比等于相似比;面积之比等于相似比的平方.做一做P1191、24、例题矩形纸张的长与宽的比为EQ\R(,2),对开后所得的矩形纸张是否与原来的矩形纸相似?请说明理由.2323（1）右面两个矩形相似，求它们对应边的比.（2∶3）（2）如图，两个正六边形的边长分别为a和b，它们相似吗？为什么？（相似.理由是：各对应角相等，各对应边成比例. ）（3）如图，矩形的草坪长20m，宽10m，沿草坪四周外围有1m的环行小路，小路的内外边缘所成的矩形相似吗？（4）P120课内练习1、2、36、探究活动P120三、小结1、对应角相等，对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形.相似多边形对应边的比叫做相似比..2、相似多边形的周长的比等于相似比，面积比等于相似比的平方.重要方法：运用相似多边形的性质解决实际问题时，一定要弄清他们的关系，并努力把实际问题与之联系，从而把实际问题简单化.四、作业1、见作业本2、书本P1211、2、3、4、5、64.6图形的位似一、教材分析：1、教材的地位和作用“4.6图形的位似”是浙教版九年级（上）第四章的内容，是相似形的延伸和深化。位似图形在实际生产和生活中有着广泛的应用，如利用位似把图形放大或缩小；放电影时，胶片与屏幕的画面也是位似图形。从教材编排的一些素材看，不仅丰富了教材的内容，加强了数学与自然、社会及其他学科的联系，同时体现了学生的数学学习内容是现实的、有意义的、富有挑战性的，更突出地反映了数学的价值。因此，本节教材对形成良好的数学思维习惯和应用意识，提高解决问题的能力，感受数学创造的乐趣，增进学好数学的信心，具有积极促进的作用。2、教学内容的确定新课标的理念：数学教育要面向全体学生，人人都能获得必需的数学。4.6图形的位似，作为新增的内容，以其丰富的社会背景为素材展示给我们，使我们感受到数学创造的乐趣，但它对后续学习的知识联系不是很大，所以，本节课的教学内容应以教材的编排为准，概念、性质、应用等让学生容易接受就好，水到渠成，不必要拓展和深化，按教材编排，“4.6图形的位似”为1课时完成。用“观察——验证——推理和交流”的方法，培养学生主动探求知识的精神和思维的条理性。3、教学目标：根据新课标要求，结合教材特点，本节课应达到以下几个目标：1．理解图形的位似概念，掌握位似图形的性质。2．会利用作位似图形的方法把一个图形进行放大或缩小。3．掌握直角坐标系中图形的位似变化与对应点坐标变化的规律。4．经历位似图形性质的探索过程，进一步发展学生的探究、交流能力，培养学生动手、动脑、手脑和谐一致的习惯。5．利用图形的位似解决一些简单的实际问题，并在此过程中培养学生的数学应用意识。6．发展学生的合情推理能力和初步的逻辑推理能力。4、教学重点和难点本节教学的重点是图形的位似概念、位似图形的性质及利用位似把一个图形放大或缩小。直角坐标系中图形的位似变化与对应点坐标的关系，因为它涉及到数形结合、分类讨论的数学思想等一些学生的数学薄弱环节，所以是本节教学的难点。二、教法：力求呈现“问题情境――建立数学概念――解释、应用与拓展”的模式，围绕所要学习的“图形的位似”主题，选择一些有意义的、能够表现位似图形的意义、有利于学生在自主探索和合作交流的过程中建立并求解包含该主题的数学模型，判断解的合理性并将所学的主题应用到其他场合，进而获得相应的数学知识、方法与技能，形成良好的数学思维习惯和应用意识，提高解决问题的能力，感受数学创造的乐趣，增进学好数学的信心。如结合本节课内容和学生的实际水平，可采用“观察——验证——推理和交流”的教学方法，在教学过程中，又可通过设置带有启发性和思考性的问题，创设问题情景，诱导学生思考、操作，让学生经历位似图形性质的探索过程，激发学生探求知识的欲望，使学生始终处于主动探索问题的积极状态，使获取新知识水到渠成。步步为营，顺理成章地突破教学难点.考虑到如何更直观、形象地突破教学重、难点，增大课堂容量，提高课堂效率，采用了多媒体辅助教学。三、学法：叶圣陶说“教是为了不教”，也就是我们传授给学生的不只是知识内容，更重要的是指导学生一些数学的学习方法。在学习图形的位似概念过程中，让学生用类比的方法认识事物总是互相联系的，温故而知新。而通过“位似图形的性质”的探索，让学生认识事物的结论必须通过大胆猜测、判断和归纳。在分析理解位似图形的性质时，加强师生的双边活动，提高学