版权说明:本文档由用户提供并上传,收益归属内容提供方,若内容存在侵权,请进行举报或认领
文档简介
北师大版高中数学必修四全册导学案
目录
第一章三角函数..........................................................................1
§1.1周期现象..........................................................................1
§1.2角的概念的推广....................................................................1
§1.3弧度制............................................................................3
§1.4.1任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数的定义.......................................5
§1.4.3单位圆与诱导公式(1)..........................................................................................7
§1.4.3三角函数的诱导公式(2)........................................................................................9
§1.4.3三角函数的诱导公式(3).......................................................................................12
§1.5.1.2正弦函数图像....................................................................14
§1.5.3正弦函数的性质...................................................................16
§1.6.1余弦函数的图像..................................................................18
§1.6.2余弦函数的性质..................................................................20
§1.7.1正切函数的定义..................................................................22
§1.7.2正切函数的图像与性质............................................................24
§1.7.3正切函数的诱导公式..............................................................26
§1.8.1y=/sin(©+p)的图像(第1课时)...........................................28
§1.8.2y=/sin(3+8)的图像(第2课时)...........................................30
§1.8.3y=Nsin(ax+9)的图像.........................................................32
§1.9三角函数的简单应用..............................................................35
§1.10三角函数复习...................................................................37
第二章平面向量............................................................................39
§2.1从位移、速度、力到向量...........................................................39
§2.2.2向量的减法.....................................................................43
§2.3.1数乘向量........................................................................45
§2.3.2平面向量基本定理..........................................................47
§2.4.1平面向量的坐标表示.............................................................49
§2.4.2平面向量的坐标运算........................................................51
§2.5从力做的功到向量的数量积........................................................53
§2.6平面向量数量积的坐标表示........................................................55
§2.7.1向量应用一一点到直线的距离公式.................................................57
§2.7.2向量应用一一物理应用...........................................................59
§2.8.1章末小结一.....................................................................61
§2.8.2章末小结二.....................................................................63
第三章三角恒等变形........................................................................65
§3.1.1同角三角函数的基本关系.........................................................65
§3.1.2同角三角函数的基本关系式.......................................................67
§3.2.1两角和与差的余弦公式...........................................................69
§3.2.2两角和与差的正弦公式...........................................................71
§3.2.3两角和与差的正切公式...........................................................73
§3.3.1二倍角的三角函数...............................................................75
§3.3.2二倍角公式的应用...............................................................77
§3.4.1章末小结一......................................................................79
§3.4.2章末小结二......................................................................81
第一章三角函数
§1.1周期现象
§1.2角的概念的推广
授课
第周星期第节课型新授课主备课人
时M
1.了解任意角的概念;正确理解正角、零角、负角的概念;
学习
2.正确理解终边相同的角的概念,并能判断其为第几象限角,熟悉掌握终边相同的角的集
目标
合表示.
正确理解终边相同的角的概念
难点
自主学习
1.角的定义:___________________________________________________________
2.正、负的概念:按_________方向旋转所成的角叫正角,按________方向旋转所成的角
叫负角,如果一条射线_______,我们称它形成了一个零角.
3.象限角的概念:在直角坐标系中研究角时;如果角的顶点与__________
角的始边与_____________,那么,角的终边(端点除外)在第几象限,我们
说这个角是第几象限角,若角的终边落在坐标轴上,则称这个角为_________.
思考:(1)下列角分别是第几象限角?
一3。。。15。-6。。’这当中一些角有什么共同特征?
210°,300°,420\780°,
学习(2)具有相同终边的角彼此之间有什么关系?你能写出与60°角终边相同的角的集合吗?
过程
[答]⑴__________________.(2)_________________.
与方
4.终边相同的角:一般地,与角a终边相同的角的集合:
法
注意:(1)kez;(2)a是任意角;(3)终边相同的角不一定相等,但相等的角终
边一定相同。终边相同的角有无限多个,它们相差360。的整数倍。
一、角的概念
例1.(1)钟表经过10分钟,时针和分针分别转了多少度?
(2)若将钟表拨慢10分钟,则时针和分针分别转了多少度?
二、终边相同的角
例2.在0°到360°的范围内,找出与下列各角终边相同的角,并分别判断它们是第
几象限角:(1)650°(2)-150°(3)-990°151
分析:只需将这些角表示成h360°+a(0°Wa<360°)的形式,然后根据a来确定它们
第1页共86页
所在的象限
精讲互动
ry
例3.已知a与240°角终边相同,判断一是第儿象限角.
2
例4.写出终边落在第一、三象限的角的集合.
分析:主要考查终边相同角的概念的应用
达标训练
1.下列命题正确的是()
A、第一象限角一定不是负角B.小于90°的角一定是锐角
C钝角一定是第二象限角D第一象限角一定是锐角
2.试求出与下列各角终边相同的最小正角和最大负角:
(1)-550°(2)1680°(3)-1290°(4)-1510°
作业
习题1-22,3
布置
学习
小结/
教学
反思
第2页共86页
§1.3弧度制
授课
第周星期第节课型新授课主备课人
时间
学习1.理解弧度制的意义,能正确地进行弧度与角度的换算,熟记特殊角的弧度数;
目标2.掌握弧度制下的弧长公式和扇形的面积公式
市;点
弧度与角度的换算及弧度制下的弧长公式和扇形的面积公式
难点
自主学习
1.规定:周角________为1度的角;________叫做1弧度的角.
2.角度制与弧度制相互换算:
1弧度=________(度);1度=_____(弧度)
注意:(1)用“弧度”为单位度量角,当弧度数用)来表示时,如无特别要求,不必把"写
TF
成小数,例如45°=一弧度,不必写成45°=0.875弧度。
4
(2)角度制与弧度角制不能混用。
3.把下列各角从弧度化为角度:
1兀_4〃_
6'3
4.把下列各角从角度化为弧度:
学习315°=_________;-72°=__________.
过程
5.下列命题中,假命题的是()
与方
A、“角度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位;
法
B、1度的角是周角的一L,1弧度的角是周角的」一;
360171
C、根据弧度的定义,一定有180°=不成立;
D、不论是用角度制还是用弧度制量角,它们与圆的半径长短有关.
6.角a的弧度数的绝对值冏=,(/为弧长,尸为半径)n/=|ak
若1a1w2n,则有圆心角为a的扇形的面积为
5=回(其中/为弧长,r为半径)
2万2
第3页共86页
精讲互动
一、弧度制的概念
例1.把下列各角从弧度化为角度:(分析:主要考查弧度与角度的换算)
(1)—(2)-71
52
例2.把下列各角从角度化为弧度(分析:主要考查弧度与角度的换算)
(1)252°(2)11°151
二、弧长公式和扇形面积公式
例3.已知扇形的周长为8厘米,圆心角为2弧度,求该扇形的面积.
分析:主要考查扇形的弧长公式和面积公式
达标训练
1.把下列各角从弧度化为角度:
7T24
(1)一(2)_兀(3)——71(4)-12%
1253
2.把下列各角从角度化为弧度:
(1)75°(2)-210°(3)135°(4)22°30,
作业
习题1-31,2,7,8
布置
学习
小结/
教学
反思
第4页共86页
§1.4.1任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数的定义
授课
第周星期第节课型新授课主备课人
时间
1.掌握任意角三角函数的定义,并能借助单位圆理解任意角三角函数的定义;
学习
2.会用三角函数线表示任意角三角函数的值;
目标
3.掌握正弦、余弦、正切函数的定义域和这三种函数的值在各象限的符号
重点
求任意角三角函数的值
难点
自主学习
1.设点P是a角终边上任意一点,坐标为尸(xj),|0.|=西+/=「,用
(1)比值____叫做a的正弦,记作sina,即sina=______;
(2)比值____叫做a的余弦,记作cosa,即cosa=______;
(3)比值____叫做a的正切,记作tana,即tana=______.
其中,y=sinx和y=cosx的定义域分别是_____________;而丁=1211%的定义域是
_________.除上述情况外,对于确定的值a,比值上、->上分别是一个确定的实数,所
rrx
以正弦、余弦、正切、是以角a为自变量,一比值为函数值的函数,分别叫做角a的正弦
函数、余弦函数、正切函数,以上三种函数统称为____________.
2.三角函数的符号
由三角函数的定义,以及各象限内点的坐标的符号,我们可以得知:
学习①正弦值上对于第一、二象限为______时于第三、四象限_______:
过程r
X
与方②余弦值一对于第一、四象限为_______对于第二、三象限为_______;
r
法
③正切值上对于第一、三象限为______时于第二、四象限为________.
X
说明:(1)若终边落在轴线上,则可用定义求出三角函数值;
(2)正弦函数值的符号与y的符号相同,余弦函数值的符号与x的符号相同.
精讲互动
一、任意角的三角函数
列1.已知角a的终边经过点P(2,-3),求a的正弦、余弦、正切值.
分析:任意角的三角函数的定义
第5页共86页
思考:若角6的终边经过点尸(4二一3。)(。#0),求sin6和cos。的值
二、三角函数的定义域
例2.x取什么值时,smx-c。吧有意义(分析:三角函数的定义域)
tanx
三、三角函数值在各象限的符号
例3确定下列三角函数的符号:
77r1\jr
(1)cos——;(2)sin(-465°);(3)tan---
123
达标训练
1设a是三角形一个内角,在sina,cosa,tana,tant中,哪些有可能是负值?
2
2确定下列各角的正弦、余弦、正切值的符号:
(1)885°;(2)-395°;(3)史;(4)--
63
3已知角a的终边经过点P(-3,4),求角a的正弦、余弦和正切值.
作业
习题1-41,2,6
布置
学习
小结/
教学
反思
第6页共86页
§1.4.3单位圆与诱导公式(1)
授课
第周星期第节课型新授课主备课人
时间
学习1.巩固理解三角函数线知识,并能用三角函数线推导诱导公式;
目标2.能正确运用诱导公式求出任意角的三角函数值
重点
运用诱导公式求出任意角的三角函数值
难点
自主学习
1,(1)利用单位圆表示任意角a的正弦值和余弦值:尸(xj)为角a的终边与单位圆的交
点则sina=y,cosa-x;
2、诱导公式由三角函数定义可以知道:终边相同的角的同一三角函数值相等.
(1)公式一:
思考:除此之外还有一些角,它们的终边具有某种特殊关系,如关于坐标轴对称、关于原
点对称等,那么它们的三角函数有何关系呢?
当角a的终边与角/3的终边关于x轴对称时,a与夕的三角函数值之间的关系
为:_________________________________=
(2)公式二:
当角a的终边与角£的终边关于歹轴对称,或是关于原点对称时,a与4的三角函数值
之间的关系为:
(3)公式三:
学习
过程(4)公式四:
与方
说明:①公式中的a指使公式两边有意义的任意一个角;②若a是角度制
法
,同样成立,如sin(180°+a)=-sina,cos(180°+a)=-cosa;
③公式特点:函数名不变,符号看象限
精讲互动
例1例1.求下列三角函数值:
(1)sin960°;(2)cos(-8^);⑶tan(-1560u).
6
分析:先将不是[0°,360。)范围内角的三角函数,转化为[0°,360。)范围内的角的
三角函数(利用诱导公式一)或先将负角转化为正角然后再用诱导公式化到[0°,90°]
范围内角的三角函数的值。
【解】
第7页共86页
【归纳总结】:用诱导公式可将任意角的三角函数化为锐角的三角函数,其一般步骤是:
①化负角的三角函数为正角的三角函数;②化大于360°的正角的三角函数[0°,360°)
内的三角函数;③化[0°,360°)内的角的三角函数为锐角的三角函数.
可概括为:“负化正,大化小,小化锐”(有时也直接化到锐角求值).
例2判断下列函数的奇偶性:
(1)/(x)=1-cosx(2)g(x)=x-sinx
说明:公式二可直接对应三角函数的奇偶性.
达标训练
1.求下列各式的值⑴sin^-y^(2)sinf-y^
(1)f(x)=Isinx\
2.判断下列函数的奇偶性:J।1
(2)/(x)=sinxcosx
【延伸】例3.化简sin(a+〃")+sin(a一吻)(“wz)
sin(a+wr)cos(a-n兀)
说明:关键抓住题中的整数〃是表示乃的整数倍与公式一中的整数人有区别,所以必须把〃
分成奇数和偶数两种类型,分别加以讨论.
作业
习题1-47,8
布置
学习
小结/
教学
反思
第8页共86页
§1.4.3三角函数的诱导公式(2)
授课
第周星期第节课型习题课主备课人
时间
学习1.能近一步运用诱导公式求出任意角的三角函数值
目标2.能通过公式的运用,了解未知到已知、复杂到简单的转化过程
重点
运用诱导公式求出任意角的三角函数值
难点
第9页共86页
自主学习
1.知识链接:
公式一:sin(2A»+a)=cos(2上;r+a)=
公式二:sin(-a)=cos(-a)=;
公式三:sin(2%一a)=cos(2%-a)=
公式四:sin(4一a)=cos(不一a)=。
一句话:函数名不变,符号看象限
2.已知:tana=3,求----------------------的值.
4cos(-a)+sin(2〃-a)
学习
过程
与方说明:第二步到第三步应用了“弦化切”的技巧,即分子、分母同除以一个不为零的cosa,
法得到个只含tana的较简单的三角函数式。
3.若角a的终边与角夕的终边关于直线y=x对称(如图)(1)角a与角夕的正弦函数与
余弦函数值之间有何关系?
(2)角y-a的终边与角a的终边是否关于直线歹=x对称?
(3)由(1),(2)你能发现什么结论?
第10页共86页
精讲互动
.,3、
sin(—兀+a)=-cosa,
例1.求证:2
,3、^
cost——7t+a)=sina
2
例2已知cos(750+a)=—,且-180,<av-90,求cos(15°-。)的值。
3
【分析】注意到(15-a)+(75°+a)=90°,因此可将cos(15-a)转化为sin(75°+a)
达标训练
1.已知:tana=3,
TT7T
2cos(—a)-3sin(一+a)
求-----京-----------2——的值.
4cos(-—a)+sin(-+a)
2.若cos(75°+a)=§,a是第三象限角,cos(1051a)+sin(a・105。)的值等于_______
作业
习题1-47,8
布置
学习
小结/
教学
反思
第11页共86页
§1.4.3三角函数的诱导公式(3)
授课
第周星期第节课型新授课主备课人
旧何
学习1.能进•步运用诱导公式求出任意角的三角函数值;
目标2.能通过公式的运用,了解未知到已知、复杂到简单的转化过程
1K点'
运用诱导公式求出任意角的三角函数值
难点
自主学习
公式一:sin(2A7F+a)=________cos(2A7F+a)=___________;
公式二:sin(-a)=___________cos(-a)=_____________;
公式三:sin(2〃-a)=__________cos(2〃-a)=__________;
公式四:sin(万一a)=___________cos(4-a)=_____________;
公式五:sin(万+a)=____________cos(%+a)=_____________:
公式六:sin(5-a)=____________皿,(5-仪)=_______________;
公式七:);
学习sin^y+a]=____________cos^y+a=_____________
过程
与方注意:
法1.在诱导公式中,存在着角之间的关系,首先可以把负角的三角函数化为正角的三角
函数,然后把正角的三角函数化为0°〜360。角的三角函数,最后化为锐角三角函数,
这是三角函数化简、求值、证明的基础。
2.诱导公式的形式及符号尤为重要,如丝+a,ZeZ的三角函数必定符合某一个诱导
2
公式,公式记忆归纳为“奇变偶不变,符号看象限”,要注意理解和区别,以保证解
题的准确性。
例1.已知:cos(^--a)=g求:cos(葛+a)-sin2(a一令的值。
第12页共86页
精讲互动
例2已知A、B、C为A4BC的三个内角,求证:sin'=cos3
22
例3.若/(cosx)=cos3%,求满足f(sinx)=1时的x的值.
达标训练
若sin(a一乃)=2cos(2〜。),求,阿"一的二――的值
3cos(乃-a)-sin(-a)
作业
习题1-4B组1,2,3
布置
学习
小结/
教学
反思
第13页共86页
§1.5.1.2正弦函数图像
授课
第周星期第节课型新授课主备课人
时间
学习1.了解正弦函数图像的正弦线圆法,掌握正弦函数图像的几何特征;
目标2.掌握五点法,并能熟练会画一些简单的函数的图像.
重点
掌握正弦函数图像,能熟练会画一些简单的函数的图像
难点
自主学习
复习回顾正弦函数的定义,然后填空
sinx=cosx=_________
(一)从单位圆研究正弦函数的性质
请从正弦函数的定义和单位圆思考正弦函数的性质,并填空
(1)定义域________
(2)最大值______,最小值______,值域___________;
(3)在区间[0,2以上,函数y=sinx的单调行为:在______________上是增加的;
在___________上是减少的.
(二)正弦函数的图像
思考1:如何在直角坐标系中比较精确地描出这些点,并画出产sinx在
[0,2加]内的图象?(阅读教材22-23页)
(1)列表描点法①步骤_________________②优点___________
③缺点_________________
(2)正弦线法:①步骤_____________,_______________,
学习_____________,_______________
过程
与方正弦函数的图像的特征是_________________________________________
法此种画法:优点_____________
缺点______________
(3)五点法根据正弦函数的图像的形状特征,描出五个关键点,再顺连即可
精讲互动
看例1总结步骤
第14页共86页
达标训练
1用五点法画出下列函数在区间[0,2可上的简图
(1)y=-sinx
(2)y=l+inx
2填空题y=l+sinx,x£[0,2兀]的图像与直线y=1.5的交点个数为__________
3在[0,2冗]内y=4sinx的单调增区间为_______________
在单调减区间为_______________
4作课后练习并体会其特点
(1)
(2)
(3)
作业
习题1-52
布置
学习
小结/
教学
反思
第15页共86页
§1.5.3正弦函数的性质
授课
第周星期第节课型新授课主备课人
时间
学习1.利用正弦函数图像和单位圆理解正弦函数的性质,
目标2.进一步同样思想探究其他函数的性质.
重点
理解掌握并能熟练应用正弦函数的性质
难点
自主学习
1复习回顾正弦函数图像的特征,在上一节课中,我们己经学习了正弦函数的y=sinx在R
上图像,下面请同学们根据图像一起讨论一下它具有哪些性质?
2研究函数的性质应从哪几个方面去研究?
3.学习过程
请学生一边看书,一边仔细观察正弦曲线的图像,并思考以下儿个问题:
(1)正弦函数的定义域是什么?
(2)正弦函数的值域是什么?
(3)它的最值情况如何?
(4)它的正负值区间如何分?
(5)/(x)=0的解集是多少?
学习
归纳得出并填空
过程
1定义域:y=sinx的定义域为
与方
2值域:回忆单位圆中的正弦函数线,结论:|sinx|Wl(有界性)
法
再看正弦函数图象验证上述结论,所以y=sinx的值域为
3.最值:对于y=sinx
当且仅当x=时y„x=1
当且仅当*=时y»in=-l
符号:当时y=sinx>0
当时y=sinx<0
4.周期性:(观察图象)1。正弦函数的图象是有规律不断重复出现的:
2。规律是:每隔2兀重复出现一次(或者说每隔2k7t,keZ重复出现)
3。这个规律由诱导公式sin(2kn+x)=sinx也可以说明
结论:y=sinx的最小正周期为2兀
5.奇偶性
sin(—x)=—sinx(xGR)<y=sinx(xGR)是奇函数
6.单调性”
增区间为,其值从一[增至1;
减区间为,其值从]减至一]
第16页共86页
精讲互动
1.看书并填写下表:
函数
y=sinx函数性质图像特点
定义域向左、向右无限伸展
值域最高点,最低点
周期性平移得到
奇偶性关于原点对称
单调性在[一生+]t
22
在[2+2k7r,—+2kn]।
22
达标训练
1.填写课本27页练习于课本上
2.
作业
习题1-53,4,5
布置
学习
小结/
教学
反思
第17页共86页
§1.6.1余弦函数的图像
授课
第周星期第节课型新授课主备课人
旧何
1.通过类比正弦函数图像的画法,通过诱导公式能用图像平移的方法得到余弦的图像;
学习
II标2.利用五点法画一些简单的函数曲线.
重点
通过平移画一些简单的函数曲线.
难点
自主学习
回顾:1.正弦函数的图像及作法.
2.正弦函数的性质有哪些?
1.余弦函数图像的作法:
(1)儿何法:(类比正弦曲线)
学习
过程
与方
法
(2)描点法:(五点法)
第18页共86页
精讲互动
例1:试画出下列函数在区间xG【0,2n】上的简图.
①y=2+cosx;②y=cosx-l;③y=3cosx.
达标训练
1.在同一直角坐标系下画出下列函数的简图
y=cosx,y=2cosx,y=2cosx+l
作业
习题1-62
布置
学习
小结/
教学
反思
第19页共86页
§1.6.2余弦函数的性质
授课
第周星期第节课型新授课主备课人
旧何
1.了解余弦函数图像和正弦函数之间的联声工;
学习
2.利用余弦函数图像理解余弦函数的性质;
II标
3.余弦函数的简单应用.
重点
理解掌握并能熟练应用余弦函数的性方
难点
自主学习
复习回顾余弦函数图像的特征,在上.一节课中,我们已经学习了余弦函数的y=sinx在R
上图像,请同学们根据图像说出它罕『哪些性质?
Ak
,,、X,/
----------------------——-----------------x_z---------------
研究函数的性质应从哪几个方面去回斤究?
3.学习过程
请学生一边看书,一边仔细观察考三弦曲线的图像,并思考以下几个问题:
(1)余弦函数的定义域是什么?
(2)余弦函数的值域是什么?
(3)它的最值情况如何?
(4)它的周期性?
学习(5)它的单调性?
过程(6)〃x)=0的解集是多少?
与方日纳得出并填空
法1定义域:y=cosx的定义域为_
2值域:回忆单位圆中的正弦函娄攵线,结论:IcosxIWl(有界性)
再看正弦函数图象验证上述结丑所以y=cosx的值域为______
3.最值:对于y=cosx
当且仅当x=_________________时ymax=l
当且仅当x=_________________时Ymin=-1
符号:当____________________________时y=cosx>0
当_____________________________时y=cosx<0
4.周期性:(观察图象)1。正弦E总数的图象是有规律不断重复出现的;
2。规律是:每隔2兀重复出T见一次(或者说每隔2k兀,keZ重复出现)
3。这个规律由诱导公式cos(2kn+x)=cosx也可以说明
结论:y=cosx的最小正周期为2兀
5.奇偶性
cos(—x)=cosx(x£R)UAy=cosx(xeR)是偶函数
第20页共86页
6.单调性
增区间为_______________________________,其值从_]增至1;
减区间为______________________________,其值从]减至一]
精讲互动
1.看书并填写下表:
函数图像特点
y=cosx函数性质
定义域向左、向右无限伸展
值域最高点,最低点
周期性平移得到
奇偶性关于y轴对称
单调性
在[(2左一1)况2无加t
在[2%〃,(24+1)%]1
达标训练
1.填写课本32页练习于课本上
2.求满足COSX》上的X的集合
2
作业
习题1-63,4,5
布置
学习
小结/
教学
反思
第21页共86页
§1.7.1正切函数的定义
授课
第周星期第节课型新授课主备课人
旧何
1.了解任意角的正切函数概念;
学习
2.理解正切函数中的自变量取值范围;
II标
3.掌握正切线的画法;
重点
正切函数的概念、诱导公式、图像与性质
难点
自主学习
1.正切函数的定义:
在直角坐标系中,如果角a满足:______________,那么,角a的终边与单位圆交于
点P(a,b),唯一确定__________.根据函数定义,比值是角a的函数,我们把它叫作角
a的正切函数,记作_____________,其中a£R,a#+k兀,k£Z.
比较正、余弦和正切的定义,不难看出:tana=___________(a£R,a^+kn,k《Z).
由此可知,正弦、余弦、正切都是以角为自变量,以比值为函数值的函数,我们统称为
三角函数。
2.正切函数值在各象限的符号:
3.正切函数值的几何表示.
如右图,单位圆与x轴正半轴的交点为A(1,0),任意角ay|
的终边与单位圆交于点P,过点A(1,0)作x轴的垂线,与角
的终边或终边的延长线相交于T点。从图中可以看出:{一刃
当角a位于______________时,T点位于___________;4~//)
学习
当角a位于______________时,T点位于____________oVp/八
过程
分析可以得知,不论角a的终边在第儿象限,都可以构/沁斗/।
与方
造两个相似三角形,使得角a的正切值与有向线段AT的值相等。।
法
因此,我们称____________为角a的正切线。
精讲互动
1.正切函数的图象
⑴首先考虑定义域:xk7V+z)
(2)为了研究方便,再考虑一下它的周期:
i、sin(x+〃)-sinx(„a,71,
+=——-----飞=------=tanx\xeR,且x/左"+一,左wz
温馨提示
- 1. 本站所有资源如无特殊说明,都需要本地电脑安装OFFICE2007和PDF阅读器。图纸软件为CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.压缩文件请下载最新的WinRAR软件解压。
- 2. 本站的文档不包含任何第三方提供的附件图纸等,如果需要附件,请联系上传者。文件的所有权益归上传用户所有。
- 3. 本站RAR压缩包中若带图纸,网页内容里面会有图纸预览,若没有图纸预览就没有图纸。
- 4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途。
- 5. 人人文库网仅提供信息存储空间,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑,并不能对任何下载内容负责。
- 6. 下载文件中如有侵权或不适当内容,请与我们联系,我们立即纠正。
- 7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。
最新文档
- 2024-2029年中国信托投资行业市场发展现状及发展趋势与投资前景研究报告
- 2024-2029年中国保湿润肤露行业发展趋势及发展前景研究报告
- 2024-2029年中国保健品行业发展分析及投资前景预测报告预测
- 2024-2029年中国人脸识别行业发展分析及发展前景与趋势预测研究报告
- 2024-2029年中国互联网财富管理行业发展前景及投资风险预测分析报告
- 2024-2029年中国云服务器密码机行业市场现状分析及竞争格局与投资发展研究报告
- 2024-2029年中国二十六烷行业市场现状分析及竞争格局与投资发展研究报告
- 2024-2029年中国主题餐厅行业十四五发展分析及投资前景与战略规划研究报告
- 2024-2029年中国丙纶胶粉行业发展趋势及发展前景研究报告
- 2024-2029年中国PCB铣刀行业市场现状分析及竞争格局与投资发展研究报告
- 中国半导体静电吸盘行业发展报告2024年
- 2024年青海公务员考试行测真题及答案
- 血透室提高血红蛋白达标率PDCA
- 劳务派遣中介合同书
- 趸船总体建造方案 投标方案(技术方案)
- 小学教师禁毒培训课件
- 名爵汽车MG5说明书
- 中医推拿治疗小儿腹泻
- 新能源供热技术及应用
- 创业者的创业心态
- 房地产众美地产绩效考核制度样本样本
评论
0/150
提交评论