2025版高考数学一轮总复习知识梳理第10章计数原理概率随机变量及其分布第5讲离散型随机变量的分布列均值与方差

第五讲离散型随机变量的分布列、均值与方差知识梳理知识点一离散型随机变量对随机试验样本空间Ω中的每个样本点w，都有唯一的实数X(w)与之对应，称为随机变量，通常用大写英文字母X，Y，…表示随机变量．所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量．知识点二离散型随机变量的分布列及性质1．一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，称X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi为X的分布列，可用表格表示为：Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn2.离散型随机变量的分布列的性质(1)pi≥0(i＝1,2，…，n)；(2)eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))pi＝p1＋p2＋…＋pn＝1.3．两点分布或0－1分布：若随机变量X服从两点分布，其分布列为X01P1－pp其中p＝P(X＝1)称为成功概率．若X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)．知识点三离散型随机变量的均值与方差若离散型随机变量X的分布列为P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n.1．均值：称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn＝eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xipi为随机变量X的均值或数学期望．2．方差：称D(X)＝eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))(xi－E(X))2pi为随机变量X的方差，其算术平方根eq\r(DX)为随机变量X的标准差.3．均值与方差的性质(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b.(2)D(aX＋b)＝a2D(X).(3)D(X)＝E(X2)－(E(X))2.归纳拓展1．若X是随机变量，则Y＝aX＋b(a，b是常数)也是随机变量．2．随机变量X所取的值分别对应的事件是两两互斥的．3．随机变量的均值是常数，样本的平均数是随机变量，它不确定．4．随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量的平均程度越小．双基自测题组一走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数是随机变量．(√)(2)在离散型随机变量的分布列中，随机变量取各个值的概率之和可以小于1.(×)(3)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的．(√)(4)由下列给出的随机变量X的分布列服从两点分布．(×)X25P0.30.7题组二走进教材2．(选择性必修3P90T4改编)设随机变量X的概率分布列为X1234Peq\f(1,4)meq\f(1,8)eq\f(3,8)则P(|X－3|＝1)＝eq\f(5,8).[解析]由eq\f(1,4)＋m＋eq\f(1,8)＋eq\f(3,8)＝1，解得m＝eq\f(1,4)，P(|X－3|＝1)＝P(X＝2)＋P(X＝4)＝eq\f(1,4)＋eq\f(3,8)＝eq\f(5,8).3．(选择性必修3P69例6)A、B两种股票，每股收益分布列如表股票A收益分布列收益X/元－102概率a0.30.6股票B收益分布列收益Y/元012概率0.30.4b则投资A股票期望大，投资A股票风险高．[解析]由分布列的性质易知a＝0.1，b＝0.3，从而E(X)＝1.1，E(Y)＝1，D(X)＝1.29，D(Y)＝0.6，∴E(X)>E(Y)，投资A股票期望大，D(X)>D(Y)投资A股票风险高．题组三走向高考4．(2022·浙江)现有7张卡片，分别写上数字1,2,2,3,4,5,6.从这7张卡片中随机抽取3张，记所抽取卡片上数字的最小值为ξ，则P(ξ＝2)＝eq\f(16,35)，E(ξ)＝eq\f(12,7).[解析]从写有数字1,2,2,3,4,5,6的7张卡片中任取3张共有Ceq\o\al(3,7)种取法，其中所抽取的卡片上的数字的最小值为2的取法有Ceq\o\al(1,4)＋Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,4)种，所以P(ξ＝2)＝eq\f(C\o\al(1,4)＋C\o\al(1,2)C\o\al(2,4),C\o\al(3,7))＝eq\f(16,35)，由已知可得ξ的取值有1,2,3,4，P(ξ＝1)＝eq\f(C\o\al(2,6),C\o\al(3,7))＝eq\f(15,35)，P(ξ＝2)＝eq\f(16,35)，P(ξ＝3)＝eq\f(C\o\al(2,3),C\o\al(3,7))＝eq\f(3,35)，P(ξ＝4)＝eq\f(1,C\o\al(3,7))＝eq\f(1,35)，所以E(ξ)＝1×eq\f(15,35)＋2×eq\f(16,35)＋3×eq\f(3,35)＋4×eq\f(1,35)＝eq\f(12,7).5．(2020·课标Ⅲ)在一组样本数据中，1,2,3,4出现的频率分别为p1，p2，p3，p4，且eq\i\su(i＝1,4,p)i＝1，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是(B)A．p1＝p4＝0.1，p2＝p3＝0.4B．p1＝p4＝0.4，p2＝p3＝0.1C．p1＝p4＝0.2，p2＝p3＝0.3D．p1＝p4＝0.3，p2＝p3＝0.2[解析]根据均值E(X)＝eq\i\su(i＝1,4,x)ipi，方差D(X)＝e