新人教版高中数学选择性必修第一册第三章双曲线的简单几何性质培优练习题

3.2.2双曲线的简单几何性质

学习指导核心素养

1.数学抽象：依据双曲线的方程研究双

1.掌握双曲线的几何图形及简单几何性

曲线的几何性质.

质.

2.数学运算：依据几何条件求出双曲线

2.通过双曲线的方程的学习，进一步体

的标准方程.

会数形结合的思想，了解双曲线的简单

3逻.辑推理：直线和双曲线的位置关系

应用.

的判定.

第1课时双曲线的简单几何性质（一）

必备知识一3医

知识点一双曲线的几何性质

焦点在X轴上焦点在V轴上

5=l(a>0,b>0)

标准方程方一/=1(40,b>0)

y

图形少W.

隹占

，♦'、，、、、Fi(~c,0),F2(C,0)B(0,—c),b2(0,c)

焦距|FIF2|=2C

x^~a或y^~a或

范围

yER

对称性对称轴：坐标轴,对称中心：原点

顶点A\(—cb0)>0)Ai(0,—a),A2(0>a)

实轴：线段皿，长：2a；虚轴：线段纵曲，长：2b,

轴

实半轴长：a,虚半轴长：b

离心率e=~g(l,+0°)

a----L

ba

渐近线y=±=x

工------a-

物IT求双曲线9_/一4_?=-36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、

离心率、渐近线方程.

7272

【解】将9尸—4f=-36化为标准方程为5一：=1,即率一卷=1,

所以a=3,b=2,c=y[13.

因此顶点坐标为4（一3,0）,42（3,0）,

焦点坐标为Fi（-V13,0）,F2（V13,0）,

实轴长2〃=6,虚轴长2〃=4,

土苏£

离心率—3»

,b2

渐近线方程为±-x=±gx.

盥题技巧------------------------------

由双曲线的标准方程求几何性质的四个步骤

。跟踪训练

1.双曲线39—9=3的渐近线方程是（）

1

A.y=±3xB.y=±gx

C.y=i\/3xD.y=±x

解析：选C.双曲线3f—V=3化为标准方程为?=i,。=1,b=y[3,

b

所以其渐近线方程为y=±，九=±V§x,故选C.

2.双曲线'+V=1的虚轴长是实轴长的2倍，则机=（）

1

---4

4BD.

1

AC.4-

4

解析：选B.双曲线方程化为标准形式y2—=1,则有/=],吩=—m,

—m

由题意知2=7—m,解得〃?=—4.

知识点二等轴双曲线

实轴和虚轴隹的双曲线叫做等轴双曲线，它的渐近线方程为V=±A-,离心

率为e=yf2.

圈点拨-----------------------------------

等轴双曲线的特征是a=b,等轴双曲线的方程可以设为.当

A>0时，双曲线的焦点在x轴上；当2<0时，双曲线的焦点在y轴上.

.........一口键熊力二强Ei狙

考点一利用几何性质求双曲线的标准方程

吟求适合下列条件的双曲线的标准方程.

⑴虚轴长为12,离心率为总；

(2)过点(2,0),与双曲线,一器=1离心率相等.

?222

【解】⑴设所求双曲线的标准方程为'一%=1或%V=1(«>0,b

>0).

5

由题意知28=12,-c=彳,且/=/+/,

所以方=6,c=10,a=8,

7222

所以所求双曲线的标准方程为肃一女=1或点一六V=1.

92

(2)当所求双曲线的焦点在x轴上时，可设其方程为高一系=犯>0),将点

1/

(2,0)代入方程得人=正,故所求双曲线的标准方程为4—f=l；

当所求双曲线的焦点在y轴上时，可设其方程为爵-%=2(A>0),将点(2,

0)代入方程得4=一(<0(舍去).

综上可知，所求双曲线的标准方程为a-/=1.

II题技巧------------------------------

已知双曲线的几何性质求双曲线的标准方程的步骤：(1)确定焦点所在的坐标

轴，由此确定双曲线的标准方程的形式；(2)建立关于。，九c的关系式或方程(组)

解出a,匕的值.

＜跟踪训练求满足下列条件的双曲线的方程：

(1)已知双曲线的焦点在x轴上，离心率为|,且经过点加(-3,2小)；

(2)一个焦点为(0,13),且离心率为彳；

(3)过点(2,1)的等轴双曲线.

9?

解：⑴设所求双曲线方程为a一营=1(«＞0,。＞0).

,5

因为e=^,

/+〃尤_25

所以=1+7=~9

/74

所用=3•

9

心2-

a3，a-4

由题意得j912解得‘

O2-4

2一正=]，

所以所求的双曲线方程为一彳=1.

c13

(2)依题意可知，双曲线的焦点在y轴上，且c=13,又％=5,

所以a=5,b1=c1—cP-=144,故其标准方程为会~~[44=L

(3)设双曲线方程为f-y="/lWO),代入点(2,1),则2=3,

99

所以所求双曲线方程为"2=1.

考点二双曲线的离心率

EH](1)已知双曲线$-f=1(4巾)的两条渐近线的夹角为W，则双曲

线的离心率为()

A.芈B.2

C.或2D.y/3

(2)如果双曲线，-p=l(a〉O,力＞0)右支上总存在到双曲线的中心与右焦点

距离相等的两个相异点，则双曲线离心率的取值范围是

、历\[271

【解析】(1)双曲线的渐近线方程为x,由已知得=tan%

—tan:,所以a=#或。=芈(舍去).又匕=啦,所以c=2啦,所以双曲线

4*c2小

的离心率e=-=^--

(2)如图，因为HO|=|AR,F(c,0),所以羽=专.

又因为A在右支上且不在顶点处，

所以］＞a,所以e=\＞2.

故双曲线离心率的取值范围为(2,+8).

【答案】(1)A(2)(2,+8)

国题技巧------------------------------

求双曲线离心率的两种方法

(1)直接法：若已知a,c,可直接利用e=§求解；若已知a,b,可利用e=

求解•

(2)方程法：若无法求出a,b,c的具体值，但根据条件可确定。，b,c之间

的关系，可通过〃=/一/,将关系式转化为关于a,c的齐次方程(不等式)，借

助于e=§,转化为关于e的〃次方程(不等式)求解.

＜跟踪训练过双曲线的一个焦点F2作垂直于实轴的弦PQ，Q是双曲线

7T

的另一个焦点.若NPBQ=]，则双曲线的离心率e等于（）

A.\[2-1B.啦C.72+1D.^2+2

〃兀

解析：选C.由题意可知|PF2|=",|B3|=2c.因为NP为。=2,所以|尸巳|

h2

=|b|尸2],所以二—2c,即c92—a92=2ac.

等式两边同除以。2,得/—l=2e,即/—2e—1=0.

解得e=6+1或e=l—也（舍去）.

\课堂巩固-自1测

'---------------------------7--------

1.双曲线看一代=1的左焦点与右顶点之间的距离等于（）

A.6B.8C.9D.10

解析：选B.由已知得左焦点（-5,0）,右顶点（3,0）,所以左焦点与右顶点之

间的距离等于8.故选B.

2.（多选）已知双曲线方程为/-8产=32,则（）

A.实轴长为B.虚轴长为4

C.焦距为6D.离心率为叶-

解析：选ABD.双曲线方程f-8俨=32化成标准方程为服一"=1,可得a

=4取,b=2,c=6.所以双曲线的实轴长为8近，虚轴长为4,焦距为12,离

心率为平.

3.两个正数0,。的和为5,积为6,且a泌，则双曲线点一方=1的离心

率6=,渐近线方程为

a+b=5y

解析：由4/

ab=6,

a=2,。=3,

解得或“

b=3b=2.

又所以a=3,b=2,

I—cy]13

所以c=yj13,所以=3.

2

渐近线方程为y=±2

答案：y=±|x

4.（2021・高考全国卷乙）已知双曲线C：£一寸=1（加〉0）的一条渐近线为小

x+my=0,则C的焦距为.

x21

解析：双曲线一一V=1（加＞0）的渐近线为y=±-f=x,即x±y/my=0,又双

曲线的一条渐近线为小x+fny=0,即x+去旷=0，对比两式可得，根=3.设双

曲线的实半轴长为。，虚半轴长为b,半焦距为c,则有片=m=3,b2=1,所以

双曲线的焦距2c=21层+〃2=4

答案：4

小课后达两0陶脚\

[A基础达标]

1.下列双曲线中离心率为坐的是（）

x2y2x2

A-74=1B-42=1

C芷一q=1D=1

。46।u-4101

、北c3c23a2+b23pi

解析：选B.由e=^-得e-=],所以1=],则?=],所以六=2，

即片=2层.因此可知B正确，故选B.

92

2.（2021・高考全国卷甲）点（3,0）到双曲线条一?=1的一条渐近线的距离

1oy

为（）

98

A.B.

55

64

C.D.

55

解析：选A.由双曲线的方程知，a=4,b=3,焦点在x轴上，所以双曲线的

3

一条渐近线方程为即3x—4y=0,由点到直线的距离公式得，点(3,0)

13X3-4X019

到双曲线的一条渐近线的距离为/,,=7.故选A.

$+(-4)25

3.若。>1,则双曲线5一尸=1的离心率的取值范围是()

A.(^2,+°°)B.(y[2,2)

C.(1,y[2)D.(1,2)

解析：选C.依题意得，双曲线的离心率e=\，l+5，因为a>l,所以e£(l,

^2),故选C.

4.(多选)关于双曲线G：4f—9y2=-36与双曲线C2：4f—9^=36的说法

正确的是()

A.有相同的焦点B.有相同的焦距

C.有相同的离心率D.有相同的渐近线

22yl2

解析：选BD.两方程均化成标准方程为:一方V=1和可一、=1,这里均有

C2=4+9=13,所以有相同的焦距，而焦点一个在y轴上，另一个在x轴上，所

2

以A错误，B正确；又两方程的渐近线均为y=±g无，故D正确；G的离心率e

=芈，C2的离心率6=半，故C错误.

97

5.在平面直角坐标系X。》中，若双曲线*一言^=1的离心率为小，则

m的值为.

dm+irr+4

解析：因为/=根+①2+4,所以/=滔=-=5,所以加2—4m+4

=。，解得加=2.

答案：2

6.若双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的6倍，且一个顶点的坐标

为(0,2),则双曲线的标准方程为.

解析：因为双曲线一个顶点的坐标为(0,2),所以。=2,

v2X2

所以双曲线的标准方程为:—^2=1.

根据题意，得2a+2b=y/iX2c,

即a+b=y/2c.

又因为。2+62=/,且。=2,

a+b=y[2c,

所以＜/+〃=/,

、。=2,

解得。=2,

所以双曲线的标准方程为:一q=1.

答案：4~4=1

7.根据以下条件，求双曲线的标准方程.

(1)过点P(3,一小)，离心率为近；

(2)两顶点间的距离是6,两焦点的连线被两顶点和中心四等分.

解：(1)由=y/2,知。=啦a,因此。=".

即所求双曲线为等轴双曲线，设其方程为x2—产=2(2*0),

又点P(3,-y/5)在双曲线上，所以9—(一小)2=九即2=4.

X2V2

所以所求双曲线的标准方程为W-4=1・

(2)由两顶点间的距离是6得，2。=6,即。=3.

由两焦点的连线被两顶点和中心四等分可得，2c=4a=12,即c=6,于是有

b2=c1—a2=62—32=27.

X22

由于焦点所在的坐标轴不确定，故所求双曲线的标准方程为5—务=1或

927=1.

[B能力提升]

已知双曲线05Y

8.=1,则n>m>0是双曲线C的离心率大于也的

)

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

fy2

222

解析：选A.因为双曲线C:——=1,若n>m>0,则a=m,b=nyc

m+n>

=/+。2=加+〃，所以--c^m=近，故充分性成立；若

em

n<m<0,则a1=—n,b2=—mc2a2+b2=—(m+n),所以e=M

—(m+n)'271L

~=\2,故必要性不成立.故">相>0是双曲线C的离心

—n

率大于啦的充分不必要条件.

9.若双曲线C。-/=1的左、右焦点分别为R,Fi,P为双曲线C上一

点，满足尸尸］，尸2=0的点P依次记为尸1,2，尸3,24,则四边形P1P2P3P4的面

积为(

A.B.2小

。5

解析：选C.因为尸尸1/3=0,所以PBJ_PF2,所以点P在以线段/正2为直

,,2^6

况=将

径的圆上，且易知圆的方程为f+y2=5.由，4可得J根据双

/+/=5,

曲线的对称性可知，四边形PiP2P3P4为矩形，其面积为4|x||y|=4X

,故选C.

10.已知双曲线u-r=1(«>0,〃>0)的离心率为2,且与椭圆福=1

b1

的焦点相同，那么该双曲线的焦点坐标为,渐近线方程为

解析：因为椭圆芯+g=1的焦点坐标为(±4,0),所以双曲线的焦点坐标

为(±4,0).

7=4,

/=4,

又因为

1^=2,所以,

lr=12,

=4+%

。=2,

即，厂所以渐近线方程为，§x±y=0.

[6=2勺3,

答案：(±4,0)小壮y=0

11.设点P在双曲线a-p=1(4>0,"))的右支上，双曲线的左、右焦点

分别为B，Fi,\PFI\=4\PF2\，则双曲线离心率e的取值范围为.

解析：由双曲线的定义，得|PR|—|PF2|=2a.

82

又因为|PFI|=4|P?2|,所以|PF1|=Wa,|PF2|=Wa.

Q2

又易知IPRI+IPBINIFEI,即]a+]a22c,

“5、,c.5

所以§a^c,则二.

又e>l,所以l<e〈§.

答案：(1，|

12.已知双曲线E：——5=1(20).

mJ

(1)若〃2=4,求双曲线E的焦点坐标、顶点坐标和渐近线方程；

(2)若双曲线七的离心率eG偿，⑹,求实数机的取值范围.

幺

解：(1)当机=4时，双曲线方程为£2=1,

所以。=2,b=y[5,c=3,

所以双曲线E的焦点坐标为(一3,0),(3,0),顶点坐标为(一2,0),(2,0),

渐近线方程为y=±2'x-

c2m+55八后35

(2)因为/o=了=—=1+-，ee因，码,所以2<1+-<2,解得

5<m<10,

所以实数〃z的取值范围是(5,10).

第2课时双曲线的简单几何性质(二)

(关键能力P展EJ\

考点一双曲线的渐近线方程

瓯n求过点(2,—2)且与双曲线f-/=i有共同渐进线的双曲线的标

准方程.

/I?

【解】方法一：当焦点在x轴上时，可知"=2，故可设所求双曲线的

72

方程为去一%=1，代入点(2,-2),得〃=一2(舍去)；当焦点在y轴上时，

历2)

可知^^2，故可设所求双曲线的方程为方一券=1，

代入点(2,-2),得/=2.

、V2X2

所以所求双曲线的标准方程为M—疝=1.

X2

方法二：因为所求双曲线与已知双曲线2一丁=1有相同的渐近线，所以可

设所求双曲线的方程为彳一丁=42工0),代入点(2,-2),得丸=—2,所以所求

双曲线的方程为彳一V=-2,化成标准方程为5—4=1.

[1题技巧------------------------------

巧设双曲线方程的方法与技巧

(1)与双曲线最一务=1具有相同渐近线的双曲线方程可设为:一^=

犯#0).

(2)渐近线为ax±hy^0的双曲线方程可设为//一版/二〃%#。).

《:跟踪训练

1.以直线小x土y=0为渐近线，一个焦点坐标为(0,2)的双曲线方程是

()

A.y—)r=­1B.=1

92

C.y—y2=lD.x2—=—1

解析：选D.因为一个焦点坐标为（0,2）,所以双曲线的焦点在y轴上.因为

*

2

渐近线方程为小x±.y=O,所以可设双曲线方程为V—3f=，2>0）,即92-

A3一

1,故22=2+],解得4=3,所以双曲线的方程为X2一方=-1.故选D.

2.已知双曲线过点（4,小）,且渐近线方程为y=土;x,则该双曲线的标准

方程为.

解析：方法一：因为双曲线的渐近线方程为y=±Tx,

所以可设双曲线的方程为f—4），2=2（2#0）.

因为双曲线过点（4,小）,所以4=16—4X（小）2=4,

所以双曲线的标准方程为I—y2—1.

方法二：因为渐近线y=Tx过点（4,2）,而S<2,

所以点（4,小）在渐近线y=Tx的下方，

在y=—gx的上方（如图）.

故可设双曲线方程为U一方=l（a>0,b>0）.

h1

1次=4,

由已知条件可得163।解得廿=1,

—

所以双曲线的标准方程为a-y2—i.

答案：f-/=1

考点二双曲线性质的综合应用

瓯为⑴已知定点A,B且|4明=4,动点P满足|附一|P阴=3,则|网的最

小值为•

(2)已知双曲线C：J一方=1(«>0,拉>0)的右焦点为凡左顶点为A,。为

坐标原点，以OF为直径作圆交双曲线的一条渐近线于点P,且|R1|=|PF|,则双

曲线的离心率e=.

【解析】(1)如图所示，点P是以A,B为焦点的双曲线的上彳

右支上的点，当P在M处时，陷|最小，最小值为a+c=|+240—十2

_7

=2­

b

(2)由题可知A(—a,0),F(c,0),双曲线的渐近线的方程为y=±/x,可取

b

y■=~ax,'

以OF为直径的圆的方程为

由|E1|=|PF|,可得百

即c1—ac=2a1,e1—e—2=0,

所以(e—2)(e+l)=0,

解得e=2或e=-l(舍去)，

故双曲线的离心率e=2.

7

【答案】(1)2(2)2

陶题技巧---------------------------------

b.____

双曲线的离心率与渐近线方程之间有着密切的联系，可以借助4

进行互求.一般地，如果已知双曲线离心率的值求渐近线方程，或者已知渐近线

方程，求离心率的值，都会有两解（焦点在x轴上和焦点在y轴上两种情况），不

能忘记分类讨论.

＜跟踪训练

1.已知双曲线七

=1的实轴长为8,则该双曲线的渐近线的

5m~1

斜率为（）

53

A.±gB.±5

C.土土D.土g

72

解析：选C.由双曲线，，工一丁^—7=1的实轴长为8,可得"»+12=16,

m~+l25m—1

解得m=2或加=一2（舍去）.所以双曲线的渐近线方程为;±|=0,则该双曲线

的渐近线的斜率为，.故选C.

x2V2

2.（多选）（2022•潍坊3月一模）已知双曲线C：-—K=1（。＞0）的左、右焦

CI7

3

点分别为尸”Fi，一条渐近线方程为x,P为。上一点，则（）

A.。的实轴长为8

B.C的离心率为|

C.C的焦距为10

D.|PFI|-|PF2|=8

,33

解析：选AC.双曲线c的渐近线方程为y=±~x.又一条渐近线方程为y=j

x,则工,解得。=4,所以实轴长为8,A正确.又。=3,所以。=[16+9

c5

=5,离心率e=£，焦距为2c=10,B错误，C正确.由双曲线的定义知|尸Fi|

一|尸&|=±8,所以D错误.

考点三直线与双曲线

?2

瓯可已知双曲线，一方=1(40,/?>0)的虚轴长为2#,且离心率为

(1)求双曲线的方程；

(2)作经过双曲线右焦点B且倾斜角为30。的直线，直线与双曲线交于不同

的两点A,B,求

【解】⑴因为双曲线i一方=l(«>0,b>0)的虚轴长为2址,离心率

Cc_J-卜=但

为小,所以结合(？=/+匕2,解得<。=加,

〔。=侃[c=3.

Ry2

所以双曲线的方程为一1=1.

(2)由⑴知双曲线亍一%=1的右焦点为丘2(3,0).

则经过双曲线右焦点巳且倾斜角为30。的直线的方程为y=y-。-3),由

消去y得5/+6x—27=0,J>0.设A(xi,yi),B(xi,”),

尸乎(%—3),

,627

则X|+l2=一《,X\X2=一—

所以\AB\=■|xi-xi\

11题技巧---------------------------------

解决直线与双曲线的位置关系问题，一般采用代数法，即将直线方程与双曲

线方程联立，通过判别式/的符号决定位置关系.同时涉及弦长问题时，往往采

用设而不求的办法，即设出弦端点的坐标，利用一元二次方程根与系数的关系，

结合弦长公式进行求解.

《跟踪训练直线y=x+l与双曲线f1=1相交于A,8两点，则线

段AB中点P的坐标为.

解析：由彳4'消去y得4f—(X+1)2—4=0.

y=x+l,

化简，得3f—2光一5=0.

2

因为/〉0,所以可设此方程的解为沏，X2,则有Xl+x2=§,

Xl+X2114

设P(xp,yp),所以xp=2=]>yp=q+1=W,

答案：R3

《课堂巩固E自测

1.若双曲线，一方=13〉0"〉0)的离心率为小，则其渐近线方程为()

A.y=±y[2xB.y=±\f3x

C.y=±xD.^=±2x

Cf-b1C2—fl2b

解析：选A.因为e=「=、3,所以7=-~2—=/—1=3—1=2,所以吃

=A/2.又渐近线方程为y=±(x,所以渐近线方程为y=：t\"x.

2.过双曲线/一?=1的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条

渐近线于A,B两点,则|AB|=()

A.华B.2s

C.6D.4小

解析：选D.由题知双曲线的右焦点为F(2,0),过点尸且与x轴垂直的直线

为x=2,渐近线方程为y=±\/§x,将x=2代入y=：b\/5x得，y=±2小，所以

|A8|=4#.故选D.

3.若直线y=丘与双曲线4/一>2=16相交，则实数人的取值范围为()

A.(-2,2)B.[-2,2)

C.(-2,2]D.[-2,2]

解析：选A.易知ZW±2,将y=依代入4f一尸=16得关于x的一元二次方

程(4一F)%2—16=0,由/＞0解得一2〈人＜2.

4.已知双曲线E与双曲线需-f=1共渐近线，且过点,—3).若

双曲线M以双曲线E的实轴为虚轴，虚轴为实轴，试求双曲线M的标准方程.

尤2y

解：由题意，设双曲线E的方程为汽-方■=f(rW0).

22

r工,(273)(-3)

因为点42^/3,—3)在双曲线£上，所以南—=t,所以

1y2X2

f=­W，所以双曲线E的标准方程为§—W=1.

又双曲线M以双曲线E的实轴为虚轴，虚轴为实轴，则双曲线M的标准方

程为。-f=1.

4

课后达标一检测

[A基础达标]

1.若双曲线了—^2=1(。＞0,方＞0)的一条渐近线经过点(3,—4),则此双

曲线的离心率为()

A.乎5

4

45

C.D.

33

h4、序255

解析：选D.由题意知，-=),则e2=l+7=标，解得e=$.故选D.

2.已知双曲线的方程为/一；=1,过P(l,0)的直线/与双曲线只有一个

公共点，则直线/共有()

A.4条B.3条

C.2条D.1条

解析：选B.因为双曲线的方程为x2—；=1,所以P(l,0)是双曲线的右顶

点，所以过P(l,0)并且和x轴垂直的直线是双曲线的一条切线，与双曲线只有

一个公共点，另外还有两条就是过点P(l,0)分别和两条渐近线平行的直线，所

以符合要求的直线共有3条，故选B.

3.已知双曲线C，4=l(a>0,6>0)的一条渐近线方程为尸坐x,

且与椭圆为+f=1有公共焦点(±3,0),则双曲线C的方程为()

解析：选D.因为双曲线C:R-p=13〉0,8>0)与椭圆五+七=1有公

b

共焦点(±3,0),所以c=3,所以/+方2=9①.由双曲线C的渐近线方程为y=土工

X,得5=乎②.由①②解得,。=小,则双曲线C的方程为7=

1.故选D.

4.(多选)若双曲线C：，一胃=1(«>0,">0)的实轴长为6,焦距为10,右

焦点为F,则下列结论正确的是()

A.。的渐近线上的点到b距离的最小值为4

B.。的离心率为(

C.。上的点到E距离的最小值为2

D.过尸的最短的弦长为学32

解析：选AC.由题意可得2a=6,2c—10,所以a=3,c=5,b=y1cl—拼=

4,右焦点F(5,0),渐近线的方程为4在3y=0,所以C的渐近线上的点到点产

距离的最小值为点尸到渐近线的距离，为方=4,所以选项A正确；离心率e=：

=1,所以选项B不正确；双曲线上的点为顶点时到相应焦点的距离最小，为5

-3=2,所以选项C正确；若过点F的直线与双曲线的右支相交于两点，则当

这条直线垂直于x轴时，弦长最短，为平=苧；若过点F的直线与双曲线的

左、右两支相交于两点，则当这条直线与x轴重合时，弦长最短，为2a=6.

32

由于6〈亍,所以最短的弦长为6,故选项D不正确.故选AC.

,若双曲线G：,一苴

5.双曲线C：=1的渐近线方程为

=l（o>0,b〉0）经过点（4,1）,且与双曲线C具有共同的渐近线，则双曲线G的

标准方程为.

解析：由双曲线c：尸一a=1的焦点在y轴上，且a=l,b=2,得渐近线

]cy2

方程为y=±]x.由双曲线G与双曲线C具有共同的渐近线，可设G:y2-^=

42r2

九代人（4,1）得y一疝=儿解得/=一3,故G：y2-^=-3,化成标准方程

/V2

为五-T=L

答案：y=土;xyy一1=1

6.设厂”尸2是双曲线C：，一=1（«>0,。>0）的左、右焦点，A为左顶

点，点尸为双曲线C右支上一点，用油|=10，PF2A,F1F2,|PF2|=y,。为坐

标原点，则醇0P=.

解析：由题意可得c=5,§=竽,a2+b2=c1,解得a=3,b=4,则A（一

3,0）,

P（5,号），则为OP=-15.

答案：一15

7