3245287811、微专题：半角公式及其应用-讲义-2021-2022学年高中数学沪教版（2020）必修第二册

【学生版】微专题：半角公式及其应用半角公式半角公式正弦余弦正切；；；【注意】（1）重视得到结果的过程，从思考与之间的关系入手，理解角的倍、半的相对性，思考与之间的关系；（2）使用公式时要深刻体会与的含义，如与，与等都可看成倍半关系.（3）半角公式根号前符号的确定①当给出的角是某一象限的角时，可根据下表确定半角的函数值的符号第一象限第一、三象限第二象限第一、三象限第三象限第二、四象限第四象限第二、四象限②当给出角的范围(即某一区间)时，可先求的范围，再根据的范围来确定各函数值的符号；③若没有给出确定符号的条件，则在根号前保留正、负两个符号；【典例】题型1、利用半角公式求值例1、已知cosα＝eq\f(\r(3),3)，α为第四象限的角，求：taneq\f(α,2)的值；【提示】；【答案】；【解析】解法1、解法2、解法3、【说明】题型2：利用半角公式化简例2、设α∈(eq\f(3π,2)，2π)，化简：eq\r(\f(1,2)＋\f(1,2)\r(\f(1,2)＋\f(1,2)cos2α)).【提示】；【答案】【解析】【说明】题型3、利用半角公式证明例3、求证：eq\f(cos2α,\f(1,tan\f(α,2))－tan\f(α,2))＝eq\f(1,4)sin2α；题型4、利用半角求值，注意角的范围例4、已知角为钝角,为锐角,且,,求与的值【归纳】1、半角公式：；；；2、半角公式的推导3、对半角公式的理解①；②；③；④；⑤；【即时练习】1、设α∈(π，2π)，则eq\r(\f(1－cos（π＋α）,2))等于()A．sineq\f(α,2)B．coseq\f(α,2)C．－sineq\f(α,2)D．－coseq\f(α,2)2、化简4cos2α÷(eq\f(1,tan\f(α,2))－taneq\f(α,2))的结果为()A．－eq\f(1,2)cosαsinαB．sin2αC．－sin2αD．2sin2α3、已知sin2θ＝eq\f(12,13)，θ∈(0，eq\f(π,4))，则tanθ等于4、已知taneq\f(α,2)＝3，则cosα为5、化简：eq\f(sin2x,2cosx)(1＋tanxtaneq\f(x,2))=．6、在△ABC中，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＋\f(π,2)))＝eq\f(\r(3),2)，则taneq\f(A,2)＝7、在△ABC中，若cosA＝eq\f(1,3)，则sin2eq\f(B＋C,2)＋cos2A的值为________．8、已知sineq\f(α,2)－coseq\f(α,2)＝－eq\f(\r(5),5)，若450°<α<540°，则taneq\f(α,2)＝________．9、已知sinα＝－eq\f(4,5)，180°<α<270°，求sineq\f(α,2)，coseq\f(α,2)，taneq\f(α,2)的值．10、求证：sin2eq\f(α,4)－1＝－eq\f(cos\f(α,2)＋1,2).【教师版】微专题：半角公式及其应用半角公式半角公式正弦余弦正切；；；【注意】（1）重视得到结果的过程，从思考与之间的关系入手，理解角的倍、半的相对性，思考与之间的关系；（2）使用公式时要深刻体会与的含义，如与，与等都可看成倍半关系.（3）半角公式根号前符号的确定①当给出的角是某一象限的角时，可根据下表确定半角的函数值的符号第一象限第一、三象限第二象限第一、三象限第三象限第二、四象限第四象限第二、四象限②当给出角的范围(即某一区间)时，可先求的范围，再根据的范围来确定各函数值的符号；③若没有给出确定符号的条件，则在根号前保留正、负两个符号；【典例】题型1、利用半角公式求值例1、已知cosα＝eq\f(\r(3),3)，α为第四象限的角，求：taneq\f(α,2)的值；【提示】注意：角“eq\f(α,2)”、“α”呈二倍关系；注意：二倍角、半角公式的特征；【答案】eq\f(\r(2)－\r(6),2)；【解析】解法1、(用taneq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1－cosα,1＋cosα))来处理)．因为，α为第四象限的角，所以，eq\f(α,2)是第二或第四象限的角，所以，taneq\f(α,2)<0.则，根据公式taneq\f(α,2)＝－eq\r(\f(1－cosα,1＋cosα))＝－eq\r(\f(1－\f(\r(3),3),1＋\f(\r(3),3)))＝－eq\r(2－\r(3))＝－eq\f(1,2)eq\r(8－4\r(3))＝－eq\f(1,2)eq\r(（\r(6)－\r(2)）2)＝eq\f(\r(2)－\r(6),2).解法2、(用taneq\f(α,2)＝eq\f(1－cosα,sinα)来处理)因为，α为第四象限的角，所以，sinα<0，所以，sinα＝－eq\r(1－cos2α)＝－eq\r(1－\f(1,3))＝－eq\f(\r(6),3)；则，taneq\f(α,2)＝eq\f(1－cosα,sinα)＝eq\f(1－\f(\r(3),3),－\f(\r(6),3))＝eq\f(\r(2)－\r(6),2).解法3、(用taneq\f(α,2)＝eq\f(sinα,1＋cosα)来处理)因为，α为第四象限的角，所以，sinα<0，所以，sinα＝－eq\r(1－cos2α)＝－eq\r(1－\f(1,3))＝－eq\f(\r(6),3)；则taneq\f(α,2)＝eq\f(sinα,1＋cosα)＝eq\f(－\f(\r(6),3),1＋\f(\r(3),3))＝eq\f(－\r(6),3＋\r(3))＝eq\f(\r(2)－\r(6),2)；【说明】本题根据“eq\f(α,2)”与“α”成二倍关系；结合公式特点，用了3种解法；在求半角的正切taneq\f(α,2)时，用taneq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1－cosα,1＋cosα))来处理，要由α所在的象限确定eq\f(α,2)所在的象限，再用三角函数值的符号取舍根号前的双重符号；而用taneq\f(α,2)＝eq\f(1－cosα,sinα)或taneq\f(α,2)＝eq\f(sinα,1＋cosα)来处理，可以避免这些问题．尤其是taneq\f(α,2)＝eq\f(1－cosα,sinα)，分母是单项式，容易计算．因此常用taneq\f(α,2)＝eq\f(1－cosα,sinα)求半角的正切值；请同学们在比较中寻找适合自己的解法；题型2：利用半角公式化简例2、设α∈(eq\f(3π,2)，2π)，化简：eq\r(\f(1,2)＋\f(1,2)\r(\f(1,2)＋\f(1,2)cos2α)).【提示】注意：根据题设，在保证有意义前提下，出现“平方再开方”形式；【答案】coseq\f(α,2)；【解析】因为，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，2π))，所以，cosα>0，coseq\f(α,2)<0.故原式＝eq\r(\f(1,2)＋\f(1,2)\r(cos2α))＝eq\r(\f(1,2)＋\f(1,2)cosα)＝eq\r(cos2\f(α,2))＝|coseq\f(α,2)|＝－coseq\f(α,2)；【说明】利用半角公式进行化简时，应正确选用升、降幂公式：当待化简式中含有根式时，应选用升幂公式(cos2α＝1－2sin2α＝2cos2α－1)去根号；当待化简式中含有高次式时，应选用降幂公式(sin2α＝eq\f(1－cos2α,2)，cos2α＝eq\f(1＋cos2α,2))降低次数以减少运算量，注意隐含条件中角的范围；题型3、利用半角公式证明例3、求证：eq\f(cos2α,\f(1,tan\f(α,2))－tan\f(α,2))＝eq\f(1,4)sin2α；【提示】注意：二倍角公式、半角公式在“升幂、降幂”中的作用；【证明】左边＝eq\f(cos2α,\f(cos\f(α,2),sin\f(α,2))－\f(sin\f(α,2),cos\f(α,2)))＝eq\f(cos2αsin\f(α,2)cos\f(α,2),cos2\f(α,2)－sin2\f(α,2))＝eq\f(\f(1,2)cos2αsinα,cosα)＝eq\f(1,2)sinαcosα＝eq\f(1,4)sin2α＝右边；所以，等式成立；【说明】证明三角恒等式的实质是消除等式两边的差异，有目的地化繁为简、左右归一或变更论证；常用定义法、化弦法、化切法、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法；证明条件三角恒等式，首先应观察条件与结论之间的差异(三角函数名及结构)，从解决某一差异入手，采用条件转化法或条件代入法；题型4、利用半角求值，注意角的范围例4、已知角为钝角,为锐角,且,,求与的值【提示】注意：已知角与所求角之间的关系；【解析】因为角为钝角,为锐角,且,,所以,.所以.又因为,且,所以,即.所以；方法1、由,得，所以；方法2、由，得.所以【说明】对于含有半角的求值问题，一定要判断角的取值范围，以免产生增根；【归纳】1、半角公式：；；；2、半角公式的推导（1）；（2）；（3）.3、对半角公式的理解①半角公式中的正弦、余弦公式实际上是由二倍角的余弦公式变形得到的；②半角公式给出了求eq\f(α,2)的正弦、余弦、正切的另一种方式，即只需知道cosα的值及相应的α的条件，sineq\f(α,2)，coseq\f(α,2)，taneq\f(α,2)便可求出；③对“半角”的理解应是广义的，不能仅限于eq\f(α,2)是α的一半，其他如α是2α的一半，eq\f(α,4)是eq\f(α,2)的一半，eq\f(3α,2)是3α的一半等，这里面蕴含着换元思想，半角是相对而言的，描述的是两个角之间的数量关系；④由taneq\f(α,2)＝eq\f(sinα,1＋cosα)＝eq\f(1－cosα,sinα)的推导过程可知，taneq\f(α,2)的符号与sinα的符号相同，且由于该式中不含被开方数，故不涉及符号问题，所以求解题目时，使用相对方便，但要注意该公式成立的条件，由1＋cosα≠0⇒α≠(2k＋1)π，k∈Z，由sinα≠0⇒α≠kπ，k∈Z.⑤解答涉及函数的升降幂及角的二倍关系的题目时，常用sin2eq\f(α,2)＝eq\f(1－cosα,2)，cos2eq\f(α,2)＝eq\f(1＋cosα,2)；【即时练习】1、设α∈(π，2π)，则eq\r(\f(1－cos（π＋α）,2))等于()A．sineq\f(α,2)B．coseq\f(α,2)C．－sineq\f(α,2)D．－coseq\f(α,2)【答案】D；【解析】因为，α∈(π，2π)，所以，eq\f(π,2)<eq\f(α,2)<π，所以，coseq\f(α,2)<0，所以，原式＝eq\r(\f(1＋cosα,2))＝|coseq\f(α,2)|＝－coseq\f(α,2).2、化简4cos2α÷(eq\f(1,tan\f(α,2))－taneq\f(α,2))的结果为()A．－eq\f(1,2)cosαsinαB．sin2αC．－sin2αD．2sin2α【答案】B；【解析】原式＝4cos2αeq\f(tan\f(α,2),1－tan2\f(α,2))＝2cos2αtanα＝2cos2αeq\f(sinα,cosα)＝2sinαcosα＝sin2α.3、已知sin2θ＝eq\f(12,13)，θ∈(0，eq\f(π,4))，则tanθ等于【答案】eq\f(2,3)；【解析】因为，0<θ<eq\f(π,4)，0<2θ<eq\f(π,2)，所以，cos2θ＝eq\r(1－sin22θ)＝eq\r(1－（\f(12,13)）2)＝eq\f(5,13).则tanθ＝eq\f(1－cos2θ,sin2θ)＝eq\f(1－\f(5,13),\f(12,13))＝eq\f(2,3).4、已知taneq\f(α,2)＝3，则cosα为【答案】－eq\f(4,5)；【解析】方法1、cosα＝cos2eq\f(α,2)－sin2eq\f(α,2)＝eq\f(cos2\f(α,2)－sin2\f(α,2),cos2\f(α,2)＋sin2\f(α,2))＝eq\f(1－tan2\f(α,2),1＋tan2\f(α,2))＝eq\f(1－9,1＋9)＝－eq\f(4,5).方法2、因为，taneq\f(α,2)＝3，所以，eq\f(1－cosα,1＋cosα)＝9，即1－cosα＝9＋9cosα，解得cosα＝－eq\f(4,5).5、化简：eq\f(sin2x,2cosx)(1＋tanxtaneq\f(x,2))=．【答案】tanx；【解析】原式＝eq\f(2sinxcosx,2cosx)(1＋eq\f(sinx,cosx)·eq\f(1－cosx,sinx))＝sinx(1＋eq\f(1－cosx,cosx))＝sinxeq\f(1,cosx)＝tanx；6、在△ABC中，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＋\f(π,2)))＝eq\f(\r(3),2)，则taneq\f(A,2)＝【答案】2－eq\r(3)；【解析】因为在△ABC中，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＋\f(π,2)))＝eq\f(\r(3),2)，所以cosA＝eq\f(\r(3),2)，且A为锐角，所以taneq\f(A,2)＝eq\r(\f(1－cosA,1＋cosA))＝2－eq\r(3)；7、在△ABC中，若cosA＝eq\f(1,3)，则sin2eq\f(B＋C,2)＋cos2A的值为________．【答案】－eq\f(1,9)【解析】因为，cosA＝eq\f(1,3)，所以，原式＝cos2eq\f(A,2)＋cos2A＝eq\f(1＋cosA,2)＋2cos2A－1＝eq\f(1＋\f(1,3),2)＋2×(eq\f(1,3))2－1＝－eq\f(1,9).8、已知sineq\f(α,2)－coseq\f(α,2)＝－eq\f(\r(5),5)，若450°<α<540°，则taneq\f(α,2)＝________．【答案】2；【解析】由条件知1－2sineq\f(α,2)coseq\f(α,2)＝eq\f(1,5)，所以，2sineq\f(α,2)coseq\f(α,2)＝eq\f(4,5)，即sinα