新教材高中数学第三章函数的概念与性质单元素养检测含解析新人教A版必修第一册

单元素养检测(二)(第三章)

(120分钟150分)

一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只

【解析】选A.因为f⑶=为所以f£f(3)]=f⑷=1.

2.函数/'(x)在区间[—2,5]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是()

A.-2,『⑵B.2,『⑵

C.-2,f(5)D.2,『(5)

【解析】选C.由函数最值的几何意义知，当x=-2时，有最小值一2；当x=5时有最大值

『⑸.

3.已知/U)是一次函数，且/"(X—l)=3x—5,则/U)的解析式为()

A.f(x)=3x+2B.f(x)=3x—2

C./'(x)=2x+3D.f(x)=2x—3

【解析】选B.设f(x)=Ax+6(AW0),

所以f(x~~1)=k(x-1)+6=3x—5,

即kx~A+b—3x—5,

区=3,

所以1,解得A=3,b=—2,

[b—k——b,

所以f(x)=3JT—2.

4.下列各组函数中，表示同一函数的是()

A.f{x}—yjx+1y/xT,g(x)

B.f{x)=yp,g(x)=(0)2

z1

X—1

c.『(x)=----，g(x)=x+l

X-l

D.f(x)=x?,g(x)=羽

【解析】选D.A.f(x)的定义域为[1,+8),g(x)的定义域为(-8,-1]U[1,+8),故

不是同一函数；

B./<x)的定义域为R,g(x)的定义域为[0,+8),故不是同一函数；

C.1'(x)的定义域为g(x)的定义域为R,故不是同一函数；

D.f(x)的定义域为R,g(x)的定义域为R,且两函数解析式化解后为同一解析式.

\x-2x,x23,

5.已知函数/1(x)=,则a『(i))等于()

〔2x+l,x<3,

A.3B.4C.5D.6

[Z—2x,x23,

【解析】选A.因为/U)=°,

|2x+l,x<3,

所以f⑴=2+1=3,

所以AAD)=A3)=32-2X3=3.

|教师|

茁南|

【补偿训练】

定义在R上的奇函数f(x),当x>0时，f(x)=3,则奇函数f(x)的值域是()

A.(—8,-3]B.[3,+8)

C.[-3,3]D.{-3,0,3}

【解析】选D.因为f(x)是定义在R上的奇函数，

所以f(—x)=-f(x),r(o)=o,

设x<0,则一x>0,/x)=—f(x)=3,

3,x〉0,

所以/1(x)=-3,所以/1(x)=<0,x=0,

、一3,x〈0,

所以奇函数/"(x)的值域是{—3,0,3).

6.若函数f(x)对于任意实数x总有/■(—x)=f(x),且f(x)在区间(-8,1]上单调递减,

则()

(一§<r(-i)<r(2)

A.

B.<A2)

C./,(2XA-1X

D./(2)</-|j<r(-l)

【解析】选B.因为函数f(x)对于任意实数x总有

F(—x)=f(x),

所以f(x)为偶函数，所以f(2)=f(—2),

3

又因为f(x)在区间(-8,1]上单调递减且一2<一5<-1,

所以f(—1)<(一习<A-2).

即A-D</-f]<f(2).

教师

专用

定义在R上的偶函数f(x)满足：对任意的荀，苞e[o,+8)(由#刘)，有fTN

X2—X\

<0,贝U()

A.『(3)<f(—2)<f(l)B.f(l)<f(-2)<不(3)

C.f(—2)<f(l)<f(3)D.A3)<r(l)</(-2)

【解析】选A.任意的如xze[0,+8)EWX2),有小)-'⑴〈0.

X2~Xi

所以Ax)在[0,+8)上单调递减，又Hx)是偶函数，故F(x)在(一8,0]上单调递增.且

满足刀WN*时,广(一2)=/、(2),3>2>1>0,

所以F(3)VF(—2)VF(1).

A.a〈b〈cB.Z?<a<c

C.c<.a<.bD.b<.c<.a

【解析】选B.由于函数y=|1)”在它的定义域R上是减函数,

由于函数y飞在它的定义域R上是增函数，且|〉|，故有c=(/〉a=(()M,

故a,b,c的大小关系是b<a<c.

8.已知函数/•(㈤二产/，若f(x)在区间(0,1]上单调递减,则实数a的取值范围是()

A.[0,3]B.(0,3]C.(0,1]D.[3,+«=)

【解析】选B.函数f(x)=[3—ax,若/'(x)在区间(0,1]上单调递减，则力=3—ax在区间

(0,1]上单调递减，且力20,分析可得a>0,且3—a'O,可得0<aW3,所以a取值范围

为(0,3].

二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有

多项符合题目要求.全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得。分)

9.下列函数中定义域与值域相同的是()

A.尸x+1B.1

21

C.y=x-1D.y=~

【解析】选AD.A中y=x+l,定义域为R,值域为R；

B中丁=2山+1,定义域为[-1,+8),值域为[0,H-oo).c中y=1—1,定义域为R,

值域为(一1,+°°);D中,定义域为(-8,o)U(0,+8),值域为(-8,o)U(0,

x

+8).所以A,D定义域与值域相同.

10.函数y=f(x),定义域为，=[—2,2],有以下结论，其中错误的有()

A.若f(—l)=f(l),f(—2)=f⑵,则尸f(x)是。上的偶函数

B.若f(—1)=『(1),则y=f(x)一定不是奇函数

C.若『(一1)"(0)〈『⑴<*2),则尸f(x)是。上的递增函数

D.若对任意荀，x^D,xiW如都有‘me>0,则y=f(x)是。上的递增函数

X2-X\

【解析】选ABC.由题意，可知函数y=f(x),定义域为小[—2,2]关于原点对称，对于

A中,若F(—l)=f(l),/(—2)=/(2),但F(—x)=_f(x)不一定恒成立，则y=F(x)不一定

是〃上的偶函数，故错误；对于B中，若/*(—1)=广(1)=0,则H—x)=—f(x)有可能恒成

立，此时y=F(x)可能是奇函数，故错误；对于C中，若1)<#0)<丹1)</1(2),但

生£〃且时，F(xi)<_f(x2)不一定恒成立，则y=F(x)不一定在〃上单调递增，故错误;

f(至)一f(Xi)

对于D中，若对任意xi,xzRD,EWE,都有•>0,则时，F(xi)</*(莅)

用一矛1

一定恒成立，y=f（x）在，上单调递增，故正确.

11.如图表示一位骑自行车和一位骑摩托车的旅行者在相距80km的甲、乙两城间从甲城到

乙城所行驶的路程与时间之间的函数关系，有人根据函数图象，提出了关于这两个旅行者的

如下信息：其中正确信息的序号是（）

A.骑自行车者比骑摩托车者早出发3h,晚到1h

B.骑自行车者是变速运动，骑摩托车者是匀速运动

C.骑摩托车者在出发1.5h后追上了骑自行车者

D.骑摩托车者在出发1.5h后与骑自行车者速度一样

【解析】选ABC.看时间轴易知A正确；骑摩托车者行驶的路程与时间的函数图象是直线，

所以是匀速运动，而骑自行车者行驶的路程与时间的函数图象是折线，所以是变速运动，因

此B正确；两条曲线的交点的横坐标对应着4.5,故C正确，D错误.

g(x),若f(x)(x)

12.已知『(x)=3—2|x|,g(x)=x'—2x,户(x)=

f(x),若f(x)<g(x).

则关于用x）的说法正确的是（）

A.最大值为3,最小值一1

B.最大值为7—2小,无最小值

C.增区间是（一8,2一巾）和（1,小）,减区间是（2—巾，1）和（/,+8）

D.增区间是（一8,0）和（1,小）,减区间是（0,1）和（线,+8）

【解析】选B、C.作出双X）的图象，如图实线部分，知有最大值而无最小值，且最大值不是

3,

当时，由3+2x=x?—2x得x=2—,

当x>0时，由3—2x=V—2x得入=小结合图象可得增区间是（-8,2—小）和（1,十）,

减区间是（2—巾，1）和（/,+°°）

三、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上)

13.若函数尸f(x)的定义域为[—1,2],则函数f(2x—3)的定义域为.

5

【解析】一l〈2x—3W2,解得,

"5"

所以函数f(2x—3)的定义域为[1,].

答案：1,I

9彳+2

14.已知函数_f(x)=~的对称中心为(6,1),贝!Ja=；b=.

x—0

■.口工*一电心/、ax+2a(x-6)+6己+2,6d+2_也心

【解析】由题思，函数F(x)=------=------------------------=a+----,将反比例函数y

X—0X—0X—0

6刁T-26万T-2

二252一的图象向右平移6个单位，再向上平移乃个单位，可得函数F(x)=z+2f々的图

XX—6

6万T-2

象，所以结合反比例函数y==二的性质及函数的图象平移可知，函数Ax)的对称中心为

x

[6=6,

(6,a),又因为『(又的对称中心为(6,1),所以

答案：16

15.已知函数/<2x+l)=3x+2,则Hl)的值等于.

【解析】由/1(2x+l)=3x+2,得/W=F(2X0+l)=3X0+2=2.

答案：2

\~x+kx,

16.函数_f(x)=1-、若F(l)=2,则A=________；若对任意的矛i,xz,(矛i

\2x,x>l,

—X2)(f(xi)一人加)20恒成立，则实数A的取值范围为

—/+kx,xWl,

【解析】根据题意，函数Mx)=

2.xfx>l,

若F(l)=2,贝"⑴=—1+A=2,解得A=3；

若对任意的E,如(E—E)(F(E)—Axl)》。恒成立，则函数Ax)为R上的增函数，则有

k—1W2,

,k

解得2WAW3,则"的取值范围为［2,3］.

答案：3［2,3］

四、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步

骤)

17.(10分)已知函数f(x)满足f(x+y)+f{x—y)=2F(x)•Ay),且/(0)WO,若=

0,求fO)及f(2n)的值.

【解析】令x=y=0,则A0+0)+A0-0)=2/(0)•『(0),

即2f(0)

因为/1(O)WO,所以『(0)=1.

JI

令x=y=5,

则有/(口)+/(0)=2(|-［•,

因为yj=0'所以*n)+H°)=°，

所以/(")=一/(0)=-1.

令矛=尸m,

则有『(2口)+/(0)=2/(“)•/•(口),

所以r(2Ji)=2X(-1)X(-1)-1=2—1=1.

V

18.(12分)已知定义在R上的偶函数了=『(x),当xNO时，f(x)=干；

(1)判断函数/1(x)在［0,+8)上的单调性，并用单调性定义证明；

(2)解不等式：f(2x—D"⑶.

【解析】(1)函数/'(x)在［0,+8)上单调递增.

证明：VXi,［0,+°°),X1>X2,—f(x2)-----V7,所以/'(荀)-f(x2)=_

Xi十1范十1毛十1

一一TT=〉0，所以函数f(x)在［0,+8)上单调递增•

Xz+l(X,1+二1)一(X二2+I)、

(2)函数/Xx)是偶函数，由(1)可知函数/"(X)在［0,+8)上单调递增，则在(-8,o］上单

调递减，

所以|2x—1|〈3即可,所以一

I教师I

【补偿训练】

—x+3,xWO,

已知函数f(x)=

4x,£>0.

⑴求/(f(—D).

⑵若/1(刘)>2,求刘的取值范围.

【解析】⑴因为汽-1)=—(-1)+3=4,

所以所以—1))=『(4)=4X4=16.

⑵当为WO时，令2〈一司+3,得刘<1,此时xoWO；当刘>0时，令2<4刘，得刘*,

所以xoWO或xo>~.

所以xo的取值范围是{引刘W0或xo>1}.

19.(12分)已知函数『(x)=矛+一.

x

⑴求f(—2020)+A-2019)+/(-2018)+

f(一2017)H---FA-1)+ADH----Ff(2017)+

f(2018)+/(2019)+f(2020)的值.

(2)证明：f(x)在(1,+8)上单调递增.

【解析】(1)因为/>(X)的定义域为(—8,0)U(0,+8),关于原点对称，

又因为/■(—X)=—±=—['+：)=-f(x),

所以f(x)为奇函数，所以f(—x)+f(x)=0,

所以f(—2020)+A-2019)+r(-2018)+

f(一2017)4---FA-1)+ADH----卜f(2017)+

f(2018)+A2019)+/(2020)=0.

(2)任取xi,x2^(1,+°°),且荀>.,

贝"f2)=X*

(X1一兹)+

X\—X2

(X1—X2)

X\X2

(X1X2—V

(X1—X2)IXIX2,

因为Xi,尼6(1,+°°),X\>Xi,

所以Xi—为>0,XiX2—i>0,XiX2>0,

所以f(xi)—Ax2)>0,即f(xj>f(x2).

所以f(x)在(1,+8)上单调递增.

20.(12分)经市场调查，某商品在过去的100天内的销售量(单位：件)和价格(单位：元)

均为时间公单位：天)的函数，且销售量满足F(力=

,60+t,1WZ<6O,

<1

150--t,61W200,(teN).

价格满足g(D=200—MlW力W100,teN).

(1)求该种商品的日销售额尔力与时间力的函数关系；

(2)若销售额超过16610元，商家认为该商品的收益达到理想程度，请判断该商品在哪几天

的收益达到理想程度？

【解析】(1)由题意知，当1WfW6O时，teN时，h(t)—

f(t),g(t)=(60+1),(200—t)——12+1401+

12000,当61WtW100,tGN时，力C)=f(t)•g(t)

=(150—14•(200—t)

1

=-d2—250力+30000,

所求函数关系

,-f+140t+12000(lWtW60,teN),

A(t)=<1

-f-2501+30000(61W/W100,teN).

⑵当1W6W60,tGN时，A(t)=-f2+140t+12000

=-(t-70)2+16900,

所以函数尔力在［1,60］上单调递增，

所以八(t)max=%(60)=16800(元)，

当61WCW100,tGN时，A(t)=|「一2501+30000

=16—250)2—1250,

所以函数尔力在［61,100］上单调递减,

所以力(t)max=^(61)=16610.5(元)，

若销售额超过16610元，当61WtWIOO时，函数单调递减，故只有第61天满足条件.

当lWtW60时，经计算尔53)=16611满足条件，

又函数尔冷在［1,60］上单调递增，所以第53,54,60天，满足条件.

即满足条件的天数为第53,54,…60,61天，共9天.

21.(12分)已知f(x)=-4x?+4ax—4a—a'.

(1)当a=l,xe［l,3］时，求函数/'(x)的值域.

(2)若函数/(x)在区间［0,1］内有最大值一5,求a的值.

【解析】(1)当a=l时，f(x)=—4f+4x—5的对称轴,开口向下，xG［1,3］时，

函数f(x)单调递减，

当x=l时，函数有最大值F(1)=—5,

当x=3时，函数有最小值/'(3)=-29,

故函数f(x)的值域［―29,-5］.

(2)因为f(x)=-4x°+4ax—4a—a,的开口向下，对称轴a,

①当，a》l,即a22时，/(x)在［0,1］上单调递增，函数取最大值f(l)=—4—次

令一4一—=—5,得才=1,a=±lV2(舍去).

115

②当0V］a<l,即0VaV2时，x=-a时，广(才)取最大值为一44令-4a=—5,得

e(0,2).

③当巳aWO,即aWO时，_f(x)在［0,1］内递减，

所以x=0时，F(x)取最大值为一4乃一才，

令一4己一寸=—5,得才+4a—5=0,解得d=—5,或己=1,其中一5£(—8,0］.

5

综上所述，3=^或@=-5.

教师

百用

已知二次函数F(x)=ax+bx+c,满足条件

f(0)=0和f(x+2)~f{x)=4x.

⑴求函数Hx)的解析式.

(2)若函数g(x)=广(才)一2血r+2,当x£［l,+°°)Ht