2022-2023学年陕西省汉中市校际联考高二（下）期末数学试卷（理科）（含解析）

2022-2023学年陕西省汉中市校际联考高二（下）期末数学试卷

（理科）

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.1知集合M={-2,-1,0,1,2},N={x|x23或xW—2},则MnN=()

A.{-2}B.{0,1,2)C.{-2,-1,0,1}D.{2}

2.在复平面内，(1+3»)(3-，)对应的点位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.已知直线I经过4(-1,4),8(1,2)两点，则直线I的斜率为()

A.3B.—3C.1D.—1

4.设函数/(X)可导，则/J：0f(l+34x)-f⑴等于()

3Ax

A.f(1)B.⑴C.1<(1)D.八3)

5.下列函数中，在区间(0,+8)上单调递增的是()

A.y=-InxB.y=1pC.y=—-1D.y=x2-x

6.已知Q、b.c、d为实数,Q>Zdlc>d,则下列不等式一定成立的是（）

11

A.ac>bdB.a+c>h+dC.ac<bdD.-a<Tb

7.随机变量f的所有可能的取值为1,2,3,4,5,且P（f=k）=ak,（k=1,2,3,4,5）,则a的

值为（）

A.2B.去C.30D.15

8.某大学四名学生利用暑假到学校的实践基地进行实习，每人从甲、乙、丙三个基地中任

选一个，若不考虑其他条件，则不同的选法有（）

A.9种B.13种C.64种D.81种

9.如图茎叶图记录了甲乙两位射箭运动员的5次比赛成绩（单位：环），若两位运动员平均成

绩相同，则运动员乙成绩的方差为（）

甲乙

97889

310901x

A.2B.3C.9D.16

10.在△ABC中，“力>B”是“sinA>sinB”的()

A.充要条件B.必要不充分条件

C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件

11.函数/(x)的定义域为R，它的导函数y=(0)的部分图像

如图所示，则下列结论正确的是()

A.x=1是/(x)的极小值点

B./(-2)>/(-1)

C.函数在(一1,1)上有极大值

D.函数f(x)有三个极值点

12.己知可导函数f(x)的导函数为1(x),若对任意的xeR,都有/'(x)-f(x)<1,且/(0)=

2022,则不等式/'(X)+1>2023蜻的解集为()

A.(-8,0)B.(0,+oo)C.(-8,；)D.(-8,1)

二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.tan?=.

O

14.已知向量布=(x,—3),n=(2,x+1),mln,则乂=.

15.在数字通信中，信号是由数字0和1组成.由于随机因素的干扰，发送的信号。或1有可能

被错误地接收为1或0.已知发信号。时，接收为1的概率为0.1;发送信号1时，接收为1的概率

为0.95,若发送信号0和1是等可能的，则接受信号为0的概率为.

16.为落实立德树人的根本任务，践行五育并举，某学校开设4、8、C三门德育校本课程,

现有甲、乙、丙、丁、戊五位同学报名参加校本课程的学习，每位同学仅报一门，每门至少

有一位同学报名，则不同报名方法有种.

三、解答题(本大题共7小题，共82.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题12。分)

为加强素质教育，提升学生综合素养，某中学为高一年级提供了“书法”和“剪纸”两门选

修课为了了解选择“书法”或“剪纸“是否与性别有关，调查了高一年级1500名学生的选择

倾向，随机抽取了100人，统计选择两门课程人数如表：

选书法选剪纸合计

男生4050

女生

合计30

(1)请将上面2x2列联表补充完整;

(2)是否有95%的把握认为选择“书法”或“剪纸”与性别有关？

2

n(ad-bc)其中九=a+b+c+d.

(Q+b)(c+d)(a+c)(b+d)

Pg>fc)0.1000.0500.025

k2.7063.8415.024

18.(本小题12.0分)

已知等差数列｛an｝的前n项和为Sn,a4=7,S2=9.

(1)求数列｛即｝的通项公式；

(2)若数列｛b｝满足刈=2斯-3,求数列｛%｝的前n项和7；.

19.(本小题12.0分)

已知椭圆C：马+马=1(。>6>0)过点(0,2),其焦点为&(_门,0),F2(<5,0).

(1)求椭圆C的方程；

(2)若点P在椭圆C上，且|PQ|=4,求△PF1F2的面积.

20.(本小题12.0分)

在如图所示的几何体中，四边形4BCD是边长为2的正方形，四边形AOPQ是梯形，PD//QA,

PD_L平面4BCD,且PD=2Q4=2.

(1)求证：BC_L平面Q2B；

(2)求平面PBQ与平面PCD所成锐二面角的余弦值.

A

B

21.(本小题12.0分)

已知函数/'(x)=Inx—x.

(I)求/(均在点(1,/(1))处的切线方程；

(n)求证：/(X)<-1；

(HI)若函数无。)=a/(x)+^(aGR)无零点，求实数a的取值范围.

22.(本小题10.0分)

在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为9为参数)，以。为极点，》轴

的正半轴为极轴建立极坐标系.

(1)求曲线C的极坐标方程；

⑵曲线的的极坐标方程是p(Ccos。-sin。)=4,曲线C2的极坐标方程是6屋，C2与C的一

个交点为“(点M异于点0),与Q的交点为N,求|MN|.

23.(本小题12.0分)

已知函数f(x)=\x-a\+\x+2\.

(1)若a=l,求不等式/1(x)47的解集；

(2)若/(x)22a+l,求a的取值范围.

答案和解析

I.【答案】A

【解析】解：集合M={-2,-1,0,1,2},N={x|x23或xW—2},

所以"PIN={-2}.

故选:A.

根据给定条件，利用交集的定义求解作答.

本题主要考查交集及其运算，属于基础题.

2.【答案】A

【解析】解：(1+31)(3-i)=3-i+9i+3=6+8i,

则在复平面内，(1+3。(3-。对应的点的坐标为(6,8),位于第一象限.

故选：A.

直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案.

本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题.

3.【答案】D

【解析】解：因为直线I经过4(-1,4),8(1,2)两点，

所以直线I的斜率为心B=声冬=-1.

1一(一1)

故选：D.

直接代入直线斜率公式即可.

本题主要考查直线的斜率公式，属于基础题.

4.【答案】A

【解析】解：:o£。+34到二£&?=1(1).

故选：A.

由己知结合导数的定义即可求解.

本题主要考查了导数定义的应用，属于基础题.

5.【答案】C

【解析】解：根据题意，依次分析选项：

对于4,由于函数y=在(0,+8)上单调递增，所以y=-/nx在(0,+8)上单调递减，故A项错

误；

对于B,由于y=^=(护在R上是减函数，故B项错误；

对于C,由于y=—；=^在(。，+8)上单调递增，故C项正确；

对于0,由于y=-—#是对称轴为x=：,开口向上的二次函数，所以y=X?-x在(一8,3上单

调递减，在弓,+8)上单调递增，故。项错误.

故选：C.

根据题意，依次分析选项中函数的单调性，综合可得答案.

本题考查函数的单调性，注意常见函数的单调性，属于基础题.

6.【答案】B

【解析】解：因为a、b、c、d为实数，a>Ric>d.

对于4C选项，取a=2,b=—2,c=1,d=—1,则ac=bd,AC都错;

对于8选项，由不等式的基本性质可得Q+c>b+d,8对；

对于。选项，取a=2,b=-2,则工>：,。错.

故选：B.

利用特殊值法可判断4CD选项；利用不等式的基本性质可判断8选项.

本题考查不等式的性质，注意不等式的基本性质，属于基础题.

7.【答案】B

【解析】解：•••随机变量《的所有可能的取值为1，2,3,4,5,

且P(f=k)=ak,(k=1,2,3,4,5),

由离散型随机变量分布列的性质得a+2a+3a+4a+5a=1,

解得a—2.

故选:B.

利用离散型随机变量的性质即可求解.

本题考查离散型随机变量分布列的性质，是基础题.

8.【答案】D

【解析】解：由题知，四名学生利用暑假到学校的实践基地进行实习，每名大学生都有3种选择,

根据分步乘法计数原理，共有3x3x3x3=81种选法.

故选：D.

利用分步乘法计数原理计算即可.

本题考查了分步乘法计数原理，属于基础题.

9.【答案】A

【解析】解：因为甲乙二人的平均成绩相同，

所以"X(87+89+90+91+93)=^x(88+89+90+91+90+x),解得x=2,

故乙的平均成绩(x(88+89+90+91+92)=90,

则乙成绩的方差s2="x[(88-90)2+(89-90)2+(90-90)2+(91-90)2+(92-90)2]=2.

故选：A.

根据甲、乙二人的平均成绩相同求出x的值，再根据方差公式求出乙的方差即可.

本题考查茎叶图，方差，属于基础题.

10.【答案】A

【解析】解：由正弦定理知上7=3=2R,

stnAstnB

vsinA>sinB,

a>b,

A>B.

反之，vA>Aa>b,

va=2RsinA,b=2RsinB,sinA>sinB

故选：A.

由正弦定理知上7=由s讥A>s讥B,知。>力，所以反之亦然，故可得结论.

本题以三角形为载体，考查四种条件，解题的关键是正确运用正弦定理及变形.

11.【答案】B

【解析】解：由y=/'Q)的图象可知，当工€(-8,-3)时，f(x)>0,所以函数f(x)单调递增，

当无€(-3,-1)时，广⑺<0,所以函数/(x)单调递减，

所以〃一2)x=-3是f(x)的极大值点，故B正确，

当XW(-1,1)或％6(1,+8)时,f(X)>0,所以函数f(x)单调递增,所以函数f(x)在(一1,1)上没

有极大值，且X=1不是的极小值点，

故A,C错误，

因为x=-1是f(x)的极小值点，x=-3是f(x)的极大值点，x=1不是f(x)的极值点，

所以/(x)有2个极值点，故力错误.

故选：B.

根据y=f'(x)的图象判断/0)的正负，进而得到/Q)的单调性，再结合极值点的定义逐个判断各

个选项即可.

本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和极值，属于中档题.

12.【答案】A

【解析】解：构造函数9。)=誓1,

因为对任意的xGR，都有(0)-/(x)<1,

则如)=生等叫<0，

所以函数g(x)=与口在R上单调递减，

因为"0)=2022,所以g(0)=2023.

由/(x)+1>20231,得多乂>2023,

即。。)>5(0)-

所以x<0.

故选：A.

构造函数9(均=隼±然后对g(x)求导，结合导数可判断单调性，进而可求.

本题主要考查了利用导数判断函数单调性，求解不等式，解题的关键是导数的构造.

13.【答案】?

【解析】解：tang=tan(兀+/)=tan'=三，

故答案为：

由条件利用诱导公式进行化简求值.

本题主要考查利用诱导公式进行化简求值，属于基础题.

14.【答案】-3

【解析】解：因为向量访=(x,-3),n=(2,x+1),mln,

所以访n=2x—3x—3=0,得x=-3.

故答案为：一3.

由记1元，得记•元=0,列方程求解.

本题主要考查向量数量积运算，向量垂直的性质，考查运算求解能力，属于基础题.

15.【答案】0.475

【解析】解：设4="发送的信号为0"，B="接收到的信号为0”，

则［="发送的信号为1"，B="接收到的信号为1”，

所以P(4)=0.5,P(4)=05P(B|4)=0.9,P(B|4)=0.1,P(B|7l)=0.05,P(B|A)=0.95，

所以接收信号为0的概率为：P(B)=P(A)P(BIA)+P(A)P(BfA)=0.5x0.9+0.5X0.05=0.475.

故答案为：0.475.

运用全概率公式计算即可.

本题主要考查了全概率公式，属于基础题.

16.【答案】150

【解析】解：将甲、乙、丙、丁、戊五位同学分为三组，每组人数分别为2、2、1或3、1、1,

然后将这三组同学分配给4、B、C三门德育校本课程，

由分步计数原理可知，不同的报名方法种数为(绛+C白朗=(15+10)x6=

150.

A2

故答案为：150.

将甲、乙、丙、丁、戊五位同学分为三组，确定每组的人数，然后将这三组同学分配给4、B、C三

门德育校本课程，结合分步乘法计数原理可得结果.

本题考查排列组合的应用，属于基础题.

17.【答案】解：(1)根据题意，一共抽取了100人，补全列联表如下,

选书法选剪纸共计

男生401050

女生302050

共计7030100

(2)根据列联表数据,

100x(40x20-10x30)2

K2»4.762>3.841-

50x50x70x30

所以有95%的把握认为选择“书法”或“剪纸”与性别有关.

【解析】(1)根据题意与表中数据即可完成列联表；

(2)根据公式求出K2,再对照临界值表，即可得出结论.

本题主要考查独立性检验公式，属于基础题.

18.【答案】解：(1)设等差数列｛a(的公差为d,

则解得%=%d=l.

+d=9

an=4+n—l=n+3；

(2)vbn=2aL3,an=n+3,

•*,%n=2"，

・・・数列｛%｝是以2为首项，2为公比的等比数列,

n+1

Tn=2(；1;)=2(2"-1)=2-2.

【解析】(1)根据等差数列的通项公式与前71项和为Sn求得首项即与公差d即可得数列｛即｝的通项公

式;

(2)由(1)得垢=2%直接利用等比数列的前Ji项和公式求得〃.

本题主要考查数列的求和，考查转化能力，属于中档题.

19.【答案】解：(1)由题易知b=2,c=C，

•••a2=b2+c2=9.

••・椭圆C的方程为：［+4=1.

94

(2)由题意，点P在椭圆C上，且|P0|=4,

•••|PFi|+\PF2\=2a=6,A\PF2\=2,

又I&F2I=2，T，

2

仍&『+\PF2\=1&尸2『，二PFJPF2,

•••△P&F2的面积为S=i\PF1\\PF2\=ix2x4=4.

【解析】(1)根据椭圆的几何性质计算求得a，b,写出椭圆方程即可；

(2)应用椭圆的定义求出IPF2I=2,再根据勾股定理得出直角三角形最后应用面积公式计算求解即

可.

本题主要考查椭圆的性质及椭圆的标准方程，考查运算求解能力，属于中档题.

20.【答案】(1)证明：••・PO_L平面ABCO,PD//QA,

QAJL平面ABCD,

•••BCu平面4BC。，QALBC,

5LBC1AB,ABCtQA=A,AB,Q4u平面QAB,

BCJ_平面Q4B；

(2)解：因为PD_L平面ABCD,底面4BCD为正方形，

以。为原点，DA,DC,DP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系：

贝(I有B(2,2,0),P(0,0,2),Q(2,0,l),调=(0,2,-1)初=(2,0,-1),

设平面PBQ的一个法向量为而=(x,y,z),

则有『,竺—2y-Z-0,令z=2,则x=l,y=1,而=(1,1,2),

(m-PQ=2x-z=0

易知平面PCD的一个法向量为元=(1,0,0),

二平面PBQ与平面PCD所成锐二面角的余弦值为:

|cos＜沅,记＞|=制=方力=?.

【解析】(1)根据线面垂直的判定定理，即可证明;

(2)建立空间直角坐标系，求出平面PBQ与平面PCD的法向量，再根据向量夹角公式，即可求解.

本题考查线面垂直的判定定理，向量法求解面面角问题，化归转化思想，属中档题.

21.【答案】解：(/)/(%)=/nx-x,则1(x)=：-i=y,

贝叶(1)=-1,f(l)=0,

所以/(x)在点(1)(1))处的切线方程y=-1.

(口)证明：f(x)=Inx-x的定义域为(0,+8),r(x)=与二

令((x)>0,得0cx<1；令f'(x)<0,得x>1,

所以在(0,1)上单调递增，在(1,+8)上单调递减，

当x=l时，/(%)取最大值，所以f(x)Wf(l)=-1,所以/(x)W-l.

(IQ)因为九(%)=a(bix-x)+奈

所以"(x)=4-1)+宗=(1-X)生+》

当a=0时，h(x)=^>0,九(%)在定义域上无零点；

当Q>0时，%>0,所以2+?>0,令h'(x)>0,得OVxVl,

所以h(%)在(0,1)上单调递增，在(1,+8)上单调递减,

当x=l时，九(x)取最大值九(1)=-a+:,

因为九(x)无零点，所以九(1)=—a+；<0,即a>；；

当a<0时，因为f(x)W—1,所以a(Znx—x)>0,

即h(x)=a(J.nx—久)+宗>0,

所以/i(x)在定义域上无零点.

综上，a的取值范围是(一8,0]u@,+8).

【解析】(/)求出导函数，计算f(l),广(1)，从而可得切线方程；

(口)利用导数求出f(x)的最大值，即可得证：

(DI)对以x)求导，对a分类讨论，结合题意即可求解a的取值范围.

本题主要考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，利用导数研究函数的最值，考查不等式的证

明，函数零点个数问题，考查分类讨论思想与运算求解能力，属于中档题.

22.【答案】解：(1)因为曲线C的参数方程为]那°sa，(a为参数),

转化为