2021高中数学第三章指数运算与指数函数 导学案北师大版必修第一册

第三章指数运算与指数函数

第1节指数幕的扩充

3.1.1指数幕的扩充

教学重难点

(1)正分数指数幕的含义和运算；

(2)有理数指数基的运算；

(3)根式与分数指数基的相互转化。

教学过程

一、知识引入

在初中，学习了整数指数慕的运算及性质

n

a=a-a-a.....ai

a-n

n个aa0=1

〃（心尸=&曲，（尸=nn

am.=am^nia.8a-b

'/思考讨论:

C

(1)薇甘菊是热带、亚热带地区危害最严重的杂草之一，它侵害田地的面积(单位hn>2)

与年数(年)的关系式为

S=So・l.O57t

其中s。为侵害面积的初始值

S=S-l.O57lo如果求15.5年后侵害的面积,

如果求10年后侵害的面积，则o；

S=So•1.05755

就需要计算，这个指数运算与初中所学的指数运算有什么差

异呢？

1

32=

(2)对于分数指数基的运算，该如何运算呢？如？.

二、新知识

1、给定正数0和正整数科"(〃’1'且犯"互素)，若存在唯一的正数°,使得〃=心，则称°为

m

a的n次累.

b=

记作,这就是正分数指数嘉.

1

6

例如：=2，则b=；*f=5113,则”/--.

p注意：

mmkm

_k_QnQ不=Q屈

①当是正整数时，分数指数幕满足：

②与类似，当底数时，。"=府，其中而读

作“次根号下”，也叫根式运算.

85=V8=2V2271=^272=9

例如：，；

m

a*nn

③根据分数指数幕的定义，分数指数累的条件是：底数au

(-27f=-3

虽然泞方=-3,但不能写成

例1.把下列各式中的正数”写成正分数指数塞的形式:

b5=20b4=25

(1)(2)

、bn=3m(mnEW)、63n=71^(7^71E?V)

(3)1+；(4)+.

2、类似负整数指数累的定义，给定正整数1，且犯“互素)，定义

_巴_1_1

an=J=^

指数运算的指数已经扩充到有理数了.

那么，指数是无理数的情况呢？以1°虎为例说明如下

因为々=1.414213…，所以

1.4<1,41<1.414<-<V2<-<1.415<1.42<1.5

上式或左边的数称为&的不足近似值，右边的数称为

的过剩近似值

101-4<101-41<101414<•••<10日<•••<101415<101-42<10LS

借助计算器，可算出1°贝越来越趋近于同一个数，即

10'泛=25.954…

nnna

一般的，给定正数，对任意无理数，都是一个确定的实数.

Q-a—1

Q一*

同理0

这样，指数运算的指数已经扩充到全体实数了.

m注意：

①给定一个正数。，对任意实数a，指数塞心都大于0;

②0的任意正实数幕都等于0；

③0的0指数幕和负实数指数累都没有意义。

例2.计算:

311_3

4527-5(77)5

(1)；(2)；(3)16.

思考讨论(综合练习)

(D计算下列各式：

3_1

m9”(丁2(2：严—0.1-2+(2覆-3+100兀。

(2)用分数指数累表示下列各式(字母均表示正实数).

三、课堂练习

教材P76,练习1、2.

四、课后作业

教材P77,习题3T：A组第1、2、3,B组第1题.

第三章指数运算与指数函数

第2节指数幕的运算性质

3.2.1指数幕的运算性质

学习目标

(1)实数指数事的运算性质；

(2)根式、指数式等的化简、求值以及综合运算。

教学过程

一、复习引入

an=a*a*a.....a

n个aa0=1（Q芋0）

1

a，=砺叫a>0),aTn=-m=^==(a>0)

在初中，学习了整数指数基的运算性质

心,〃=am^ni(俨尸=a皿，(a•b)n=/•〃

二、新知识

类似的，当指数是实数时，指数运算性质如下:

°力为正实数，为实数

aa-—(a""=

(a'b)a=

例L计算:

2i£_1_1

3

(2-3)5X(V2)-28-3X(V4)(d)2+42-13

(1)(2)；(3)9.

例2.计算：

⑴项启：⑵(2”巴

⑶(2个衣；(4)K点产产.

例3.化简(式中的字母均为正实数)：

111

a-a~2-as-(a-2)~3

(1)；(2);

(3)3"-(2x-企yz)；⑷(/。产伽-01)

例4.已知1°*3，10』,求10"1。2,1产人

例5.已知实数①且。＞°力＞°,求证:京

思考讨论(综合练习)

(1)计算下列各式(式中的字母为正数)：

7遥-3旧-6平+ViW

①5；②

1133

XUX-5=3X2-3

(2)若，求三+尸2-2的值.

三、课堂练习

教材P79,练习1、2.

四、课后作业

教材P79,习题3-2：A组第1〜6题，B组第1、2题.

第三章指数运算与指数函数

第3节指数函数

3.3.1指数函数的概念

3.3.2指数函数的图象和性质(1)

教学重难点

(1)指数函数的概念；

(2)指数函数的图象和性质；

(3)指数函数性质以及利用指数函数的单调性比较实数大小、解不等式等方面的应用。

教学过程

一、引入

曾经有人断言，一张A4纸，不可能将其对折超过8次，是不是这样呢？

让我们来计算一下，一张标准A4纸，规格为长29.7cm,宽21cm,厚度大约0.01cm,

(i)4=1.85

28=2.56

折叠8次,纸的长度变为29.7Xcm,厚度变为0.01Xcm,

这时纸的长度已经小于厚度了，无法再折叠了。

思考讨论:

假设一张厚度0.01cm的A4纸可以无限折叠下去，那么折叠30次的高度大约是多少？

折叠50次呢？

o30jxz1n*7y1—1n7

提示：折叠30次，厚度为0.01XiU/Xcm一.%，大约是12个

珠穆朗玛峰的高度了；折叠50次，厚度为

0.01X250^1.13X10%=l,3X108km,约为］13亿km,地球与太阳的距离约

1.5亿km,已接近地球与太阳的距离了。

二、新知识

1,形如y=（°>°且°*1）的函数称为指数函数.

其中“是自变量，且XER.

y=(1)x

例如：T3等等

注意:

,值域为(0,+oo)

①指数函数的定义域为

②当*=°时，y=a°=i,即指数函数的图象过定点（°，1）；

③若°=1,指数函数、=凝即为y=L图象为经过点（°’1）与

、轴平行的直线.

2、指数函数y=的图象和性质

1）作出指数函数y=2、的图象.

列表、描点、连线得函数2、的图象如图

・・・

X-3-2-10123

y=2X・・・•・・

y

y=2X

0x

一般的，指数函数、=出，当0>1时

①定义域为R,值域为（°，+8）,图象过定点（°，1）；

②函数在R上是增函数，当"T+8时”+8当—8时

y->0

③对于指数函数，=出和y=〃（a>b>l）,当"0时

0<ax<<1、1,x=0„,cf=bx=1x>O.

，当时，当n时

>bx>l

例1.比较下列各题中两个数的大小：

5。,8,5。,77—0.15n—Q.1

(2)'

X

例2.（1）求使不等4式>'成32立的实数”r的集合;

94-1=243x

（2）己知方程"求实数”的值;

y=（一）*

2）作出指数函数2的图象.

同理可作出指数函数

3注意：

一般的，指数函数y=当时

①定义域为R,值域为(°，+8),图象过定点(叫

②函数在R上是减函数，当"T+8时'T0,当"―一8时

yT+8

③对于指数函数k。y=b\当"0时

出〉尸>1,当*=0时a"炉=1,当%>0时

0<ax<bx<1

例3.比较下列各题中两个数的大小：

(户4尸(,一。叫产

(1)55(2)33.

思考讨论(综合练习)

-4vn中一1

(1)解不等式u-5;

⑵已知函数/a)=ka-(或为常数，a>0且"1)的图象经过点

4(0,1),808)

①求函数"灯的解析式；

="")T

②若函数fM+i,求g(“)的值域.

三、课堂练习

教材P84,练习1、2、3.

四、课后作业

教材P89,习题3-3：A组第3、4、5、6,B组第1、2、3题.

第三章指数运算与指数函数

第3节指数函数

3.3.2指数函数的图象和性质(2)

教学重难点

(1)指数函数的图象和性质的综合应用；

(2)指数型函数的图象变换、简单的复合函数问题。

教学过程

1、指数函数的性质:

a>10<a<1

图

象

定义域：

性(1)

(2)值域：_______

质

(3)过定点______

（4）当…时。<y<i（4）当…时y"

当时当“,。时。。<1

DD

（5）在上是____函数，（5）在上是_____函数，

当J+8时广______,当」+8时广

当…8时"________当…8时"______

2、函数图象的变换

_>y=（一尸

指数函数'=与2的图象间的关系

在同一坐标系中作出两个函数的图象，如图：

y=（力=2-

2、的图象关于

函数与函数,轴对称，即函数

y=fi）与函数、=/（"）的图象关于y轴对称。

［注意：

常见的几种函数图象变换:

向左（。>0）或向右（aVO）平移同个单位

无）的图象-------------------------------->

①函数函数

y=〃x+a）的图象

向上g>0）或向下（bVO）平移|b4单位

y=f(x)

函数的图象函数

y=f（*）+b的图象;

一”）与函数k

②函数=的图象关于,轴对称

y=一『（"）与函数y=f（幻的图象关于

函数“轴对称；