2021年中考考前模拟检测《数学卷》含答案解析

数学中考综合模拟检测试题

学校班级.姓名成绩.

一、选择题（每小题3分，共30分）

1.—2020的绝对值的倒数是（）

2.窗板即窗格（窗里面的横的或竖的格）是中国传统木构建筑的框架结构设计，下列表示我国古代窗板样

式结构图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）

3.如图，直线a,b被直线c,d所截，若Nl=/2,Z3=125°,则/4的度数为（）.

A.55°B.60°C.70°D.75°

4.关于龙的一元二次方程N+日-2=。（左为实数）根的情况是（）

A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根

C.没有实数根D.不能确定

5.从一个边长为3c机的大立方体挖去一个边长为1cm的小立方体，得到的几何体如图所示，则该几何体的

左视图正确的是（）

6.研究表明，某新型冠状病毒体大小约为125纳米也就是0.125微米，而95口罩能过滤0.3微米的颗粒，

并不能将病毒过滤，口罩的作用是阻挡病毒传播的“载体”，而非直接挡住病毒.1纳米就是0.000000001

米.那么0.3微米用科学记数法表示为（）

A.3x10-米B.0.3x10-8米C.3x105*D.3x10'米

7.48和。石是直立在水平地面上的两根立柱，AB=7米，某一时刻测得在阳光下的投影3c=4米，同

时，测量出0E在阳光下的投影长为6米，则。E的长为（）

1421247

A.一米B.一米C.三米D.一米

3276

8.如图，点4坐标是（—3,0）,点3的坐标是（0,8）,C为08的中点，将□ABC绕点8逆时针旋转90。

后得到△A'BC',若反比例函数y=七的图象恰好经过A3的中点。，则上的值是（）

X

A.24B.25C.26D.30

9.如图，=60°,以点O为圆心，以任意长为半径作弧交Q4,05于C,。两点；分别以C,D

为圆心，以大于工CD的长为半径作弧，两弧相交于点P；以。为端点作射线OP,在射线OP上截取线

2

段Q0=6cm,则射线上与点M的距离为2Am的点有（）

A.1个B.2个C.3个D.0个

10.如图，口。中，AB=AC^ZACB=75°,BC=4,阴影部分的面积是()

8乃4〃c47r

A.—+o8B.4百+——C.8H-----

333

二、填空题(共5小题，每小题3分，满分15分)

11.方程(x-2)卜+'=0解为.

12.在平面直角坐标系，点A坐标(-2,4),点3坐标(-4,0),点尸是线段A3的中点，若以原点。为位

似中心，把线段A3缩小为原来的|■得到线段A2',则点P的对应点尸'坐标是.

13.如图，四边形ABCD内接于口。，若四边形ABCO是平行四边形，则/ADC大小为.

14.如图，一架长为6米的梯子A5斜靠在一竖直的墙AO上，这时测得NABO=70。，如果梯子的底端B

外移到。，则梯子顶端A下移到C,这时又测得NCDO=50°,那么AC的长度约为

米.(sin70°«0.94,sin50°~0.77,cos70°«0.34,cos50°~0.64)

15.如图，将一张矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，点C的对应点为C',再将所折得的图形沿EF折叠,

使得点D和点A重合•若AB=3,BC=4,则折痕EF的长为

c

、D

B

三、解答题(共3小题，满分75分)

16.（1）+V27-2tan30o-（a：-l）（，；

(2)解方程:

①3x—（%-1）—3—2（%+3）；

②x(x—7)=8(7—x).

17.如图，己知菱形中ABCD,且440=60。延长AB至点E,使连接和CE.

(1)求证：LDAB沿5BE；

(2)求证：四边形DBEC是菱形.

18.如图，在平面直角坐标系中，一次函数丁=左逮+6的图象与反比例函数丁=8的图象交于4(4,—2),

X

3(—2,”)两点，与无轴交于点C.

(1)请直接写出不等式勺X+)<&的解集；

x

(2)将x轴下方的图象沿无轴翻折，点A落在点4处，连接A3,AC,求口48。的面积.

19.“一方有难，八方支援”是中华民族的传统美德.2月20日13时25分，山西第12批支援武汉医疗队

整装出发，在抗击新冠病毒战役中，我省支援湖北医疗队共1500多人奔赴武汉.其中小丽、小王和三个同

事共五人直接派往一线某医院，根据该医院人事安排需要先抽出一人去急诊科，再派两人到发热门诊，请

你利用所学知识完成下列问题.

(1)小丽被派往急诊科的概率是;

(2)若正好抽出她们一同事去往急诊科，请你利用画树状图或列表方法，求出小丽和小王同时被派往发

热门诊的概率.

20.为确保贫困人口到2020年底如期脱贫，习总书记提出扶贫开发“贵在精准，重在精准，成败之举在于

精准”，近年来扶贫工作小组对果农进行精准扶贫，帮助果农因地制宜种植一种有机生态水果并拓宽了市

场，有机生态水果产量呈逐年上升，去年这种水果产量是亩产约1000千克.

(1)预计明年这种水果产量要达到亩产1440千克，求这种水果亩产量去年到明年平均每年的增长率为多

少？

(2)某水果店从果农处直接以每千克24元批发，专营这种水果.调查发现，若每千克的平均销售价为41

元，则每天可售出300千克，若每千克的平均销售价每降低3元，每天可多卖出180千克，设水果店一天的

利润为3元，当每千克的平均销售价为多少元时.该水果店一天的利润最大，最大利润是多少？(利润计

算时，其它费用忽略不计)

21.在探究锐角三角函数的意义的学习过程中，小亮发现：“如图1,在RtZkABC中，ZC=90°,可探

究得到」n=‘h一”

sinAsinB

(1)请你利用图1探究说明小亮的说法是否正确；

(2)小丽猜想“如果在钝角三角形中，两个锐角正弦值与它们所对边的边长之间也有一定的关系“在图2

的钝角口的。中，是钝角，请你利用图2帮小丽探究一L与二一之间的关系，并写出探究过程.

sinAsinC

nhc

(3)在锐角口ABC中，——，——之间存在什么关系，请你探究并直接写出结论.

sinAsinBsinC

22.阅读材料：

我们知道：一条直线经过等腰直角三角形的直角顶点，过另外两个顶点分别向该直线作垂线，即可得三垂

直模型”如图①，在口45。中，NACB=90°,AC=BC,分别过A、3向经过点C直线作垂线，垂足

分别为。、E，我们很容易发现结论：AADC^ACEB.

(1)探究问题：如果ACwBC,其他条件不变，如图②，可得到结论；△ADCs^CEB.请你说明理

由.

(2)学以致用：如图③，在平面直角坐标系中，直线y与直线CD交于点"(2,1),且两直线夹角

3

为a,且tana=—,请你求出直线CD的解析式.

2

(3)拓展应用：如图④，在矩形ABCD中，AB=3,BC=5,点、E为BC边上一个动点、,连接AE，将

线段AE绕点E顺时针旋转90。，点A落在点P处，当点P在矩形A5CD外部时，连接PC,PD.若

△0PC为直角三角形时，请你探究并直接写出破的长.

23.如图，已知抛物线、=加+法+。(。W0)经过A(—LO),C(0,2),对称轴为直线》=万.

(1)求该抛物线和直线的解析式；

(2)点G是直线上方抛物线上的动点，设G点的横坐标为加，试用含加的代数式表示DGBC的面积,

并求出DGBC面积的最大值；

(3)设P点是直线％=1上一动点，"为抛物线上的点，是否存在点"，使以点3、C、P、"为顶点

的四边形为平行四边形，若存在，请直接写出符合条件的所有点“坐标，不存在说明理由.

答案与解析

一、选择题（每小题3分，共30分）

1.—2020的绝对值的倒数是（）

11

A.-2020B.2020C.------D.--------

20202020

【答案】C

【解析】

【分析】

根据绝对值和倒数的定义求解.

【详解】解：—2020的绝对值的倒数是一^

2020

故选：C.

【点睛】本题考查绝对值和倒数的定义，掌握概念正确求解是解题关键.

2.窗板即窗格（窗里面的横的或竖的格）是中国传统木构建筑的框架结构设计，下列表示我国古代窗根样

式结构图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是()

A.B.

国

函

国

一

函

函

SI一

耨

函

嘱

D.函

国

函

初

囹

一

一

一

【答案】A

【解析】

【分析】

根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解.

【详解】解：A、是中心对称图形，但不是轴对称图形,故此选项正确;

B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误;

C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项错误;

D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项错误.

故选：A.

【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿

对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合.

3.如图，直线a,b被直线c,d所截，若N1=N2,Z3=125°,则N4的度数为（）.

A.55°B.60°C.70°D.75°

【答案】A

【解析】

试题分析：：/l=N2,.•.a〃b,，N3的对顶角+N4=180。，N3的对顶角=/3=125。，,/4=180。-125。=55。,

故选A.

考点：平行线的性质与判定.

4.关于尤的一元二次方程/+区-2=。（左为实数）根的情况是（）

A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根

C.没有实数根D.不能确定

【答案】A

【解析】

【分析】

利用一元二次方程的根的判别式即可求

【详解】由根的判别式得，△=b2-4ac=k2+8>0

故有两个不相等的实数根

故选A.

【点睛】此题主要考查一元二次方程的根的判别式，利用一元二次方程根的判别式（A=b2-4ac）可以判断方

程的根的情况：一元二次方程的根与根的判别式有如下关系：①当时，方程有两个不相等的实数根；

②当△=（）时，方程有两个相等的实数根；③当△<（）时，方程无实数根，上述结论反过来也成立.

5.从一个边长为3c机的大立方体挖去一个边长为1cm的小立方体，得到的几何体如图所示，则该几何体的

左视图正确的是（）

【答案】c

【解析】

【详解】左视图就是从物体的左边往右边看.小正方形应该在右上角，故B错误，看不到的线要用虚线，

故A错误，大立方体的边长为3cm,挖去的小立方体边长为1cm,所以小正方形的边长应该是大正方形工,

3

故D错误，所以C正确.

故此题选C.

6.研究表明，某新型冠状病毒体大小约为125纳米也就是0.125微米，而95口罩能过滤0.3微米的颗粒，

并不能将病毒过滤，口罩的作用是阻挡病毒传播的“载体”，而非直接挡住病毒.1纳米就是0.000000001

米.那么0.3微米用科学记数法表示为（）

A.3x10-9米B.0.3x10-8米C.3义103米D.3x10-7米

【答案】D

【解析】

【分析】

绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为axlO-n,与较大数的科学记数法不同的是其所

使用的是负指数幕，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.

【详解】解：VI微米=0.000001米=1x10-6米

.1.0.3微米=0.3x1x10-6米=3x10-7米

故选：D.

【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为axlO,其中上闾＜10,n为由原数左边起第一

个不为零的数字前面的0的个数所决定.

7.A5和。E是直立在水平地面上的两根立柱，AB=7米，某一时刻测得在阳光下的投影=4米，同

时，测量出0E在阳光下的投影长为6米，则。E的长为（）

1421247

A.—米B.—米C.—米D.一米

3276

【答案】B

【解析】

【分析】

根据在同一时刻，不同物体的物高和影长成比例，构建方程即可解决问题.

【详解】解：如图，在测量AB的投影时，同时测量出DE在阳光下的投影长EF为6m,

VAABC^ADEF,AB=7m,BC=4m,EF=6m

.ABDE

•••7-DE9

46

21、

DE=——(m)

2

故选：B.

【点睛】本题考查了平行投影，解题的关键是记住在同一时刻，不同物体的物高和影长成比例.

8.如图，点A的坐标是(—3,0),点3的坐标是(0,8),C为08的中点，将□ABC绕点3逆时针旋转90。

后得到△A'BC',若反比例函数y=上的图象恰好经过43的中点。，则上的值是()

A.24B.25C.26D.30

【答案】C

【解析】

【分析】

作ATi_Ly轴于H.证明AAOB四△BHA，(AAS),推出OA=BH,OB=A,H,求出点A，坐标，再利用中点

坐标公式求出点D坐标即可解决问题.

【详解】解：作AHLy轴于H.

ZAOB=ZArHB=ZABAr=90°,

ZABO+ZArBH=90°,ZABO+ZBAO=90°,

.'.ZBAO=ZArBH,

VBA=BA\

•••△AOBdBHA'(AAS),

・・・OA=BH,OB=AH,

•・•点A的坐标是(-3,0),点B的坐标是(0,8),

AOA=3,OB=8,

.\BH=OA=3,A'H=OB=8,

・・・OH=5,

・・・A'(8,5),

,.,BD=AD,

・,13、

・・D(4,—),

2

..•反比例函数y=月的图象经过点D,

x

13

.\k=4Ax——=26.

2

故选：C.

【点睛】本题考查反比例函数图形上的点的坐标特征，坐标与图形的变化-旋转等知识，解题的关键是学会

添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题.

9.如图，ZA(9B=60°,以点。为圆心，以任意长为半径作弧交。4,08于C,。两点；分别以C,D

为圆心，以大于工⑺长为半径作弧，两弧相交于点P；以。为端点作射线0尸，在射线OP上截取线

2

段0/0=6的，则射线。4上与点〃的距离为26的的点有()

c,

A.1个B.2个C.3个D.0个

【答案】B

【解析】

【分析】

利用角平分线的作法得出0P是NAOB的角平分线，再利用含30。直角三角形的性质得出点M到OA的距

离，然后根据直线和圆的位置关系求得答案.

【详解】解：过点M作MELOA于点E,

由题意可得：OP是NAOB角平分线，

贝iJ/POA」x6（F=30。，

2

.•.ME=—OM=3.

2

,­"3<2A/3<6

.•.以M为圆心，2石为半径的圆与射线OA相交，

•••则射线Q4上与点〃的距离为26cm的点有2个

【点睛】此题主要考查了基本作图以及含30度角的直角三角形，正确得出OP是/AOB的角平分线并掌握

直线与圆的位置关系是解题关键.

10.如图，口。中，AB=AC>ZACB=15°,BC=4,阴影部分的面积是（）

8〃c彳64〃c47rA匚8兀

A.---F8B.413H----C.8H----D.4,3+—

3333

【答案】A

【解析】

【分析】

连接OB、OC,先利用同弧所对的圆周角等于所对的圆心角的一半，求出扇形的圆心角为60度，即可求出

半径的长4,利用三角形和扇形的面积公式即可求解；

【详解】解：作ODLBC,贝!JBD=CD,连接OB,OC,

,:AB=AC

.\AB=AC,

・・・A在BC的垂直平分线上,

:.A、O、D共线，

VZACB=75°,AB二AC,

・・・NABC=NACB=75。，

・•・NBAC=30。，

・・・ZBOC=60°,

VOB=OC,

.'.△BOC是等边三角形，

.\OA=OB=OC=BC=4,

VADXBC,AB=AC,

.•.BD=CD,

.•.00=273

.•.AD=4+25

SAABC=~BC*AD=—x4x(4+2-^3)=8+,

SABOC=—BC，OD=-x4x2A/3=4>/3,

22

60万x42

S阴影=SAABC+S«®BOC-SABOC=8+4A/3+-473

360

上+8

3

故选：A.

【点睛】本题主要考查了扇形的面积公式，圆周角定理，垂径定理等，明确S阴影=SAABC+S扇形BOC-SABOC是解

题的关键.

二、填空题(共5小题，每小题3分，满分15分)

11.方程(》-2)卜+5]=0的解为

【答案】七=2,x2=——

【解析】

【分析】

因式分解法解方程直接作答即可.

【详解】解：(x-2)lx+1j=0

%-2=0或x+工=0

2

解得：X]=2,x2=—

2

故答案为：X]=2,x2=――.

【点睛】本题考查因式分解法解一元二次方程，题目简单.

12.在平面直角坐标系，点A坐标(—2,4),点B坐标(—4,0),点尸是线段A3的中点，若以原点。为位

似中心，把线段A3缩小为原来的;得到线段45',则点P的对应点尸'坐标是.

【答案】[-川喉t]

【解析】

【分析】

利用中点公式求得点P的坐标，然后利用位似图形的性质，结合两图形的位似比进而得出尸'点坐标.

【详解】解：由A(—2,4),B(T，o),点P是线段AB的中点，

.-.P(-3,2)

1/以原点0为位似中心，线段AB缩小为原来的-得到线段A'B',

2

：.Af(-1,2),B'(-2,0)或"(1,-2),B'(2,0)；

；.点p的对应点p'或i]

故答案为：或|LI].

【点睛】此题主要考查了位似图形的性质，利用两图形的位似比得出对应点横纵坐标关系是解题关键.

13.如图，四边形ABCD内接于口。，若四边形ABCO是平行四边形，则ZADC的大小为.

【答案】60°

【解析】

分析：根据圆内接四边形的性质得到/D+/B=180。,根据圆周角定理得到ND=5/AOC,根据平行四边形的

性质列式计算即可.

详解：四边形ABCD内接于。O,；.ZD+ZB=180°,

由圆周角定理得，ZD=^-ZAOC,

,/四边形ABCO是平行四边形，

AZABC=ZAOC；.".2ZD=180o-ZD,

解得：ZD=60°,

故答案为60°.

点睛：本题主要考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理和平行四边形的性质，掌握圆内接四边形的对

角互补是解题的关键.

14.如图，一架长为6米的梯子A5斜靠在一竖直的墙A0上，这时测得NABO=70。，如果梯子的底端5

外移到。，则梯子顶端A下移到C,这时又测得NCDO=50°,那么AC的长度约为

米.(sin70°«0.94,sin50°~0.77,cos700~0.34,cos50°~0.64)

【答案】1.02

【解析】

【分析】

直接利用锐角三角函数关系得出AO,CO的长，进而得出答案.

【详解】由题意可得：

VZABO=JO°,AB=6m,

"°°=翁小94

解得：AO=5.64(m),

VZCDO=50°,DC=6m,

co

sin50°=—«0.77,

6

解得：CO=4.62(m),

则AC=5.64-4.62=1.02(m),

答：AC的长度约为1.02米.

故答案为1.02.

【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确得出AO,CO的长是解题关键.

15.如图，将一张矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，点C的对应点为C',再将所折得的图形沿EF折叠,

使得点D和点A重合•若AB=3,BC=4,则折痕EF的长为.

【答案】—

12

【解析】

【分析】

首先由折叠的性质与矩形的性质，证得DBND是等腰三角形，则在RtDABN中，利用勾股定理，借助于

方程即可求得AN的长，又由口人冲取口。?©,易得：NFDM=/ABN,由三角函数的性质即可求得

MF的长，又由中位线的性质求得EM的长，则问题得解

【详解】如图，设BC'与AD交于N,EF与AD交于M,

根据折叠的性质可得：/NBD=/CBD,AM=DM=—AD,/FMD=/EMD=90°，

2

•.•四边形ABCD矩形，

AD//BC,AD=BC=4,/BAD=90。，

../ADB=/CBD,

.-.^NBD=^ADB,

:.BN=DN,

设AN=x,则BN=DN=4—x,

•.•在RtDABN中，AB2+AN2=BN2.

222

.■.3+X=（4-X）,

7

7

即AN=—,

8

•,CD=CD=AB=3,4AD=/C=90。，/ANB=/CND,

.•JZANB0OCNDfAAS),

..^FDM=/ABN,

二.tan/TDM=tan/ABN,

.AN_MF

一AB-MD'

7

，I=MF-

"3-2

7

.-.MF=—,

12

由折叠的性质可得：EF±AD-

.-.EF//AB,

-.AM=DM-

13

.".ME=-AB=-,

22

3725

...EF=ME+MF=—+—=——，

21212

25

故答案为二.

【点睛】本题考查了折叠的性质，全等三角形的判定与性质，三角函数的性质以及勾股定理等知识，综合

性较强，有一定的难度，解题时要注意数形结合思想与方程思想的应用.

三、解答题(共3小题，满分75分)

16.(1)+V27-2tan30o-(7r-l)°；

(2)解方程：

①3%-(x-1)=3-2(%+3)；

②x(x—7)=8(7—x).

【答案】(1)1+—；(2)①x=—1；②占=7,々=8

3一

【解析】

【分析】

(1)先将负整数指数幕，二次根式，锐角三角函数，零指数塞进行化简，然后相加减即可；

(2)①解一元一次方程，去括号，移项，合并同类项，最后系数化1；

②用因式分解法解一元二次方程.

-1

【详解】解：(1)[g]

+V27-2tan30°-(^-l)0；

=2+3A/3-2X--1

3

=1+述

3

(2)①3%-(%-1)=3-2(x+3)

3x-x+l=3-2x-6

3%-x+2x=3-l-6

4x=-4

x=-l

@x(x-7)=8(7—x)

x(x-7)=-8(x-7)

x(x-7)+8(x-7)=0

(x-7)(x+8)=0

演=7,犬2=-8.

【点睛】本题考查实数的混合运算，一元一次方程和一元二次方程的解法，掌握运算步骤正确计算是本题

的解题关键.

17.如图，已知菱形中ABC。，且NHW=60。延长A5至点石，使BE=AB,连接5D和C£.

(1)求证：△DW2△CBE；

(2)求证：四边形DBEC是菱形.

【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.

【解析】

【分析】

(1)根据SAS定理判定三角形全等；

(2)先由一组对边平行且相等判定四边形DBEC是平行四边形，然后根据等边三角形的判定求得

AB=BD=BE,从而判定四边形。BEC是菱形.

【详解】解(1)•••菱形ABCD

AAD//BC,AD=BC

Z.CBE=ZDAB

'：BE=AB

/.ADAB^^CBE(SAS)

(2)•・•菱形ABCD,

：.DC//BE,DC=AD=AB=BE,

...四边形DBEC是平行四边形，

ZZMB=60°

/.△ABD是等边三角形

/.AB=BD=BE.

...四边形D3EC是菱形.

【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质及菱形的判定和性质，掌握性质定理正确推理论证是解题关键.

18.如图，在平面直角坐标系中，一次函数丁=左述+6的图象与反比例函数丁=幺的图象交于4(4,—2),

3(—2,〃)两点，与x轴交于点C.

(1)请直接写出不等式上述+》<&的解集；

x

(2)将x轴下方的图象沿x轴翻折，点4落在点4处，连接A3,AC,求口43。的面积.

【答案】(1)—2<x<0或x>4；(2)口人右。的面积为8.

【解析】

【分析】

(1)根据函数图像，一次函数和反比例函数的交点坐标确定不等式女述+》<&的解集；

(2)将A点坐标代入反比例函数解析式求左2=-8,确定反比例函数解析式，然后利用反比例函数解析式

求点B坐标，然后将A,B坐标代入一次函数解析式，待定系数法求函数解析式；从而确定C点坐标，然

后根据翻着性质求得4（4,2）,从而求三角形面积.

【详解】解：（1）根据函数图象可知—2<x<0或%>4.

（2）将4（4,—2）代入y=&得左2=-8,

._8

••y——.

x

OQ

将（-2,代入y=——,得"=一一,

x2

n=4,

将A（4,—2）,3（-2,4）代入丁=女科+6

Uk+b=-2

得4y

-2kl+b=4

[k,=—1

解得70,

[b=2

一次函数的关系式为y=-x+2,与x轴交于点C（2,0）,

图象沿x轴翻折后得4（4,2）,

SAKBC=（4+2）x（4+2）x；—gx4x4—gx2x2=8,

•••□ABC的面积为8.

【点睛】本题是一次函数和反比例函数综合题，使用的待定系数法，考查用函数的观点解决不等式问题.

19.“一方有难，八方支援”是中华民族的传统美德.2月20日13时25分，山西第12批支援武汉医疗队

整装出发，在抗击新冠病毒战役中，我省支援湖北医疗队共1500多人奔赴武汉.其中小丽、小王和三个同

事共五人直接派往一线某医院，根据该医院人事安排需要先抽出一人去急诊科，再派两人到发热门诊，请

你利用所学知识完成下列问题.

(1)小丽被派往急诊科的概率是:

(2)若正好抽出她们一同事去往急诊科，请你利用画树状图或列表的方法，求出小丽和小王同时被派往发

热门诊的概率.

【答案】(1)(2)小丽和小王同时被派往发热门诊的概率P=

56

【解析】

【分析】

(1)根据概率公式直接计算求解；

(2)根据题意列表，然后求出符合题意的事件发生的概率.

【详解】解：(1)由题意可知，共5人，

，小丽被派往发热门诊的概率是g；

(2)根据题意，列表如下：

小丽小王同事1同事2

小丽—小王，小丽同事1,小丽同事2,小丽

小王小丽，小王—同事1,小王同事3小王

同事1小丽，同事1小王，同事1—同事3同事1

同事2小丽，同事2小王，同事2同事1,同事2—

一共出现了12种等可能的结果，小丽和小王同时出现的有2种情况，

.♦・小丽和小王同时被派往发热门诊的概率P=-=-.

126

【点睛】本题考查树状图或列表法求概率，题目难度不大，正确理解题意画出表格或树状图是解题关键.

20.为确保贫困人口到2020年底如期脱贫，习总书记提出扶贫开发“贵在精准，重在精准，成败之举在于

精准”，近年来扶贫工作小组对果农进行精准扶贫，帮助果农因地制宜种植一种有机生态水果并拓宽了市

场，有机生态水果产量呈逐年上升，去年这种水果的产量是亩产约1000千克.

(1)预计明年这种水果产量要达到亩产144()千克，求这种水果亩产量去年到明年平均每年的增长率为多

少？

(2)某水果店从果农处直接以每千克24元批发，专营这种水果.调查发现，若每千克的平均销售价为41

元，则每天可售出300千克，若每千克的平均销售价每降低3元，每天可多卖出180千克，设水果店一天的

利润为卬元，当每千克的平均销售价为多少元时.该水果店一天的利润最大，最大利润是多少？(利润计

算时，其它费用忽略不计)

【答案】(1)平均每年的增长率为20%；(2)当每千克平均销售价为35元时，一天的利润最大，最大利

润是7260兀.

【解析】

【分析】

(1)设今年这种水果去年到明年每亩产量平均每年的增长率为无，然后根据“去年产量X(1+X)2=明年产量，，

列方程求解；

(2)设每千克的平均销售价为加元，根据“一天的利润=每千克利润X销售量”列出函数关系式，然后根据二

次函数的性质分析其最值.

【详解】解：(1)设今年这种水果去年到明年每亩产量平均每年的增长率为尤，

由题意，得：

1000(1+%)2=1440

解之，得：%=0.2=20%,%=-2.2(舍去)

答：平均每年的增长率为20%.

(2)设每千克的平均销售价为机元，由题意得：

w=(m—2“300+180x答

w=-60(m-35)2+7260

V-60<0

...当x=35时，卬取得最大值为7260.

答：当每千克平均销售价为35元时，一天的利润最大，最大利润是7260元.

【点睛】本题考查一元二次方程一增长率问题，二次函数的实际应用，掌握题中等量关系正确列式计算

是解题关键.

21.在探究锐角三角函数的意义的学习过程中，小亮发现：“如图1,在中，ZC=90°,可探

nh

究得到—-”

sinAsinB

BB

a

图1

(1)请你利用图1探究说明小亮的说法是否正确;

(2)小丽猜想“如果在钝角三角形中，两个锐角正弦值与它们所对边的边长之间也有一定的关系“在图2

nr

的钝角口48。中，是钝角，请你利用图2帮小丽探究一J与二一之间的关系，并写出探究过程.

sinAsinC

nhc

(3)在锐角口"。中，一J,——，——之间存在什么关系，请你探究并直接写出结论.

sinAsinBsinC

【答案】(1)小亮说法正确；(2)=探究过程见解析；(3)三=—二=$

sinAsinCsinAsinBsinC

【解析】

【分析】

(1)分别利用/A,/B的正弦值求出斜边c的长度，从而判断小亮的说法是否正确；

(2)过点3作BDLAC于。点，利用/A,NC的正弦值求出BD的长，从而得到usinA=a-sinC,

将等式进行变形得到结论；

(3)过点A作AM_LBC,过点B作BN_LAC,分别在Rt^ABM和RtZiACM中求出

hr

AM=sinZABCg:=sin。生，从而得到--------=-----，在RtAABN和RtABCM中，求出

sinZABCsinC

BN=sinZBACg:=sinCgi,从而得到——-——=—从而问题得解.

sinABACsinC

【详解】解：(1)二•在RtAABC中，sinA=-

C

a

c=------

sinA

b

・・・sin5=—

c

b

c-------

sinB

.a_b

sinAsinB

・••小亮说法正确；

(2)解：过点6作于。点,

BD

•・•在RtZkABD中，sinA=——

C

:.BD=c-sinA

B

•・•在中，sinC=——

a

:.BD=a-sinC

c・sinA=〃・sinC

.ac

••=；

sinAsinC

(3)过点A作AM_LBC,过点B作BN_LAC

在RtAABM和RtAACM中,AM=sinZABCg:=sinC由

.b_c

sinZABCsinC

在Rt^ABN和RtZ^BCM中，BN=sinZBACg:=sin

..・a_c

sinABACsinC

,a=b=c

sinABACsinZABCsinC

abc

a即n----=-----=-----.

sinAsinBsinC

【点睛】本题考查解直角三角形，掌握正弦公式正确推理计算是解题关键.

22.阅读材料：

我们知道：一条直线经过等腰直角三角形的直角顶点，过另外两个顶点分别向该直线作垂线，即可得三垂

直模型”如图①，在UABC中，NACB=90°,AC=BC,分别过A、3向经过点C直线作垂线，垂足

分别为。、E，我们很容易发现结论：AADC丝LCEB.

(1)探究问题：如果ACwBC,其他条件不变，如图②，可得到结论；AADCsACEB.请你说明理

由.

(2)学以致用：如图③，在平面直角坐标系中，直线y=gx与直线CD交于点且两直线夹角

3

为a,且tana=—,请你求出直线CD的解析式.

2

(3)拓展应用：如图④，在矩形ABCD中，AB=3,3C=5,点E为边上一个动点，连接AE,将

线段AE绕点E顺时针旋转90。，点A落在点P处，当点尸在矩形A5CD外部时，连接PC,PD.若

△0PC为直角三角形时，请你探究并直接写出3E的长.

【答案】(1)理由见解析；(2)y=--x+—；(3)BE长为3或7+历

774

【解析】

【分析】

(1)根据同角的余角相等得到N5CE=NZMC,然后利用AA定理判定三角形相似；

(2)过点。作ONLQ0交直线CD于点N,分别过〃、N作MELx轴，NRLx轴，由(1)得

NFOFNO

ANFO^^OEM,从而得到——=—=——，然后结合相似三角形的性质和锐角三角函数求出

OEMEMO

3

NF=3,OF=~,从而确定N点坐标，然后利用待定系数法求函数解析式；

2

(3)分两种情形讨论：①如图1中，当NPDC=90。时.②如图2中，当/DPC=90。时，作PF_LBC于F,

PH_LCD于H,设BE=x.分别求解即可.

【详解】解：(1)VZACB=90°,AZACD+ZBCE=90°

又,:ZADC=90°

：.ZACD+ZDAC=90°

：.ZBCE=ZDAC

ZADC=ZBEC=90°.

：.△ADCMcgs

（2）如图，过点。作ON，OM交直线CD于点N,

分别过M、N作轴，NF,无轴

NFOFNO

由（1）得△NFOS^OEM

OEMEMO

坐标(2』)：.OE=2,ME=l

...3.ON3

•tanoc——••-----——

2OM2

解得：NF=3,OF=~

设直线CD表达式为＞=区+6,代入7vU|,3

2k+b=l

415

:.直线CD表达式y=--x+—

77

(3)解：①如图1中，当NPDC=90。时,

,DI

VZADC=90°,

.\ZADC+ZPDC=180°,

:.A、D、P共线，

VEA=EP,ZAEP=90°,

AZEAP=45°,VZBAD=90°,

/.ZBAE=45°,VZB=90°

.\ZBAE=ZBEA=45°,

・・・BE=AB=3.

②如图2中，当NDPC=90。时，作PF_LBC于F,PH_LCD于H,设BE=x,

图2

VZAEB+ZPEF=90°,ZAEB+ZBAE=90°,

・・・ZBAE=ZPEF,

/BAE=ZPEF

在AABE和4EFP中，

AE=EP

.,.△ABE^AEFP,

・•・EF=AB=3,PF=HC=BE=x,

ACF=3-(5-x)=x-2,

VZDPH+ZCPH=90°,NCPH+NPCH=90。，

AZDPH=ZPCH