高中函数复习教案

函数概念与表示一．要点精讲1．函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数。记作：y=f(x)，x∈A。其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域。注意：（1）“y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”；（2）函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值，一个数，而不是f乘x。2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域（1）解决一切函数问题必须认真确定该函数的定义域，函数的定义域包含三种形式：①自然型：指函数的解析式有意义的自变量x的取值范围（如：分式函数的分母不为零，偶次根式函数的被开方数为非负数，对数函数的真数为正数，等等）；②限制型：指命题的条件或人为对自变量x的限制，这是函数学习中重点，往往也是难点，因为有时这种限制比较隐蔽，容易犯错误；③实际型：解决函数的综合问题与应用问题时，应认真考察自变量x的实际意义。（2）求函数的值域是比较困难的数学问题，中学数学要求能用初等方法求一些简单函数的值域问题。①配方法（将函数转化为二次函数）；②判别式法（将函数转化为二次方程）；③不等式法（运用不等式的各种性质）；④函数法（运用基本函数性质，或抓住函数的单调性、函数图象等）。3．两个函数的相等：函数的定义含有三个要素，即定义域A、值域C和对应法则f。当函数的定义域及从定义域到值域的对应法则确定之后，函数的值域也就随之确定。因此，定义域和对应法则为函数的两个基本条件，当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一个函数。4．区间 （1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间； （2）无穷区间； （3）区间的数轴表示。5．映射的概念一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：AB为从集合A到集合B的一个映射。记作“f：AB”。函数是建立在两个非空数集间的一种对应，若将其中的条件“非空数集”弱化为“任意两个非空集合”，按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关系，这种的对应就叫映射。注意：（1）这两个集合有先后顺序，A到B的射与B到A的映射是截然不同的．其中f表示具体的对应法则，可以用汉字叙述。（2）“都有唯一”什么意思？包含两层意思：一是必有一个；二是只有一个，也就是说有且只有一个的意思。6．常用的函数表示法（1）解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式；（2）列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系；（3）图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系。7．分段函数若一个函数的定义域分成了若干个子区间，而每个子区间的解析式不同，这种函数又称分段函数；8．复合函数若y=f(u)，u=g(x),x(a，b)，u(m,n)，那么y=f[g(x)]称为复合函数，u称为中间变量，它的取值范围是g(x)的值域。二．典例解析题型1：函数概念例1．（1）设函数（2）（2001上海理，1）设函数f（x）＝，则满足f（x）=的x值为。题型二：判断两个函数是否相同例2．试判断以下各组函数是否表示同一函数？（1）f（x）=，g（x）=；（2）f（x）=，g（x）=（3）f（x）=，g（x）=（）2n－1（n∈N*）；（4）f（x）=，g（x）=；（5）f（x）=x2－2x－1，g（t）=t2－2t－1。题型三：函数定义域问题例3．求下述函数的定义域：（1）；（2）题型四：函数值域问题例4．求下列函数的值域：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）。题型五：函数解析式例5．（1）已知，求；（2）已知，求；（3）已知是一次函数，且满足，求；（4）已知满足，求。题型六：函数应用例6．（2003北京春，理文21）某租赁公司拥有汽车100辆.当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出。当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆。租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元。（1）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？（2）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？题型7：课标创新题例7（1）设，其中a、b、c、d是常数。如果求；（2）若不等式对满足的所有m都成立，求x的取值范围。三．思维总结“函数”是数学中最重要的概念之一，学习函数的概念首先要掌握函数三要素的基本内容与方法。由给定函数解析式求其定义域这类问题的代表，实际上是求使给定式有意义的x的取值范围它依赖于对各种式的认识与解不等式技能的熟练。1．求函数解析式的题型有：（1）已知函数类型，求函数的解析式：待定系数法；（2）已知求或已知求：换元法、配凑法；（3）已知函数图像，求函数解析式；（4）满足某个等式，这个等式除外还有其他未知量，需构造另个等式：解方程组法；（5）应用题求函数解析式常用方法有待定系数法等。2．求函数定义域一般有三类问题：（1）给出函数解析式的：函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合；（2）实际问题：函数的定义域的求解除要考虑解析式有意义外，还应考虑使实际问题有意义；（3）已知的定义域求的定义域或已知的定义域求的定义域：①掌握基本初等函数（尤其是分式函数、无理函数、对数函数、三角函数）的定义域；②若已知的定义域，其复合函数的定义域应由解出。3．求函数值域的各种方法函数的值域是由其对应法则和定义域共同决定的。其类型依解析式的特点分可分三类：(1)求常见函数值域；(2)求由常见函数复合而成的函数的值域；(3)求由常见函数作某些“运算”而得函数的值域。①直接法：利用常见函数的值域来求一次函数y=ax+b(a0)的定义域为R，值域为R；反比例函数的定义域为{x|x0}，值域为{y|y0}；二次函数的定义域为R，当a>0时，值域为{}；当a<0时，值域为{}。②配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；常转化为型如：的形式；③分式转化法（或改为“分离常数法”）④换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想；⑤三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域；⑥基本不等式法：转化成型如：，利用平均值不等式公式来求值域；⑦单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域。⑧数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域。四．练习1、（2006山东文2）设（）A．0B．1C2、（2006安徽文理15）（1）函数对于任意实数满足条件，若则__________；（2）函数对于任意实数满足条件，若则__________。3、．已知函数定义域为(0，2)，求下列函数的定义域：(1)；(2)。4、已知函数f（x）=的定义域是R，则实数a的取值范围是（）A．a＞ B．－12＜a≤0 C．－12＜a＜0 D．a≤5、求函数，的值域。6、（2006重庆理21）已知定义域为R的函数f(x)满足f(f(x)－x2+x)=f(x)－x2+x。（Ⅰ）若f(2)=3,求f(1)；又若f(0)=a,求f(a)；（Ⅱ）设有且仅有一个实数x0，使得f(x0)=x0。求函数f(x)的解析表达式。7、（2006湖南理20）对1个单位质量的含污物体进行清洗，清洗前其清洁度(含污物体的清洁度定义为：为，要求清洗完后的清洁度为。有两种方案可供选择，方案甲：一次清洗；方案乙：分两次清洗。该物体初次清洗后受残留水等因素影响，其质量变为。设用单位质量的水初次清洗后的清洁度是，用单位质量的水第二次清洗后的清洁度是，其中是该物体初次清洗后的清洁度。(Ⅰ)分别求出方案甲以及时方案乙的用水量，并比较哪一种方案用水量较少；(Ⅱ)若采用方案乙,当为某固定值时,如何安排初次与第二次清洗的用水量，使总用水量最小?并讨论取不同数值时对最少总用水量多少的影响。函数的基本性质一．要点精讲1．奇偶性（1）定义：如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(－x)=－f(x)，则称f(x)为奇函数；如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(－x)=f(x)，则称f(x)为偶函数。如果函数f(x)不具有上述性质，则f(x)不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质，则f(x)既是奇函数，又是偶函数。注意：eq\o\ac(○,1)函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；eq\o\ac(○,2)由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则－x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。（2）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：eq\o\ac(○,1)首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；eq\o\ac(○,2)确定f(－x)与f(x)的关系；eq\o\ac(○,3)作出相应结论：若f(－x)=f(x)或f(－x)－f(x)=0，则f(x)是偶函数；若f(－x)=－f(x)或f(－x)＋f(x)=0，则f(x)是奇函数。（3）简单性质：①图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y轴对称；②设，的定义域分别是，那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇，奇奇=偶，偶+偶=偶，偶偶=偶，奇偶=奇2．单调性（1）定义：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I， 如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)（f(x1)>f(x2)），那么就说f(x)在区间D上是增函数（减函数）；注意：eq\o\ac(○,1)函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；eq\o\ac(○,2)必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1<x2时，总有f(x1)<f(x2)（2）如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间。（3）设复合函数y=f[g(x)]，其中u=g(x),A是y=f[g(x)]定义域的某个区间，B是映射g:x→u=g(x)的象集：①若u=g(x)在A上是增（或减）函数，y=f(u)在B上也是增（或减）函数，则函数y=f[g(x)]在A上是增函数；②若u=g(x)在A上是增（或减）函数，而y=f(u)在B上是减（或增）函数，则函数y=f[g(x)]在A上是减函数。（4）判断函数单调性的方法步骤利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：eq\o\ac(○,1)任取x1，x2∈D，且x1<x2；eq\o\ac(○,2)作差f(x1)－f(x2)；eq\o\ac(○,3)变形（通常是因式分解和配方）；eq\o\ac(○,4)定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；eq\o\ac(○,5)下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）。（5）简单性质①奇函数在其对称区间上的单调性相同；②偶函数在其对称区间上的单调性相反；③在公共定义域内：增函数增函数是增函数；减函数减函数是减函数；增函数减函数是增函数；减函数增函数是减函数。3．最值（1）定义：最大值：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；②存在x0∈I，使得f(x0)=M。那么，称M是函数y=f(x)的最大值。最小值：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意的x∈I，都有f(x)≥M；②存在x0∈I，使得f(x0)=M。那么，称M是函数y=f(x)的最大值。注意：eq\o\ac(○,1)函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在x0∈I，使得f(x0)=M；eq\o\ac(○,2)函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的x∈I，都有f(x)≤M（f(x)≥M）。（2）利用函数单调性的判断函数的最大（小）值的方法：eq\o\ac(○,1)利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值；eq\o\ac(○,2)利用图象求函数的最大（小）值；eq\o\ac(○,3)利用函数单调性的判断函数的最大（小）值：如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)；4．周期性（1）定义：如果存在一个非零常数T，使得对于函数定义域内的任意x，都有f(x+T)=f(x)，则称f(x)为周期函数；（2）性质：①f(x+T)=f(x)常常写作若f(x)的周期中，存在一个最小的正数，则称它为f(x)的最小正周期；②若周期函数f(x)的周期为T，则f(ωx)（ω≠0）是周期函数，且周期为。二．典例解析题型一：判断函数的奇偶性例1．讨论下述函数的奇偶性：题型二：奇偶性的应用例2．（2002上海春，4）设f（x）是定义在R上的奇函数，若当x≥0时，f（x）=log3（1+x），则f（－2）=_____。题型三：判断证明函数的单调性例3．（2001天津，19）设，是上的偶函数。（1）求的值；（2）证明在上为增函数。题型四：函数的单调区间例4．（2001春季北京、安徽，12）设函数f（x）＝（a＞b＞0），求f（x）的单调区间，并证明f（x）在其单调区间上的单调性。题型五：单调性的应用例5．已知偶函数f(x)在(0，+∞)上为增函数，且f(2)=0，解不等式f［log2(x2+5x+4)］≥0。题型六：最值问题例6．（2002全国理，21）设a为实数，函数f（x）=x2+|x－a|+1，x∈R。（1）讨论f（x）的奇偶性；（2）求f（x）的最小值。题型七：周期问题例7．若y=f(2x)的图像关于直线和对称，则f(x)的一个周期为（）A．B．C．D．三．思维总结1．判断函数的奇偶性，必须按照函数的奇偶性定义进行，为了便于判断，常应用定义的等价形式：f(x)=f(x)f(x)f(x)=0；2．对函数奇偶性定义的理解，不能只停留在f(-x)=f(x)和f(-x)=-f(x)这两个等式上，要明确对定义域内任意一个x，都有f(-x)=f(x)，f(-x)=-f(x)的实质是：函数的定义域关于原点对称这是函数具备奇偶性的必要条件。稍加推广，可得函数f(x)的图象关于直线x=a对称的充要条件是对定义域内的任意x，都有f(x+a)=f(a-x)成立函数的奇偶性是其相应图象的特殊的对称性的反映；3．若奇函数的定义域包含0，则f(0)=0，因此，“f(x)为奇函数”是"f(0)=0"的非充分非必要条件；4．奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，因此根据图象的对称性可以判断函数的奇偶性。5．若存在常数T，使得f(x+T)=f(x)对f(x)定义域内任意x恒成立，则称T为函数f(x)的周期，一般所说的周期是指函数的最小正周期周期函数的定义域一定是无限集。6．单调性是函数学习中非常重要的内容，应用十分广泛，由于新教材增加了“导数”的内容，所以解决单调性问题的能力得到了很大的提高，因此解决具体函数的单调性问题，一般求导解决，而解决与抽象函数有关的单调性问题一般需要用单调性定义解决。注意，关于复合函数的单调性的知识一般用于简单问题的分析，严格的解答还是应该运用定义或求导解决。四．练习1．(2002天津文.16)设函数f（x）在（－∞，+∞）内有定义，下列函数：①y=－|f（x）|；②y=xf（x2）；③y=－f（－x）；④y=f（x）－f（－x）。必为奇函数的有_____（要求填写正确答案的序号）2．已知定义在R上的函数y=f(x)满足f(2+x)=f(2－x)，且f(x)是偶函数，当x∈[0，2]时，f(x)=2x－1，求x∈[－4，0]时f(x)的表达式。3．已知f(x)是定义在R上的增函数，对x∈R有f(x)>0，且f(5)=1，设F(x)=f(x)+，讨论F(x)的单调性，并证明你的结论。4．（1）求函数的单调区间；（2）已知若试确定的单调区间和单调性。5．已知奇函数f(x)的定义域为R，且f(x)在［0，+∞］上是增函数，是否存在实数m，使f(cos2θ－3)+f(4m－2mcosθ)>f(0)对所有θ∈［0,］都成立？若存在，求出符合条件的所有实数m的范围，若不存在，说明理由。6．设m是实数，记M={m|m>1}，f(x)=log3(x2－4mx+4m2+m+(1)证明：当m∈M时，f(x)对所有实数都有意义；反之，若f(x)对所有实数x都有意义，则m∈M；(2)当m∈M时，求函数f(x)的最小值；(3)求证：对每个m∈M,函数f(x)的最小值都不小于1。7．已知函数是定义在上的周期函数，周期，函数是奇函数又知在上是一次函数，在上是二次函数，且在时函数取得最小值。①证明：；②求的解析式；③求在上的解析式。函数图象及数字特征一、要点精讲1．函数图象（1）作图方法：以解析式表示的函数作图象的方法有两种，即列表描点法和图象变换法，掌握这两种方法是本讲座的重点。作函数图象的步骤：①确定函数的定义域；②化简函数的解析式；③讨论函数的性质即单调性、奇偶性、周期性、最值（甚至变化趋势）；④描点连线，画出函数的图象。运用描点法作图象应避免描点前的盲目性，也应避免盲目地连点成线要把表列在关键处，要把线连在恰当处这就要求对所要画图象的存在范围、大致特征、变化趋势等作一个大概的研究。而这个研究要借助于函数性质、方程、不等式等理论和手段，是一个难点用图象变换法作函数图象要确定以哪一种函数的图象为基础进行变换，以及确定怎样的变换，这也是个难点。（2）三种图象变换：平移变换、对称变换和伸缩变换等等；①平移变换：Ⅰ、水平平移：函数的图像可以把函数的图像沿轴方向向左或向右平移个单位即可得到；1）y=f(x)y=f(x+h)；2）y=f(x)y=f(xh)；Ⅱ、竖直平移：函数的图像可以把函数的图像沿轴方向向上或向下平移个单位即可得到；1）y=f(x)y=f(x)+h；2）y=f(x)y=f(x)h。②对称变换：Ⅰ、函数的图像可以将函数的图像关于轴对称即可得到；y=f(x)y=f(x)Ⅱ、函数的图像可以将函数的图像关于轴对称即可得到；y=f(x)y=f(x)Ⅲ、函数的图像可以将函数的图像关于原点对称即可得到；y=f(x)y=f(x)Ⅳ、函数的图像可以将函数的图像关于直线对称得到。y=f(x)x=f(y)Ⅴ、函数的图像可以将函数的图像关于直线对称即可得到；y=f(x)y=f(2ax)。③翻折变换：Ⅰ、函数的图像可以将函数的图像的轴下方部分沿轴翻折到轴上方，去掉原轴下方部分，并保留的轴上方部分即可得到；Ⅱ、函数的图像可以将函数的图像右边沿轴翻折到轴左边替代原轴左边部分并保留在轴右边部分即可得到④伸缩变换：Ⅰ、函数的图像可以将函数的图像中的每一点横坐标不变纵坐标伸长或压缩（）为原来的倍得到；y=f(x)y=af(x)Ⅱ、函数的图像可以将函数的图像中的每一点纵坐标不变横坐标伸长或压缩（）为原来的倍得到。f(x)y=f(x)y=f()（3）识图：分布范围、变化趋势、对称性、周期性等等方面。2．幂函数在第一象限的图象，可分为如图中的三类：图 在考查学生对幂函数性的掌握和运用函数的性质解决问题时，所涉及的幂函数中限于在集合中取值。 幂函数有如下性质： ⑴它的图象都过（1，1）点，都不过第四象限，且除原点外与坐标轴都不相交； ⑵定义域为R或的幂函数都具有奇偶性，定义域为的幂函数都不具有奇偶性； ⑶幂函数都是无界函数；在第一象限中，当时为减函数，当时为增函数； ⑷任意两个幂函数的图象至少有一个公共点（1，1），至多有三个公共点；二．典例解析题型1：作图ABCD例1．（06重庆理）如图所示，单位圆中弧AB的长为x,f(x)表示弧AB与弦AB所围成的弓形面积的２倍，则函数y=ABCD题型2：识图例2．（06江西12）某地一年内的气温(单位：℃)与时间(月份)之间的关系如图所示，已知该年的平均气温为10℃，令表示时间段的平均气温，与之间的函数关系用下图表示，则正确的应该是（）题型3：函数的图象变换例3．（2002全国理，10）函数y=1－的图象是（）题型4：函数图象应用例4．函数与的图像如下图：则函数的图像可能是（）题型5：函数图像变换的应用例5．已知，方程的实根个数为（）A．2B．3C题型6：幂函数概念及性质Oxy例6．函数互质）图像如图所示，则（）OxyA．均为奇数B．一奇一偶C．均为奇数D．一奇一偶题型7：抽象函数问题例7．函数的定义域为D：且满足对于任意，有（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）判断的奇偶性并证明；（Ⅲ）如果上是增函数，求x的取值范围。题型8：函数图象综合问题例8．如图，点A、B、C都在函数y=的图象上，它们的横坐标分别是a、a+1、a+2。又A、B、C在x轴上的射影分别是A′、B′、C′,记△AB′C的面积为f(a)，△A′BC′的面积为g(a)。（1）求函数f(a)和g(a)的表达式；（2）比较f(a)与g(a)的大小，并证明你的结论。三．思维总结函数图象的几何特征与函数性质的数量特征紧密结合，有效地揭示了各类函数和定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等基本属性，体现了数形结合的特征与方法，为此，既要从定形、定性、定理、定位各方面精确地观察图形、绘制图形，又要熟练地掌握函数图象的平移变换、对称变换。常见的函数数字特征有：（1）函数奇偶性：奇函数；偶函数。（2）函数单调性：单调递增或；单调递增或。（3）函数周期性周期为：或；（4）对称性关于y轴对称：；关于原点对称：；关于直线对称：或；关于点对称：或。四．练习1．（1996上海，文、理8）在下列图象中，二次函数y=ax2+bx与指数函数y=（）x的图象只可能是（）2．（2002上海文，理16）一般地，家庭用电量（千瓦时）与气温（℃）有一定的关系，如图2—1所示，图（1）表示某年12个月中每月的平均气温.图（2）表示某家庭在这年12个月中每个月的用电量.根据这些信息，以下关于该家庭用电量与其气温间关系的叙述中，正确的是（）图A．气温最高时，用电量最多B．气温最低时，用电量最少C．当气温大于某一值时，用电量随气温增高而增加D．当气温小于某一值时，用电量随气温渐低而增加3．（05广东理9）在同一平面直角坐标系中，函数和的图象关于直线对称。现将的图象沿轴向左平移2个单位，再沿轴向上平移1个单位，所得的图象是由两条线段组成的折线（如图2所示），则函数的表达式为（）A．B．C．D．4．设，若，且，则的取值范围是（）A． B． C． D．5．画出函数的图象，试分析其性质。（定义域、值域、奇偶性、单调性、对称性）6．（2005广东19）设函数上满足，且在闭区间[0，7]上，只有（Ⅰ）试判断函数的奇偶性；（Ⅱ）试求方程在闭区间[－2005，2005]上的根的个数，并证明你的结论。7．设曲线的方程是，将沿轴、轴正方向分别平移、个单位长度后得到曲线，（1）写出曲线的方程；（2）证明曲线与关于点对称；（3）如果曲线与有且仅有一个公共点，证明：函数与方程一．要点精讲1．方程的根与函数的零点（1）函数零点概念：对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点。函数零点的意义：函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标。即：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点。二次函数的零点：１）△＞０，方程有两不等实根，二次函数的图象与轴有两个交点，二次函数有两个零点；２）△＝０，方程有两相等实根（二重根），二次函数的图象与轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点；３）△＜０，方程无实根，二次函数的图象与轴无交点，二次函数无零点。零点存在性定理：如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内有零点。既存在，使得，这个也就是方程的根。2.二分法二分法及步骤：对于在区间，上连续不断，且满足·的函数，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．给定精度，用二分法求函数的零点近似值的步骤如下：（1）确定区间，，验证·，给定精度；（2）求区间，的中点；（3）计算：①若=，则就是函数的零点；②若·<，则令=（此时零点）；③若·<，则令=（此时零点）；（4）判断是否达到精度；即若，则得到零点零点值（或）；否则重复步骤2~4。注：函数零点的性质从“数”的角度看：即是使的实数；从“形”的角度看：即是函数的图象与轴交点的横坐标；若函数的图象在处与轴相切，则零点通常称为不变号零点；若函数的图象在处与轴相交，则零点通常称为变号零点。注：用二分法求函数的变号零点：二分法的条件·表明用二分法求函数的近似零点都是指变号零点。3．二次函数的基本性质（1）二次函数的三种表示法：y=ax2+bx+c；y=a(x－x1)(x－x2)；y=a(x－x0)2+n。（2）当a>0，f(x)在区间［p，q］上的最大值M，最小值m，令x0=(p+q)。若－<p，则f(p)=m，f(q)=M；若p≤－<x0，则f(－)=m，f(q)=M；若x0≤－<q，则f(p)=M，f(－)=m；若－≥q，则f(p)=M，f(q)=m。（3）二次方程f(x)=ax2+bx+c=0的实根分布及条件。①方程f(x)=0的两根中一根比r大，另一根比r小a·f(r)<0；②二次方程f(x)=0的两根都大于r③二次方程f(x)=0在区间(p，q)内有两根④二次方程f(x)=0在区间(p，q)内只有一根f(p)·f(q)<0，或f(p)=0(检验)或f(q)=0(检验)检验另一根若在(p，q)内成立。二．典例解析题型1：方程的根与函数零点例1．（1）方程lgx+x=3的解所在区间为（）A．(0，1)B．(1，2)C．(2，3)D．(3，+∞)（2）设a为常数，试讨论方程的实根的个数。题型2：零点存在性定理例2．（2004广东21）设函数，其中常数为整数。（1）当为何值时，；（2）定理：若函数在上连续，且与异号，则至少存在一点，使得试用上述定理证明：当整数时，方程在内有两个实根。题型3：一元二次方程的根与一元二次函数的零点例3．设二次函数，方程的两个根满足.当时，证明。题型4：一元二次函数与一元二次不等式例4．设，若，，,试证明：对于任意，有。题型5：二次函数的图像与性质例5．（1996上海，文、理8）在下列图象中，二次函数y=ax2+bx与指数函数y=（）x的图象只可能是（）题型6：二次函数的综合问题例6．（2005浙江文20）已知函数和的图象关于原点对称，且。(Ⅰ)求函数的解析式；(Ⅱ)解不等式；(Ⅲ)若在上是增函数，求实数的取值范围。三．思维总结1．函数零点的求法：①（代数法）求方程的实数根；②（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点。2．学习二次函数，可以从两个方面入手：一是解析式，二是图像特征.从解析式出发，可以进行纯粹的代数推理，这种代数推理、论证的能力反映出一个人的基本数学素养；从图像特征出发，可以实现数与形的自然结合，这正是中学数学中一种非常重要的思想方法.本文将从这两个方面研究涉及二次函数的一些综合问题。由于二次函数的解析式简捷明了，易于变形（一般式、顶点式、零点式等），所以，在解决二次函数的问题时，常常借助其解析式，通过纯代数推理，进而导出二次函数的有关性质。（1）二次函数的一般式中有三个参数.解题的关键在于：通过三个独立条件“确定”这三个参数。（2）数形结合：二次函数的图像为抛物线，具有许多优美的性质，如对称性、单调性、凹凸性等。结合这些图像特征解决有关二次函数的问题，可以化难为易，形象直观。因为二次函数在区间和区间上分别单调，所以函数在闭区间上的最大值、最小值必在区间端点或顶点处取得；函数在闭区间上的最大值必在区间端点或顶点处取得。四．练习1．（2005广东19）设函数在上满足，，且在闭区间［0，7］上，只有。（Ⅰ）试判断函数的奇偶性；（Ⅱ）试求方程=0在闭区间［－2005，2005］上的根的个数，并证明你的结论。2．若函数在区间[a,b]上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是（）A．若，不存在实数使得；B．若，存在且只存在一个实数使得；C．若，有可能存在实数使得；D．若，有可能不存在实数使得；3．已知二次函数，设方程的两个实数根为和.（1）如果，设函数的对称轴为，求证：；（2）如果，，求的取值范围.4．已知二次函数，当时，有，求证：当时，有5．（2002全国高考题）设a∈R，函数f(x)=x2+|x－a|+1,x∈R.（1）讨论f(x)的奇偶性（2）求f(x)的最小值.6．已知函数。（1）将的图象向右平移两个单位，得到函数，求函数的解析式；（2）函数与函数的图象关于直线对称，求函数的解析式；（3）设，已知的最小值是且，求实数的取值范围。函数模型及其应用一．要点精讲1．解决实际问题的解题过程（1）对实际问题进行抽象概括：研究实际问题中量与量之间的关系，确定变量之间的主、被动关系，并用x、y分别表示问题中的变量；（2）建立函数模型：将变量y表示为x的函数，在中学数学内，我们建立的函数模型一般都是函数的解析式；（3）求解函数模型：根据实际问题所需要解决的目标及函数式的结构特点正确选择函数知识求得函数模型的解，并还原为实际问题的解.这些步骤用框图表示：实际问题实际问题函数模型实际问题的解函数模型的解抽象概括还原说明运用函数性质2．解决函数应用问题应着重培养下面一些能力：（1）阅读理解、整理数据的能力：通过分析、画图、列表、归类等方法，快速弄清数据之间的关系，数据的单位等等；（2）建立函数模型的能力：关键是正确选择自变量将问题的目标表示为这个变量的函数，建立函数的模型的过程主要是抓住某些量之间的相等关系列出函数式，注意不要忘记考察函数的定义域；（3）求解函数模型的能力：主要是研究函数的单调性，求函数的值域、最大（小）值，计算函数的特殊值等，注意发挥函数图象的作用。二．典例解析题型1：正比例、反比例和一次函数型例1．某地区1995年底沙漠面积为95万公顷，为了解该地区沙漠面积的变化情况，进行了连续5年的观测，并将每年年底的观测结果记录如下表。根据此表所给的信息进行预测：（1）如果不采取任何措施，那么到2010年底，该地区的沙漠面积将大约变为多少万公顷；（2）如果从2000年底后采取植树造林等措施，每年改造0.6万公顷沙漠，那么到哪一年年底该地区沙漠面积减少到90

观测时间1996年底1997年底1998年底1999年底2000年底该地区沙漠比原有面积增加数（万公顷）0.20000.40000.60010.79991.0001

题型2：二次函数型例2．一辆中型客车的营运总利润y（单位：万元）与营运年数x（x∈N）的变化关系如表所示，则客车的运输年数为（）时该客车的年平均利润最大。（A）4（B）5（C）6（D）7x年468…（万元）7117…题型3：分段函数型例3．某集团公司在2000年斥巨资分三期兴建垃圾资源化处理工厂，如下表：

一期2000年投入1亿元兴建垃圾堆肥厂年处理有机肥十多万吨年综合收益2千万元二期2002年投入4亿元兴建垃圾焚烧发电一厂年发电量1.3亿kw/h年综合收益4千万元三期2004年投入2亿元兴建垃圾焚烧发电二厂年发电量1.3亿kw/h年综合收益4千万元

如果每期的投次从第二年开始见效，且不考虑存贷款利息，设2000年以后的x年的总收益为f(x)（单位：千万元），试求f（x）的表达式，并预测到哪一年能收回全部投资款。题型4：三角函数型例4．某港口水的深度y(m)是时间t（0≤t≤24，单位：h）的函数，记作y=f(t)。下面是某日水深的数据：

t/h03691215182124y/m10.013.09.97.010.013.010.17.010.0

经长期观察，y=f(t)的曲线可以近似地看成函数y=Asinωt+b的图象。（1）试根据以上数据求出函数y=f(t)的近似表达式；（2）一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离为5m或5m以上时认为是安全的（船舶停靠时，船底只需不碰海底即可）。某船吃水深度（船底离水面的距离）为6.5m，如果该船希望在同一天内安全进出港，请问，它最多能在港内停留多少时间（忽进出港所需的时间）？题型5：不等式型例5．（2006湖南理20）对1个单位质量的含污物体进行清洗,清洗前其清洁度(含污物体的清洁度定义为:为,要求清洗完后的清洁度为.有两种方案可供选择,方案甲:一次清洗;方案乙:分两次清洗.该物体初次清洗后受残留水等因素影响,其质量变为.设用单位质量的水初次清洗后的清洁度是,用单位质量的水第二次清洗后的清洁度是,其中是该物体初次清洗后的清洁度.。(Ⅰ)分别求出方案甲以及时方案乙的用水量,并比较哪一种方案用水量较少;(Ⅱ)若采用方案乙,当为某固定值时,如何安排初次与第二次清洗的用水量,使总用水量最小?并讨论取不同数值时对最少总用水量多少的影响.题型6：指数、对数型函数例6．有一个湖泊受污染，其湖水的容量为V立方米，每天流入湖的水量等于流出湖的水量。现假设下雨和蒸发平衡，且污染物和湖水均匀混合。用，表示某一时刻一立方米湖水中所含污染物的克数（我们称其湖水污染质量分数），表示湖水污染初始质量分数。（1）当湖水污染质量分数为常数时，求湖水污染初始质量分数；（2）分析时，湖水的污染程度如何。三．思维总结1．将实际问题转化为函数模型，比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型的增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义。2．怎样选择数学模型分析解决实际问题数学应用问题形式多样，解法灵活。在应用题的各种题型中，有这样一类题型：信息由表格数据的形式给出，要求对数据进行合理的转化处理，建立数学模型，解答有关的实际问题。解答此类题型主要有如下三种方法：（1）直接法：若由题中条件能明显确定需要用的数学模型，或题中直接给出了需要用的数学模型，则可直接代入表中的数据，问题即可获解；（2）列式比较法：若题所涉及的是最优化方案问题，则可根据表格中的数据先列式，然后进行比较；（3）描点观察法：若根据题设条件不能直接确定需要用哪种数学模型，则可根据表中的数据在直角坐标系中进行描点，作出散点图，然后观察这些点的位置变化情况，确定所需要用的数学模型，问题即可顺利解决。下面举例进行说明。四．练习1．（2006安徽理21）（已知函数在R上有定义，对任何实数和任何实数，都有（Ⅰ）证明；（Ⅱ）证明其中和均为常数；2．行驶中的汽车，在刹车后由于惯性的作用，要继续向前滑行一段距离后才会停下，这段距离叫刹车距离。为测定某种型号汽车的刹车性能，对这种型号的汽车在国道公路上进行测试，测试所得数据如下表。在一次由这种型号的汽车发生的交通事故中，测得刹车距离为15.13m，问汽车在刹车时的速度是多少？

刹车时车速v/km/h153040506080刹车距离s/m1.237.3012.218.4025.8044.40

3．（2003北京春，理、文21）某租赁公司拥有汽车100辆.当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出.当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆.租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元.（1）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？（2）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？4．（2000全国，21）某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图2—10中（1）的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图2—10中（2）的抛物线表示.图2—10（1）写出图中（1）表示的市场售价与时间的函数关系式P＝f（t）；写出图中（2）表示的种植成本与时间的函数关系式Q＝g（t）；（2）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大?（注：市场售价和种植成本的单位：元／102，ｋg，时间单位：天）5．（2001上海，文、理21）用水清洗一堆蔬菜上残留的农药．对用一定量的水清洗一次的效果作如下假定：用1个单位量的水可洗掉蔬菜上残留农药量的，用水越多洗掉的农药量也越多，但总还有农药残留在蔬菜上．设用x单位量的水清洗一次以后，蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为函数f（x）.（1）试规定f（0）的值，并解释其实际意义；（2）试根据假定写出函数f（x）应该满足的条件和具有的性质；（3）设f（x）=，现有a（a＞0）单位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均分成2份后清洗两次，试问用哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药量比较少?说明理由6．现有某种细胞100个，其中有占总数的细胞每小时分裂一次，即由1个细胞分裂成2个细胞，按这种规律发展下去，经过多少小时，细胞总数可以超过个？（参考数据：）.答案第1课时函数概念与表示例1解：（1）这是分段函数与复合函数式的变换问题，需要反复进行数值代换，==（2）当x∈（－∞，1，值域应为［，＋∞］，当x∈（1，＋∞）时值域应为（0，＋∞），∴y＝，y∈（0，＋∞），∴此时x∈（1，＋∞），∴log81x＝，x＝81＝3。点评：讨论了函数的解析式的一些常用的变换技巧（赋值、变量代换、换元等等），这都是函数学习的常用基本功。例2解：（1）由于f（x）==|x|，g（x）==x，故它们的值域及对应法则都不相同，所以它们不是同一函数；（2）由于函数f（x）=的定义域为（－∞，0）∪（0，+∞），而g（x）=的定义域为R，所以它们不是同一函数；（3）由于当n∈N*时，2n±1为奇数，∴f（x）==x，g（x）=（）2n－1=x，它们的定义域、值域及对应法则都相同，所以它们是同一函数；（4）由于函数f（x）=的定义域为{x|x≥0}，而g（x）=的定义域为{x|x≤－1或x≥0}，它们的定义域不同，所以它们不是同一函数；（5）函数的定义域、值域和对应法则都相同，所以它们是同一函数。点评：对于两个函数y=f（x）和y=g（x），当且仅当它们的定义域、值域、对应法则都相同时，y=f（x）和y=g（x）才表示同一函数若两个函数表示同一函数，则它们的图象完全相同，反之亦然。（1）第（5）小题易错判断成它们是不同的函数，原因是对函数的概念理解不透要知道，在函数的定义域及对应法则f不变的条件下，自变量变换字母，以至变换成其他字母的表达式，这对于函数本身并无影响，比如f（x）=x2+1，f（t）=t2+1，f（u+1）=（u+1）2+1都可视为同一函数。（2）对于两个函数来讲，只要函数的三要素中有一要素不相同，则这两个函数就不可能是同一函数。例3解：（1），解得函数定义域为.（2），（先对a进行分类讨论，然后对k进行分类讨论），①当a=0时，函数定义域为；②当时，得，1）当时，函数定义域为，2）当时，函数定义域为，3）当时，函数定义域为；③当时，得，1）当时，函数定义域为，2）当时，函数定义域为，3）当时，函数定义域为。点评：在这里只需要根据解析式有意义，列出不等式，但第（2）小题的解析式中含有参数，要对参数的取值进行讨论，考察学生分类讨论的能力。例4解：（1）（配方法），∴的值域为。（2）求复合函数的值域：设（），则原函数可化为。又∵，∴，故，∴的值域为。（3）（法一）反函数法：的反函数为，其定义域为，∴原函数的值域为。（法二）分离变量法：，∵，∴，∴函数的值域为。（4）换元法（代数换元法）：设，则，∴原函数可化为，∴，∴原函数值域为。注：总结型值域，变形：或（5）三角换元法：∵，∴设，则∵，∴，∴，∴，∴原函数的值域为。（6）数形结合法：，∴，∴函数值域为。（7）判别式法：∵恒成立，∴函数的定义域为。由得：①①当即时，①即，∴②当即时，∵时方程恒有实根，∴△，∴且，∴原函数的值域为。（8），∵，∴，∴，当且仅当时，即时等号成立。∴，∴原函数的值域为。（9）（法一）方程法：原函数可化为：，∴（其中），∴，∴，∴，∴，∴原函数的值域为。点评：上面讨论了用初等方法求函数值域的一些常见类型与方法，在现行的中学数学要求中，求值域要求不高，要求较高的是求函数的最大与最小值，在后面的复习中要作详尽的讨论。例5：解：（1）∵，∴（或）。（2）令（），则，∴，。（3）设，则，∴，，∴。（4）①，把①中的换成，得②，①②得，∴。点评：第（1）题用配凑法；第（2）题用换元法；第（3）题已知一次函数，可用待定系数法；第（4）题用方程组法。例6：解：（1）当每辆车的月租金定为3600元时，未租出的车辆数为：=12，所以这时租出了88辆车。（2）设每辆车的月租金定为x元，则租赁公司的月收益为：f（x）=（100－）（x－150）－×50，整理得：f（x）=－+162x－21000=－（x－4050）2+307050。所以，当x=4050时，f（x）最大，其最大值为f（4050）=307050。即当每辆车的月租金定为4050元时，租赁公司的月收益最大，最大收益为307050元.点评：根据实际问题求函数表达式，是应用函数知识解决实际问题的基础，在设定或选定变量去寻求等量关系并求得函数表达式后，还要注意函数定义域常受到实际问题本身的限制。例7：解：（1）构造函数则故：（2）原不等式可化为构造函数，其图象是一条线段。根据题意，只须：即解得。点评：上面两个题目通过重新构造函数解决了实际问题，体现了函数的工具作用。练习1、解：选项为C。2、解：（1）由得，所以，则。（2）由得，所以，则。点评：通过对抽象函数的限制条件，变量换元得到函数解析式，考察学生的逻辑思维能力。3、解：（1）由0＜x＜2，得点评：本例不给出f(x)的解析式，即由f(x)的定义域求函数f[g(x)]的定义域关键在于理解复合函数的意义，用好换元法；求函数定义域的第三种类型是一些数学问题或实际问题中产生的函数关系，求其定义域，后面还会涉及到。4、解：由a=0或可得－12＜a≤0，答案B。5、解：（利用函数的单调性）函数在上单调增，∴当时，原函数有最小值为；当时，原函数有最大值为。∴函数，的值域为。6、解：（Ⅰ）因为对任意x∈R，有f(f(x)－x2+x)=f(x)－x2+x，所以f(f(2)－22+2)=f(2)－22+2。又由f(2)=3，得f(3－22+2)－3－22+2，即f(1)=1。若f(0)=a，则f(a－02+0)=a－02+0，即f(a)=a。（Ⅱ）因为对任意x∈R，有f(f(x))－x2+x)=f(x)－x2+x。又因为有且只有一个实数x0,使得f(x0)－x0。所以对任意x∈R，有f(x)－x2+x=x0.。在上式中令x=x0，有f(x0)－x+x0=x0。又因为f(x0)－x0，所以x0－x=0，故x0=0或x0=1。若x0=0，则f(x)－x2+x=0，即f(x)=x2–x。但方程x2–x=x有两上不同实根，与题设条件矛质，故x2≠0。若x2=1，则有f(x)－x2+x=1，即f(x)=x2–x+1。易验证该函数满足题设条件。综上，所求函数为f(x)=x2–x+1（xR）。点评：该题的题设条件是一个抽象函数，通过应用条件进一步缩小函数的范围得到函数的解析式。这需要考生有很深的函数理论功底。7、解：(Ⅰ)设方案甲与方案乙的用水量分别为x与z。由题设有=0.99，解得x=19。由得方案乙初次用水量为3,第二次用水量y满足方程:解得y=4,故z=4+3.即两种方案的用水量分别为19与4+3。因为当,故方案乙的用水量较少。（II）设初次与第二次清洗的用水量分别为与，类似（I）得，（*）于是+当为定值时,,当且仅当时等号成立。此时将代入（*）式得故时总用水量最少,此时第一次与第二次用水量分别为，最少总用水量是。当,故T()是增函数(也可以用二次函数的单调性判断)。这说明,随着的值的最少总用水量,最少总用水量最少总用水量。点评：本题贴近生活。要求考生读懂题目，迅速准确建立数学模型，把实际问题转化为数学问题并加以解决。该题典型代表高考的方向。课时2函数的基本性质:例1：解：（1）函数定义域为R，，∴f(x)为偶函数；（另解）先化简：，显然为偶函数；从这可以看出，化简后再解决要容易得多。（2）须要分两段讨论：①设②设③当x=0时f(x)=0，也满足f(－x)=－f(x)；由①、②、③知，对x∈R有f(－x)=－f(x)，∴f(x)为奇函数；（3），∴函数的定义域为，∴f(x)=log21=0(x=±1)，即f(x)的图象由两个点A（－1，0）与B（1，0）组成，这两点既关于y轴对称，又关于原点对称，∴f(x)既是奇函数，又是偶函数；（4）∵x2≤a2,∴要分a>0与a<0两类讨论，①当a>0时，，∴当a>0时，f(x)为奇函数；既不是奇函数，也不是偶函数.点评：判断函数的奇偶性是比较基本的问题，难度不大，解决问题时应先考察函数的定义域，若函数的解析式能化简，一般应考虑先化简，但化简必须是等价变换过程（要保证定义域不变）。例2：答案：－1；解：因为x≥0时，f（x）=log3（1+x），又f（x）为奇函数，所以f（－x）=－f（x），设x＜0，所以f（x）=－f（－x）=－f（1－x），所以f（－2）=－log33=－1。点评：该题考察函数奇偶性的应用。解题思路是利用函数的奇偶性得到函数在对称区域上函数的取值。例3：解：（1）依题意，对一切，有，即。∴对一切成立，则，∴，∵，∴。（2）(定义法)设，则，由，得，，∴，即，∴在上为增函数。（导数法）∵，∴∴在上为增函数点评：本题用了两种方法：定义法和导数法，相比之下导数法比定义法更为简洁。例4：.解：在定义域内任取x1＜x2，∴f（x1）－f（x2）＝，∵a＞b＞0，∴b－a＜0，x1－x2＜0，只有当x1＜x2＜－b或－b＜x1＜x2时函数才单调．当x1＜x2＜－b或－b＜x1＜x2时f（x1）－f（x2）＞0．∴f（x）在（－b，＋∞）上是单调减函数，在（－∞，－b）上是单调减函数．点评：本小题主要考查了函数单调性的基本知识。对于含参数的函数应用函数单调性的定义求函数的单调区间。解：∵f(2)=0,∴原不等式可化为f［log2(x2+5x+4)］≥f(2)。又∵f(x)为偶函数，且f(x)在(0，+∞)上为增函数，∴f(x)在(－∞,0)上为减函数且f(－2)=f(2)=0。∴不等式可化为log2(x2+5x+4)≥2 ①或log2(x2+5x+4)≤－2 ②由①得x2+5x+4≥4，∴x≤－5或x≥0 ③由②得0＜x2+5x+4≤得≤x＜－4或－1＜x≤ ④由③④得原不等式的解集为{x|x≤－5或≤x≤－4或－1＜x≤或x≥0。例6：解：（1）当a=0时，函数f（－x）=（－x）2+|－x|+1=f（x），此时f（x）为偶函数。当a≠0时，f（a）=a2+1，f（－a）=a2+2|a|+1，f（－a）≠f（a），f（－a）≠－f（a）。此时函数f（x）既不是奇函数，也不是偶函数。（2）①当x≤a时，函数f（x）=x2－x+a+1=（x－）2+a+。若a≤，则函数f（x）在（－∞，a）上单调递减，从而，函数f（x）在（－∞，a）上的最小值为f（a）=a2+1。若a＞，则函数f（x）在（－∞，a上的最小值为f（）=+a，且f（）≤f（a）。②当x≥a时，函数f（x）=x2+x－a+1=（x+）2－a+。若a≤－，则函数f（x）在［a，+∞上的最小值为f（－）=－a，且f（－）≤f（a）。若a＞－，则函数f（x）在［a，+∞］上单调递增，从而，函数f（x）在［a，+∞］上的最小值为f（a）=a2+1。综上，当a≤－时，函数f（x）的最小值是－a。当－＜a≤时，函数f（x）的最小值是a2+1。当a＞时，函数f（x）的最小值是a+。点评：函数奇偶性的讨论问题是中学数学的基本问题，如果平时注意知识的积累，对解此题会有较大帮助.因为x∈R，f（0）=|a|+1≠0，由此排除f（x）是奇函数的可能性.运用偶函数的定义分析可知，当a=0时，f（x）是偶函数，第2题主要考查学生的分类讨论思想、对称思想。例7.解：因为y=f(2x)关于对称，所以f(a+2x)=f(a－2x)。所以f(2a－2x)=f[a+(a－2x)]=f[a－(a－2x)]=f(2x)同理，f(b+2x)=f(b－2x)，所以f(2b－2x)=f(2x)，所以f(2b－2a+2x)=f[2b－(2a－2x)]=f(2a－2x)=f(2所以f(2x)的一个周期为2b－2a故知f(x)的一个周期为4(b－a)。选项为D。点评：考察函数的对称性以及周期性，类比三角函数中的周期变换和对称性的解题规则处理即可。若函数y=f(x)的图像关于直线x=a和x=b对称（a≠b），则这个函数是周期函数，其周期为2（b－a）。练习1、答案：②④；解析：y=（－x）f［（－x）2］=－xf（x2）=－y；y=f（－x）－f（x）=－y。点评：该题考察了判断抽象函数奇偶性的问题。对学生逻辑思维能力有较高的要求。2、解：由条件可以看出，应将区间[－4，0]分成两段考虑：①若x∈[－2，0]，－x∈[0，2]，∵f(x)为偶函数，∴当x∈[－2，0]时，f(x)=f(－x)=－2x－1,②若x∈[－4，－2，∴4+x∈[0，2，∵f(2+x)+f(2－x)，∴f(x)=f(4－x)，∴f(x)=f(－x)=f[4－（－x）]=f(4+x)=2（x+4）－1=2x+7；综上，点评：结合函数的数字特征，借助函数的奇偶性，处理函数的解析式。3、解：这是抽角函数的单调性问题，应该用单调性定义解决。在R上任取x1、x2，设x1<x2，∴f(x2)=f(x1)，∵f(x)是R上的增函数，且f(10)=1，∴当x<10时0<f(x)<1,而当x>10时f(x)>1;若x1<x2<5，则0<f(x1)<f(x2)<1,∴0<f(x1)f(x2)<1,∴<0,∴F(x2)<F(x1)；②若x2>x1>5，则f(x2)>f(x1)>1,∴f(x1)f(x2)>1,∴>0,∴F(x2)>F(x1)；综上，F(x)在（－∞，5）为减函数，在（5，+∞）为增函数。点评：该题属于判断抽象函数的单调性。抽象函数问题是函数学习中一类比较特殊的问题，其基本能力是变量代换、换元等，应熟练掌握它们的这些特点。4、解：（1）函数的定义域为，分解基本函数为、显然在上是单调递减的，而在上分别是单调递减和单调递增的。根据复合函数的单调性的规则：所以函数在上分别单调递增、单调递减。（2）解法一：函数的定义域为R，分解基本函数为和。显然在上是单调递减的，上单调递增；而在上分别是单调递增和单调递减的。且，根据复合函数的单调性的规则：所以函数的单调增区间为；单调减区间为。解法二：，，令，得或，令，或∴单调增区间为；单调减区间为。点评：该题考察了复合函数的单调性。要记住“同向增、异向减”的规则。5、解：∵f(x)是R上的奇函数，且在［0，+∞］上是增函数，∴f(x)是R上的增函数，于是不等式可等价地转化为f(cos2θ－3)>f(2mcosθ－4m即cos2θ－3>2mcosθ－4m,即cos2θ－mcosθ+2设t=cosθ,则问题等价地转化为函数g(t)=t2－mt+2m－2=(t－)2－+2m－2在［0，1］上的值恒为正，又转化为函数g(t)在［0，1］上的最小值为正。∴当<0,即m<0时，g(0)=2m－2>0m>1与m当0≤≤1时，即0≤m≤2时，g(m)=－+2m－2>04－2<m<4+2，∴4－2<m≤2当>1,即m>2时，g(1)=m－1>0m>1。∴m>2综上，符合题目要求的m的值存在，其取值范围是m>4－2。另法(仅限当m能够解出的情况)：cos2θ－mcosθ+2m－2>0对于θ∈［0,］恒成立，等价于m>(2－cos2θ)/(2－cosθ)对于θ∈［0,］恒成立∵当θ∈［0,］时，(2－cos2θ)/(2－cosθ)≤4－2，∴m>4－2。点评：上面两例子借助于函数的单调性处理了恒成立问题和不等式的求解问题。6、(1)证明：先将f(x)变形：f(x)=log3［(x－2m)2+m+］,当m∈M时，m>1,∴(x－m)2+m+>0恒成立，故f(x)的定义域为R。反之，若f(x)对所有实数x都有意义，则只须x2－4mx+4m2+m+令Δ＜0，即16m2－4(4m2+m+)＜0，解得m>1，故m(2)解析：设u=x2－4mx+4m2+m+∵y=log3u是增函数，∴当u最小时，f(x)最小。而u=(x－2m)2+m+，显然，当x=m时，u取最小值为m+，此时f(2m)=log3(m+)为最小值。(3)证明：当m∈M时，m+=(m－1)++1≥3，当且仅当m=2时等号成立。∴log3(m+)≥log33=1。点评：该题属于函数最值的综合性问题，考生需要结合对数函数以及二次函数的性质来进行处理。7、解：∵是以为周期的周期函数，∴，又∵是奇函数，∴，∴。②当时，由题意可设，由得，∴，∴。③∵是奇函数，∴，又知在上是一次函数，∴可设，而，∴，∴当时，，从而当时，，故时，。∴当时，有，∴。当时，，∴∴。点评：该题属于普通函数周期性应用的题目，周期性是函数的图像特征，要将其转化成数字特征。课时3函数图象及数字特征例1：解析：显然当时，阴影部分的面积等于圆的面积减去以圆的半径为腰的等腰直角三角形的面积，，即点在直线的下方，故应在C、D中选择。而当当时，阴影部分的面积等于圆的面积加上以圆的半径为腰的等腰直角三角形的面积，，即点在直线的上方，故应选择D。点评：该题属于实际应用的题目，结合函数值变化的趋势和一些特殊点函数值解决问题即可。要明确函数图像与函数自变量、变量值的对应关系，特别是函数单调性与函数图象个关系；例2：解析：平均气温10℃与函数图像有两个交点，观察图像可知两交点的两侧都低于平均气温，而中间高于平均气温。时间段内的平均气温，应该从开始持续到平均气温左交点向右一段距离才开始达到平均气温，持续上升一段时间，最后回落到平均气温。答案A点评：联系生活，体会变量间的相互关系，重视观察图像的变化趋势，结合导数的知识处理实际问题。例3：解析一：该题考查对f（x）=图象以及对坐标平移公式的理解，将函数y=的图形变形到y=，即向右平移一个单位，再变形到y=－即将前面图形沿x轴翻转，再变形到y=－+1，从而得到答案B。解析二：可利用特殊值法，取x=0，此时y=1，取x=2，此时y=0。因此选B。点评：借助函数图像的变换规则解决实际问题。例4：解析：∵函数的定义域是函数与的定义域的交集，图像不经过坐标原点，故可以排除C、D。由于当x为很小的正数时且，故。∴选A。点评：明确函数图像在x轴上下方与函数值符号改变的关系，数值相乘“同号为正、异号为负”。例8．（2000春季北京、安徽，14）已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图象如图，求b的范围。解法一：观察f(x)的图象，可知函数f(x)的图象过原点，即f(0)=0,得d=0，又f(x)的图象过(1，0)，∴f(x)=a+b+c①又有f(－1)＜0，即－a+b－c＜0②①+②得b＜0，故b的范围是(－∞，0)解法二：如图f(0)=0有三根0，1，2，∴f(x)=ax3+bx2+cx+d=ax(x－1)(x－2)=ax3－3ax2+2ax，∴b=－3a∵当x>2时，f(x)>0，从而有a>0，∴b＜0。点评：通过观察函数图像，变形函数解析式，得参数的取值范围。例5：根据函数与方程的关系，知方程的根的个数即为函数与函数的图像交点的个数。该题通过作图很可能选错答案为A，这是我们作图的易错点。若作图标准的话，在同一个直角坐标系下画出这两个函数的图像，由图知当时，图像的交点个数为3个；当时，图像的交点个数为4个；当时，图像的交点个数为2个。选项为D。点评：该题属于“数形结合”的题目。解题思路是将“函数的零点”问题转化为“函数的交点问题”，借助函数的图象以及函数的图象变换规则求得结果即可。例6：解析：该题考察了幂函数的性质，由于幂函数在第一象限的图像趋势表明函数在上单调递减，此时只需保证，即，有；同时函数只在第一象限有图像，则函数的定义域为，此时定为偶数，即为偶数，由于两个数互质，则定为奇数。答案：选项为B。点评：该题突破了传统借形言数思路，属于“由图形得解析式”的题目。为此需要分清幂函数在几种不同情况下函数的图像的特点，更甚至在同一种情形下取不同数值对函数图像的影响也要了解。例7：（Ⅰ）解：令（Ⅱ）证明：令令∴为偶函数。（Ⅲ）∴（1）∵上是增函数，∴（1）等价于不等式组：∴∴x的取值范围为点评：以抽象函数为模型，考查函数概念，图象函数的奇偶性和周期性以及数列极限等知识，还考查运算能力和逻辑思维能力。认真分析处理好各知识的相互联系，抓住条件f(x1+x2)＝f(x1)·f(x2)找到问题的突破口，由f(x1+x2)=f(x1)·f(x2)变形为是解决问题的关键。例8：：B=(A′A+C′C)=(),g(a)=S△A′BC′=A′C′·B′B=B′B=。∴f(a)<g(a)。点评：本题考查函数的解析式、函数图象、识图能力、图形的组合等，充分借助图象信息，利用面积问题的拆拼以及等价变形找到问题的突破口，解题思路：图形面积不会拆拼、数形结合、等价转化。练习1、解析一：由指数函数图象可以看出0<<1。抛物线方程是y=a（x+）2－，其顶点坐标为（－，－），又由0<<1，可得－<－<0.观察选择支，可选A。解析二：求y=ax2+bx与x轴的交点，令ax2+bx=0，解得x=0或x=－，而－1<－<0。故选A。点评：本题主要考查二次函数、指数函数的图象及性质，源于课本，考查基本知识，难度不大。本题虽小，但一定要细致观察图象，注意细微之处，获得解题灵感。2、解析：经比较可发现，2月份用电量最多，而2月份气温明显不是最高。因此A项错误。同理可判断出B项错误。由5、6、7三个月的气温和用电量可得出C项正确。点评：该题考查对图表表达的函数的识别和理解能力，要从题目解说入手，结合图像和实际解决问题。3、解析：原函数的图像仍然是由两条折线段组成，折线段的端点（－2，0）、（0，1）、（1，3）向下平移1个单位是端点（－2，－1）、（0，0）、（1，2），再向右平移2个单位端点为（0，－1）、（2，0）、（3，2），关于直线对称后折线段端点为（－1，0）、（0，2）、（2，3）。答案A。点评：该题是应用函数图象变换求函数解析式。由函数图像的变换的函数的性质逆向变换既可，注意函数图像的变换中平移、对称都不会改变原来函数的形状。4、解析：保留函数在x轴上方的图像，将其在x轴下方的图像翻折到x轴上方区即可得到函数的图像。通过观察图像，可知在区间上是减函数，在区间上是增函数，由，且可知，所以，，从而，即，又，所以。选项为A。点评：考察函数图像的翻折变换。体现了数学由简到繁的原则，通过研究函数的图像和性质，进而得到的图像和性质。5、解析：先要找出它是哪一种函数平移而来的，它应是由反比例函数平移而来，（这种变换是解决这类问题的关键），由此说明，是由图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位得到的，如图所示：具体画图时对于图象与坐标轴的交点位置要大致准确，即。故图象一定过（0，－1）和两个关键点。再观察其图象可以得到如下性质：定义域，单调区间上单调递增；既不是奇函数也不是偶函数，但是图象是中心对称图形，对称中心是（3，－2）。点评：幂函数的图象与性质是解决该类问题基础。注意此题两个增区间之间不能用并集号。6、解析：（Ⅰ）由，从而知函数的周期为又，，所以故函数是非奇非偶函数；(II)又故f(x)在[0,10]和[－10,0]上均有有两个解，从而可知函数在[0,2005]上有402个解，在[－2005.0]上有400个解,所以函数在[－2005,2005]上有802个解。点评：充分利用函数的数字特征，并将其转化为函数的性质，再来解题。7、解析：（1）曲线的方程为；（2）证明：在曲线上任意取一点，设是关于点的对称点，则有，∴。代入曲线的方程，得的方程：。即可知点在曲线上。反过来，同样证明，在曲线上的点的对称点在曲线上。因此，曲线与关于点对称。（3）证明：因为曲线与有且仅有一个公共点，∴方程组有且仅有一组解，消去，整理得，这个关于的一元二次方程有且仅有一个根，∴，即得，因为，所以。点评：充分利用函数图像变换的原则，解决复合问题。课时4函数与方程例1：解析：（1）在同一平面直角坐标系中，画出函数y=lgx与y=-x+3的图象(如图)。它们的交点横坐标，显然在区间(1，3)内，由此可排除A，D至于选B还是选C，由于画图精确性的限制，单凭直观就比较困难了。实际上这是要比较与2的大小。当x=2时，lgx=lg2，3-x=1。由于lg2＜1，因此＞2，从而判定∈(2，3)，故本题应选C。（2）原方程等价于即构造函数和，作出它们的图像，易知平行于x轴的直线与抛物线的交点情况可得：①当或时，原方程有一解；②当时，原方程有两解；③当或时，原方程无解。点评：图象法求函数零点，考查学生的数形结合思想。本题是通过构造函数用数形结合法求方程lgx+x=3解所在的区间。数形结合，要在结合方面下功夫。不仅要通过图象直观估计，而且还要计算的邻近两个函数值，通过比较其大小进行判断。例2：解析：（1）函数f(x)=x－ln(x+m),x∈(－m,+∞)连续，且当x∈(－m,1－m)时,f’（x）<0,f(x)为减函数,f(x)>f(1－m)当x∈(1－m,+∞)时,f’（x）>0,f(x)为增函数,f(x)>f(1－m)根据函数极值判别方法，f(1－m)=1－m为极小值，而且对x∈(－m,+∞)都有f(x)≥f(1－m)=1－m故当整数m≤1时，f(x)≥1－m≥0(2)证明：由（I）知，当整数m>1时，f(1－m)=1-m<0,函数f(x)=x－ln(x+m),在上为连续减函数.由所给定理知，存在唯一的而当整数m>1时，类似地，当整数m>1时，函数f(x)=x-ln(x+m),在上为连续增函数且f(1-m)与异号，由所给定理知，存在唯一的故当m>1时，方程f(x)=0在内有两个实根。点评：本题以信息给予的形式考察零点的存在性定理。解决该题的解题技巧主要在区间的放缩和不等式的应用上。例3：证明：由题意可知，,∴,∴当时，。又,∴,综上可知，所给问题获证。点评：在已知方程两根的情况下，根据函数与方程根的关系，可以写出函数的表达式，从而得到函数的表达式。例4：解析：∵,∴,∴.∴当时，当时，综上，问题获证。点评：本题中，所给条件并不足以确定参数的值，但应该注意到：所要求的结论不是确定值，而是与条件相对应的“取值范围”，因此，我们可以用来表示。例5：解析一：由指数函数图象可以看出0<<1.抛物线方程是y=a（x+）2－，其顶点坐标为（－，－），又由0<<1，可得－<－<0.观察选择支，可选A。解析二：求y=ax2+bx与x轴的交点，令ax2+bx=0，解得x=0或x=－，而－1<－<0.故选A。点评：本题虽小，但一定要细致观察图象，注意细微之处，获得解题灵感。例6：解析：(Ⅰ)设函数的图象上任意一点关于原点的对称点为，