考点28 空间几何体的结构及其三视图和直观图-备战2022年高考数学一轮复习考点帮（浙江专用）

考点28空间几何体的结构及其三视图和直观图【命题趋势】从近五年的考查情况来看，空间几何体的三视图是高考的重点，多以三视图为背景考查几何体的结构特征，一般是选择题、填空题，难度中等．【重要考向】通过空间几何体的结构、三视图考查学生的直观想象核心素养．空间几何体结构特征方法策略：1.棱柱的特征：有两个面互相平行；其余各面都是平行四边形；每相邻两个四边形的公共边互相平行；2.棱锥的特征：有一个面是多边形；其余各面都是有一个公共点的三角形；3.棱台的特征：两底面互相平行；侧棱延长线相交于一点；4.圆柱的特征：由矩形绕直角边旋转一周形成；5.圆锥的特征：由直角三角形绕一条直角边旋转一周形成；6.圆台的特征：由直角梯形绕其直角边旋转一周形成；7.球的特征：由半圆绕其直径旋转一周形成．【典例】1．下列说法正确的有（）①有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥．②有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台．③底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥；④棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是正六棱锥A．0个 B．1个C．2个 D．3个【答案】A【分析】利用棱锥的定义和性质，结合图形即可得到答案.【详解】解析①不正确．棱锥的定义是：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥．②如图1，不正确，侧棱延长线可能不交于一点.③错误．不一定是正三棱锥,如图2所示：三棱锥中有AB＝AD＝BD＝BC＝CD．满足底面BCD为等边三角形．三个侧面ABD，ABC，ACD都是等腰三角形，但AC长度不一定等于AD，即三条侧棱不一定全部相等．④不正确，不存在这样的正六棱锥.极限考虑，如图3的正六边形ABCDEF分割成了6个全等的小正三角形，三角形所有边长相等，从而不存在答案所说的正六棱锥.故选：A.空间几何体的三视图三视图问题的常见类型及解题策略：(1)由几何体的三视图还原几何体的形状．要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图．学&*科网(2)由几何体的直观图求三视图．注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意看到的部分用实线，不能看到的部分用虚线表示．(3)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图．先根据已知的一部分三视图，还原、推测直观图的可能形式，然后再找其剩下部分三视图的可能形式．当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合.【典例】2．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为（）A． B． C． D．8【答案】C【分析】把三视图还原实物图，直接求体积.【详解】如图示：三视图还原后得到的实物图即为正方体内的四棱锥.其体积为：.故选：C3．如图所示的简单组合体的组成是（）A．棱柱、棱台 B．棱柱、棱锥C．棱锥、棱台 D．棱柱、棱柱【答案】B【分析】直接观察,即可出答案.【详解】由图知，简单组合体是由棱锥、棱柱组合而成.故选：B.空间几何体的直观图斜二测画法中的“三变”与“三不变”：“三变”；“三不变”.【典例】4．水平放置的ABC的直观图如图，其中B'O'=C'O'=1，A'O'=，那么原△ABC是一个（）三角形．A．等边 B．三边互不相等的C．三边中只有两边相等的等腰 D．直角【答案】A【分析】根据直观图还原原图，再计算．【详解】解：由图形知，在原中，，，为正三角形．故选：．5．如图所示，是一平面图形的直观图，斜边，则这个平面图形的面积是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据斜二测画法的规则，得到原来图形的形状，结合直角三角形的面积公式，即可求解.【详解】如图所示，因为是一个平面图形的直观图，其中斜边，所以,根据斜二测画法的规则，可得，所以直角的面积为.故选：D.1．下列说法正确的是（）A．直角三角形绕一边旋转得到的旋转体是圆锥B．夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体C．圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台D．通过圆台侧面上一点，有无数条母线2．如图为某几何体的三视图，则该几何体中最大的侧面积是（）A．B．C．D．3．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的四个面的面积中，最大的是（）A． B． C． D．4．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的最大棱长为（）A． B． C． D．5．如图所示，正方形的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是（）A．6 B．8 C． D．6．如图，是水平放置的的直观图，其中，所在直线分别与轴，轴平行，且，那么是（）A．等腰三角形 B．钝角三角形C．等腰直角三角形 D．直角三角形1.（2021年全国高考甲卷）在一个正方体中，过顶点A的三条棱的中点分别为E，F，G．该正方体截去三棱锥后，所得多面体的三视图中，正视图如图所示，则相应的侧视图是（）A.B.C.D.2.（2021年全国新高考Ⅰ卷）已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（）A. B. C. D.3．（2020年高考全国Ⅱ卷理数）如图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为，在俯视图中对应的点为，则该端点在侧视图中对应的点为A． B． C． D．4.（2018年高考全国Ⅰ卷理数）某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点在正视图上的对应点为，圆柱表面上的点在左视图上的对应点为，则在此圆柱侧面上，从到的路径中，最短路径的长度为（）A．B．C．3D．25.（2018年高考全国Ⅲ卷理数）中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是6．（2019年高考全国Ⅱ卷理数）中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体共有________个面，其棱长为_________．（本题第一空2分，第二空3分．）1．下列关于空间几何体的叙述，正确的是（）A．直角三角形绕它的一条边旋转得到的几何体是一个圆锥B．棱柱的侧面都是平行四边形C．用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫棱台D．直平行六面体是长方体2．棱长为的正四面体的三视图如图所示，俯视图是正三角形，则主视图的腰长等于（）A．2 B．3 C． D．3．某几何体的三视图如图所示，则该几何体最长棱与最短棱所在直线夹角的余弦值为（）A． B． C． D．4．某四面体的三视图如图，则该多面体棱长的最大值为（）A．2 B．2 C．3 D．5．一个三棱锥的各棱长均相等，其内部有一个内切球，即球与三棱锥的各面均相切（球在三棱锥的内部，且球与三棱锥的各面只有一个交点），过一条侧棱和对边的中点作三棱锥的截面，所得截面图形是（）A． B． C． D．6．如图是某几何体的三视图，其侧视图为等边三角形，则该几何体（含表面）内任意两点间的最大距离为（）A． B． C． D．7．某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能是（）B．C．D．8．由小正方体木块搭成的几何体的三视图如图所示，则搭成该几何体的小正方体木块有（）A．6块 B．7块 C．8块 D．9块9．祖暅是我国南北朝时代伟大的科学家，他在实践的基础上提出了体积计算的原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是：如果两个等高的几何体在同高处截得的截面面积恒等，那么这两个几何体的体积相等，此即祖暅原理.利用这个原理求球的体积时，需要构造一个满足条件的几何体，已知该几何体三视图如图所示，用一个与该几何体的下底面平行且相距为的平面截该几何体，则截面面积为（）A． B． C． D．10．如图所示，矩形是水平放置一个平面图形的直观图，其，，则原图形是（）A．正方形B．矩形C．菱形D．梯形11．一梯形用斜二测画法得到的直视图是如图所示的等腰梯形，且该梯形的面积1，则原梯形的面积为（）A． B． C．2 D．4参考答案跟踪训练1．【答案】C【分析】利用旋转体的结构特征即可求解．【详解】解：Ａ．因为直角三角形绕斜边旋转得到的旋转体可能不是圆锥，故错误；B．夹在圆柱的两个截面间的几何体不一定是一个旋转体，故错误；C．正确；D．通过圆台侧面上一点，有且仅有一条母线，故错误．故选：C．2．【答案】B【分析】由三视图还原原几何体，确定几何体的结构，计算各面面积可得．【详解】由三视图，原几何体是三棱锥，平面，，尺寸见三视图，，，．故选：B．3．【答案】C【分析】由三视图还原几何体，求出各面的面积即可选出正确答案.【详解】由题意可知,几何体的底面是边长为的正三角形，棱锥的高为，并且高为侧棱垂直底面三角形的一个顶点的三棱锥,两个垂直底面的侧面面积相等为,底面面积为,另一个侧面的面积为,四个面中面积的最大值为,故选:C.【点睛】本题的关键是由三视图还原几何体.4．【答案】C【分析】由三视图得到几何体的直观图，再计算可得；【详解】解：由三视图可知：该几何体如图所示，底面，，底面是一个直角梯形，其中，，，．所以，可知其最长棱长为．故选：．5．【答案】B【分析】根据题目给出的直观图的形状，画出对应的原平面图形的形状，求出相应的边长即得解.【详解】解：作出该直观图的原图形，因为直观图中的线段轴，所以在原图形中对应的线段CB平行于x轴且长度不变，因为,所以，所以，则四边形OABC的周长为.故选：B.6．【答案】D【分析】根据斜二测画法的原则，可得原图中，且即可判断的形状.【详解】因为中，，所在直线分别与轴，轴平行，所以中，所在直线分别与分别与轴，轴平行，所以因为，所以，即，所以是直角三角形，故选：D.真题再现1.【答案】D【解析】根据题意及题目所给的正视图还原出几何体的直观图，结合直观图进行判断.【详解】由题意及正视图可得几何体的直观图，如图所示，所以其侧视图为故选：D2.【答案】B【解析】设圆锥的母线长为，根据圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长可求得的值，即为所求.【详解】设圆锥的母线长为，由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，则，解得.故选：B.3.【答案】A【解析】根据三视图，画出多面体立体图形，上的点在正视图中都对应点M,直线上的点在俯视图中对应的点为N,∴在正视图中对应,在俯视图中对应的点是,线段,上的所有点在侧试图中都对应,∴点在侧视图中对应的点为.故选A.【点睛】本题主要考查了根据三视图判断点的位置，解题关键是掌握三视图的基础知识和根据三视图能还原立体图形的方法，考查了分析能力和空间想象，属于基础题.4.【答案】B【解析】根据圆柱的三视图以及其本身的特征，知点M在上底面上，点N在下底面上，且可以确定点M和点N分别在以圆柱的高为长方形的宽，圆柱底面圆周长的四分之一为长的长方形的对角线的端点处，所以所求的最短路径的长度为42+22【名师点睛】该题考查的是有关几何体的表面上两点之间的最短距离的求解问题，在解题的过程中，需要明确两个点在几何体上所处的位置，再利用平面上两点间直线段最短，所以处理方法就是将面切开平铺，利用平面图形的相关特征求得结果.5.【答案】A【解析】本题主要考查空间几何体的三视图.由题意知，俯视图中应有一不可见的长方形，且俯视图应为对称图形.故选A．6.【答案】26，【解析】由图可知第一层（包括上底面）与第三层（包括下底面）各有9个面，计18个面，第二层共有8个面，所以该半正多面体共有个面．如图，设该半正多面体的棱长为，则，延长与的延长线交于点，延长交正方体的棱于，由半正多面体对称性可知，为等腰直角三角形，，，即该半正多面体的棱长为．【名师点睛】本题立意新颖，空间想象能力要求高，物体位置还原是关键，遇到新题别慌乱，题目其实很简单，稳中求胜是关键．立体几何平面化，无论多难都不怕，强大空间想象能力，快速还原图形．模拟检测1．【答案】B【分析】根据圆锥、棱柱、棱台、长方体的定义判断．【详解】直角三角形绕斜边所在直线旋转得到的几何体不是一个圆锥，A错；根据棱柱定义知棱柱的侧面都是平行四边形，B正确；用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫棱台，C错；底面是长方形的直平行六面体是长方体，D错．故选：B．2．【答案】C【分析】由正四面体的性质，根据俯视图边长求底面外接圆半径，再由体高与、的几何关系求，根据三视图的性质即可求主视图的腰长.【详解】由俯视图边长为，易知正四面体底面外接圆半径为2，∴正四面体的体高为，∴正视图腰长为.故选：C.3．【答案】D【分析】由三视图知：该几何体是三棱锥，将该三棱锥放入长方体中，再确定最长棱与最短棱所在直线夹角求解.【详解】该几何体是三棱锥，将该三棱锥放入长方体中，如图，由三视图可知长方体的长、宽、高分别为3，4，5.计算可得最长棱，最短棱.所以最长棱与最短棱所在直线夹角为，因为，所以，即最长棱与最短棱所在直线夹角的余弦值为.故选：D4．【答案】C【分析】先在棱长为的正方体中还原该四面体，分别求其棱长，即可得出结果.【详解】在棱长为的正方体中还原该四面体为三棱锥，则，，，因此该多面体棱长的最大值为.故选：C.5．【答案】B【分析】根据题意可知，该三棱锥为正四面体，内切球与各面相切于各个面的中心，即可判断出选项B正确．【详解】如图所示：因为三棱锥的各棱长均相等，所以该三棱锥为正四面体，内切球与各面相切于各个面的中心，即可知过一条侧棱和对边的中点作三棱锥的截面，所得截面图形是．故选：B．6．【答案】C【分析】先由三视图确定几何体为左右结构半圆锥加三棱柱的组合体，结合直观图确定两点间最大距离，再由长对正、宽相等和侧视图为正三角形度量计算即可.【详解】由三视图可知，该几何体由一个半圆锥和一个正三棱柱组合而成.其中半圆锥的底面半径为1，正三棱柱的侧面是边长为2的正方形，底面是边长为2，高为的正三角形.如图，该几何体（含表面）内任意两点间的最大距离为MA.在中，．故选：C.【点睛】几何直观空间想象能力是解决三视图问题的必备能力.一般地，俯视想底，正视定高，左视调整还原几何体，而“长对正、宽相等、高平齐”是三视图长宽高的度量原则，也是还原几何体理清各元素间的位置关系及数量关系的关键.7．【答案】D【分析】对于ABC三个选项，根据三视图逐个分析有相应的组合体满足三视图.对于D，若俯视图正确，则正视图不正确，故D不可能.【详解】该几何体为组合体，若