高三数学一轮复习讲义立体几何的综合运用教师理科

课题：立体几何的综合运用2【典型例题】【例1】在长方体的中点。ABCOABCOA1B2C1O1DE（2）作【答案】【解析】略【例2】如图，四棱锥中，平面平面，，．（1）证明：；（2）若，求二面角的余弦值．【答案】（1）见解析;（2）.【解析】【试题分析】（1）先借助题设中的面面垂直的性质证明线面垂直，再运用线面垂直的性质定理证明线线垂直；（2）先确定三棱锥的底为，再求其高，然后运用三棱锥的体积公式探求：（1）如图，连接交于点，∵，即为等腰三角形，又平分，故，∵平面底面，平面底面，∴平面，因平面，所以.（2）如图，记交于点，作于点，则底面，因为，，所以，，由，又，得，故.点睛：立体几何是高中数学的重要内容和知识，也是高考重点考查的考点。这类问题的常常设置两个问题，一是空间线面位置关系的推证；二是空间角度距离的计算。解答线面位置关系的推证问题时，充分借助题设条件与线面、面面位置关系的判定定理和性质定理进行推断；求解角度、距离问题时，要么依据角度、距离的定义构造平面几何图形进行求解，要么建立空间直角坐标系运用空间向量的有关知识分析探求。【举一反三】1．如图，四棱锥P—ABCD中，PA⊥ABCD，四边形ABCD是矩形.E、F分别是AB、PDPA=AD=3，CD=.（1）求证：AF//平面PCE；（2）求点A到平面PCE的距离；（3）求直线FC与平面PCE所成角的大小。【答案】（2）（3）【解析】：解法一：（1）取PC的中点G，连结EG，FG，又由F为PD中点，则FG//= 又由已知有∴四边形AEGF是平行四边形.= 平面PCE，EG4分（2）由（1）知点A到平面PCE的距离等于点F到平面PCE的距离，所以只要求出点F到平面PCE的距离即可。又已知得：.... 8分 （3）由（2）知 12分解法二：如图建立空间直角坐标系，A（0，0，0），P（0，0，3），D（0，3，0），E（，0，0），F（0，，），C（，3，0）2分 （1）取PC的中点G，连结EG，则,即，又 4分（2）设平面的法向量.，取又，故到平面的距离为8分 （3） 直线FC与平面PCE所成角的大小为. 12分2．如图，在四棱锥中，底面为正方形，且平面，，、分别是、的中点．（Ⅰ）证明：EF∥平面PCD；（Ⅱ）求二面角B－CE－F的大小．【答案】（Ⅰ）证明见解析（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）证明：取的中点为，连接，易证：且∥于是，EF∥MD，而MD平面PCD所以EF∥平面PCD（Ⅱ）以点为原点，建系，易求得(1,1,0)、(，，)、(0，1，0)、(，0，0)，从而分别求出平面和平面的法向量、，从而算出二面角大小为．【课堂巩固】1．如图已知，点P是直角梯形ABCD所在平面外一点，PA⊥平面ABCD，，，。PPABCDE（1）求证：；（2）求直线PB与平面ABE所成的角；（3）求A点到平面PCD的距离。【答案】（2）解：由(1)知……….……….5分……….……….7分ks*5u……….……….8分（3）解：连结AC，过点A作于H……….……….9分在直角梯形ABCD中，易求出……….……….10分AH的长为点A到平面PCD的距离……….……….11分即A点到平面PCD的距离为。……….……….12分【解析】略2．四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，PA与平面ABCD所成的角为60，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠DAB＝90，AB＝4，CD＝1，AD＝2．（1）求四棱锥P－ABCD的体积；（2）求异面直线PA与BC所成的角．【答案】（1）（2）【解析】（1）∵PD⊥平面ABCD，∴∠PAD为PA与平面ABCD所成的角，PD＝2．（2分）在四边形ABCD中，∠ADC＝∠DAB＝90，AB＝4，CD＝1，AD＝2，∴＝5，则＝＝．（6分）（2）以DA、DC、DP所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，则A（2，0，0），B（2，4，0），C（0，1，0），则P（0，0，2），＝（2，0，－2），＝（－2，－3，0）．（10分）＝－，即异面直线PA与BC所成的角大小为．（14分）【课后练习】正确率：1．如图，在四棱柱中，底面是正方形，侧棱与底面垂直，点是正方形对角线的交点，，点，分别在和上，且．（Ⅰ）求证：∥平面；（Ⅱ）若，求的长；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求二面角的余弦值．【答案】解：（Ⅰ）证明：取，连结和,∴，∥，，∥，∴，∥．∴四边形为平行四边形，∴∥，在矩形中，，∴四边形为平行四边形．∴∥，∥．∵平面，平面，∴∥平面．————————4分（Ⅱ）连结，在正四棱柱中，平面，∴，，∴平面，∴．由已知，得平面．∴，，在△与△中，，，∴△∽△∴，．—————————9分（Ⅲ）以为原点，，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系．．，由（Ⅱ）知为平面的一个法向量，设为平面的一个法向量，则，即，令，所以．∴，∵二面角的平面角为锐角，∴二面角的余弦值为．——————