函数的概念（原卷版）

18.1函数的概念1.通过具体实例认识并分清常量、变量、自变量和函数；2.理解变化过程中的两个变量之间的相互依赖关系,从而理解函数的概念，了解函数符号“y=f（x）”的意义；3.理解函数的定义域、函数值的意义，会求简单情况下函数的定义域、函数值.知识点一常量和变量在一个变化过程中,我们称数值发生变化的量为变量,数值始终不变的量为常量.注意：变量和常量是相对而言的，判断的前提是“在同一个变化过程中”.当变化过程改变时，同一个量的身份也可能随之改变；“常量”是已知数,是指在整个变化过程中保持不变的量,不能认为式中出现的字母就是变量,如在一个匀速运动中的速度v就是一个常量;判断一个量是不是变量,关键是看在变化过程中其数值是否发生变化;变量、常量与字母的指数没有关系,如S=r²中,变量是“S和“r”（不能说r²）,常量是“n”.指出一个变化过程中的常量时,必须连同它前面的符号一起写出.即学即练（2023春·广东河源·七年级统考期末）球的体积是M，球的半径为R，则M=43πA．变量是M，R；常量是43π B．变量是R，π；常量是C．变量是M，π；常量是3，4，π D．变量是M，R；常量是M知识点二自变量与函数1.函数一般地,在一个变化过程中,如果有两个变量x与y,并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应,那么我们就说x是自变量,y是x的函数.例如,在s=60t中,有两个变量s与t,当t变化时，s也随之发生变化,并且对于t在其取值范围内的每一个值，s都有唯一确定的值与之对应,我们就称t是自变量,s是t的函数注意：函数是相互关系，一定要说谁是谁的函数，不能直接说s是函数.2.对函数定义的理解(1)有两个变量.例如，在三角形中，若三个内角的度数分别为x,y,z，则有关系中有三个变量，y就不是x的函数.函数不是数，函数的本质是对应，函数关系就是变量之间的对应关系,且是一种特殊的对应关系，一个变量的数值随着另一个变量数值的变化而变化函数的定义中包括了对应值的存在性和唯一性两重意思，即对自变量x的每一个确定的值,有且只有一个值与之对应;对自变量x的不同取值，y的值可以相同,如:函数,当和时，的值都是例如，如:,当x=1时,有两个值与之对应,所以不是的函数.3.自变量、因变量在某个变化过程中处于主导地位的变量即为自变量，随之变化且对应值唯一确定的另一个变量即为因变量，也就是该自变量的函数.知识点三函数解析式与函数关系的表达1.函数解析式表达两个变量之间依赖关系的数学式子称为函数解析式.2.函数关系的三种表示形式（1）用数学式子表示:如教材例题1中，气温的摄氏度与华氏度之间的函数关系用数学式子表示;（2）用表格来表示，如教材例题1中用表格表示摄氏度x与华氏度y之间的函数关系;（3）用图像来表示，如教材例题2中，用一个图像表示当地某一天的气温随时间变化情况.注意：有些函数关系是没有关系式的，如心电图中的时间与生物电流的关系即学即练1（2023春·山东烟台·六年级统考期末）图1中的摩天轮可抽象成一个圆，圆上一点离地面的高度y（m）与旋转时间x（min）之间的关系如图2所示．(1)根据图2填表：x（min）036812…y（m）_______________…(2)根据图中的信息，解答下列问题：①摩天轮转一周需要多长时间？②摩天轮圆上一点离地面的最大高度是多少？③求出摩天轮的周长．即学即练2（2022秋·甘肃白银·八年级校考期中）下列各曲线中，不能表示y是x的函数的是（

）A．

B．

C．

D．

知识点四函数的定义域与函数值1.函数的定义域函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域.常见函数解析式中，函数的定义域的求解方法:类型特点自变量取值范围举例整式型等号右边是关于自变量的整式全体实数(x取全体实数)分式型等号右边是关于自变量的分式使分母不为0的实数根式型等号右边是关于自变量的开偶次方的式子使根号下的式子大于或等于0的实数零(或负整数)次幂型等号右边是关于自变量的零(或负整数)次幂使底数不为0的实数综合型两种及以上类型综合满足各部分都有意义在实际问题中，自变量的取值还必须使实际问题有意义.2.函数值如果变量是自变量的函数，那么对于在定义域内取定的一个值，变量的对应值叫做当时的函数值.3.符号“”的意义为了深入研究函数，我们把语句“是的函数”用记号来表示.这里表示自变量，表示随变化而变化的规律.注意：(1)记号表示“是的函数”,不是表示“”与“”的积;(2)在同一个问题中同时研究几个不同的函数时,表示函数的记号中,括号外的字母可采用不同的字母,如(3)在函数用记号表示时,表示当时对应的函数值;(4)函数的自变量取遍定义域中的所有值,对应的函数值的全体叫做这个函数的值域，如函数,它的值域是.即学即练（2023·上海·八年级假期作业）求下列函数的定义域．(1)y=10-(2)y=(3)y=(4)y=题型一常量与变量例1（2021春·八年级课时练习）每张电影票的售价为10元，某日共售出x张票，票房收入为y元，在这一问题中，是常量，是变量．举一反三1（2020秋·八年级单元测试）购买单价为每支2元的圆珠笔，总金额y（元）与铅笔数n（支）的关系式可表示为y=，其中，举一反三2（2022秋·安徽·八年级期末）下图是某地区一天的气温随时间变化的图象：(1)图中的变量是什么？(2)气温在哪段时间是下降的？(3)最高气温和最低气温分别是多少摄氏度？题型二函数的概念例2（2023秋·安徽蚌埠·八年级统考阶段练习）下列图象中，表示y是x的函数的是（

）A．

B．

C．

D．

举一反三1（2023秋·全国·八年级专题练习）如图所示的图象分别给出了x与y的对应关系，其中表示y不是x的函数的是（

）A．

B．

C．

D．

举一反三2（2023春·陕西咸阳·七年级校考期中）周末，乐乐坐公交车到兴庆公园，他出发后0.8时到新华书店，逗留一段时间后继续坐公交车到公园．乐乐离家一段时间后，爸爸驾车沿相同的路线前往兴庆公园，如图是他们离家路程skm与乐乐离家时间t(1)图中自变量是________，因变量是________；（填字母）(2)乐乐在新华书店逗留了________h；乐乐出发________h后爸爸驾车出发；(3)分别求出乐乐从新华书店到兴庆公园的平均速度以及爸爸驾车的平均速度；(4)求出乐乐从家到新华书店时，他离家路程s与坐车时间t之间的关系式．题型三函数解析式例3（2023秋·上海杨浦·八年级统考期末）已知某等腰三角形的周长为36，腰长为x，底边长为y，那么关于x的函数关系式及定义域是（

）A．x=36-y2（9<y<18）C．x=36-y2（0<举一反三1（2022秋·上海奉贤·八年级校考期中）如图，正方形ABCD分割成两个小正方形和两个长方形．(1)若正方形ABCD边长为10，正方形BFPE的面积是正方形PGDH的一半，求正方形BFPE的边BF的长．(2)若正方形ABCD面积为10，设BF=x，四边形APGD的面积为y，求y关于(3)四边形APGD的面积是否能够等于正方形ABCD面积的一半，如果能，请求出BF长，如果不能请说明理由．举一反三2（2023春·上海浦东新·八年级上海市进才中学北校校考阶段练习）某商店购进了甲乙两种新款电动自行车共50辆，其中甲款车的利润为500元/辆，乙款车的利润为550元/辆，若设甲种车购入x辆，销售完这批车的总利润为y元，则y关于x的函数解析式为．题型四求函数的定义域例4（2023春·上海嘉定·八年级校考开学考试）函数y=1-x举一反三1（2022秋·上海·八年级校考期中）函数y=2x举一反三2（2023秋·上海杨浦·八年级统考期末）函数y=x+3题型五求自变量的取值范围求自变量的值或函数值例5（2023秋·上海杨浦·八年级统考期末）已知fx=6x举一反三1（2022秋·上海·八年级校考期中）如果fx=13举一反三2（2023春·上海普陀·八年级校考期末）已知一次函数fx=3x+2题型六函数图象识别例6（2023秋·上海徐汇·九年级校联考阶段练习）已知点M-4,a-2,NA．

B．

C．

D．

举一反三1（2023·上海·八年级假期作业）如图，水槽底部叠放着两个实心圆柱，现向无水的水槽中注水直至注满．水槽中水面上升高度y与注水时间x之间的函数关系，大致是下列图像中的（

）．A． B．C． D．举一反三2（2022秋·八年级单元测试）下列图像中表示y是x的函数的有几个（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个题型七从函数的图象获取信息例7（2023春·上海松江·八年级统考期末）乐乐家与学校相距1000米，某天乐乐上学时忘了带了一本书，走了一段时间才想起，于是返回家拿书，然后加快速度赶到学校，图中是乐乐与家的距离y（米）关于时间x（分钟）的函数图像，下列说法错误的是（

）A．乐乐走了200米后返回家拿书 B．乐乐在家停留了3分钟C．乐乐以每分钟200米的速度加速赶到学校 D．乐乐在第10分钟的时候赶到学校举一反三1（2023春·上海杨浦·八年级校考期中）在一次蜡烛燃烧试验中，甲、乙两根蜡烛燃烧时剩余部分的高度y（厘米）与燃烧时间x（小时）之间的关系如图所示，请根据图像所提供的信息解答下列问题：(1)两根蜡烛燃烧前的高度分别是_________厘米，_________厘米；(2)两根蜡烛从点燃到燃尽所用的时间分别是_________小时，_________小时；(3)燃烧多长时间，甲、乙两根蜡烛等高？（不考虑都燃尽时的情况）举一反三2（2023春·上海奉贤·八年级统考期末）一辆货车从甲地出发运送物资到乙地，稍后一辆轿车从甲地运送乘客到乙地，货车行驶的平均速度是60千米/时，两车行驶了120千米之后同时进入加油站，从甲地到加油站这段路程中，两车离甲地的路程y（千米）与时间x（小时）的函数图象如图所示：(1)a的值为______；(2)轿车的速度为______千米/小时；(3)加完油后，货车和轿车按照各自原来的行驶速度同时从加油站出发前往乙地，轿车比货车早15个题型八用描点法画函数图象例8（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市萧红中学校考阶段练习）如图，等边△ABC的边长为3cm，点N在AC边上，AN=1cm．△ABC边上的动点M从点A出发，沿A→B→C运动，到达点Cx00.511.522.533.544.555.56y10.8711.322.182.652.291.81.731.82小丽根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小丽的探究过程，请补充完整：(1)通过取点、画图、测量，得到了y与x的几组对应值；(2)在平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点，画出该函数的图象；举一反三1（2023秋·山东青岛·八年级统考期末）如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D从A点出发，沿线段AB向终点B运动．过点D作AB的垂线，与△ABC的直角边AC(或BC)相交于点E．设线段AD(1)为了探究变量a与h之间的关系，对点D在运动过程中不同时刻AD，DE的长度进行测量，得出如表几组数据：变量a023.64678.29.410变量h01.52.734.542.40.80在图2中，以变量a的值为横坐标，变量h的值为纵坐标，描点并连线；在图3中，以变量h的值为横坐标，变量a的值为纵坐标，描点并连线．(2)根据探究的结果，解答下列问题：①当a=3时，h=；当h=4时，a=②h是否有最大值？若有，请直接写出它的最大值；若没有，请说明理由；③下列说法正确的是．(填“A”或“B”)A．变量a是以h为自变量的函数B．变量h是以a为自变量的函数(3)如图4，若DE在△ABC内扫过的图形面积等于9cm2，则a是多少cm？举一反三2（2021春·福建福州·八年级校考期中）某“数学兴趣小组”根据学习函数的经验，对函数y=3x+1(1)如图，在平面直角坐标系xOy中，请同学们自己列表并画出函数图象．(2)根据函数图象，写出该函数的两条性质：①____________________________________②____________________________________若关于x的方程3x-1-2=题型九动点问题的函数图象例9（2023·上海·八年级假期作业）动点H以每秒x厘米的速度沿图1的边框（边框拐角处都互相垂直）按从A-B-C-D-E-F的路径匀速运动，相应的△HAF的面积S①动点H的速度是2cm/s②BC的长度为3cm③当点H到达D点时△HAF的面积是8cm④b的值为14；⑤在运动过程中，当△HAF的面积是30cm2时，点H的运动时间是3.75sA．2个 B．3个 C．4个 D．5个举一反三1（2023·上海·八年级假期作业）如图1，点G是BC上靠近点C的三等分点，点H在AF上，动点P以每秒1cm的速度沿图1的边线运动，运动路径为：G-C-D-E-F-H，相应的△ABP的面积y①图1中的BC长是9cm；②图2中的M点表示第6秒时y的值为18③图1中的CD长是3cm；④图2中的N点表示第19秒时y的值为14A．1个 B．2个 C．3个 D．4个举一反三2（2021春·上海·八年级上海市西南模范中学校考期中）如图，在边长为1的正方形ABCD中，M是CD边的中点，点P按A→B→C→M的顺序在边上运动，设点P经过的路程x为自变量，△APM的面积为y，则函数A． B．C． D．题型十函数的三种表示方法例10（2023春·八年级课时练习）图象中所反映的过程是：张强从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后，又去早餐店吃早餐，然后散步走回家，其中x表示时间，y表示张强离家的距离，根据图象提供的信息，以下四个说法错误的是()A．体育场离张强家千米 B．张强在体育场锻炼了15分钟C．体育场离早餐店4千米 D．张强从早餐店回家的平均速度是187千米/举一反三1（2019春·广东深圳·七年级统考期中）已知弹簧的长度y(cm)与所挂物体的质量x(kg)之间有如下关系，则（）x(kg)012345y(cm)6788A．y随x的增大而增大B．质量每增加1kg，度增加C．不挂物体时，长度为6cmD．质量为6kg时，长度为举一反三2（2020秋·八年级课时练习）某种树木的分枝生长规律如图所示，则预计到第6年时，树木的分枝数为，其中自变量是，因变量是年份分枝数第1年1第2年1第3年2第4年3第5年5单选题1.（2023春·上海静安·八年级上海市回民中学校考期中）小明早晨从家骑车到学校，先上坡后下坡，行程情况如图，若返回时上、下坡速度仍保持不变，则小明从学校骑车回家的时间是（）分钟．A．30 B．31 C．32 D．332．（2022秋·上海奉贤·八年级校联考期中）下列所述不属于函数关系的是（

）A．长方形的面积一定，它的长和宽的关系 B．x+2与xC．匀速运动的火车，时间与路程的关系 D．某人的身高和体重的关系3．（2021春·上海徐汇·八年级位育中学校考期中）甲、乙二人沿相同的路线由A到B匀速行进，A，B两地间的路程为20km．他们行进的路程s(km)与甲出发后的时间t（h）之间的函数图象A．甲的速度是5km/h； B．乙的速度是10km/hC．乙比甲晚出发1h D．从A到B，甲比乙多用了1h二、填空题1.（2023春·上海嘉定·八年级校考开学考试）已知变量x和变量x-2，那么x-2