高数第九章多元函数的基本概念

高数第九章多元函数的基本概念

第九章第一节一、区域二、多元函数的概念三、多元函数的极限四、多元函数的连续性机动目录上页下页返回结束多元函数的基本概念第2页,共44页，2024年2月25日，星期天一、区域1.邻域点集称为点P0的邻域.例如,在平面上,(圆邻域)在空间中,(球邻域)说明：若不需要强调邻域半径

,也可写成点P0

的去心邻域记为机动目录上页下页返回结束第3页,共44页，2024年2月25日，星期天在讨论实际问题中也常使用方邻域,平面上的方邻域为。因为方邻域与圆邻域可以互相包含.机动目录上页下页返回结束第4页,共44页，2024年2月25日，星期天2.

区域(1)

内点、外点、边界点设有点集

E

及一点

P:

若存在点P

的某邻域U(P)

E,

若存在点P的某邻域U(P)∩E=,

若对点

P

的任一邻域U(P)既含

E中的内点也含E则称P为E

的内点；则称P为E

的外点;则称P为E

的边界点.机动目录上页下页返回结束的外点,显然,E

的内点必属于E,

E

的外点必不属于E,E

的边界点可能属于E,也可能不属于E.第5页,共44页，2024年2月25日，星期天(2)

聚点若对任意给定的

,点P

的去心机动目录上页下页返回结束邻域内总有E

中的点,则称P

是E

的聚点.聚点可以属于E,也可以不属于E(因为聚点可以为所有聚点所成的点集成为E

的导集

.E

的边界点)第6页,共44页，2024年2月25日，星期天D(3)开区域及闭区域

若点集E

的点都是内点，则称E

为开集；

若点集E

E

,则称E

为闭集；

若集D

中任意两点都可用一完全属于D的折线相连,

开区域连同它的边界一起称为闭区域.则称D

是连通的;

连通的开集称为开区域

,简称区域;机动目录上页下页返回结束。。

E

的边界点的全体称为E

的边界,记作

E;第7页,共44页，2024年2月25日，星期天例如，在平面上开区域闭区域

机动目录上页下页返回结束第8页,共44页，2024年2月25日，星期天

整个平面

点集是开集，

是最大的开域,也是最大的闭域；但非区域.机动目录上页下页返回结束o

对区域D,若存在正数

K,使一切点P

D与某定点A的距离AP

K,则称

D

为有界域

,

界域

.否则称为无第9页,共44页，2024年2月25日，星期天3.n

维空间n元有序数组的全体称为n

维空间,n维空间中的每一个元素称为空间中的称为该点的第k

个坐标.记作即机动目录上页下页返回结束一个点,当所有坐标称该元素为中的零元,记作O.第10页,共44页，2024年2月25日，星期天的距离记作中点

a

的

邻域为机动目录上页下页返回结束规定为与零元O

的距离为第11页,共44页，2024年2月25日，星期天二、多元函数的概念引例:

圆柱体的体积

定量理想气体的压强

三角形面积的海伦公式机动目录上页下页返回结束第12页,共44页，2024年2月25日，星期天定义1.

设非空点集点集D

称为函数的定义域;数集称为函数的值域

.特别地,当n=2时,有二元函数当n=3时,有三元函数映射称为定义在

D

上的n

元函数,记作机动目录上页下页返回结束第13页,共44页，2024年2月25日，星期天例如,

二元函数定义域为圆域说明:

二元函数

z=f(x,y),(x,y)

D图形为中心在原点的上半球面.机动目录上页下页返回结束的图形一般为空间曲面.三元函数定义域为图形为空间中的超曲面.单位闭球第14页,共44页，2024年2月25日，星期天三、多元函数的极限定义2.

设n

元函数点,则称A

为函数(也称为n

重极限)当n=2时,记二元函数的极限可写作：P0是D的聚若存在常数A,对一记作都有机动目录上页下页返回结束对任意正数

,总存在正数,切第15页,共44页，2024年2月25日，星期天例1.

设求证：证:故总有机动目录上页下页返回结束要证第16页,共44页，2024年2月25日，星期天例2.

设求证：证：故总有要证机动目录上页下页返回结束第17页,共44页，2024年2月25日，星期天例3

求极限解其中第18页,共44页，2024年2月25日，星期天例4

证明不存在．证取其值随k的不同而变化，故极限不存在．第19页,共44页，2024年2月25日，星期天不存在.观察播放第20页,共44页，2024年2月25日，星期天

若当点趋于不同值或有的极限不存在，解:

设P(x,y)沿直线y=kx

趋于点(0,0),在点(0,0)的极限.则可以断定函数极限则有k

值不同极限不同!在(0,0)点极限不存在.以不同方式趋于不存在.例3.

讨论函数函数机动目录上页下页返回结束第21页,共44页，2024年2月25日，星期天例4.

求解:因而此函数定义域不包括x,y

轴则故机动目录上页下页返回结束第22页,共44页，2024年2月25日，星期天仅知其中一个存在,推不出其它二者存在.

二重极限不同.如果它们都存在,则三者相等.例如,显然与累次极限但由例3知它在(0,0)点二重极限不存在.例3目录上页下页返回结束第23页,共44页，2024年2月25日，星期天四、多元函数的连续性定义3

.

设n元函数定义在D

上,如果函数在D

上各点处都连续,则称此函数在

D

上如果存在否则称为不连续,此时称为间断点

.则称n

元函数机动目录上页下页返回结束连续.连续,第24页,共44页，2024年2月25日，星期天例5

讨论函数在(0,0)处的连续性．解取第25页,共44页，2024年2月25日，星期天故函数在(0,0)处连续.当时第26页,共44页，2024年2月25日，星期天例6

讨论函数在(0,0)的连续性．解取其值随k的不同而变化，极限不存在．故函数在(0,0)处不连续．第27页,共44页，2024年2月25日，星期天又如,

函数上间断.在圆周机动目录上页下页返回结束结论:一切多元初等函数在定义区域内连续.第28页,共44页，2024年2月25日，星期天定理：若f(P)在有界闭域D

上连续,则机动目录上页下页返回结束*(4)f(P)必在D上一致连续.在

D

上可取得最大值M及最小值m;(3)对任意(有界性定理)(最值定理)(介值定理)(一致连续性定理)闭域上多元连续函数有与一元函数类似的如下性质:(证明略)第29页,共44页，2024年2月25日，星期天解:原式例5.求例6.

求函数的连续域.解:机动目录上页下页返回结束第30页,共44页，2024年2月25日，星期天内容小结1.区域

邻域:

区域连通的开集

2.多元函数概念n

元函数常用二元函数(图形一般为空间曲面)三元函数机动目录上页下页返回结束第31页,共44页，2024年2月25日，星期天有3.多元函数的极限4.多元函数的连续性1)函数2)闭域上的多元连续函数的性质:有界定理;最值定理;介值定理3)一切多元初等函数在定义区域内连续P11题

2;4;5(3),(5)(画图

);8P72题

3;4机动目录上页下页返回结束思考与练习第32页,共44页，2024年2月25日，星期天解答提示:P11题2.称为二次齐次函数.P11题4.P11题5(3).定义域P11题5(5).定义域机动目录上页下页返回结束第33页,共44页，2024年2月25日，星期天P12题8.间断点集P72题3.定义域P72题4.令y=kx

，若令机动目录上页下页返回结束,则可见极限不存在第34页,共44页，2024年2月25日，星期天机动目录上页下页返回结束总结1.计算多元函数的极限常用方法(1)利用不等式,使用两边夹法则；(2)变量替换化成已知极限,或化为一元函数的极限；(3)利用初等函数的连续性,利用极限的四则运算；(4)化为极坐标形式求极限(5)若事先能猜测出极限值,可用极限的定义进行证明.第35页,共44页，2024年2月25日，星期天解:例1.求机动目录上页下页返回结束第36页,共44页，2024年2月25日，星期天解:例2.求机动目录上页下页返回结束例3.求解:用极坐标.第37页,共44页，2024年2月25日，星期天解:例4.求机动目录上页下页返回结束第38页,共44页，2024年2月25日，星期天解:例5.求机动目录上页下页返回结束第39页,共44页，2024年2月25日，星期天机动