不等式求最值题型集锦原卷版

利用基本不等式求最值题型一：利用均值不等式直接求最值1.积定和最小，和定积最大（1）设x，y为正实数，若x＋y＝s(和s为定值)，则当x=y时，积xy有最大值，且这个值为eq\f(s2,4).（2）设x，y为正实数，若xy＝p(积p为定值),则当x=y时，和x＋y有最小值,且这个值为2eq\r(p).例1.已知m，n∈R，m2+n2=100，则mn的最大值是（

）A．25 B．50 C．20 D．变形1：已知正数满足，则的最大值（）A．B．C．D．变形2:若，都为正实数，，则的最大值是（

）A． B． C． D．变形3：已知正数，满足，则的最小值是（

）A．10 B．20 C．15 D．25变形4：已知x>0，y>0，且xy=10，则的最小值为（

）A．2 B．3 C．4 D．6变形5：（多选）若，恒成立，则的取值可以是（）A．B．C．D．例2.(1)已知，，若，则的最大值为（）．A．B．C．D．1(2)已知，则的最小值是（）A．1B．4C．7D．例3.若a+b≠0，则a2+b例4.已知正实数，，满足，则的最小值为______.例5.已知，，则的最小值为___________.小结：在用基本不等式求函数的最值时，要满足三个条件：一正二定三相等.①一正：各项均为正数；②二定：含变数的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：验证等号是否成立，若等号不成立则这个定值就不是所求的最值。题型二配凑法求最值例1.已知实数，则的最小值是（）A．B．C．D．例2.设，求函数的最大值。练一练.已知求的最大值．例4.已知，则的最小值是（）A．14B．C．8D．例5.若，则的最小值为___________.题型三消元法求最值例1.已知正实数，满足，则的最大值为______.例2.若实数，满足，则的最小值为．例3.若正实数满足，则的最小值为___________.例4.已知正数，满足，则的最小值为（

）A．1 B．2 C．3 D．4例5.已知a＞0，且a2－b＋4＝0，则（

）A．有最大值 B．有最大值 C．有最小值 D．有最小值例6.已知正数a和b满足ab+a+2b=7，则的最小值为（

）A． B． C． D．例7．已知实数a，b，c满足a+b+c＝0，a2+b2+c2＝1，则a的最大值是．例8.设正实数，，满足，则当取得最大值时，的最大值为（

）A． B． C． D．例9．设，则的最小值等于（）A．2B．4C．D．题型4：见面开根号（1）形如：，，求的最小值.方法：（2）形如：，，求的最小值.方法：例1.(1)已知，，且，则最小值为。(2)已知，，，求的最小值.变形1.(1)已知，，，求的最小值.(2)已知，，且，则最小值为（）A．B．C．D．变形2.已知，且，则的最大值为（）A．B．C．D．变形3.，，且，不等式恒成立，则的范围为_______.变形4.当0<x<1时,的最小值为()变形5.当时，不等式恒成立，则实数的最大值为（）A． B． C． D．变形6.若是正实数，且，则的最小值为．变形7.已知正实数x，y满足，则的最小值为（

）A．2 B．4 C．8 D．12变形8.若实数，满足，则的最小值为（

）A． B． C． D．变形9.若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．变形10.若正数，满足，则的最小值为A．B．C．5D．6变形11.(1)已知非负数满足，则的最小值是（）A．3 B．4 C．10 D．16(2)设均为正实数，且，则的最小值为（）A．8B．16C．9D．6变形12.设为正数，且，则的最小值为（）A．B．C．D．变形13.已知，，且，则的最小值为（）A．9B．10C．11D．变形14.已知正实数满足，则的最小值是（）A．B．C．D．变形15．已知，且，，则的最小值为___________.变形16.已知，，且，则的最小值为（）A．B．C．D．变形17.已知，，且，则的最小值为___________.例2.(1)若，且，则的最小值为．小结：若题目中含是求两个分式的最值问题，对于这类问题最常用的方法就是双换元，分布运用两个分式的分母为两个参数，转化为这两个参数的不等关系．练一练：已知正数x，y满足，则的最小值（

）A．B． C． D．(2)已知，，，则的最小值为___________.练一练：已知，，，则取到最小值为________．变形1.若，且，则的最小值为_________变形2．已知实数，满足，则的最小值为__________．题型5：利用已知等式构造未知式的不等式若出现，其中、、、、因为，可以转化为或，从而求出及的取值范围．若出现求取值范围，先将式子因式分解成为形式，再用基本不等式求出最值．例1.设，，，则A．有最大值8 B．有最小值8 C．有最大值8 D．有最小值8变形1.若，，且，则的最小值为（）A．9B．16C．49D．81变形2.若实数，满足，则的取值范围为______;的取值范围为______．变形3.若实数满足，则的取值范围是（）A．B．C．D．变形4.已知，且，则的最小值为（）A．4B．6C．9D．12变形5.若实数a，b满足，则的最小值为（

）A． B．2 C． D．4变形6．已知正实数、满足，则的最小值为（

）A． B． C． D．练一练．已知正数满足，则的最大值是___________.例2.非负实数满足，则的最小值为___________.变形1.设求最小值．变形2.已知a，，且，则的最大值为（

）A．2 B．3 C． D．变形3.已知正实数x，y满足：，则的最小值为_________．题型6：凑齐次所求式子含有多元，但不是齐次式，通过分子或分母的某个常数换为已知式子，达到分子分母是齐次式的目的，然后转化为运用基本不等式进行求解．例1．设正实数m，n满足，则的最小值是（

）A． B． C． D．例2.若，，，，则的最小值为______．例3.已知，，，则的最小值为．例4.已知，，且，则的最小值为____________.例5．已知，，，则的最小值为（）A． B． C． D．例6．已知，，，则的最小值为（

）A．4 B．6 C．8 D．10题型7：多变量，但没有制约关系先按其中一字母为变量，其他字母为常数，求出最值，再按第二字母为常数，求出最值，以此类推。例1．已知a＞0，b＞0，则1a+ab例2.已知a>b>0,则a2+16b2例3.设，则的最小值为（）A． B． C．4 D．例4．已知，，，，则的最小值为（

）A． B．2 C．6 D．例5.设，则的最小值是（）A．1B．2C．3D．4例6.若a，b，c均为正实数，则的最大值为（）A．B．C．D．例7.已知，，，则

的最小值为（

）A．B．C． D．例8.设，则的最小值是A．2B．4C．D．5例9.已知实数，则的最小值是（

）A．6 B． C． D．五能力拓展题型1.多变量的对称式的最值问题针对两字母问题，一个代数式两字母互换代数式不变，那么该代数式称为对称式，若已知条件和所求式子中，两字母互换该题不变，则所求式子一般在两字母相等时取得一个最值，两字母之差最大时取得另一个最值（把对称式作为变量的除外。如例1）例1．已知a＞0，b＞0，且ab＝1，则12a+1例2.(多选)已知两个不等正数a,b满足a+b=1,则下列说法正确的是()A.ab<14B.1a+1b<4C.a+b<2D.a2+b例3.已知a>0,b>0,a+b=1,则a2+4a例4．设正实数x，y满足x＞12，y＞1，不等式4x2A．22 B．42 C．8