2025版高考数学一轮总复习考点突破第9章统计成对数据的统计分析第1讲随机抽样用样本估计总体考点3总体集中趋势离散程度的估计

总体集中趋势、离散程度的估计角度1已知样本数据的总体集中趋势、离散程度的估计(多选题)(2024·广西南宁、玉林摸底)为深入学习宣传党的二十大精神，某校开展了“奋进新征程，强国伴我行”二十大主题知识竞赛，其中高一年级选派了10名同学参赛，且该10名同学的成绩依次是：70,85,86,88,90,90,92,94,95,100.则下列说法正确的有(ABD)A．中位数为90，平均数为89B．70%分位数为93C．极差为30，标准差为58D．去掉一个最低分和一个最高分，平均数变大，方差变小[解析]由题意中位数为eq\f(90＋90,2)＝90，平均数为eq\f(70＋85＋86＋88＋90＋90＋92＋94＋95＋100,10)＝89，故A正确；因为70%×10＝7，所以70%分位数为eq\f(92＋94,2)＝93，故B正确；极差为100－70＝30，方差s2＝eq\f(1,10)[(70－89)2＋(85－89)2＋(86－89)2＋(88－89)2＋(90－89)2＋(90－89)2＋(92－89)2＋(94－89)2＋(95－89)2＋(100－89)2]＝58，所以标准差s＝eq\r(58)，故C错误；去掉一个最低分和一个最高分，则平均数为eq\f(85＋86＋88＋90＋90＋92＋94＋95,8)＝90>89，方差为eq\f(1,8)[(85－90)2＋(86－90)2＋(88－90)2＋(90－90)2＋(90－90)2＋(92－90)2＋(94－90)2＋(95－90)2]＝eq\f(45,4)<58，所以去掉一个最低分和一个最高分，平均数变大，方差变小，故D正确．故选ABD.角度2两组样本数据总体集中趋势、离散程度间的比较(多选题)(2024·湖北腾云联盟联考)已知互不相同的20个样本数据，若去掉其中最大和最小的数据，设剩下的18个样本数据的方差为seq\o\al(2,1)，平均数eq\x\to(x)1：去掉的两个数据的方差为seq\o\al(2,2)，平均数eq\x\to(x)2；原样本数据的方差为s2，平均数eq\x\to(x)，若eq\x\to(x)1＝eq\x\to(x)2，则(ABD)A．剩下的18个样本数据与原样本数据的中位数不变B.eq\x\to(x)＝eq\x\to(x)1C．剩下18个数据的22%分位数大于原样本数据的22%分位数D．10s2＝9seq\o\al(2,1)＋seq\o\al(2,2)[解析]设20个样本数据从小到大排列分别为x1，x2，x3，…，x20，则剩下的18个样本数据为x2，x3，…，x19，原样本数据的中位数为eq\f(x10＋x11,2)，剩下的18个样本数据的中位数为eq\f(x10＋x11,2)，A正确；依题意，eq\x\to(x)1＝eq\f(1,18)(x2＋x3＋…＋x19)，eq\x\to(x)2＝eq\f(1,2)(x1＋x20)，eq\x\to(x)＝eq\f(1,20)(x1＋x2＋…＋x20)，由eq\x\to(x)1＝eq\x\to(x)2，得eq\x\to(x)1＝eq\f(1,18)(x2＋x3＋…＋x19)＝eq\f(1,2)(x1＋x20)，即x2＋x3＋…＋x19＝18eq\x\to(x)1，x1＋x20＝2eq\x\to(x)1，于是x1＋x2＋x3＋…＋x19＋x20＝20eq\x\to(x)1，因此eq\f(1,20)(x1＋x2＋x3＋…＋x19＋x20)＝eq\x\to(x)1，即eq\x\to(x)＝eq\x\to(x)1，B正确；因为18×22%＝3.96，则剩下18个数据的22%分位数为x5，又20×22%＝4.4，则原样本数据的22%分位数为x5，C错误；因为eq\x\to(x)＝eq\x\to(x)1＝eq\x\to(x)2，则seq\o\al(2,1)＝eq\f(1,18)(xeq\o\al(2,2)＋xeq\o\al(2,3)＋…＋xeq\o\al(2,19))－eq\x\to(x)2，seq\o\al(2,2)＝eq\f(1,2)(xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,20))－eq\x\to(x)2，s2＝eq\f(1,20)(xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＋…＋xeq\o\al(2,20))－eq\x\to(x)2，于是xeq\o\al(2,2)＋xeq\o\al(2,3)＋…＋xeq\o\al(2,19)＝18seq\o\al(2,1)＋18eq\x\to(x)2，xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,20)＝2seq\o\al(2,2)＋2eq\x\to(x)2，因此s2＝eq\f(1,20)(18seq\o\al(2,1)＋18eq\x\to(x)2＋2seq\o\al(2,2)＋2eq\x\to(x)2)－eq\x\to(x)2＝eq\f(9,10)seq\o\al(2,1)＋eq\f(1,10)seq\o\al(2,2)，即10s2＝9seq\o\al(2,1)＋seq\o\al(2,2)，D正确．故选ABD.角度3样本数据总体集中趋势、离散程度估计的应用(多选题)(2024·江苏南京外国语学校阶段测试)某大型公司规定：若任意连续7天，每天不超过5人体温高于37.3℃，则称没有发生群体性发热．下列连续7天体温高于37.3℃人数的统计特征数中，能判定该公司没有发生群体性发热的为(BD)A．中位数为3，众数为2B．均值小于1，中位数为1C．均值为3，众数为4D．均值为2，标准差为eq\r(2)[解析]设连续7天体温高于37.3℃人数依次为a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7，则ak∈N，k＝1,2,3…，7.将a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7，按顺序从小到大依次记为b1，b2，b3，b4，b5，b6，b7，且bk∈N，k＝1,2,3…，7.由中位数为3得b4＝3，又众数为2，所以b5，b6，b7的值无法确定，故A错误；由中位数为1得b4＝1，由均值小于1得eq\f(b1＋b2＋…＋b7,7)<1，有eq\f(1＋b7,7)<eq\f(b1＋b2＋…＋b7,7)<1，b7<6，故B正确；由均值为3得，eq\f(b1＋b2＋…＋b7,7)＝3，b1＋b2＋…＋b7＝21，取b1＝0，b2＝b3＝1，b4＝b5＝b6＝4，b7＝7，满足众数为4，但有1天有7人体温高于37.3℃，故C错误；由均值为2得，eq\f(b1＋b2＋…＋b7,7)＝2，b1＋b2＋…＋b7＝14，由标准差为eq\r(2)得eq\r(\f(1,7)b7－22)<eq\r(\f(1,7)[b1－22＋b2－22＋…＋b7－22])＝eq\r(2)，所以(b7－2)2<14，所以b7≤5，故D正确．故选BD.名师点拨：1．平均数与方差都是重要的数字特征，是对总体的一种简明的描述，它们所反映的情况有着重要的实际意义，平均数、中位数、众数描述其集中趋势，方差和标准差描述其波动大小．2．方差的简化计算公式：s2＝eq\f(1,n)[(xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＋…＋xeq\o\al(2,n))－neq\o(x,\s\up6(－))2]，或写成s2＝eq\f(1,n)(xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＋…＋xeq\o\al(2,n))－eq\o(x,\s\up6(－))2，即方差等于原数据平方的平均数减去平均数的平方，对一些绘出统计图的方差(或极差)大小的比较问题，往往不需计算，可由图直观判断．3．分层随机抽样中，若第一层的样本量为m，平均数为eq\x\to(x)1，方差为seq\o\al(2,1)，第二层的样本量为n，平均数为eq\x\to(x)2，方差为seq\o\al(2,2)，则样本平均数为eq\x\to(x)＝eq\f(m\x\to(x)1＋n\x\to(x)2,m＋n)，方差为s2＝eq\f(m,m＋n)[seq\o\al(2,1)＋(eq\x\to(x)－eq\x\to(x)1)2]＋eq\f(n,m＋n)[seq\o\al(2,2)＋(eq\x\to(x)－eq\x\to(x)2)2]．【变式训练】1．(角度1)(多选题)(2024·江苏南京调研)有一组样本数据x1，x2，x3，x4，x5，已知eq\i\su(i＝1,5,x)i＝10，eq\i\su(i＝1,5,x)eq\o\al(2,i)＝30，则该组数据的(AC)A．平均数为2 B．中位数为2C．方差为2 D．标准差为2[解析]由题意知，数据的平均数为eq\x\to(x)＝eq\f(x1＋x2＋x3＋x4＋x5,5)＝eq\f(10,5)＝2，所以A正确；根据中位数的定义，数据的中位数为中间的数据，所以不确定，所以B不正确．数据的方差为s2＝eq\f(1,5)[(x1－2)2＋(x2－2)2＋(x3－2)2＋(x4－2)2＋(x5－2)2]＝eq\f(1,5)[(xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＋xeq\o\al(2,3)＋xeq\o\al(2,4)＋xeq\o\al(2,5))－4×(x1＋x2＋x3＋x4＋x5)＋20]＝eq\f(1,5)[30－4×10＋20]＝2，所以C正确；标准差为s＝eq\r(2)，所以D错误．故选AC.2．(角度2)(多选题)(2024·河北唐山摸底)有两组样本数据，分别为x1，x2，…，x6和y1，y2，y3，y4，且平均数eq\x\to(x)＝90，eq\x\to(y)＝80，标准差分别为6和4，将两组数据合并为z1，z2，…，z10，重新计算平均数和标准差，则(BD)A．平均数为85 B．平均数为86C．标准差为10 D．标准差为2eq\r(13)[解析]平均数为eq\f(90×6＋80×4,10)＝86.A错误，B正确．方差为eq\f(3,5)×(36＋16)＋eq\f(2,5)×(16＋36)＝52，所以标准差为eq\r(52)＝2eq\r(13)，C错误，D正确．故选BD.3．(角度3)(2024·重庆检测)四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，根据四名同学的统计结果、可以判断出一定没有出现点数6的是(A)A．平均数为2，方差为3.1B．中位数为3，方差为1.6C．中位数为3，众数为2D．平均数为3，中位数为2[解析]若平均数为2，出现点数6，可得方差s2>eq\f(1,5)(6－2)2＝3.