2025版高考数学一轮总复习知识梳理第7章立体几何第5讲空间向量及其运算

第五讲空间向量及其运算知识梳理知识点一空间向量的有关概念1．空间向量的有关概念(1)空间向量：在空间中，具有大小和方向的量叫做空间向量，其大小叫做向量的长度或模.(2)零向量：长度为0的向量，记作0；零向量与任意向量共线，0∥a；单位向量：模为1的向量；相反向量：与向量a长度相等而方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作－a；相等向量：方向相同且模相等的向量．(3)共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量.(4)共面向量：平行于同一平面的向量叫做共面向量．2．空间向量中的有关定理(1)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b⇔存在唯一确定的λ∈R，使a＝λb.(2)共面向量定理：若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面⇔存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.(3)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在唯一的有序实数组{x，y，z}使得p＝xa＋yb＋zc.其中{a，b，c}叫做空间的一个基底．3．空间向量的数量积及运算律(1)已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉，其范围是0≤〈a，b〉≤π，若〈a，b〉＝eq\f(π,2)，则称a与b互相垂直，记作a⊥b.向量a，b的数量积a·b＝|a||b|cos〈a，b〉.(2)空间向量数量积的运算律结合律：(λa)·b＝λ(a·b)；交换律：a·b＝b·a；分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.知识点二空间向量的坐标表示及其应用设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．则向量表示坐标表示数量积a·ba1b1＋a2b2＋a3b3共线a＝λb(b≠0)a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3垂直a·b＝0(a≠0，b≠0)a1b1＋a2b2＋a3b3＝0模|a|eq\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3))夹角〈a，b〉(a≠0，b≠0)cos〈a，b〉＝eq\f(a1b1＋a2b2＋a3b3,\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3))·\r(b\o\al(2,1)＋b\o\al(2,2)＋b\o\al(2,3)))空间两点P1(x1，y1，z1)、P2(x2，y2，z2)之间的距离为|P1P2|＝eq\r(x1－x22＋y1－y22＋z1－z22).知识点三两个重要的向量1．直线的方向向量直线的方向向量是指和这条直线平行(或重合)的非零向量，一条直线的方向向量有无数个．2．平面的法向量直线l⊥平面α，取直线l的方向向量，则这个向量叫做平面α的法向量．显然一个平面的法向量有无数个，它们是共线向量．知识点四空间位置关系的向量表示位置关系向量表示直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2l1∥l2n1∥n2⇒n1＝λn2l1⊥l2n1⊥n2⇔n1·n2＝0直线l的方向向量为n，平面α的法向量为ml∥αn⊥m⇔m·n＝0l⊥αn∥m⇔n＝λm平面α、β的法向量分别为n、mα∥βn∥m⇔n＝λmα⊥βn⊥m⇔n·m＝0归纳拓展1．向量三点共线定理在平面中A，B，C三点共线的充要条件是：eq\o(OA,\s\up6(→))＝xeq\o(OB,\s\up6(→))＋yeq\o(OC,\s\up6(→))(其中x＋y＝1)，O为平面内任意一点．2．向量四点共面定理在空间中P，A，B，C四点共面的充要条件是：eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\s\up6(→))(其中x＋y＋z＝1)，O为空间中任意一点．3．|a|2＝a·a；|a·b|≤|a|·|b|.4．a·b>0⇔a、b的夹角为锐角或0角．即“a·b>0”是“a、b的夹角为锐角”的必要不充分条件．5．向量法证明空间的线面平行或垂直①a，b为平面α的基向量，若eq\o(AB,\s\up6(→))＝λa＋μb(λ，μ∈R)，AB⊄α，则AB∥α.②若n为平面α的法向量，eq\o(AB,\s\up6(→))·n＝0.AB⊄α，则AB∥α.③a，b为平面α的基向量，若eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up6(→))·a＝0，,\o(AB,\s\up6(→))·b＝0，))则AB⊥α.双基自测题组一走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)空间中任意两个非零向量a，b共面．(√)(2)在向量的数量积运算中(a·b)·c＝a·(b·c)．(×)(3)对于非零向量b，由a·b＝b·c，则a＝c.(×)(4)两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同．(×)(5)平面的单位法向量是唯一确定的．(×)(6)若两平面的法向量垂直，则两平面垂直．(√)题组二走进教材2．(选择性必修1P10T5)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，M为A1C1的中点，若eq\o(BA,\s\up6(→))＝a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，eq\o(BB1,\s\up6(→))＝c，则下列向量与eq\o(BM,\s\up6(→))相等的是(D)A．－eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b＋c B．eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b－cC．－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋c D．eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋c[解析]∵在三棱柱ABC－A1B1C1中，M为A1C1的中点，∴eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(A1M,\s\up6(→))＝a＋c＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))＝a＋c＋eq\f(1,2)(eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(BA,\s\up6(→)))＝a＋c＋eq\f(1,2)(b－a)＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋c.故选D.3．(选择性必修1P14T2)(2023·河南驻马店模拟)在三棱柱ABC－A1B1C1中，底面边长和侧棱长都相等，∠BAA1＝∠CAA1＝60°，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为(A)A.eq\f(\r(6),6) B．eq\f(\r(3),3)C．eq\f(1,6) D．eq\f(1,3)[解析]解法一：记eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up6(→))＝c，由题意知a、b、c两两夹角均为eq\f(π,3)，设AB＝1，则eq\o(AB1,\s\up6(→))＝a＋c，eq\o(BC1,\s\up6(→))＝－a＋b＋c，∴|eq\o(AB1,\s\up6(→))|＝eq\r(a＋c2)＝eq\r(3)，|eq\o(BC1,\s\up6(→))|＝eq\r(－a＋b＋c2)＝eq\r(2)，∴cos〈eq\o(AB1,\s\up6(→))，eq\o(BC1,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(AB1,\s\up6(→))·\o(BC1,\s\up6(→)),|\o(AB1,\s\up6(→))||\o(BC1,\s\up6(→))|)＝eq\f(\r(6),6).解法二：将三棱柱补成平行六面体(如图)，连AD1，B1D1，则AD1∥BC1，∴∠B1AD1或其补角即为AB1与BC1所成的角，设AB＝1，则AB1＝eq\r(3)，AD1＝BC1＝eq\r(2)，B1D1＝eq\r(3)，∴cos∠B1AD1＝eq\f(\f(AD1,2),AB1)＝eq\f(\r(2),2\r(3))＝eq\f(\r(6),6).题组三走向高考4．(多选题)(2021·全国新高考Ⅱ)如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点，则满足MN⊥OP的是(BC)[解析]不妨设正方体棱长为2，对于A，eq\o(MN,\s\up6(→))＝(－2,2,0)，eq\o(OP,\s\up6(→))＝(－1,1,1)，∴eq\o(MN,\s\up6(→))·eq\o(OP,\s\up6(→))＝4≠0，∴MN不垂直OP.对于B，eq\o(MN,\s\up6(→))＝(－2,0,2)，eq\o(OP,\s\up6(→))＝(1，－1,1)，∴eq\o(MN,\s\up6(→))·eq\o(OP,\s\up6(→))＝0，∴MN⊥OP.对于C，eq\o(MN,\s\up6(→))＝(－2,0，－2)，eq\o(OP,\s\up6(→))＝(－1，－1,1)，∴eq\o(MN,\s\up6(→))·eq\o(OP,\s\up6(→))＝0，∴MN⊥OP.对于D，eq\o(MN,\s\up6(→))＝(0，－2,2)，eq\o(OP,\s\up6(→))＝(1,0,2)，∴eq\o(MN,\s\up6(→))·eq\o(OP,\s\up6(→))＝4≠0，∴MN不垂直OP.故选BC.5．(多选题)(2021·全国新课标Ⅰ卷)在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AA1＝1，点P满足eq\o(BP,\s\up6(→))＝λeq\o(BC,\s\up6(→))＋μeq\o(BB1,\s\up6(→))，其中λ∈[0,1]，μ∈[0,1]，则(BD)A．当λ＝1时，△AB1P的周长为定值B．当μ＝1时，三棱锥P－A1BC的体积为定值C．当λ＝eq\f(1,2)时，有且仅有一个点P，使得A1P⊥BPD．当μ＝eq\f(1,2)时，有且仅有一个点P，使得A1B⊥平面AB1P[解析]易知，点P在矩形BCC1B1内部(含边界)．对于A，当λ＝1时，eq\o(BP,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋μeq\o(BB1,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋μeq\o(CC1,\s\up6(→))，即此时P∈线段CC1，△AB1P周长不是定值，故A错误；对于B，当μ＝1时，eq\o(BP,\s\up6(→))＝λeq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BB1,\s\up6(→))＝eq\o(BB1,\s\up6(→))＋λeq\o(B1C1,\s\up6(→))，故此时P点轨迹为线段B1C1，而B1C1∥BC，B1C1∥平面A1BC，则有P到平面A1BC的距离为定值，所以其体积为定值，故B正确；对于C，当λ＝eq\f(1,2)时，eq\o(BP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))＋μeq\o(BB1,\s\up6(→))，取BC，B1C1中点分别为Q，H，则eq\o(BP,\s\up6(→))＝eq\o(BQ,\s\up6(→))＋μeq\o(QH,\s\up6(→))，所以P点轨迹为线段QH，不妨建系解决，建立空间直角坐标系如图，A1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，0，1))，P(0,0，μ)，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)，0))，则eq\o(A1P,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，0，μ－1))，eq\o(BP,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(1,2)，μ))，eq\o(A1P,\s\up6(→))·eq\o(BP,\s\up6(→))＝μ(μ－1)＝0，所以μ＝0或μ＝1.故H，Q均满足，故C错误；对于D，当μ＝eq\f(1,2)时，eq\o(BP,\s\up6(→))＝λeq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BB1,\s\up6(→))，取BB1，CC1中点为M，N.eq\o(BP,\s\up6(→))＝eq\o(BM,\s\up6(→))＋λeq\o(MN,\s\up6(→))，所以P点轨迹为线段MN.设Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，y0，\f(1,2)