2025版高考数学一轮总复习考点突破第8章平面解析几何第6讲双曲线第1课时考点1双曲线的定义及应用

双曲线的定义及应用1.已知两圆C1：(x＋3)2＋y2＝1，C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1和圆C2外切，则动圆圆心M的轨迹方程为(D)A．x2－eq\f(y2,8)＝1 B．eq\f(x2,8)－y2＝1C．x2－eq\f(y2,8)＝1(x≥1) D．x2－eq\f(y2,8)＝1(x≤－1)[解析]设动圆M的半径为r，则|C1M|＝r＋1，|C2M|＝3＋r，∴|C2M|－|C1M|＝2<6＝|C1C2|.∴动圆圆心M的轨迹是以C1、C2为焦点的双曲线左支，且c＝3，a＝1，∴b2＝c2－a2＝8，∴其轨迹方程为x2－eq\f(y2,8)＝1(x≤－1)．故选D.2．(2024·江西南昌外国语学校月考)已知F是双曲线eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1的左焦点，A(4,4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF|＋|PA|的最小值为8＋eq\r(17).[解析]设双曲线的右焦点为F1，则由双曲线的定义，可知|PF|＝8＋|PF1|，所以|PF|＋|PA|＝8＋|PF1|＋|PA|，所以当|PF1|＋|PA|最小时满足|PF|＋|PA|最小．由双曲线的图形可知，当点A，P，F1共线时，满足|PF1|＋|PA|最小为|AF1|＝eq\r(17)，故所求的最小值为8＋eq\r(17).3．已知点P是双曲线C：eq\f(x2,4)－eq\f(y2,5)＝1右支上一点，F1、F2为双曲线C的左、右焦点，若△PF1F2的周长为16，点O为坐标原点，则eq\o(PO,\s\up6(→))·eq\o(F1F2,\s\up6(→))＝(B)A．20 B．－20C．40 D．－40[解析]∵c＝eq\r(a2＋b2)＝3，∴|PF1|＋|PF2|＝10，又|PF1|－|PF2|＝2a＝4，∴|PF1|＝7，|PF2|＝3，∴eq\o(PO,\s\up6(→))·eq\o(F1F2,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(PF1,\s\up6(→))＋eq\o(PF2,\s\up6(→)))·(eq\o(PF2,\s\up6(→))－eq\o(PF1,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(|eq\o(PF2,\s\up6(→))|2－|eq\o(PF1,\s\up6(→))|2)＝－20，故选B.[引申1]本例1中，若动圆M与圆C1内切，与圆C2外切，则动圆圆心M的轨迹方程为eq\f(x2,4)－eq\f(y2,5)＝1(x≤－2).[引申2]本例1中，若动圆M与圆C1外切，与圆C2内切，则动圆圆心M的轨迹方程为eq\f(x2,4)－eq\f(y2,5)＝1(x≥2).[引申3]本例1中，若动圆M与圆C1、圆C2都内切，则动圆圆心M的轨迹方程为x2－eq\f(y2,8)＝1(x≥1).[引申4]本例1中，若动圆M与圆C1、圆C2中一个内切一个外切，则动圆圆心M的轨迹方程为eq\f(x2,4)－eq\f(y2,5)＝1.[引申5]本例2中|PF|－|PA|的最小值为8－eq\r(17).[解析]设双曲线右焦点为F1，则|PF|－|PA|＝|PF1|－|PA|＋2a≥2a－|AF1|＝8－eq\r(17)(当且仅当P在AF1延长线上时取等号)，∴|PF|－|PA|的最小值为8－eq\r(17).[引申6]若将本例3中“△PF1F2的周长为16”改为“△PF1F2的面积为16”，则sin∠F1PF2＝eq\f(160,281).[解析]由题意知，|PF1|－|PF2|＝4，∴|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝16，又|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos∠F1PF2＝36，∴|PF1||PF2|(1－cos∠F1PF2)＝10，又eq\f(1,2)|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2＝16，∴eq\f(1－cos∠F1PF2,sin∠F1PF2)＝eq\f(5,16)，即eq\f(sin\f(∠F1PF2,2),cos\f(∠F1PF2,2))＝eq\f(5,16)，∴taneq\f(∠F1PF2,2)＝eq\f(5,16)，∴sin∠F1PF2＝eq\f(2tan\f(∠F1PF2,2),1＋tan2\f(∠F1PF2,2))＝eq\f(160,281).名师点拨：1．利用定义求动点的轨迹方程，要分清是差的绝对值为常数，还是差为常数，即是双曲线还是双曲线的一支．2．在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立与|PF1|·|PF2|的联系．【变式训练】1．在△ABC中，B(4,0)，C(－4,0)，动点A满足条件sinB－sinC＝eq\f(1,2)sinA时，则点A的轨迹方程为eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12)＝1(x>2).[解析]设A的坐标为(x，y)，在△ABC中，由正弦定理，得eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R(其中R为△ABC外接圆的半径)，代入sinB－sinC＝eq\f(1,2)sinA，得eq\f(|AC|,2R)－eq\f(|AB|,2R)＝eq\f(1,2)·eq\f(|BC|,2R).又∵|BC|＝8，∴|AC|－|AB|＝4，因此A的轨迹为以B，C为焦点的双曲线的右支(除去右顶点)，且2a＝4,2c＝8，即a＝2，c＝4，b2＝c2－a2＝12.所以所求A点的轨迹方程为eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12)＝1(x>2)．2．(2022·河南九师联盟摸底)双曲线eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1的两个焦点分别是F1，F2，双曲线上一点P到F1的距离是7，则P到F2的距离是(A)A．13 B．1C．1或13 D