2017年-2019年全国卷Ⅲ理数高考试题含答案

绝密★启用前

2019年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如

需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的。

1.已知集合人={-1,0,1,2},B={X|X2<1},则AB=

A.{-1,0,1}B.{0,1}C.{-1,1}D.{0,1,2}

2.若z(l+i)=2i,则z=

A.-1-iB.-1+iC.1-iD.1+i

3.《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古

典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100学生，其

中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80

位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》

的学生人数与该校学生总数比值的估计值为

A.0.5B.0.6C.0.7D.0.8

4.(1+2?)(1+x)4的展开式中/的系数为

A.12B.16C.20D.24

5.已知各项均为正数的等比数列｛斯｝的前4项为和为15,且〃5=3S+40,则的二

A.16B.8C.4D.2

6.己知曲线y=ae'+xlnx在点（1,〃e）处的切线方程为产2x+b,则

A.a-e,Z?=-lB.a-e,b-\C.Q=e，h=lD.a=e~]

b=-l

7.函数y=在［-6,6］的图象大致为

A.B.

C.D.

8.如图，点N为正方形ABC。的中心，AECD为正三角形,平面ECC平面ABC。，M

是线段ED的中点，则

M

B

N

D'

A.BM=EN,且直线BM、EN是相交直线

B.BM丰EN,且直线BM,EN是相交直线

C.BM=EN,且直线BM、EN是异面直线

D.BM丰EN,且直线BM,EN是异面直线

9.执行下边的程序框图，如果输入的£为0.01,则输出S的值等于

（开始）

/输入£/

x=川

t+x

是

C2T

A.2TB-24D.2T

X2v2

10.双曲线C：—-^-=1的右焦点为凡点尸在C的一条渐进线上,O为坐标原点，若

42

闸=附，则△PF。的面积为

3夜

DR.----c.2MD.372

A・乎2

11.设/（x）是定义域为R的偶函数，且在（0,8）单调递减，则

A.f（logj1l）>f（23-2）>f（2方2）

12-3

B.f（log3l）>f（2i）>f（2/）

c.f（2-23）>f（2不2）>/（10g31：）

231

D./（2V）>/（2—>/（log3；）

12.设函数/（x）=sin（/x+g）（0>0）,已知/（x）在［0,2可有且仅有5个零点，下述

四个结论：

①/（x）在（0,2兀）有且仅有3个极大值点

②/（x）在（0,2兀）有且仅有2个极小值点

③/（x）在（0,*）单调递增

1229

④0的取值范围是［不，记）

其中所有正确结论的编号是

A.①④B.②③C.①②③D.①③④

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.己知a,为单位向量，且a•力=0,若c=2a-圆,则cos<a，c>=.

14.记S”为等差数列｛斯｝的前八项和，qWO,%=3《，则亲=.

35

22

15.设耳，鸟为椭圆C:|^+*=1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限.若AM与巴

为等腰三角形，则M的坐标为.

16.学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型.如图，该模型为长方体

ABCD-ABCR挖去四棱锥。一EFG”后所得几何体，其中。为长方体的中心，E,

F,G,”分别为所在棱的中点，AB=BC=6cm,AAi=4cm,3D打印所用原料密度

为0.9g/cn?,不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，

每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

(-)必考题：共60分。

17.(12分)

为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成

A、B两组，每组100只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，B组小鼠给服乙离子溶液,

每组小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同.经过一段时间后用某种科学方法测算出

残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如下直方图：

记C为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到P(C)的

估计值为0.70.

(1)求乙离子残留百分比直方图中6的值；

(2)分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值

为代表).

18.(12分)

A+C

△ABC的内角A、B、C的对边分别为〃、b、c,已知asin^--------=/?sinA.

2

(1)求B；

(2)若AABC为锐角三角形，且c=l,求AABC面积的取值范围.

19.(12分)

图1是由矩形A£>EB、Rt"BC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中A8=1,BE=BF=2,

/FBC=60。,将其沿AB,2C折起使得BE与8F重合，连结OG,如图2.

(1)证明：图2中的A,C,G,。四点共面，且平面A8CL平面BCGE；

(2)求图2中的二面角B-CG-A的大小.

20.(12分)

已知函数/(x)=2x3-ax2+b.

(1)讨论/(X)的单调性;

(2)是否存在。力，使得/(x)在区间［0,1］的最小值为-1且最大值为1?若存在，求出

“出的所有值；若不存在，说明理由.

x21

21.已知曲线C：y=土。为直线产-5上的动点，过。作C的两条切线，切点分别为A,

22

B.

(1)证明：直线A8过定点：

(2)若以E(0,为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形

ADBE的面积.

(-)选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第

一题计分。

22.［选修4-4：坐标系与参数方程］(10分)

如图，在极坐标系Ox中，A(2,0),8(0,；),C(V2,y),。(2,兀)，弧AB，BC，

所在圆的圆心分别是(1,0),(1,；),(1,兀)，曲线M是弧A3,曲线加2是弧5C，

曲线A1?是弧CZ).

(1)分别写出M2,M3的极坐标方程；

(2)曲线M由M，%,也构成，若点P在“上，且|OP|=G，求P的极坐标.

23.［选修4-5：不等式选讲］(10分)

设x,y,zeR,且x+y+z=l.

(1)求(x—l)2+(y+l)2+(z+l)2的最小值；

(2)若(x—2)~+(y—1)2+(z—a)*■23成立，证明：3或

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理科数学-参考答案

一、选择题

1.A2.D3.C4.A5.C6.D7.B8.B9.C10.A

11.C12.D

二、填空题

13.1-14.415.(3,V15)16.118.8

三、解答题

17.解：(1)由已知得0.70=a+0.20+0.15,故a=0.35.

^1-0.05-0.15-0.70=0.10.

(2)甲离子残留百分比的平均值的估计值为

2x0.15+3x0.20+4x0.30+5x0.20+6x0.10+7x0.05=4.05.

乙离子残留百分比的平均值的估计值为

3x0.05+4x0.10+5x0.15+6x0.35+7x0.20+8x0.15=6.00.

A+C

18.解：(1)由题设及正弦定理得sinAsin----=sinBsinA.

2

A+C

因为sialwO,所以sin-=--s-i-nB

A+CBB5,BB

由A+3+C=18()°,可得sin-----=cos—,i5xcos—=2sin-cos—.

22222

BBl

因为cos—*0,故sin—=—,因此B=60。.

222

（2）由题设及（1）知NBC的面积S△板

sin(120°-C)61

,丁2一0/口csinA

由正弦定理得a=-------------------------------------------1----

sinCsinC2tanC2

由于△ABC为锐角三角形，故0。<4<90。,0°<C<90°,由（1）知A+C=120。，所以30。<（7<90。,

故;<。<2,从而-^―<S^ABC<——

282

因此，△ABC面积的取值范围是

19.解：（1）由已知得4。BE,CGBE,所以4。CG,故AO,CG确定一个平面，从

而A,C,G,。四点共面.

由已知得AB1BE,ABVBC,占平面BCGE.

又因为A2U平面ABC,所以平面ABC1平面BCGE.

（2）作E//1BC,垂足为H.因为EHU平面BCGE,平面BCGE1平面ABC,所以Ea_L

平面A8c.

由已知I,菱形BCGE的边长为2,ZEBC=60°,可求得BH=1,EH=6

以”为坐标原点，"C的方向为x轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系“Tyz,

则A(-1,1,0),C(1,0,0),G(2,0,6)，CG=(1,0,上)，AC=

(2,-1,0).

设平面4CG。的法向量为〃=(x,y,z),则

CG-n=0,x+V3z=0,

<即5

ACn=0,[2x-y=0.

所以可取”=(3,6,-A/3).

又平面8CGE的法向量可取为m=(0,1,0),所以cos〈〃,,〃〉=->雁-=立.

|n||/n|2

因此二面角B-CG-A的大小为30。.

20.解：(1)/'(x)=6x2-2ax=2x(3x-d).

令/'(x)=°，得尸0或元=1.

若4>0,则当(-00,0)时，八%)>0；当了£(0,j时，/r(x)<0.故

在(一00,0)(1,+8)单调递增，在(o，；J单调递减；

若4=0,/(X)在(-0,+8)单调递增；

若以<0,则当(0,+oo)时，ff(x)>0；当时，ff(x)<0.故

/(X)在［-00,3,(0,+00)单调递增，在单调递减.

(2)满足题设条件的4,〃存在.

(i)当“W0时，由(1)知，/(x)在［0,1］单调递增，所以/(x)在区间［0,1］的最小

值为/(0)=b，最大值为/⑴=2-。+4此时a,。满足题设条件当且仅当Z?=—1,

2-a-^-b=1,即4=0,/?=—1.

(ii)当a23时,由⑴知，f(x)在［0,1］单调递减，所以/(x)在区间［0,1］的最大

值为/(0)右，最小值为/(1)=2-。+从此时a,b满足题设条件当且仅当

2—a+b=-1,b=\,即a=4,b=］.

(iii)当0<S<3时，由(1)知，/(X)在［0,1］的最小值为/［■|)=-|；y+b,最大值

为b或2-a+b.

3

若-----hb=—1,h=l,则〃=3。5,与0<〃<3矛盾.

27

3

若----hb=—1,2-a-^-b=1,则。=36或Q=-3G或。=0，与0<。<3矛盾.

27

综上，当且仅当〃=0,〃=-1或斫4,〃=1时，/(x)在［0,1］的最小值为-1,最大值

为1.

21.解：(1)设0%—g14(%，丁3则x；=2y「

1

y-I—

由于y，=X,所以切线ZM的斜率为玉，故^一2.=%,.

玉一

整理得2为-2%+1=0.

设3(天,%)，同理可得2r/-2y2+1=。.

故直线A8的方程为2a-2y+l=0.

所以直线A3过定点(0」).

2

(2)由(1)得直线A3的方程为y=fx+g.

1

y=Zx+一

由，，2,可得/一2田一1=0.

X

y=T

于是F+W=N，玉工2=-1，y+%=，（玉+尤2）+]=〃2+],

IAB|=J1+广|%]一％|=J1+广义J-4尤1%2=2（产+1）,

设4,4分别为点。，E到直线AB的距离，则4=md,=-4=.

Vr+1

因此，四边形AD8E的面积S=g|A3|（4+4）=（/+3）W=.

设M为线段A3的中点，则加心,尸+,.

、2,

由于EN_LAB,而EM=1,/一2）,AB与向量（1,/）平行，所以f+俨一2）f=0.

解得f=0或"±1.

当f=0时，5=3；当/=±1时，S=4日

因此，四边形ADBE的面积为3或4行.

22.解：（1）由题设可得,弧AB,BC,CZ）所在圆的极坐标方程分别为夕=2cos9,0=2sin8,

0二-2cos8.

所以M的极坐标方程为夕=2cose（owe«：）,知2的极坐标方程为

p=2sine（（＜ew,,M3的极坐标方程为Q=—2cose（?we〈兀）

（2）设尸（夕,6）,由题设及⑴知

若owev四，则2cosd=g,解得。=四；

46

若四W6K型，则2sin8=JL解得。=殳或6=生;

4433

若亚C则一2cos6»=J§,解得。=2.

46

23.解：(1)由于[(x—l)+(y+l)+(z+l)f

=*—1)2+(y+1)2+(Z+1)2+2[(f(y+1)+(y+l)(z+1)+(z+l)(x_1)]

<3[(x-l)2+(y+l)2+(z+l)2],

故由已知得(x-1)?+(y+1)2+(z+l)2>1,

当且仅当y=->z=-g时等号成立.

333

4

所以(x—1)2+(y+1)2+(z+1)2的最小值为-.

(2)由于

[(x-2)+(y-l)+(z-a)]2

=(x-2)2+(y-l)2+(z-a)2+2[(x-2)(y-l)+(y-l)(z-a)+(z-a)(x-2)]

<3[(x-2)2+(y-l)2+(z-a)2],

故由已知(x—2y+(y—l>+(z—a)2N(27一,

4—a1一〃2〃一2

当且仅当x=一『，y=-->z=r一时等号成立.

333

因此Q—2)2+(y—1)2+(z-a)2的最小值为1+”)一.

由题设知（2+“）~之」,解得3或aN—l.

33

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（新课标in卷）

理科数学

注意事项：

i.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证

号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案

标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题

卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给的四个选项中，

只有一项符合）

I.己知集合4="|X一1》0},B={0,1,2},则AB=（）

A.{0}B.{1}C.{L2}

D.{0,1,2}

2.（l+z）（2-?）=（）

A.-3-zB.-3+iC.3-iD.3+i

3.中国古建筑借助桦卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫棒头，凹进部分叫卯眼，图

中木构件右边的小长方体是棒头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体,

则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是（）

4.sina=

5.卜2+：1的展开式中犬的系数为（）

A.10B.20C.40D.80

6.直线x+y+2=0分别与x轴，y轴交于4,8两点，点尸在圆（x-2『+V=2上，则A48P

面积的取值范围是（）

A.[2,6]B.[4,8]C.[&,372J

D.[2近，3匈

7.函数丫=一/+/+2的图像大致为（)

8.某群体中的每位成品使用移动支付的概率都为p,各成员的支付方式相互独立，设X为

该群体的10位成员中使用移动支付的人数，DX=2.4,P（X=4）＜P（X=6）,则p=

（）

A.0.7B.0.6C.0.4D.0.3

9.△ABC的内角4,B,C的对边分别为a,b,c,若AABC的面积为“+“一厂,则c=

4

（）

A.-B.-C.-D.-

2346

10.设A,B,C,。是同一个半径为4的球的球面上四点，为等边三角形且其面积

为9百，则三棱锥O-ABC体积的最大值为（）

A.12』B.18百C.246

D.54百

22

11.设不，K是双曲线C：0-当=1（。>0,人>0）的左，右焦点，。是坐标原点.过K

a~h~

作C的一条渐近线的垂线，垂足为P.若归周=卡|如，则C的离心率为（）

A.>/5B.2C.6

D.V2

12.设a=k>gg0.3,人=log?0.3,则（）

A.a+b<ab<0B,ab<a+b<0

C.a-^b<0<abD.ab<0<a+b

二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13.已知向量。=（1,2）,6=（2,-2）,c=（l,A）.若c〃（知+b）,则』=.

14.曲线y=（or+l）e'在点（0,1）处的切线的斜率为—2,则“=.

15.函数/（x）=cos（3x+7）在［0,句的零点个数为.

16.已知点M（-l,1）和抛物线C：y2=4x,过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A,8两

点.若NAMB=90°,则％=.

三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17~31题为必考题，

每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.）

（-）必考题：共60分。

17.（12分）

等比数列｛〃"｝中，4=1,。5=44•

⑴求｛对｝的通项公式;

⑵记S,,为｛4｝的前〃项和.若黑=63,求”.

18.（12分）

某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的

生产方式.为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组

20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式.根据工人完成

生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如下茎叶图：

第一种生产方式第二种生产方式

8655689

97627012234568

987765433281445

2110()90

⑴根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由;

⑵求40名工人完成生产任务所需时间的中位数〃?，并将完成生产任务所需时间

超过m和不超过m的工人数填入下面的列联表:

超过不超过m

第一种生产方

式

第二种生产方

式

⑶根据⑵中的列表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？

2

n(ad-bc)~P（K训0.0500.0100.001

附：K2=

(a+6)(c+d)(a+c)(6+d)k3.8416.63510.828

19.（12分）如图，边长为2的正方形A8CQ所在平面与半圆弧C。所在平面垂直，”是C。

上异于C,。的点.

⑴证明：平面平面BMC；

⑵当三棱锥M-ABC体积最大时，求面与面MC。所成二面角的正弦值.

22

20.（12分）已知斜率为A的直线/与椭圆。上+汇=1交于A,B两点.线段的中点

43

为M(1,0).

⑴证明：kJ；

2

⑵设尸为C的右焦点，P为C上一点，且尸产+必+£8=0.证明：网，网，网成

等差数列，并求该数列的公差.

21.(12分)已知函数〃x)=(2+x+or2)ln(l+x)-2x.

⑴若a=0,证明：当-l<x<0时，/（x）<0；当x>0时，/（x）>0；

⑵若x=0是〃x）的极大值点，求a.

（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的

第一题计分.

22.［选修4-4：坐标系与参数方程］（10分）

在平面直角坐标系xOy中，O。的参数方程为卜=c。?’（。为参数），过点

［y=sin0

（0,-0）且倾斜角为a的直线/与。。交于4,B两点.

⑴求a的取值范围；

⑵求他中点尸的轨迹的参数方程.

23.［选修4一5：不等式选讲］（10分）

设函数/（*）=|2工+1|+卜-11

⑴画出y=的图像；

(2)当xd[o,+8),/(x)War+6,求〃+8的最4、值.

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(新课标in卷)

理科数学答案

一、选择题

1.答案：c

解答:VA={x|%-l>O}={x|x>l},B={0,l,2},/.AB={1,2}.故选C.

2.答案：D

解答：(1+Z)(2-Z)=2+Z-Z2=3+Z,选D.

3.答案：A

解答：根据题意，A选项符号题意.

4.答案：B

27

解答：cos2a=1-2sin~a—\—=—.故选B.

99

5.答案：C

解答：仁(/)5-(3「=戏.2'・第1‘，当r=2时，10-8=,此时系数

x

G2'=d22=40.故选C.

6.答案：A

解答：由直线%+丁+2=()得4(一2,0),3(0,-2),|AB|=A/22+22=2>/2,圆

2+2

(龙一2『+丁=2的圆心为(2,0),圆心到直线x+y+2=0的距离为=2啦,

^/^+T

点尸到直线x+y+2=0的距离的取值范围为2『2-丁2<d<<T24，即

y/2<d<3f：.SMliP=^\AB\-de[2,6].

7.答案：D

解答：当x=0时，y=2,可以排除A、B选项；又因为

X）则r（x）〉o的解集为（_8,-正）u（o,农），

y'=-4x3+2x=-4x(x+

22

/（x）单调递增区间为（0,半）；/'（九）＜（）的解集为（—孚,0）U（当,+oo）,

（-冬。）,

/（x）单调递减区间为,+8）.结合图象，可知D选项正确.

8.答案：B

解答：由X〜8(10卬)，OX=10p(l-p)=2.4,10〃2-10〃+2.4=0,解之

得Pi=0.4,“2=0.6,由P(X=4)<P(X=6),有〃=0.6.

9.答案：C

5f「a1+b2-c22abcoC1,八巾「1,.,,

解答：鼠8c=-------------=-------------=—abco£,又=-absirC,故

44422

tanC=,C=—.故选C.

4

10.答案：B

解答:如图，AABC为等边三角形，点。为A,B,C,。外接球的球心，G为AA8C

的重心，由%^C=9J5,得AB=6,取BC的中点”，A/7=AB-sin60°=3G，

:.AG=,AH=2B...球心0到面ABC的距离为心=M一(2百>=2,二三棱锥

体积最大值匕…f93(2+4)=18"

0

1L答案：C

解答：-：\PF2\=b,\OF2\=C,：.\PO\=a；又因为|P4|=nQP，所以

|。耳|=湿；

在汝AFO6中,

\OF2\C

:在Rr"耳耳中,

b1+4c2-（V6«）2

-=>/?2+4c2-6a2=4b2=>4c2-6a2=3c2-3a2

2b-2cc

=>c2=3a2=e=V3.

12.答案：B

解答：•.•a=k>go.2°3，^=log20.3,

.---=log030.2,^-=log032,

ab

.」+Liogo3（）.4,.•.（）<■!■+!<i即o<幺心<i,

ab03abab

又・.・。〉0,b<0,：.ab<a+b<Q,故选B.

二、填空题

13.答案：上

2

解答：2a+Z?=(4,2),；c//(2a+。)，A1x2-2x4=0,解得2=；.

14.答案：—3

解答：y=aex{ax+Y)ex,则1(0)=。+1=—2,

所以。=-3.

15.答案：3

JTTTnkJT

解答：由/(x)=cos(3x+%•)=(),有31+不=kr+万(左£Z),解得冗"

k冗rr

由04—乃+—4不得上可取0,1,2,/(x)=cos(3x+—)在[0,加上有3个零点.

396

16.答案：2

解答：依题意得，抛物线C的焦点为尸(1,0),故可设直线43:y=k(x—1),联立

y=Z(x-l),,,,,

消去y得炉%2一(2%2+4»+公=0,设A(内,凹)，8(%,%)，则

J=4x,

2k2+4-,.4

=

%,+x2飞>玉々=1,••X+%(=k、+x[>

乂%一(5+%2)+"=T.又M4=(X]+l,y-1),MB-{x2+\,yz-Y),

MA-MB={,x+l)(^+1)+(y-1)^-

2r+44

=%入2+(西+々)+1+/%一(X+%)+1--72--^1-4-"-+l=0，

k~k

k=2.

三、解答题

17.答案：(1)%=2""或%=(-2)1；(2)6.

解答：（1）设数列｛%｝的公比为g,.•.<?2=%=4,••.q=±2.

.•.a“=2"T或4=(-2)”，

1-2"1+(-7)"I

(2)由(1)知，S“=----=2"—1或S“=——一=—□—(—2)"],

"1-2"1+23

*=2J=63或S,“=#1—(一2力=63(舍)，

m=6.

18.答案：见解析

解答：(1)第一种生产方式的平均数为X=84,第二种生产方式平均数为占=74.7,

王＞尤2,所以第一种生产方式完成任务的平均时间大于第二种，二第二种生产方式

的效率更高.

(2)由茎叶图数据得到加=8°,.•.列联表为

超过m不超过m合计

第一种生产方式15520

第二种生产方式51520

合计202040

2n(ad-bc)240(15xl5-5x5)2

K=-----------------------=-----------------=10>o.oJj

(3)(。+b)(c+d)(a+c)(b+d)20x20x20x20

99%

的把握认为两种生产方式的效率有差异.

19.答案：见解答

解答：(1):正方形半圆面C也。，

ADJ.半圆面CMO,ADJ■平面MCD.

•.•。加在平面加。。内，.・.4。_1。/，又是半圆弧CO上异于C,。的点,

CM1MD.X-.-ADX0M=O,.1CM_L平面ADM,「CM在平面BCM内，.•.平面

BCM_L平面ADM.

(2)如图建立坐标系：

Sgsc面积恒定，

7.MOCD,几ABC最大.

M(0,0,1),A(2,-l,0),3(2,1,0),C(0,l,0),0(0,—1,0),

设面MAB的法向量为m=(%,%,4),设面MCD的法向量为〃=(x2,y2,z2),

MA=(2,-1,-1),M3=(2,1,-1),

MC=(0,l,—l),A/D=(0,-1,-1).

2x.—Vi~z.=0

111n〃z=(1,0,2),

2%+y_1()

同理〃=(1,0,0),,

.〃1V5..026

..cos0==—,・・sin0=------.

x/555

20.答案：见解答:

解答：（1）设直线/方程为y=Ax+t,设A（X|,y），3（%2，%），

y=kx+t

尤2y2联立消y得(4左2+3)/+8依+4产—12=0,

143

则△=64公*,火4产-12)(3+4公)>0,

得4A2+3>产・・•①,

Ski...6z.

且X|+尤2=3+止=2,yi+y2=k(xi+x2)+2t==2m,

m>0,/.，>0且々<0.

3+4公

且"---------②.

—4k

由①@得4二+3〉包坐。

16K

k>—或攵<—.

22

k<0,k<—,

2

UUUUUU1UUUUU1

(2)FP+FA+FB=0,FP+2FM^Q,

VM(l,m),尸(1,0),；.P的坐标为(1,—2〃?).

14m233

由于尸在椭圆上，二一+——=1,；.〃?=一,M（l,一一），

4342

2222

又工+竺=1,J江=1,

4343

两式相减可得上匚&=-2•日上•

玉一%24y+%

又为+%2=2，%+%=5，.•・卡=-1,

直线/方程为y--=-(x-l),

4

即y二—xH—，

4

7

y=一九+一

・•.2J

x+>-1

143

14+3721

消去y得28%2—56X+1=0,X=------------,

1214

uiruur।---------------z

\FA\+\FB\=/x-l)2+y^+l22

iy(x2-l)+y2=3,

uur133

|FP|=^(l-l)2+(---0)2=-,

：.\FA\+\FB\^2\FP\.

.•.同，FP,网成等差数列，

2J=||FA|-1/8||=|"_£工］-a+-x|=±-|x,-x1

aa7a2

=±；J(X|+X2)2_4x/2=±；J1=±通;〃=土通

71428

21.答案：(1)见解答；(2)ci-----.

6

解答:(1)若。=0时，f(x)=(2+x)ln(l+x)—2x(x>—1),

.../'(x)=ln(l+x)+(2+x)—1——2=ln(x+l)+—1-—1.

1+xx+1

令/z(x)=ln(x+l)d——5----1,

x+1

••/z，w=77T~(77i7=afi7-

.,.当x>0时，h'(x)>0,/z(x)在(0,+8)上单调递增，

当—l<x<0时，h'(x)<0,/z(x)在(一1,0)上单调递减.

〃(X)min=〃(())=】n1+1-1=()，

.♦./'(X)NO恒成立，

.♦./(X)在(-1,+8)上单调递增，

又/(0)=21nl—0=0,

.,.当-l<x<0时，/(%)<0；当x>0时，/(%)>0.

12

(2)f\x)=(2or+])ln(x+1)++——1,

元+1

i〃/、r1/八20X4-120ro+1)一加一1,八

f\x)=2aln(x+1)+——-+―/、、?-------<0,

X+