2019-2020学年联考联盟高二年级上册期末数学试卷(含答案解析)

筝用取培取圈盒匚北筝朗朗隐欲遂漫鬟

一、单选题(本大题共12小题，共60.0分)

1.以下四个命题中：

①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的

抽样是分层抽样；

②若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1;

③根据散点图求得的回归直线方程可能是没有意义的；

④若某项测量结果f服从正态分布N(l,o2),且P(fw4)=0.9,贝W-2)=0.1.

其中真命题的个数为()

A.1B.2C.3D.4

2.直线y=日久+5的倾斜角是()

A.30°B,120°C.60°D.150°

3.已知P是抛物线y2=4x上的一个动点，Q是圆(久-3尸+(y-I)2=1上的一个动点，N(l,0)是

一个定点，则|PQ|+|PN|的最小值为()

A.3B.4C.5D.V2+1

4.已知直线4,4，平面&，4，IJ/a,那么a与平面。的关系是()

A.Z2/!aB.72Ca

C.l2Ha或4CaD.勺与4相交

5,已知正六棱柱的12个顶点都在一个半径为3的球面上，当正六棱柱的体积最大时，其高的值为

()

A.3V3B.V3C.2V6D.2遍

6.已知直线y=(a-a?)%-2和y=(3a+1)久+1互相平行，贝！Ja的值等于()

A.2B.1C.0D.-1

22

7.已知双曲线靠—底=l(a>0,b>0)的两条渐近线均和圆C：久2+丫2_6%+5=。相切，则该双

曲线离心率等于()

8.在长方体2BCD—4/165中，设话=落AD=b，AA1=c，M|a|=2,贝iJ0+B)-(a-c)=

()

A.4B.3C.2D.1

2ii

9.已知椭圆：匕+/=i,过点户的直线与椭圆相交于A,B两点，且弦48被点P平分，则

922

直线AB的方程为

A,9式一丁一4=0B,9x+y-5=QC.2x+y-2=0D.2x-y+2=0

10.若一个正三棱柱存在外接球与内切球，则它的外接球与内切球表面积之比为（）

A.2：1B.3：1C.4：1D.5：1

11.已知6,尸2分别为双曲线著-q=1的左右焦点，以F2圆心的圆与双曲线的渐近线相切，该圆与

双曲线在第一象限的交点为P,则A&PF2的面积为（）

A.16V6B.12V6C.8V6D.4遥

12.如图，将正四棱锥P-4BCD置于水平反射镜面上，得一“倒影四棱

锥”P-4BCD-Q.下列关于该“倒影四棱锥”的说法中，所有正确结

论的编号是（）

①P4〃平面BCQ；

@PQ1平面4BCD；

③若P,A,B,C,。在同一球面上，则Q也在该球面上；

④若该“倒影四棱锥”存在外接球，贝IMB=PA.

A.①③

B.②④

C.①②③

D.①②④

二、单空题(本大题共4小题，共20.0分)

27

13.若方程J+1表示椭圆，贝味的取值范围是_______.

9-kk-1

14.关于正四面体A8CD,有以下命题：

①正三棱锥都是正四面体；

②若E,F分别为△ABC,ABC。的中心，则EF//2D；

@AB1CD;

④将等差数列的任意连续四项分别写在四面体的四个面上，则任一面上的数字都不可能等于另三个

面上的数字之和；

⑤从正四面体的六条棱中任选两条，则它们互相垂直的概率为也

其中正确的命题有(填上所有正确命题的序号).

15.长方体的高为八，底面积为p,垂直于底面的对角面的面积为Q,则此长方体的侧面面积和为

16.已知直线1：ax-3y+12-0(aeR)与圆M：久2+/一4旷=。相交于人、B两点，且Z71MB=

则实数a=.

三、解答题(本大题共6小题，共70.0分)

17.已知集合力={%|—1<%<2},B—{x\x2—2mx+m2—1<0}.

(1)命题p：xGA,命题q：xGB,且p是q的必要非充分条件，求实数m的取值范围；

(2)若Vx€4都有/+ni24+3x,求实数m的取值范围.

18.在曲线y=/过哪一点的切线，

(1)平行于直线y=4x-5；

(2)垂直于直线2x-6y+5=0.

19.已知圆C的圆心为原点。，且直线Z：x+y+2=0被圆C截得的弦长为2企.

(I)求圆C的方程；

(II)点P在直线x=4上，过点P引圆C的两条切线P4PB,切点分别为4B,求证：直线4B恒过定

点.

20.如图，在三棱柱力BC-中，侧棱BBi1底面ABC,D,E分别为BC,CC1的中点，=AC=

AB=2,BC=3.

(I)证明：〃平面ADCr

(U)求三棱锥E-&BC的体积.

21.如图，四边形4CDF为正方形，平面4CDF1平面BCDE,BC=2DE=

2CD=4,DE//BC,ACDE=90°,M为力B的中点.

(1)证明：EM//平面4CDF；

(2)求二面角力-BE-C的余弦值.

22.设Q、G分别为△2BC的夕卜心和重心,已知4(-1,0),B(l,0),QG//AB.

(1)求点C的轨迹£

(2)轨迹E与y轴两个交点分别为A1，々Ok位于42下方)•动点“、N均在

轨迹E上，且满足14N,试问直线4N和42M交点P是否恒

B

在某条定直线2上？若是，试求出Z的方程；若不是，请说明理由.

参考答案及解析

1.答案：C

解析：解：①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检

测，这样的抽样是系统抽样，因此不正确；

②若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1,因此正确；

③只有具有线性相关的两个观测值才能得到具有代表意义的回归直线方程，因此正确；

④利用f服从正态分布且P(fw4)=0.9,可得P(f>4)=0,1,即可得出-2)=

P(f>4)=0.1,因此正确.

故选：C.

①这样的抽样是系统抽样，即可判断出正误；

②利用两个随机变量的线性相关性强弱与相关系数的绝对值的关系即可判断出正误；

③只有具有线性相关的两个观测值才能得到具有代表意义的回归直线方程，即可判断出正误；

④利用正态分布的对称性即可判断出正误.

本题考查了两个随机变量的线性相关性、抽样方法、正态分布的性质，考查了推理能力与计算能力，

属于中档题.

2.答案：A

解析：

利用倾斜角与斜率的关系即可得出.

本题考查了倾斜角与斜率的关系，属于基础题.

解:设直线的倾斜角为a,aer0°,180°),

则「小=今•."=30。.

故选:A.

3.答案：A

解析：解：如图，

JC=-1

由抛物线方程y2=4X,可得抛物线的焦点尸(1,0),

又N(l,0),

•••N与F重合.

过圆(x-3)2+(y—l)2=1的圆心M作抛物线的准线的垂线M”，交圆于Q交抛物线于P,

则|PQ|+|PN|的最小值等于|M”|-1=3.

故选:A.

由题意画出图形，根据N为抛物线的焦点，可过圆(乂-3/+(y-l)2=1的圆心M作抛物线的准线

的垂线

交圆于Q交抛物线于P则|PQ|+|PN|的最小值等于|MH|-1.

本题考查了圆与圆锥曲线的关系，考查了抛物线的简单几何性质，考查了数学转化思想方法，是中

档题.

4.答案:C

解析：思路：运用线面平行的判断方法即可求解.

解：因为平行于平面a,所以在a内存在直线b与乙平行.因为/"/A，所以所以

11tta或4Ua，

故答案选：C.

点评：本题主要考查的是直线与平面的关系，属于基础题.

5.答案：D

解析：解：以正六棱柱的最大对角面作截面，如图.设球心为。，正六棱柱的

上下底面中心分别为01，02,贝"。是01，。2的中点.设正六棱柱的底面边长为

a,高为2h,则=9.正六棱柱的体积为u=6x弓a2*27!=3演9一h2)/1,则『=3四(9一

3F),

得极值点h=g,不难知道这个极值点是极大值点，也是最大值点.故当正六棱柱的体积最大，其

高为2百.

故选：D.

根据正六棱柱和球的对称性，球心。必然是正六棱柱上下底面中心连线的中点，作出过正六棱柱的

对角面的轴截面即可得到正六棱柱的底面边长、高和球的半径的关系，在这个关系下求函数取得最

值的条件即可求出所要求的量.

本题是在空间几何体、导数的应用交汇处命制，解题的关键是建立正六棱柱体积的函数关系式.

6.答案：D

解析：解：•・•直线y=(。一一2和y=(3a+1)%+1互相平行，

a—a2=3a+1,即M+2a+1=0,解得a=-1

故选：D

由平行关系可得a—小=3。+1,解方程可得.

本题考查直线的一般式方程和平行关系，属基础题.

7.答案：A

22

解析：试题分析：先将圆的方程化为标准方程，再根据双曲线京-a=1(。>0/>0)的两条渐近

线均和圆C：久2+了2一6久+5=0相切

,利用圆心到直线的距离等于半径，可建立几何量之间的关系，从而可求双曲线离心率.

双曲线?一5-l(a>0,b>0)的渐近线方程为y=土，，即。*±ay=0

圆C：%2+y2—6%+5=0化为标准方程(x—3>+y2=4

C(3,0),半径为2

22

・••双曲线京-^=l(a>0,b>0)的两条渐近线均和圆C：x2+y2-6x+5=0相切

.明

・,国锭一

9b2=4b2+4a2

5b2=4a2

b2—c2—a2

5(c2-a2)=4a2

・••9a2=5c2

c3V5

：.e=-=—

a5

・••双曲线离心率等于嗒

故选：A.

8.答案：A

解析：解：在长方体中，a-b=b-c=c-a=0,

所以Q+b）-（a-c）=a2+a-b-c-a-b-c=a2=4.

故选：A.

根据空间向量的线性、数量积的混合运算法则，即可得解.

本题考查空间向量的运算，熟练掌握空间向量的线性、数量积的混合运算法则是解题的关键，考查

运算求解能力，属于基础题.

9.答案:B

设肩再.弘）,3（孙巧）

则里+J=1（1）-日+x/=l（2）,

99

由（I）（2）联立并相减得：G'l+丁必f）+-—W）=0

解析：因为点P是AS的中点

所以Xj+x2=LJ、+y2=1,所以，k=—~—=—9>

X1-X2

则直线，铝的方程1-4=-9（x-g）：整理得9x+y—5=0.

故选B.''

10.答案：D

解析：解：设正三棱柱底面正三角形的边长为a,

当球内切于正三棱柱时，球的半径氏等于正三棱柱的底面正三角形的边心距fa,故正三棱柱的高为

r、，由V3

2X—CL——。，

63

当球外接正三棱柱时，球心是上下底面中心连线段的中点，且球心与正三棱柱两个底面正三角形构

成两个正三棱锥，相=（胃砂2+（苧©2,

V15

・•・R2=~~a

・••外接球与内切球半径之比为a：7?2=小.理a=*：1.

66

•••外接球与内切球表面积之比为!-/?[=局：用=5：1,

故选：D.

设正三棱柱底面正三角形的边长为a,当球内切于正三棱柱时，球的半径％等于正三棱柱的底面正三

角形的边心距，求出正三棱柱的高为2⑹，当球外接正三棱柱时，球心是正三棱柱上下底面中心连线

段的中点，且球心与正三棱柱两个底面正三角形构成两个正三棱锥，求出外接球的半径，即可求出

内切球与外接球表面积之比.

本题是基础题，考查空间想象能力，分析问题解决问题的能力，是常考题型，求内切球与外接球的

半径是解决本题的关键所在.

11.答案：C

解析：解：由双曲线式—”=1,得a2=9,b2=16,

916

22

则c=Va+b=5,F2(5,0)f

渐近线方程为y=即4久-3y=0.

F2到渐近线的距离为型=4,则圆的方程为(％-5)2+外=16.

笆_丝_

联立3_五_[_解得孙=W(%p>0).

(%—5)2+y?=16

SAP&FZ=巳X\F±F2\xxp=]xl0x”=8V6.

故选：C.

由双曲线方程求得右焦点坐标与一条渐近线方程，再由点到直线的距离公式求得圆的半径，得到圆

的方程，与双曲线方程联立求得P点纵坐标，代入三角形面积公式求解.

本题考查双曲线的简单性质，考查圆与双曲线位置关系的应用，考查计算能力，是中档题.

12.答案：D

解析：解：连结4C、PQ,根据正四棱锥P-4BCD的结构特征可知，AC.PQ必相交于一点0,

因为P—力BCD为正四棱锥，

所以PQ1平面ABCD,故选项②正确；

易知点。为四边形2BCD的几何中心，

所以"与PQ互相平分，

所以四边形4BCD为平行四边形，

所以4P〃CQ,且2PC平面BCQ,CQu平面8CQ,

所以AP〃平面BCQ,故选项①正确；

若P,A,B,C,D,Q共球，则球心为点0,

所以P0=A0,不一定成立，故选项③错误；

设正方形力BCD边长为2a,则4。=V2a，P0=V2a，

所以PA=y/PO2+AO2=2a，

所以4B=PA=2a,选项④正确，

所以正确的序号为①②④.

故选：D.

利用正四棱锥的结构特征以及直线与平面平行、直线与平面垂直的判定定理进行分析判断选项①②,

假设P,A,B,C,D,Q共球，再利用球的性质判断选项③，利用“倒影四棱锥”的结构特征结合

球的几何性质判断选项④，即可得到答案.

本题考查了空间几何体的结构特征的理解与应用，涉及了直线与平面平行于垂直的判定定理、锥体

的外接球问题，本题以锥体为背景设计问题，要求学生能理解空间几何体的结构特征的基础上，利

用基础知识探究新的问题，解决此类问题，关键是读懂题意，理解本质，运用相关的数学公式、定

理、性质进行解答即可.

13.答案:(1,5)u(5,9)

22

解析：解：•方程J+A=1表示椭圆，

9-kk-1

・,・9—k>0,fc—1>0,9—k丰k—1

・•・ke(1,5)U(5,9)

故答案为：(1,5)U(5,9).

根据方程表示椭圆得到两个代数式的分母都大于0,且要两个分母不相等，解不等式组，得到k的取

值范围.

本题考查椭圆的定义，解题的关键是不要忽略调两个分母不相等的情况，即椭圆不是圆，把构成圆

的情况去掉.

14.答案：②③⑤

解析：解：①正三棱锥的侧棱与底面棱长不一定相等，因此不一

定是正四面体，不正确；

②若E,F分别为△ABC,△BCD的中心，如图1,取BC的中点，

连接DM,AM,则需=署=|,因此叮7〃。，正确；

③如图2,设。点为底面ABC的中心，则D。底面4BC,:.DO1AB,

延长C。交48于点N,连接DN,贝IJCN148,AB1平面CON,

•••ABLCD；

④将等差数列｛厮｝的任意连续四项分别写在四面体的四个面上，可得

+a4=a2+a3,可得a1+a3+a4=a2+2a3,若任一面上的数字

都不可能等于另三个面上的数字之和，则2a3=0,同理可得%=

0(i=1,2,3,4),因此可知：这个等差数列除非是每一项都为0,否则

不成立；

21

⑤从正四面体的六条棱中任选两条，利用③的结论可得：则它们互相垂直的概率P=正=0正确.

综上可知：只有②③⑤正确.

故答案为：②③⑤.

①正三棱锥的侧棱与底面棱长不一定相等，因此不一定是正四面体；

②若E,F分别为AABC,△BCD的中心，如图1,取BC的中点，连接DM,AM,利用中心和重心的

性质可得：需=詈=3即可得出E77/AD；

③如图2,设。点为底面4BC的中心，则D。，底面2BC,可得D。1AB,延长CO交力B于点N,连接DN,

则CNJ.4B,即可判断出；

④将等差数列｛厮｝的任意连续四项分别写在四面体的四个面上，可得的+a4=a2+a3,可得的+

a3+a4=a2+2a3,若任一面上的数字都不可能等于另三个面上的数字之和，则2a3=0,同理可

得出=0。=123,4),因此可知：这个等差数列除非是每一项都为0,否则不成立；

⑤从正四面体的六条棱中任选两条，利用③的结论可得，则它们互相垂直的概率。=码.

本题综合考查了正四面体的性质、等差数列的性质、古典概率，考查了推理能力与计算能力，属于

难题.

15.答案：2Jh2p+Q2

解析：解：设长方体底面的长和宽为％,y,则底面对角线为“2+y2,

底面积为p=xy,

垂直于底面的对角面的面积Q=h•+y2,

■■■x2+y2=4产，

(x+y)2—x2+y2+2xy=(^)2+2P

x+y=)佯》+2p，

.•.此长方体的侧面面积和

S=2xh+2yh-2(x+y)h—2hI(^)2+2p=2^Jh2p+Q2.

故答案为：2，12P+Q2.

设长方体底面的长和宽为％,y,由已知条件推导出x+y=J,)2+2p,由此求出此长方体的侧面面

积和S=2xh.+2yh=2(%+y)h=2y]h.2p+Q2-

本题考查长方体的侧面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的合理运用.

16.答案：+V3

解析：

本题考查直线与圆位置关系的应用，是中档题.

化圆的方程为标准方程，作出图形，可得圆心到直线，的距离，结合点到直线的距离公式列式求解.

化圆M：%2+y2-4y=0为/+(y—2)2=4,

可得圆M的圆心为M(0,2),半径为2,

直线2：ax-3y+12=0过定点A(0,4),

由NAMB=p可得M至"的距离40=百，

由点到直线的距离公式可得：弓学尹=百，

Va2+9

解得Q=+V3.

故答案为：±v5.

17.答案：解：(1)8={x\x2—2mx+m2—1<0}={x|(x—m+l)(x—zn-1)<0}={x\m—1<

%<m+1}.

由p是q的必要非充分条件知：B呈4dU解得OWznWl.

(2)由都有久2+租之4+3%,得m2一%2+3%+4,xG[—1,2],

令y=—%2+3x+4=—(%—1)2+B，%€[—1,2],

・•・当x=|时，y取最大值为个，

Z4

、25

•••m>—4.

解析：(1)求出集合B的取值范围，根据p是q的必要非充分条件，即可求得机的取值范围，

(2)由若VXC4得不等式的定义域，解关于小的不等式，即可求得税的取值范围.

本题考查了一元二次不等式的解法，属于基础题.

18.答案：解：(1)设点2(%0，%)为切点，f'(x)=2x

由于切线平行于直线y=4久一5,

所以/''(X())=2x0-4,x0=2,y0=4.

则点A(2,4)；

(2)设点BO。/。)为切点，('(%)=2x,

由于切线垂直于直线2x-6y+5=0,

——QQ

所以f'Oo)=2%0=-3,x0=~-,y0=

则点B(一谷).

解析：(1)设点4(*0,%)为切点，根据导数的几何意义求出在％处的导数，根据导数等于切线的斜率

求出切点坐标即得；

(2)设点a®),yo)为切点，根据导数的几何意义求出在工处的导数，根据导数等于切线的斜率求出切

点坐标.

本题主要考查了直线的一般式方程与直线的垂直关系、直线的一般式方程与直线的平行关系、利用

导数研究曲线上某点切线方程，考查运算求解能力，化归与转化思想，属于基础题.

19.答案：(1)解：设圆的半径为r,圆心0到直线1的距离为d=^=/,

r=J(V2)2+(竽/=2，

故圆C的方程为%2+y2=4；

(2)证明：・・,尸4尸8是圆C的两条切线，.・・OA1AP,OBIBP,故A,8在以。P为直径的圆上，

设点P的坐标为(4,t)(tGR),则线段。P的中点坐标为(2,》，

・•・以。P为直径的圆的方程为(刀一2)2+(y-§2=4+?,化简得：x2+y2-4x-ty=0,tER,

•••45为两圆的公共弦，二直线48的方程为4尤+/:)7=4,t&R,

直线4B恒过定点。(1,0).

解析：(1)由点到直线的距离公式求得弦心距，再由垂径定理求半径，则圆的方程可求；

(2)由题意可得以0P为直径的圆的方程，与圆C的方程联立可得公共弦所在直线方程，利用线系方程

得结论.

本题考查圆的方程的求法，考查直线与圆位置关系的应用，考查逻辑思维能力与推理运算能力，是

中档题.

20.答案：(I)证明：设&C与4G相交于。点，连接。D,

-----ylC'

则。为&C的中点,

•••。为8c的中点,

。。是AdiCB的中位线,

OD//A1B,

•••ArB，平面ADQ,0Du平面ZDQ,

4/〃平面ADC1；

(n)解：---AB=AC,。为BC的中点,

AD1BC,

BBi_L底面ABC,ADu平面ABC,

BB]1AD,

又BB]CBC=B,BB「BCu平面BCE,

AD_L平面BCE,

又皿=7AB2-BD2=3

1ry3

S^BCE~—x3x1=—.

22

.__1

^E-ArBC=^Ar-EBC~LEBC'

13V7V7

=­X-X—=—

3224

解析：本题考查线面平行的判定，考查多面体体积的求法，属于中档题.

（I）设与4C1相交于。点，连接。£）,则。为&C的中点，由三角形中位线定理可得再

由线面平行的判定可得&B〃平面4DC1；

（口）由题意得到18C和B8i12D,进而证明4。1平面BCE.由勾股定理求得4。，再求出三角形

BEC的面积，由等体积法求三棱锥E-4/C的体积.

21.答案：（1）证明：如图，取4C的中点P,连结PM、PD,

在△ABC中，P为力C的中点，M为的中点，

PM//BC,且PM=；BC,

-I

又•••DE//BC,DE=~BC,：.PM//DE旦PM=DE,

故四边形DEMP为平行四边形，ME//DP,

又DPu平面4CDF,EMC平面2CDF,

EM〃平面4CDF；

(2)解：•••平面力CDF1平面BCDE,平面4Wn平面BCDE=CD,AC1DC,ACu平面ACDF,

AC1平面8CDE,BCc^^BCDE,•••ACIBC,

又•••NCDE=90。，DE//BC,•••BC1CD,

以C为坐标原点，CA,CB、CD所在直线分别为“、y、z轴建立空间直角坐标系,

则C(0,0,0),4(2,0,0),B(0,4,0),0(0,0,2),E(0,2,2),

贝侬=(-2,4,0)，AE=(-2,2,2)，

设平面4BE的法向量为记=(%,y,z),

^m-AB=0彳J_2x+4y=0