2023-2024学年南阳市高一数学下学期4月份考试卷附答案解析

-2024学年南阳市高一数学下学期4月份考试卷考试时间：120分钟；满分：150分2024.4一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知向量，则下列选项中与共线的单位向量是（

）A． B． C． D．2．下列与角的终边相同的角的表达式中，正确的是（

）A．B．C． D．3．已知角以x轴正半轴为始边，终边经过点，则是（

）A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角4．已知平面向量，满足，，，则实数k的值为（

）A．1 B．3 C．2 D．5．如图，在△ABC中，点E是线段AB的中点，点D是线段BC上靠近B的三等分点，则（

）A．B．C． D．6．将函数的图象向右平移个单位长度后与函数的图象重合，则的最小值为（

）A．7 B．5 C．9 D．117．函数，的图象大致是（

）A．B．C． D．8．北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，可在全球范围内为各类用户提供全天候、全天时、高精度、高定位的导航、授时服务，2020年7月31日上午，北斗三号全球卫星导航系统正式开通，北斗导航能实现“天地互通”的关键是信号处理，其中某语言通讯的传递可以用函数近似模拟其信号，则下列结论中错误的是（

）A．函数的最小正周期为B．函数图象的一条对称轴是C．函数在上单调递增D．函数在上有4个零点二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.9．已知，，点P在直线AB上，且，则点P的坐标可以为（

）A． B． C． D．10．下列说法正确的是（

）A．如果是第一象限的角，则是第四象限的角B．角与角的终边与单位圆的交点关于y轴对称C．若向量，，满足，，则D．若是第二象限角，则点在第四象限11．已知函数的部分图象如图所示，则（

）A．的图象关于点中心对称B．在区间上单调递增C．函数的图象向右平移个单位长度可以得到函数的图象D．将函数的图象上所有点的横坐标缩小为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象12．下列说法中错误的有（

）A．若，，则B．已知向量，，则不能作为平面向量的一个基底C．已知，，若，则实数m的值为1D．是所在平面内一点，且满足，则是的内心三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知，，且，则．14．已知函数在上是增函数，则的取值范围是.15．如图，在△ABC中，，，，则．16．已知函数的图象经过点，则；若在区间上单调递增，则的取值范围为．四、解答题：本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其余均12分.17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若．(1)求角A的大小；(2)若，求△ABC面积的最大值．18．已知函数的值域为．(1)求的值；(2)解不等式．19．已知向量，，且与的夹角为，(1)求；(2)若与的夹角为锐角，求实数的取值范围．20．函数，已知函数的图象与x轴相邻两个交点的距离为，且图象关于点对称．(1)求的单调区间；(2)求不等式的解集．21．数学家波利亚说：“为了得到一个方程，我们必须把同一个量以两种不同的方法表示出来，即将一个量算两次，从而建立相等关系”这就是算两次原理，又称为富比尼原理.例如：如图甲，在△ABC中，D为BC的中点，则，，两式相加得，.因为D为BC的中点，所以，于是.请用“算两次”的方法解决下列问题：(1)如图乙，在四边形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，证明：.(2)如图丙，在四边形中，E，F分别在边AD，BC上，且，，，，与的夹角为，求向量与向量夹角的余弦值.22．已知函数，在上单调递增，且恒成立．(1)求的解析式；(2)设，若对任意，总存在，使得，求实数m的取值范围．1．A【分析】直接由公式求出与共线的单位向量：，比对各选项选出答案即可.【详解】，，与共线的单位向量是．故选：A．2．B【分析】根据终边相同的角的性质进行判断即可.【详解】与角的终边相同的角为．故选：B3．B【分析】先确定点P在第四象限，即角的终边在第四象限，的终边为角终边的反向延长线，即可得出答案.【详解】，，即，故点P在第四象限，即角的终边在第四象限，的终边为角终边的反向延长线，那么的终边在第二象限．故选：B．4．A【分析】根据给定条件，利用向量数量积的运算律求解即得.【详解】将两边同时平方，得，而，，，因此，即依题意，又，所以.故选：A5．B【分析】结合几何关系，利用向量的线性运算即可求解.【详解】．故选：B．6．D【分析】求出，根据可得ω，从而可求其最小值.【详解】，，，由题可知，，，解得，，又，当时，取得最小值11．故选：D．7．A【分析】利用排除法，根据函数奇偶性和符号性分析判断.【详解】因为，,可知的定义域关于原点对称，则，可知函数是奇函数，排除D，当时，则，则，排除B、C．故选：A．8．C【分析】根据正弦型函数的周期及取绝对值后周期减半得到的周期，判断选项A；通过计算得到，得到B选项；利用整体代入的思想，结合的单调性对C选项进行判断；函数零点问题转化为图象交点问题，根据正弦函数图象可以判断D选项.【详解】对于A，因为的最小正周期为，所以的最小正周期为，故A正确；对于B，因为，所以函数图象的一条对称轴是，故B正确；对于C，因为时，，而在单调递减，故C不正确；对于D，函数的零点即方程的根，时，，由图象可知方程有4个根，

故D正确．故选：C．9．AB【分析】设，分和两种情况，得到方程，求出答案.【详解】设，因为，，且点P在直线AB上，故由可得以下两种情况：①，此时有，解得，．②，此时有，解得，，综上所述，点P的坐标为或．故选：AB．10．ABD【分析】由角的定义判断AB,由向量运算判断C,由三角函数在各象限符号判断D.【详解】对于A，是第一象限的角，即，，则，，因此是第四象限的角，A正确；对于B，由角的终边易知角与角的终边关于y轴对称，B正确；对于C，，故C错．对于D，由是第二象限角，得，，则点在第四象限，D正确．故选：ABD．11．ABD【分析】由三角函数的性质结合图像求出的解析式，由可判断A；求出在区间的单调性可判断B；由三角函数的平移变换可判断C；由三角函数的伸缩变换可判断D.【详解】由图象可知，，解得，．又，所以，即，结合，可知，，所以函数的表达式为．对于A，由于，即的图象关于点中心对称，故A正确；对于B，由题可知，在上单调递增，所以在上单调递增，故B正确．对于C，函数的图象向右平移个单位长度可以得到函数，故C错误；对于D，将函数的图象所有点的横坐标缩小为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，故D正确．故选：ABD．12．AC【分析】举出反例说明A选项错误；由，说明，则不能作为平面向量的一个基底，故B选项正确；由两个向量垂直所适合的公式，求出，故故C选项错误；由题意证明出是的内心，故D选项正确．挑选错误选项即可.【详解】对A选项，若，则不共线的，也有，，故A选项错误；对B选项，，则，则不能作为平面向量的一个基底，故B选项正确；对C选项，，，若，则，得，故C选项错误；对D选项，因为，由可知，垂直于的外角平分线，所以点在的平分线上，同理点在的平分线上，点在的平分线上，所以是的内心．故D选项正确．故选AC.13．3【分析】根据向量平行得到方程，求出，再化弦为切，代入求值.【详解】，，由，可得，所以，所以．故答案为：3．14．【分析】根据正切函数的单调性，结合题意，列出满足的条件，求解即可.【详解】根据题意，，解得，又，则；当，，由题可得，解得；综上所述，的取值范围是.故答案为：.15．【分析】由得，再利用平面向量加法运算结合数量积运算求得结果.【详解】由,可知，,则故答案为：．16．【分析】点代入，得，求得；利用整体思想是的子集，列不等式求出，并赋值求解即可.【详解】因为函数的图象经过点，所以，因为，所以．时，，因为在区间上单调递增，所以，所以解得，，当时，，又因为，所以．故答案为：；.17．(1)60°；(2)【分析】（1）根据正弦定理化边为角即可求出A；（2）由根据基本不等式可得，再由面积公式可求解.【详解】（1），由正弦定理得，，，即，是△ABC的内角，．（2）由，得，则，当且仅当时等号成立，，△ABC面积的最大值为．18．(1)，；(2)．【分析】（1）根据条件，建立方程且，即可求出结果；（2）由（1）知，根据条件利用的图象与性质，即可求出结果.【详解】（1）由题设知，当时，,当时，，所以，．（2）由（1）知，由，得即，，解得，所以原不等式的解集为．19．(1)；(2).【分析】（1）由向量夹角坐标运算求得，再利用模长公式求解即可；（2）由向量数量积大于0且两向量不同向列不等式求解即可.【详解】（1）向量，，可得，，且．因为与的夹角为，可得，

解得，所以，则，

所以；（2）由向量，，可得，

由，解得

,当向量与共线时，可得，解得，

所以实数的取值范围为.20．(1)单调递增区间为，，无单调递减区间；(2).【分析】（1）由三角函数的性质求出，令，即可求出的单调区间；（2）由，解不等式即可得出答案.【详解】（1）由题意知，函数的最小正周期为，因为，所以，所以因为函数的图象关于点对称，所以，，即，，因为，所以，故．令，，得，，所以函数的单调递增区间为，无单调递减区间．（2）由（1）知，．由，得，，即，

所以不等式的解集为：.21．(1)证明见解析；(2).【分析】（1）利用图形关系的向量运算法则结合已知求解即可；（2）由图形关系的向量运算得到，求出其模长；再利用定义式求解，最后再利用向量夹角的余弦公式求解即可.【详解】（1）证明：在四边形ABFE中，，①在四边形CDEF中，，②由①②，得，因为E，F分别为AD，BC的中点，所以，，于是.（2）在四边形ABFE中，①，在四边形CDEF中，②，由，，得，.由，得，

所以，所以，，所以.22．(1