高考数学（理）课时作业（四十一）第41讲空间点直线平面之间的位置关系

课时作业(四十一)第41讲空间点、直线、平面之间的位置关系基础热身1.[2017·闽南八校二联]已知直线a,b分别在两个不同的平面α,β内,则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的 ()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.[2017·郑州一模]已知直线a和平面α,β,α∩β=l,a⊄α,a⊄β,且a在α,β内的射影分别为直线b,c,则直线b和c的位置关系是 ()A.相交或平行 B.相交或异面C.平行或异面 D.相交、平行或异面3.下面四个说法中正确的个数为 ()(1)如果两个平面有四个公共点,那么这两个平面重合;(2)两条直线可以确定一个平面;(3)若M∈α,M∈β,α∩β=l,则M∈l;(4)在空间中,相交于同一点的三条直线在同一平面内.A.1 B.2C.3 D.44.[2017·佛山模拟]如图K411所示,在正三棱柱ABCA1B1C1中,D是AC的中点,AA1∶AB=2∶1,则异面直线AB1与BD所成的角为.

图K4115.如图K412是某个正方体的展开图,l1,l2是两条侧面对角线,则在正方体中,下面关于l1与l2的四个结论中正确的是.(填序号)

①互相平行;②异面垂直;③异面且夹角为π3;④相交且夹角为π图K412能力提升6.l1,l2表示空间中的两条直线,若p:l1,l2是异面直线;q:l1,l2不相交,则 ()A.p是q的充分条件,但不是q的必要条件B.p是q的必要条件,但不是q的充分条件C.p是q的充分必要条件D.p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件7.已知正方体ABCDA1B1C1D1中,O是BD1的中点,直线A1C交平面AB1D1于点M,则下列结论错误的是 ()A.A1,M,O三点共线B.M,O,A1,A四点共面C.A1,O,C,M四点共面D.B,B1,O,M四点共面8.[2017·济南模拟]设a,b,c是两两不同的三条直线,下面四个说法中正确的是 ()A.若直线a,b异面,b,c异面,则a,c异面B.若直线a,b相交,b,c相交,则a,c相交C.若a∥b,则a,b与c所成的角相等D.若a⊥b,b⊥c,则a∥c9.已知m,n为异面直线,m⊥平面α,n⊥平面β,若直线l满足l⊥m,l⊥n,l⊄α,l⊄β,则 ()A.α∥β且l∥αB.α⊥β且l⊥βC.α与β相交,且交线垂直于lD.α与β相交,且交线平行于l10.异面直线l与m成60°角,异面直线l与n成45°角,则异面直线m与n所成角的取值范围是 ()A.[15°,90°] B.[60°,90°]C.[15°,90°) D.[15°,60°]11.正四棱锥PABCD中,四条侧棱长均为2,底面ABCD是正方形,E为PC的中点,若异面直线PA与BE所成的角为45°,则该四棱锥的体积是 ()A.4 B.23C.43 D.12.已知集合A={直线},B={平面},C=A∪B.若a∈A,b∈B,c∈C,给出下列四个说法:①若a∥b,c∥b,则a∥c;②若a⊥b,c⊥b,则a∥c;③若a∥b,c⊥b,则a⊥c;④若a⊥b,c∥b,则a⊥c.其中正确说法的序号是.

13.如图K413所示是正方体和正四面体,P,Q,R,S分别是其所在棱的中点,则四个点共面的图形是.

图K41314.(12分)如图K414,平面ABEF⊥平面ABCD,四边形ABEF与四边形ABCD都是直角梯形,∠BAD=∠FAB=90°,BC12AD,BE12FA,G,H分别为FA,FD的中点.(1)求证:四边形BCHG是平行四边形.(2)C,D,F,E四点是否共面?为什么?图K41415.(13分)[2017·成都七中月考]如图K415所示,在三棱锥PABC中,PA⊥底面ABC,D是PC的中点.已知∠BAC=π2,AB=2,AC=23,PA=2(1)求三棱锥PABC的体积;(2)求异面直线BC与AD所成角的余弦值.图K415难点突破16.(5分)[2017·包头十校联考]在正方体ABCDA1B1C1D1中,点P在线段AD1上运动,则异面直线CP与BA1所成的角θ的取值范围是 ()图K416A.0<θ<π2 B.0<θ≤C.0≤θ≤π3 D.0<θ≤(5分)在直三棱柱ABCA1B1C1中,∠BCA=90°,M,N分别是A1B1,A1C1的中点,BC=CA=CC1,则BM与AN所成角的余弦值为.课时作业(四十一)1.A[解析]因为直线a和直线b相交,所以直线a与直线b有一个公共点,而直线a,b分别在平面α,β内,所以平面α与β必有公共点,从而平面α与β相交;反之,若平面α与β相交,则直线a与直线b可能相交、平行或异面.故选A.2.D[解析]因为直线a与平面α,β的位置关系不确定,所以直线b和c的位置关系可能是相交、平行或异面,故选D.3.A[解析](1)若四个公共点不在同一直线上,则这两平面重合;若四个公共点在同一直线上,则这两平面相交.(2)两条异面直线不能确定一个平面.(3)若M∈α,M∈β,则M是平面α与β的公共点,又α∩β=l,所以M∈l.(4)在空间中,相交于同一点的三条直线可能在同一平面内,也可能不在同一平面内.故选A.4.60°[解析]取A1C1的中点E,连接B1E,ED,AE,则B1E∥BD,∴∠AB1E为异面直线AB1与BD所成的角.设AB=1,则A1A=2,在Rt△AB1E中,AB1=3,B1E=32,则∠AB1E=60°,即异面直线AB1与BD所成的角为60°5.④[解析]将展开图还原成正方体如图所示,则B,C两点重合,故l1与l2相交,连接AD,则△ABD为正三角形,所以l1与l2的夹角为π36.A[解析]若直线l1,l2是异面直线,则一定有l1与l2不相交,因此p是q的充分条件;若l1与l2不相交,则l1与l2可能平行,也可能异面,所以p不是q的必要条件.故选A.7.D[解析]由正方体的性质知,O也是A1C的中点,因此A1,M,O三点共线,又直线与直线外一点确定一个平面,所以B,C中的结论正确.由BB1与A1C异面知D中的结论错误,故选D.8.C[解析]若直线a,b异面,b,c异面,则a,c可能相交、平行或异面;若a,b相交,b,c相交,则a,c可能相交、平行或异面;若a⊥b,b⊥c,则a,c可能相交、平行或异面;由异面直线所成的角的定义知,C中的说法正确.故选C.9.D[解析]由m⊥平面α,直线l满足l⊥m,且l⊄α,得l∥α;又n⊥平面β,l⊥n,l⊄β,得l∥β.由直线m,n为异面直线,且m⊥平面α,n⊥平面β,可知α与β相交,且交线平行于l.故选D.10.A[解析]如图,在直线l上任取一点O,过O作m'∥m,n'∥n.当m',n',l三线共面时,m'与n'所成的最小角为15°,即异面直线m与n所成角的最小值是15°.设n'与l固定,把m'绕点O旋转,则m'与n'所成的最大角为90°.故选A.11.D[解析]如图,连接AC,BD.设AC∩BD=O,连接PO,OE,∵O,E分别是AC和PC的中点,∴OE∥PA,OE=12PA=1,则∠BEO或其补角即为异面直线PA与BE所成的角.∵底面ABCD是正方形,∴BO⊥AC,又PO⊥OB,PO∩AC=O,∴BO⊥平面PAC,则BO⊥OE,∴△BOE是等腰直角三角形,∴OB=OE=1,PO=PB2-OB2=3,BC=2,则四棱锥PABCD的体积V=13×(2)212.④[解析]由题意知,c可以是直线,也可以是平面.当c表示平面时,①②③中的说法都不对,故正确说法的序号是④.13.①②③[解析]在图④中,可证Q点所在棱与平面PRS平行,因此,P,Q,R,S四点不共面.易知①中四边形PQRS为梯形;③中四边形PQRS为平行四边形;②中如图所示,取A1A与BC的中点分别为M,N,可证明PMQNRS为正六边形.14.解:(1)证明:由题设知,FG=GA,FH=HD,所以GH12AD,又BC12AD,所以GHBC,所以四边形BCHG是平行四边形.(2)C,D,F,E四点共面.理由如下:由BE12AF,G是FA的中点知,BEGF,所以EFBG.由(1)知BG∥CH,所以EF∥CH,故EC,FH共面.又点D在直线FH上,所以C,D,F,E四点共面.15.解:(1)S△ABC=12×2×23=23故三棱锥PABC的体积V=13S△ABC·PA=13×23×2=(2)如图,取PB的中点E,连接DE,AE,则ED∥BC,所以∠ADE是异面直线BC与AD所成的角(或其补角).在△ADE中,DE=2,AE=2,AD=2,则cos∠ADE=22+2故异面直线BC与AD所成角的余弦值为3416.D[解析]连接CD1,CA.∵A1B∥D1C,∴异面直线CP与A1B所成的角即为CP与D1C所成的角.∵△AD1C是正三角形,∴当P与A重合时,所成角最大,为π3.又∵P不能与D1重合(此时D1C与A1B平行,不是异面直线),∴θ∈