2020-2021学年山东省聊城市高二（下）期末数学试卷(解析版)

2020-2021学年山东省聊城市高二（下）期末数学试卷

一、单项选择题（共8个小题，每小题5分，共40分）.

1.设集合4={无"<3,且xeN},B={1,2,3},则AUB=（）

A.{1,2}B.（0,1,2,3}C.{1,2,3}D.{0,1,2}

2.命题2N-x<0”的否定是（）

A.3x<0,2x2-x<0B.Elx20,2x2-

C.Vx<0,2X2-x<QD.2X2-x>0

3.若aeN,且502M+a能被17整除，则a的最小值为()

A.0B.1C.16D.18

4.若关于x的不等式ar+6>0(a,i>eR)的解集为(-8,-3),则关于x的不等式for2

-(a+2b)x-28<0的解集为()

22

A.(-3,—)B.(-8,-3)U(—,+8)

33

22

C.(--,3)D.(-oo,-A)u(3,+8)

33

5.甲、乙、丙、丁四名同学计划去4个景点旅游，每人只去1个景点.设事件A=”4位

同学去的景点各不相同"，事件B="甲同学独自一人去了一个景点”，则P(AIB)=

()

9145

A.—B.—C.—D.—

9399

6.小李大学毕业后回到家乡开了一家网店，专门卖当地的土特产.为了增加销量，计划搞

一次促销活动，一次购物总价值不低于M元，顾客就少支付20元.已知网站规定每笔

订单顾客在网上支付成功后，小李可以得到货款的85%.为了在本次促销活动中小李从

每笔订单中得到的金额均不低于促销前总价的75%,则M的最小值为()

A.150B.160C.170D.180

7.2021年4月24日是第六个“中国航天日”，今年的主题是“扬帆起航逐梦九天”.为

了制作一期展示我国近年来航天成就的展览，某校科普小组的6名同学，计划分“神舟

飞天”、“嫦娥奔月”、“火星探测”3个展区制作展板，每人只负责一个展区，每个展

区至少有一人负责，则不同的任务分配方案有()

A.990种B.630种C.540种D.480种

8.数学家高斯是世界著名的数学家之一，他一生成就极为丰硕，仅以他的名字“高斯”命

名的成果多达110个，为数学家中之最对于高斯函数＞=印，其中国表示不超过X的最

大整数，如=[-1.2]=-2,{尤}表示实数x的非负纯小数，即{尤}=x-[x],如{1.7}

=0.7,{-1.2}=0.8.若函数y={x}-l+log“x（。＞0,且aWl）有且仅有3个不同的零

点，则实数a的取值范围为（）

A.[3,4)B.(3,4]C.[2,3)D.(2,3)

二、多项选择题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中,

有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得。分.）

9.已知则下列说法正确的是（）

22

A.l>a2>&2>—B.2>—>—>1

4ab

〉上

C.3D.-r=>e~b>e~a>—

b-la-1Vee

10.下列关于成对样本数据的统计分析的判断中正确的有（）

A.若样本相关系数r=0,则说明成对样本数据没有相关性

B.样本相关系数厂越大，成对样本数据的线性相关性越强

C.用最小二乘法求得的一元线性回归模型的残差和一定是0

D.决定系数K越大，残差平方和越小，模型的拟合效果越好

11.某单位举行建党100周年党史知识竞赛，在必答题环节共设置了5道题，每道题答对得

20分，答错倒扣10分（每道题都必须回答，但相互不影响）.设某选手每道题答对的概

率均为晟，其必答环节的总得分为X,则（）

A.该选手恰好答对2道题的概率为4

9

B.E（X）=50

C.D（X）=1^

3

112

D.P（X＞60）=-^-

243

12.关于函数/（x）=ax-Inx,其中aWO,下列判断正确的是（）

A.■是函数/（x）的极值点

a

B.当OVaV1■时，函数/（龙）有两个不同的零点

e

C.当。=e时，函数/（x）的最小值为2

D.当〃=2时，函数/（x）在[1,e]上的值域为[2,2e-l]

三、填空题(本题共4个小题，每小题5分，共20分.)

13.某车间为了确定加工零件的时间和个数之间经验回归方程，收集到5组数据(如表)：

零件数X/个1020304050

加工时间62758189

y/min

由最小二乘法求得经验回归方程为=0.67x+54.9,现发现表中有一个数据缺失了，请你

y

推断出该处数据的值应为.

14.某块农田上播种的一等小麦种子中含有3%的二等种子.已知一等小麦种子结出的麦穗

每只含有50颗以上麦粒的概率为0.5,若在该块农田种出的小麦中，有49%的麦穗含有

50颗以上麦粒，则二等小麦种子结出的麦穗每只含有50颗以上的麦粒的概率为

(用最简分数作答).

15.奇函数/(x)定义域为R,且函数/(尤+1)为偶函数，若/(-I)=2,则/(I)t/(2)

+•••+/,(2021)=

16.函数/'(x)的定义域为R,f(x)为/(无)的导函数.若“Vx&R,f(x)<ln3-f

(x)”是真命题，则不等式/(2-x)>/(x)吗?*的解集为.

四、解答题(本题共6个小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步

骤)

17.已知(/+工)”的展开式中第7项和第6项的系数之比为7：3.

x

(1)求展开式的第5项；

(2)求展开式的奇数项的系数之和.

2

18.已知函数/(x)=(a-a-1)‘2+/是累函数(fleR),且/Q)</(2).

(1)求函数/(x)的解析式；

(2)试判断是否存在实数b,使得函数g(x)=3-于3+2陵在区间［-1,1］上的最大

值为6,若存在，求出b的值；若不存在，请说明理由.

19.某校高二年级共有1500名学生(其中男生900名)，为了了解学生每天的体育锻炼时

间情况，按性别分层随机抽样得到一个容量为100的样本，经计算得到样本的平均值为

62(单位：分钟)，方差为16.

(1)若学生的每天体育锻炼时间近似服从正态分布N(臼。2),用样本估计总体，试

估计该校高二年级每天体育锻炼时间在区间［66,74］内的学生人数(最后结果按四舍五入

保留整数）；

（2）若把每天体育锻炼时间在［80,120］内的称为“锻炼达人”，该样本中共有“锻炼达

人”58人，且从男生中随机抽取一人，其为“锻炼达人”的概率为07完成下面的2X

2列联表，并根据小概率值a=0.005的独立性检验，分析男生是“锻炼达人”的可能性

是否更大.

性别锻炼达人合计

是锻炼达人非锻炼达人

男生

女生

总计

附：X2独立性检验中常用小概率值和相应的临界值:

(X0.10.050.010.0050.001

Xo2.7063.8416.6357.87910.828

X2=______n(ad-bc)2______

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

若X〜N（（i,。2）,则P（p-oWXWp+o）-0.6827,尸（p-2。WXW|i+2。）心0.9545,

P（p.-3。WXWp+3o）心0.9973.

20.某中学学生会为了让新高一的同学更好的了解学校的各种社团活动，计划设计一张形状

为矩形的宣传海报来介绍各社团活动.如图，该海报设计上、中、下三个全等的矩形栏

目，三矩形栏目面积总和为60000。源,四周空白部分的宽度均为10cm,栏目之间中缝宽

度为5cm.

（1）要使整个宣传海报的用纸面积S最小，应该怎样设计每个矩形栏目的长度x（单位:

cm）和高度y（单位：aw）,并求出S的最小值；

（2）若学校宣传栏只剩下一块长度为180cm,高度为780cm的矩形区域可用于张贴宣传

海报，为使整个宣传海报的用纸面积S最小，又该如何设计每个矩形栏目的长度x（单位:

cm）和高度y（单位：cm）,并求出S的最小值.

UI

21.已知函数/(x)=a(x-2)e，-(x-1)2.

(1)当。=1时，求/(x)的极值；

(2)讨论函数/(无)的单调性.

22.“学习强国”平台的“四人赛”栏目的比赛规则为：每日仅前两局得分，首局第一名积

3分，第二、三名各积2分，第四名积1分；第二局第一名积2分，其余名次各积1分.

(1)若从5名男生2名女生中选出4人参加比赛，设其中男生的人数为X,求X的分布

列和数学期望；

(2)甲、乙二人每日都连续参加两局比赛，经统计可知甲同学每日得分S的均值为3.25,

方差为0.38.现已知乙同学每一局比赛中他得第一名的概率为得第二或三名的概率称,

已知每局比赛中四个人的名次各不相同，且两局比赛结果互不影响.请问甲、乙二人谁

的平均水平更高？谁的稳定性更高？

参考答案

一、单项选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中,

只有一项是符合题目要求的)

1.设集合A=Wx<3,且xeN},B={1,2,3},则AUB=()

A.{1,2}B.{0,1,2,3}C.{1,2,3}D.[0,1,2}

【分析】由列举法表示A,再由并集运算得答案.

解：A=[x\x<3,且xeN}={0,1,2},B={i,2,3),

则AUB={0,1,2}U{1,2,3}={0,1,2,3).

故选：B.

2.命题“三龙》0,2尤2-%<0”的否定是()

A.3x<0,2X2-x<0B.3x^0,2N-x20

C.Vx<0,2X2-x<0D.Vx20,2X2-x20

【分析】根据题意，由特称命题的否定方法分析可得答案.

解：根据题意，命题“本》0,2尤2-x<0”是特称命题，

其否定为：Vx20,2x2-x^O,

故选：D.

3.若aeN,且502M+a能被17整除，则a的最小值为()

A.0B.1C.16D.18

【分析】将502。2，=(51-1)2。21+。利用二项展开式公式展开，即可求得502021+4能被

17整除的自然数。的最小值.

解：502021+a=(51-1)2021+a

—f0512021-r1512020-I.c2ci2019____i,f2020^i_p2021,

^2021^2021^2021v2021^2021

=51（C%[512。-。-嘘21512。219+味2[512OI$-...+嚼方）-1+a,

因为51(C%151202。一C/15120219+喻512018一…+C据?)能被17整除,

所以若502021+a能被17整除，则a的最小值为1.

故选：B.

4.若关于x的不等式ax+6>0(a,i>eR)的解集为(-8,-3),则关于x的不等式ZwP

-(〃+25)x-2b<0的解集为()

p9

A.(-3,—)B.(-oo,-3)U(—,+8)

33

C.(--2,3)D.(一8,—三2)u(3,+8)

33

【分析】关于X的不等式ax+b>0的解集是(-8,-3),可得-电=-3,且。<0,

a

即b=3a,则不等式bx2-(q+2Z?)x-2b<0可变为3x2-lx-6>0,求解即可.

解：由关于x的不等式的解集是(-8,-3),可得-也•=-3,且〃V0,.,・/?

a

=3〃，

不等式bx2-(。+2。)x-2b<0可变为-7ax-6a<0,即得3x2-7x-6>0,

.*.%<-2或x>3,

3

・,•不等式的解集是(-8,-V)U(3，+8),

O

故选：D.

5.甲、乙、丙、丁四名同学计划去4个景点旅游，每人只去1个景点.设事件A="4位

同学去的景点各不相同"，事件2="甲同学独自一人去了一个景点”，则P(A|B)=

()

A.—B.—C.—D.—

9399

【分析】根据已知条件，结合条件概率公式，即可求解.

解：•••甲同学独自去一个景点，则有4个景点可选，

其余3人只能在甲同学剩下的3个景点中选择，可能性为3X3X3=27,

甲独自去一个景点的可能性为4X27=108,

,•14个人去的景点不相同的可能性为4X3X2X1=24,

，P(A|B)=』££.

,।，1089

故选：A.

6.小李大学毕业后回到家乡开了一家网店，专门卖当地的土特产.为了增加销量，计划搞

一次促销活动，一次购物总价值不低于“元，顾客就少支付20元.已知网站规定每笔

订单顾客在网上支付成功后，小李可以得到货款的85%.为了在本次促销活动中小李从

每笔订单中得到的金额均不低于促销前总价的75%,则M的最小值为()

A.150B.160C.170D.180

【分析】结合题意建立关于M的不等式，解不等式可得答案.

解：结合题意有（M-20）-85%>M-75%,

解得M>170,所以M的最小值为170.

故选：C.

7.2021年4月24日是第六个“中国航天日”，今年的主题是“扬帆起航逐梦九天”.为

了制作一期展示我国近年来航天成就的展览，某校科普小组的6名同学，计划分“神舟

飞天”、“嫦娥奔月”、“火星探测”3个展区制作展板，每人只负责一个展区，每个展

区至少有一人负责，则不同的任务分配方案有（）

A.990种B.630种C.540种D.480种

【分析】根据题意，分2步进行分析：①将6名同学分为3组，②将分好的三组安排到

三个展区，由分步计数原理计算可得答案.

解：根据题意，分2步进行分析：

C2c2c2

①将6名同学分为3组，有.+C艘算骗'6:2=90种分组方法，

A3

②将分好的三组安排到三个展区，有A,=6种安排方法，

贝U有90X6=540种分配方案；

故选：C.

8.数学家高斯是世界著名的数学家之一，他一生成就极为丰硕，仅以他的名字“高斯”命

名的成果多达110个，为数学家中之最对于高斯函数、=印，其中国表示不超过x的最

大整数，如口.7]=1,[-1.2]=-2,{x}表示实数x的非负纯小数，即{x}=x-四，如{1.7}

=0.7,{-1.2}=0.8,若函数y={x}-1+log.x（a>0,且aWl）有且仅有3个不同的零

点，则实数。的取值范围为（）

A.[3,4）B.（3,4]C.[2,3）D.（2,3）

【分析】根据高斯函数的定义，将函数的零点问题转化为两个新函数图象的交点问题，

然后数形结合求参数的取值范围.

解：若函数尸{x}-l+log^x（a>0,且aWl）有且仅有3个不同的零点，则函数y=logaX

的图象与函数

y=l-{x}=l+[x]-x的图象有且仅有3个交点.作出y=l-{x}的大致图象如图所示，

易知档0<tz<l时,y=log。与y=l-{x}的图象最多有1个交点，故。>1,作出yulogd

的大致图象:

故选：A.

二、多项选择题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中,

有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）

9,已知0<l°gj_a<10§±b<l,则下列说法正确的是（）

22

A.l>a2>Z?2>—B.2>—>—>1

4ab

ba

C.3〉上D.-^=>e'>e'>—

b-la-lVee

【分析】先利用对数不等式的解法求出利用不等式的性质判断选项4

利用特殊值判断选项S利用作差法判断选项C利用指数的单调性判断选项D

解：因为j所以犷b<E,

因为《<b<a<l,所以1>层>扶>^，故选项A正确;

对于A,

24

不妨取bg,a4，则上鸟》工粤，故选项B错误；

对于8,

66b4a5

ab(a-b)(a+b-1),因为/〈bVa<1,所以(bT)Q>0,

对于C,(-1)

b_la_l(b_l)(a-1)

a-b>0,a+b-l>0,故-J一J>0,所以•及故选项C正确；

b-1a-1b-la-1

1

对于，因为所以贝I-y-b/2，

2Ze'e'e'e

即一、故选项。正确.

Vee

故选：ACD.

10.下列关于成对样本数据的统计分析的判断中正确的有()

A.若样本相关系数r=0,则说明成对样本数据没有相关性

B.样本相关系数r越大，成对样本数据的线性相关性越强

C.用最小二乘法求得的一元线性回归模型的残差和一定是0

D.决定系数代越大，残差平方和越小，模型的拟合效果越好

【分析】利用相关系数的含义以及作用，对四个选项逐一分析判断即可.

解：r=。只能说明两个变量之间不线性相关，但不能说明两者的独立性，故选项A错误;

样本相关系数r的绝对值越接近1,则线性相关性越强，故选项B错误；

用最小二乘法对整体数据中运用了平均值，围绕平均值最后残差和在数学上相加为0,故

选项C正确；

R2越大，残差平方和越小，模型的拟合效果越好，故选项。正确.

故选：CD.

11.某单位举行建党100周年党史知识竞赛，在必答题环节共设置了5道题，每道题答对得

20分，答错倒扣10分(每道题都必须回答，但相互不影响).设某选手每道题答对的概

率均为日，其必答环节的总得分为X,则()

A.该选手恰好答对2道题的概率为,

B.E(X)=50

C.D(X)

3

112

D.P(X>60)=工^

243

【分析】根据已知条件，结合相互独立事件概率公式，以及期望和方差公式，即可求解.

解：该选手恰好答对2道题的概率为C^X2X(卜春)3年•，故A选项错误，

设该选手答对题目数为随机变量Y,则X=20Y-10(5-K)=307-50,

由题意可得，丫〜B(5,,则E(D=5X,丹，

OOO

故E(X)=E(307-50)=30£(D-50=30X^-50=50-故8选项正确，

O

2

,:Y〜B(5,-1),

99inin

：.D(D=5X—X(1-—)=^,D(X)=D(307-50)=900。(Y)=9Q0X—

3399

1000,故。选项错误,

令X=30y-50>60,解得Y>卫故y=4或y=5,

3

故P(X>60)=P(X=4)+P(y=5)=cgx号)。/+号)5黄，故Q选项正

确.

故选：BD.

12.关于函数/(x)=ax-lnx,其中〃W0,下列判断正确的是()

A.冗=上是函数/(%)的极值点

a

B.当OVaV1■时，函数/(龙)有两个不同的零点

e

C.当时，函数/(x)的最小值为2

D.当。=2时，函数/(x)在［1,e］上的值域为［2,2e-1］

【分析】求导得/(x)=〃-工，分两种情况讨论/(x)的正负，/(x)的单

X

调性，进而可得/(X)的最值，即可判断A是否正确；当ov〃v工时，则/⑴加产1+痴

e

<0,推出了(%)的图象与x轴有两个交点，即可判断3是否正确；当。=e时，计算出了

(x)而〃=/(」")=2,即可判断C是否正确；当〃=2时，推出/(龙)在［1.e］上单调性，

e

进而可得了(X)min,f(X)max,即可判断。是否正确.

解：由题可知/(x)的定义域为(0,+8),且/(x)=a-—,

X

当〃VO时，f(%)VO在(0,+8)上恒成立，则/(X)在(0,+8)上单调递减，

当〃>0时，f(x)=注9，

x

令f(尤)=0,得冗=工，

a

故当OVxV工时，f'(x)<0,f(x)单调递减，

a

当■时，f(x)>0,f(x)单调递增，

a

所以/(九)min=f(―)=1-ln—=1+lna,

aa

对于A：因为〃V0时，f(x)在(0,+8)上单调递减，

所以/(%)无极值，故A不正确；

对于3：当OVaV2时，lna<-1,

e

则/(x)加〃=1+/〃〃VO,

又因为当X—O时，f(x)f+8；当％f+8时，f(x)f+8,

所以/CO的图象与X轴有两个交点，即/(X)有两个不同的零点，故3正确;

对于C：当Q=e时，f(x)rnin=f(―)=l+/〃e=2,故。正确；

e

对于O：当〃=2时，f(x)=2%-/心在［1.e］上单调递增，

所以/(x)mm=f(1)=2,

f(x)max=f(e)=2e-lne=2e-1,

所以/(x)在［1,e］上的值域为［2,2^-1］,故。正确，

故选：BCD.

三、填空题(本题共4个小题，每小题5分，共20分.)

13.某车间为了确定加工零件的时间和个数之间经验回归方程，收集到5组数据(如表)：

零件数X/个1020304050

加工时间62758189

y/min

由最小二乘法求得经验回归方程为=0.67x+54.9,现发现表中有一个数据缺失了，请你

y

推断出该处数据的值应为68.

【分析】设缺失的数据为n,求出样本点的中心的坐标，代入线性回归方程即可求得〃

值，则答案可求.

解：设缺失的数据为〃，

mi1-10+20+30+40+50“一一62F+75+81+49-307+n

则x=--------------二30，y=-------------=---，

bbb

可得样本点的中心为(30,9要1),代入=0.67x+54.9,

5y

得迎±2=0.67X30+54.9,解得”=68.

5

故答案为：68.

14.某块农田上播种的一等小麦种子中含有3%的二等种子.已知一等小麦种子结出的麦穗

每只含有50颗以上麦粒的概率为0.5,若在该块农田种出的小麦中，有49%的麦穗含有

50颗以上麦粒，则二等小麦种子结出的麦穗每只含有50颗以上的麦粒的概率为

(用最简分数作答).

【分析】设所求概率为尸，由题意，列出关于P的关系式，求解即可.

解：设所求概率为尸，

则有0.03P+0.97X0.5=0.49,

解得尸=吉，

所以二等小麦种子结出的麦穗每只含有50颗以上的麦粒的概率为!.

0

故答案为：4.

6

15.奇函数/(无)定义域为R,且函数/(x+1)为偶函数，若/(-1)=2,则/(I)+于⑵

+•••+/,(2021)=-2

【分析】根据题意，利用函数的奇偶性和对称性可得/(x+2)+/(x)=0,变形可得/(I)

+f(3)=0,f(2)+f(4)=0,则有/(I)+f(2)+f(3)+f(4)=0,又由/(x+2)

+f(x)=0变形可得/(x+4)=f(x),即函数的周期为4,由此分析可得答案.

解：根据题意，函数f(x)为奇函数，则-/(X)=/(-%),

又由/(x+1)为偶函数，则函数/(x)的图象关于x=l对称，则有/(-x)=/(2+x)

=-f(尤)，

即尤+2)+f(x)=0,

则有/(I)VC3)=0,/(2)+f(4)=0,

故/(I)+f(2)+f(3)+f(4)=0,

又由/(x+2)+f(x)=0,即/(尤+2)=-f(x),

所以/■(x+4)=f(x),即函数的周期为4,

故7(I)+/(2)+-+f(2021)=，(1)+于⑵+/(3)+/(4)]X505+/(2021)=/(1)

=-/(-1)=-2；

故答案为：-2.

16.函数f(x)的定义域为R,f'(x)为f(x)的导函数.若“VxeR,f(x)<ln3-f

(%)”是真命题，则不等式/(2-x)>/a)吆20的解集为(1,+8).

【分析】不等式/(2-x)>/(x)・32，，变形为f(2-x')f(x)令尸(x)=」f(x^)，

333

则尸(2-X)>/(%),对P(无)求导，分析产(%)的正负，F(X)的单调性，即可

得出答案.

解：不等式/(2-*)>/(%)«32^,

变形为/(2-x)>/(为.32一“33

d2-x)f(x)

所以一二―〉―T，

33

f(x)

令F(光)=—―,则尸(2-x)>F(x),

3X

fy(x)3x-3xln3f(x)(x)-ln3f(x)

F'(x)

(3X)2—3X

又因为“VxeR,f(尤)<ln3-f(x)”是真命题，

所以V.teR,f(x)-In3*f(x)<0,即F'(x)<0,

所以尸(无)在R上单调递减，

又F(2-尤)>F(x),

所以2-

所以x>l,

所以不等式/(2-尤)>/(x)吗?，的解集为(1,+8),

故答案为：(1,+8).

四、解答题(本题共6个小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步

骤)

17.已知(N+2)”的展开式中第7项和第6项的系数之比为7：3.

x

(1)求展开式的第5项；

(2)求展开式的奇数项的系数之和.

【分析】(1)求出展开式的通项公式，由乃：改=7：3,即可求解〃的值；

(2)令/⑴=(占2)12=4后4+*21+...+03—2,利用赋值法即可求解.

X

解：(1)(/+2)"的展开式的通项公式为T,+1=C：(/)"r(2)r=2「c：x2”-3r,

XnXn

因为为:76=7：3,所以26球：25c3=7：3,

可解得〃=12,

所以展开式的第5项石=24,濯2=7920?2.

(2)设展开式中第i项的系数为如i=l,2,…，12,13,

则奇数项的系数和为。1+的+…+S3,

令/(X)=(^+―)12=°］工24+42%21+…+的犷-12,

X

则/⑴=312=0+42+43+…+。13

=(〃1+的_1---1-«13)+(42+。4+…+。12)①，

/(-1)=(-1)12=ai-(12+03---。12+的3

=(。1+。3+…+。13)-(。2+。4+…+”12)②,

所以①+②得3口+1=2(的+。3+---+。13),

Q12,1

所以a\+a?,+-"+a\2,=------=265721,

2

即展开式的奇数项的系数之和265721.

18.已知函数/(x)=Co2-a-1)才「加‘2+加是累函数("eR),且/(1)</(2).

(1)求函数/(x)的解析式；

(2)试判断是否存在实数b,使得函数g(x)=3-/(x)+2版在区间［-1,1］上的最大

值为6,若存在，求出。的值；若不存在，请说明理由.

【分析】(1)由题意利用累函数的定义和性质，求得。的值，可得结论.

(2)由题意利用利用二次函数的性质求出函数的最大值，可得6的值.

解：(1)•.•函数/(X)=(层-。-1)尤<「">°+凉是基函数QCR),且/(I)</(2),

/.a2-a-1=1,且(1-a)(2+a)>0,

求得a=-l,故/(无)=x2.

(2)设存在实数6,使函数g(x)=3-/(x)+2Zzx=-N+2bx+3在区间［-1,1］上的最

大值为6,

由于g(x)的图象的对称轴为x=b,

当b<-1时，则/(T)=-1-26+3=6,求得b=-2；

当时，f(Z>)=-/+2抉+3=6,求得b=士«(舍去)；

当6>1时，则/(I)=-1+26+3=6,求得6=2,

综上可得，存在6=±2,满足条件.

19.某校高二年级共有1500名学生(其中男生900名)，为了了解学生每天的体育锻炼时

间情况，按性别分层随机抽样得到一个容量为100的样本，经计算得到样本的平均值为

62(单位：分钟)，方差为16.

(1)若学生的每天体育锻炼时间近似服从正态分布N(山。2),用样本估计总体，试

估计该校高二年级每天体育锻炼时间在区间［66,74］内的学生人数(最后结果按四舍五入

保留整数)；

(2)若把每天体育锻炼时间在［80,120］内的称为“锻炼达人”，该样本中共有“锻炼达

人”58人，且从男生中随机抽取一人，其为“锻炼达人”的概率为0.7.完成下面的2X

2列联表，并根据小概率值a=0.005的独立性检验，分析男生是“锻炼达人”的可能性

是否更大.

性别锻炼达人合计

是锻炼达人非锻炼达人

男生

女生

总计

附：X2独立性检验中常用小概率值和相应的临界值:

a0.10.050.010.0050.001

Xo2.7063.8416.6357.87910.828

X2_______n(ad-bc).______

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

若X〜N(|i,o2),则oWXW|i+。)处0.6827,尸⑺-2。WXWR+2。)-0.9545,

P(n-3aWXWR+3o)20.9973.

【分析】(1)根据已知条件，结合正态分布的对称性，即可求解.

(2)根据已知条件，结合独立性检验公式，即可求解.

解：(1)由题意可得，随机变量X的样本均值为52,样本方差为16,用样本估计参数

用样本估计参数。，可得X〜N(62,42),

贝1JP(62-4WXW62+4)=P(58WXW66)-0.6827,

P(62-3X4WXW62+3X4)=P(50WXW74)心0.9973,

合0.9973-0・6827

：.P(66WXW74)=0.1573-

0.1573X1500=235.95^236,

故估计该校高二年级每天体育锻炼时间在区间［66,74］内的学生人数大约有236人.

(2)按照分层抽样的方法可知，该样本中男生人数为100X锣"=60人，女生为40

1500

人,

故男生中“锻炼达人”的人数为60X0.7=42,女生中“锻炼达人”的人数为58-42=16

人,

性别锻炼达人合计

是锻炼达人非锻炼达人

男生421860

女生162440

合计5842100

依据小概率值a=0.005的独立性检验，认为“锻炼达人”和性别有关，此推断的概率不

大于0.05,

由题意可得，男生中是“锻炼达人”和“不是锻炼达人”的频率分别为0.7和0.3,

女生中是“锻炼达人”和“不是锻炼达人”的频率分别为单=0.4,器=0.6，

由揩=1.75可得，男生中是“锻炼达人”的频率是女生中是“锻炼达人”的频率的

1.75倍，根据频率稳定于概率的原理，我们可以认为男生中是“锻炼达人”的概率明显

大于女生中是“锻炼达人”的概率，即认为男生是“锻炼达人”的可能性更大.

20.某中学学生会为了让新高一的同学更好的了解学校的各种社团活动，计划设计一张形状

为矩形的宣传海报来介绍各社团活动.如图，该海报设计上、中、下三个全等的矩形栏

目，三矩形栏目面积总和为600005入四周空白部分的宽度均为10cm,栏目之间中缝宽

度为5cm.

（1）要使整个宣传海报的用纸面积S最小，应该怎样设计每个矩形栏目的长度x（单位:

cm）和高度y（单位：cm）,并求出S的最小值；

（2）若学校宣传栏只剩下一块长度为180cm,高度为780。"的矩形区域可用于张贴宣传

海报，为使整个宣传海报的用纸面积S最小，又该如何设计每个矩形栏目的长度x（单位:

cm）和高度y（单位：cm）,并求出S的最小值.

【分析】(1)由题意得到孙=20000,求出广告的高和宽，然后表示出广告的面积，利

用基本不等式求解最值即可；

(2)先求出x和y的取值范围，然后由(1)得到S关于y的表达式，利用导数求解最

值即可.

解：(1)由题意可得3孙=60000