2022届高三数学一轮复习试卷 专题9：平面向量多选题20题

平面向量多选题1．定义空间两个向量的一种运算，则关于空间向量上述运算的以下结论中恒成立的有（）A．B．C．D．若，，则2．已知点O为所在平面内一点，且，则下列选项正确的是（）A．B．直线必过边的中点C．D．若，且，则3．中，，BC边上的中线，则下列说法正确的有（）A．为定值 B．C． D．的最大值为4．如图，已知点是的边的中点，为边上的一列点，连接交于，点满足，其中数列是首项为1的正项数列，是数列的前项和，则下列结论正确的是（）A． B．数列是等比数列C． D．5．已知向量，，设函数，则下列关于函数的性质的描述正确的是（）A．的最大值为 B．的周期为C．的图象关于点对称D．在上是增函数6．已知集合,若对于,,使得成立,则称集合M是“互垂点集”.给出下列四个集合:;;;.其中是“互垂点集”集合的为()A． B． C． D．7．在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，如图，则下列等式成立的是()A． B．C． D．8．设点是所在平面内一点，则下列说法正确的是（）A．若，则点是边的中点B．若，则点在边的延长线上C．若，则点是的重心D．若，且，则的面积是的面积的9．有下列说法其中正确的说法为（）A．若，，则：B．若，，分别表示，的面积，则；C．两个非零向量，，若，则与共线且反向；D．若，则存在唯一实数使得10．设点是的外心，且，那么下列命题为真命题的是（）A．若，则B．若，则C．若，，，则四边形的面积是5D．若且，则的最大值是11．已知四边形是边长为2的正方形，为平面内一点，则（）A．最小值为 B．最大值为C．无最小值 D．无最大值12．已知直线与圆交于、两点，且（其中为坐标原点），则实数的值可以是（）．A．2 B． C． D．13．如图所示，设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与，轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为反射坐标系中，若，则把有序数对叫做向量的反射坐标，记为.在的反射坐标系中，，.则下列结论中，正确的是（）A． B．C． D．在上的投影为14．若内接于以为圆心，为半径的圆，且，则下列结论不正确的是（）A． B．C． D．15．如图所示，四边形为梯形，其中，，，分别为，的中点，则下列结论正确的是（）A． B．C． D．16．已知圆和两点.若圆上存在点，使得，则实数的取值可以为（）A． B． C． D．17．八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形，其中，则下列结论正确的有（）A．B．C．D．在向量上的投影为18．下列说法中错误的为A．已知，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是B．向量，不能作为平面内所有向量的一组基底C．若，则在方向上的正射影的数量为D．三个不共线的向量，，，满足，则是的内心19．若平面向量两两夹角相等，为单位向量，，则（）A．1 B．2 C．3 D．420．在给出的下列命题中，正确的是（）A．设是同一平面上的四个点，若，则点必共线B．若向量是平面上的两个向量，则平面上的任一向量都可以表示为，且表示方法是唯一的C．已知平面向量满足则为等腰三角形D．已知平面向量满足，且，则是等边三角形参考答案，仅供参考1．BD【分析】对于A,B,只需根据定义列出左边和右边的式子即可,对于C,当时,,,显然不会恒成立.对于D,根据数量积求出,再由平方关系求出的值,代入定义进行化简验证即可.【解析】对于A：，，故不会恒成立；对于B，，，故恒成立；对于C，若，且，，，显然不会恒成立；对于D，，，即有.则恒成立.故选：BD.【点评】本题考查向量的新定义，理解运算法则正确计算是解题的关键，属于较难题.2．ACD【分析】根据题设条件，化简得到，可判定A是正确的；根据向量的线性运算法则，化简得到，可判定B不正确；根据，得到，结合三角形的面积公式，可判定C正确；根据向量的数量积和模的运算公式，可判定D是正确的.【解析】如图所示，点O为所在平面内一点，且，可得，即，即，所以，所以A是正确的；在中，设为的中点，由，可得，所以，所以直线不过边的中点，所以B不正确；由，可得且，所以，所以，可得，所以所以，所以C正确；由，可得因为，且，可得，所以，所以D是正确的.故选：ACD.【点评】本题主要考查了平面向量的基本概念，向量的线性运算，以及向量的数量积和向量的模的运算及应用，其中解答中熟记向量的线性运算法则，以及平面向量的数量积和模的计算公式是解答的关键，着重考查推理与运算能力.3．ABD【分析】A利用向量的加减法及向量的数量积公式运算即可，B根据余弦定理及角的互补运算即可求值，C利用余弦定理及基本不等式求出范围即可，D根据余弦定理及基本不等式求出的最小值即可.【解析】对于A，，为定值，A正确；对于B，，故B正确；对于C，由余弦定理及基本不等式得（当且仅当时，等号成立）,由A选项知，，解得，故C错误；对于D，（当且仅当时，等号成立），因为，所以，又，所以的最大值，D选项正确.故选：ABD【点评】本题主要考查了向量的数量积运算，余弦定理，基本不等式，考查了推理能力，属于难题.4．AB【分析】化简得到，根据共线得到，即，计算，依次判断每个选项得到答案.【解析】，故，共线，故，即，，故，故.，正确；数列是等比数列，正确；，错误；，故错误.故选：.【点评】本题考查了向量运算，数列的通项公式，数列求和，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力.5．ABD【分析】运用数量积公式及三角恒等变换化简函数，根据性质判断.【解析】，当，时，的最大值为，选项A描述准确；的周期,选项B描述准确；当时，，所以的图象关于点对称，选项C描述不准确；当时，，所以在上是增函数，选项D描述准确.故选：ABD.【点评】本题考查三角恒等变换，正弦函数的图象与性质，属于中档题.6．BD【分析】根据题意知，对于集合表示的函数图象上的任意点，在图象上存在另一个点，使得，结合函数图象即可判断．【解析】由题意知，对于集合表示的函数图象上的任意点，在图象上存在另一个点，使得．在的图象上，当点坐标为时，不存在对应的点，所以不是“互垂点集”集合；对的图象，将两坐标轴绕原点进行任意旋转，均与函数图象有交点，所以在中的任意点，在中存在另一个，使得，所以是“互垂点集”集合；在的图象上，当点坐标为时，不存在对应的点，所以不是“互垂点集”集合；对的图象，将两坐标轴绕原点进行任意旋转，均与函数图象有交点，所以所以是“互垂点集”集合，故选：．【点评】本题主要考查命题的真假的判断，以及对新定义的理解与应用，意在考查学生的数学建模能力和数学抽象能力，属于较难题．7．ABD【分析】由平面向量的数量积运算可得：，=，再结合直角三角形中的射影定理可得选项A,B正确，由的符号可得选项C错误，由三角形全等可得选项D正确，综合可得解.【解析】由,由射影定理可得，即选项A正确，由=,由射影定理可得，即选项B正确，由,又，即选项C错误，由图可知，所以，由选项A,B可得，即选项D正确，故选ABD.【点评】本题考查了平面向量的数量积运算、直角三角形中的射影定理及三角形全等，属中档题.8．ACD【分析】判断命题真假；将前面条件进行化简，去判断点M的位置（D中若能判断M位置也是一定得出面积比值）.【解析】A中：,即：,则点是边的中点B.,则点在边的延长线上，所以B错误.C.设中点D,则,，由重心性质可知C成立.D．且设所以，可知三点共线，所以的面积是面积的故选择ACD【点评】通过向量加减运算，进行化简去判断点M的位置，难度较大.9．BC【分析】A选项错误，例如，推不出，B选项利用向量可确定O点位置，可知O到AC的距离等于B到AC距离的,故正确，C选项两边平方根据向量的数量积的性质可知夹角为，结论正确，D选项错误，例如.【解析】A选项错误，例如，推不出，B选项,设AC的中点为M,BC的中点为D,因为，所以,即,所以O是MD的三等分点，可知O到AC的距离等于D到AC距离的,而B到AC的距离等于D到AC距离的2倍，故可知O到AC的距离等于B到AC距离的，根据三角形面积公式可知正确，C选项两边平方可得，所以，即夹角为，结论正确，D选项错误，例如.故选BC.【点评】本题主要考查了向量共线，向量的夹角，向量的数量积，向量的线性运算，属于中档题.10．ACD【分析】利用向量的运算对选项进行逐一分析，结合重要不等式等可得答案.【解析】如图1，选项A：，，则点，，三点共线，又直角三角形的外心在斜边上，故，正确；选项B：若，则点，，三点共线，故中，，此时为的中点，则，不满足，错误；选项：，则点在外，又，即，，所以，正确；选项D：，即，因为，，平方则有，化简得，即（当时取＝），故有或（舍掉），故，正确，故选：ACD．【点评】本题考查向量的运算，向量的共线数量积的运算以及利用重要不等式求最值，属于中档题.11．AD【分析】建立如图所示的平面直角坐标系，设，用坐标表示出数量积，通过函数分析出其最值情况．【解析】建立如图所示的直角坐标系则，，，.设，则，，，，所以，所以当，时，取得最小值，无最大值.故选：AD．【点评】本题考查平面向量数量积，求平面向量数量积的最值，一种方法直接用数量积的定义表示出数量积求解，一种方法是建立平面直角坐标系，把数量积用坐标表示，然后用函数的知识求解．12．AB【分析】根据向量运算得到，再利用点到直线的距离公式计算得到答案.【解析】因为，故，，所以，由题意可得圆心到直线的距离，所以．故选：AB.【点评】本题考查了直线和圆的位置关系，向量运算，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.13．AD【分析】，则，故A正确；，故B错误；，故C错误；由于在上的投影为，故D正确.【解析】，则，故A正确；，故B错误；，故C错误；由于，故在上的投影为，故D正确。故选：AD【点评】本题主要考查新定义，考查向量的坐标运算和模的计算，考查向量的投影的计算，考查向量的数量积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.14．AC【分析】可由得，两边平方，再根据，可算出的值，同理可算出的值，则问题可迎刃而解．【解析】由已知得：，因为，所以，两边平方得，解得，故错误；同理可得：，．故，故，故正确；，故错误；，故正确．故选：．【点评】本题考查数量积的运算和数量积在研究几何性质中的应用．属于中档题．15．ABD【分析】根据向量运算法则依次计算每个选项得到答案.【解析】，正确；，正确；，错误；，正确.故选：.【点评】本题考查了向量的运算，意在考查学生的计算能力.16．ABC【分析】的圆心，半径，设在圆上，则，，由已知得，的最值即为的最值，从而可得结论．【解析】圆的圆心，半径，设在圆上，则，，若，则，，，的最大值即为的最大值，等于．最小值为，的取值范围是．故选：ABC．【点评】本题考查圆的方程与性质、垂直关系的向量表示，考查点与圆的位置关系，是中档题．17．AD【分析】直接利用向量的数量积的应用，向量的夹角的应用求出结果．【解析】图2中的正八边形，其中，对于；故正确．对于，故错误．对于，，但对应向量的夹角不相等，所以不成立．故错误．对于在向量上的投影，故正确．故选：．【点评】本题考查的知识要点：向量的数量积的应用，向量的夹角的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．18．AC【分析】对于A，由向量的交角为锐角的等价条件为数量积大于0，且两向量不共线，计算即可；对于B，由，可知，不能作为平面内所有向量的一组基底；对于C，利用向量投影的定义即可判断；对于D，由，点在角的平分线上，同理，点在角的平分线上，点在角的平分线上，进而得出点是的内心.【解析】对于A，已知，，且与的夹角为锐角，可得，且与不共线，，即有，且，解得且，则实数的取值范围是且，故A不正确；对于B，向量，，，，向量，不能作为平面内所有向量的一组基底，故B正确；对于C，若，则在上的投影为，故C错误；对于D，表示与中角的外角平分线共线的向量，由，可知垂直于角的外角平分线，所以，点在角的平分线上，同理，点在角的平分线上，点在角的平分线上，故点是的内心，D正确.故选：AC.【点评】本题考查了平面向量的运算和有关概念，具体包括向量数量积的夹角公式、向量共线的坐标表示和向量投影的定义等知识，属于中档题.19．AD【分析】由平面向量两两夹角相等可知，夹角为或.分两种情况对三个向量的和的模长进行讨论，算出结果.【解析】平面向量两两夹角相等，两两向量所成的角是或.当夹角为时，同向共线，则；当夹角为时，为单位向量，，且与反向共线，又，.故选：AD.【点评】本题考查了平面向量共线的性质，平面向量的模的求法，考查了分类讨论的思想，属于中档题.20．ACD【分析】对于A，根据共线定理判断A、B、C三点共线即可；对于B，根据平面向量的基本定理，判断命题错误；对于C，